Aula-09 Campos Magnéticos

Produzidos por Correntes

Curso de Física Geral F-328 2o semestre, 2013

Lei de Biot - Savart

AmT1026,1

AmT104 67

0⋅×≈⋅×= −−πµ

de maneira análoga, o campo magnético produzido por cargas em movimento (correntes) é:

Assim como o campo elétrico produzido por cargas é:

rrdqr

rdqEd

30

20 4

1ˆ41

πεπε==

onde é um elemento de comprimento sobre a linha de corrente, é um vetor que vai de até o ponto P e

ld

lid

20

30 ˆ

44 rrlid

rrlidBd ×=×=

πµ

πµ

r

é a permeabilidade do vácuo.

Ed

Bd

,

,

⊗

r Ed

distribuição de corrente

distribuição de carga

rlid

Bd

Campo num ponto P qualquer

∫×=

C rrlidB 2

0 ˆ4

πµ

(Lei de Biot-Savart)

2

ˆ4 r

rlidBd o ×=

πµ

B

x

z

lid

P

r

⊗ Bd

y

C

θ

Campo magnético de um fio retilíneo

== 2sen

4 rdzidB o θ

πµ

ββ 222 cosecsen RrrR =⇒=

Integrando-se:

=−= ∫ ββπµ

π

dRiB sen

2

0

2

0

βββ dRdzRz 2coseccotg −=→=

RiB

πµ4

0= (fio semi-infinito)

Ri

πµ2

0

Neste caso, a lei de Biot-Savart 34 rrlidBd o ×=

πµ

Mas:

se reduz a:

Sentido do campo : dado pela regra da mão direita ou regra do saca-rolhas (ver figura)

B

i

B

2sen

4 rdzio β

πµ ( ) βθθπβ sensen- =∴=

rβ

ld

Bd

z

i

longo com corrente i

Campo magnético de um fio infinito

i

As linhas de campo magnético são linhas a partir das quais pode-se visualizar a configuração do campo magnético de uma dada distribuição de correntes no espaço. Como vimos, no entorno de um fio longo transportando uma corrente, elas são da forma:

corrente “entrando” no papel

ld

i=0

B

Observe que as linhas de são fechadas. B

de uma corrente em um arco circular

•  Calcular o campo magnético no ponto O. •  Para os segmentos e da figura, o produto é nulo

(vetores paralelos e antiparalelos)

•  No arco são perpendiculares.

RiBπϕµ

40=

rld ×

rld e

ϕ

B

onde é o ângulo central subentendido pelo arco. Se

,

Neste caso:

AA ′ CC ′

,CA

i

i

ldr

ϕ

:2πϕ =

RiB

20µ= (campo no centro de uma espira)

Força entre dois fios condutores paralelos

)ˆ(2

ˆ2

00 rdldiield

diiBldiFd b

bab

baabbba −=×=×=

πµ

πµ

ϕ

A corrente do fio a gera um campo na posição do fio b:

O fio b, na presença de , fica sujeito a uma uma força dada por:

A força sobre um comprimento Lb do fio b vale:

=b

ba

LF

dii ba

πµ20

Esta expressão possibilita a definição do ampère.

ϕπµ ediB a

a ˆ20=

∫

×=a

aaa r

rldiB 20 ˆ4

πµ

(de atração, neste caso)

aB

ϕe

ib

ia bb ldi

aa ldi

d rbaF

)ˆ(20 rdLiiF bba

ba −=π

µou

(módulo da força por unidade de comprimento)

aB

aB

Bd

⊥Bd⊥+= BdBdzBd

||)(

)90(sen4

02

0

rdlidB

πµ=

22222 cose

zRR

rRzRr

+==+= α

Substituindo essas três relações na integral de B(z) tem-se:

2/322

20

)(2)(

zRRizB

+= µ

Campo magnético de uma bobina

Como a soma vetorial dos se anula:

O campo de uma bobina não tem simetria suficiente para ser calculado pela lei de Ampère. Usaremos a lei de Biot-Savart para calcular em pontos do eixo central da espira. B

Temos:

∫∫ +==

espira

dlzRiRdBzB 2/3220

|| )(4)(

πµ

||Bd

r z

ld

Bd

α∫∫ == cos)( || dBBdzB

Campo magnético de uma bobina

2/322

20

)(2)(

zRiRzB+

= µ

30

2)(

ziAzB

πµ=

3

20

2)(

zRizB µ≈

30

2)(

zzB µ

πµ

=

Para pontos afastados ( ): Rz >>

(a bobina se comporta como um ímã – ver semelhança das linhas)

Lembrando que é a área da espira e é o seu momento de dipolo magnético:

AR =2πnAi ˆ=µ

Vimos:

i

≈i B

Circuitação de um campo vetorial

•  Cada linha de é uma curva fechada. •  A determinação de pode ser feita em termos da sua

circuitação.

