Aula-09Campos Magnéticos Produzidos

por Correntes

Lei de Biot - Savart

μ0=4 π ×10−7 T⋅mA

≈1 ,26×10−6 T⋅mA

o campo magnético produzido por cargas em movimento (correntes) é:

De maneira análoga à que o campo elétrico produzido por cargas é:

d E⃗=1

4 πε0

dq

r 2r̂=

14 πε 0

dq

r3r⃗

onde é um elemento de comprimento sobre a linha de corrente, é um vetor que vai de até o ponto P e

d l⃗

d B⃗=μo

4 πid⃗ l× r⃗

r3

r⃗

é a permeabilidade do vácuo.

d E⃗

d B⃗

i d⃗l

Campo num ponto P qualquer

l⃗ ×r̂¿

id ¿¿

%mu0

4 π¿

B⃗=∫C

¿

x

z

l⃗¿

id ¿¿

P

r⃗

⊗ d B⃗

y

C

(Lei de Biot-Savart)

d B⃗=μo

4 πid l⃗ × r⃗

r3

Linhas de Campo Magnético

As linhas de campo magnético são linhas a partir das quais pode-se visualizar a configuração do campo magnético de uma dada distribuição de correntes no espaço. No entorno de um fio longo transportando uma corrente, elas são da forma:

Observe que as linhas de são fechadas. B⃗

Campo magnético de um fio retilíneo

dB=μo

4 πi ds sin θ

r2

r2=R2 +s2

Integrando-se em tem-se:

B=∫0

π μ0 i

4 πsin θ

R /sin2θ

R2 /sin2 θdθ =

tanθ=−Rs