θϕ cosdlrd =

ididrridBrBdl

C0

00

22cos µϕ

πµϕ

πµϕθ ==== ∫∫∫∫

riB

πµ20=Intensidade de :

∫∫ =⋅CC

BdlldB θcos

B

B

B

Mas, da figura:

θϕd

B

rθcosdl

Circuitação de ao longo de um contorno C : ∫ ⋅C

ldB

B

θ B

rld

C

i

A lei de Ampère

A lei de Ampère é geral, mas a sua utilidade no cálculo do campo magnético devido a uma distribuição de correntes depende da simetria da distribuição.

envoC

ildB µ=⋅∫

)(cos 21o21 iiBdliiiC

env −=⇒−= ∫ µθ Da figura ao lado tem-se:

Então:

( )21o iildBC

−=⋅∫ µ

(lei de Ampère)

ld

sentido de integração

B

sentido de integração

C

C

Campo magnético de um fio infinito

i

ildBC

0µ=⋅∫

Em C, é paralelo a B

ld

e ∴=uniformeB

Lei de Ampère:

=⋅=∫ rBdlB π2=⋅∫C

ldB

⇒i0µ ri

Bπ

µ20=

a bússola aponta sempre na mesma direção (norte geográfico)

a bússola aponta na direção de resultante B

limalhas de ferro nas proximidades do fio

ld

i=0

C r

ld

i

B

B

0011

cos iBdlldB µθ ==⋅ ∫∫

1cos0o =⇒= θθ

possui simetria cilíndrica em torno do fio e a mesma intensidade em todos os pontos a uma distância r do centro.

é paralelo a

riB

πµ2

00= (fora do fio)

B

ld

B

Curva 1 ( r>R ):

00)2( irB µπ =

0i

ld

rBdlBBdl πθ 2cos1

⋅== ∫∫

Campo magnético de um fio cilíndrico longo com corrente

Campo magnético de um fio cilíndrico

(dentro do fio)

B

longo com corrente

Curva 2 ( r<R ):

A corrente envolvida pela curva 2 (de raio r) é:

2

2

0 Rriienv π

π=

⇒== 2

2

000)2(RriirB env π

πµµπ rRiB 200

2πµ=

O sentido de é dado pela regra da mão direita.

ld

rBdlBBdl πθ 2cos2

⋅== ∫∫0i

Gráfico da intensidade de de um fio

•  Para

•  Para

Rr ≤

Rr ≥

rRiB 200

2πµ=

riBπµ2

00=

:

:

cilíndrico longo com corrente

dentro fora

B

Solenoides e Toroides

•  Um fio longo enrolado formando uma bobina em espiral é chamado de solenoide.

•  O campo magnético do solenoide é a soma vetorial dos campos produzidos por cada uma das voltas do fio que o forma.

Solenoide compacto Solenoide esticado

≈

ímã

O campo no interior de um solenoide é praticamente uniforme. As figuras abaixo mostram um solenoide ideal e um solenoide real. Em ambos os casos os campos fora do solenoide são muito fracos, em comparação com os do interior.

Aplicando-se a lei de Ampère à curva abcd:

env

b

a

c

b

d

c

a

dC

iBhldBldBldBldBldB 0µ==⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫ ∫ ∫ ∫∫

00inB µ=Havendo n espiras por unidade comprimento no solenoide:

0nhiienv =

Campo de um solenoide

Campo de um toroide

NildBC

0µ=⋅∫

)2( rBldBC

π=⋅∫

)toroide(2

0

riN

Bπµ

=

A figura mostra o enrolamento de um toroide de N voltas, transportando uma corrente i. O campo é diferente de zero apenas no interior do toroide. Sua intensidade varia com r.

Aplicando-se a lei de Ampère para a curva tracejada em azul, tem-se:

B

nr

N ≈π2

Note que como , esta expressão é parecida à do campo

magnético de um “solenoide enrolado”.

i

i

B

ld

Os exercícios sobre Lei de Ampère estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação à Disciplinas à F 328-Física Geral III

Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)

Lista de exercícios do Capítulo 29

F328 – 1S20123 19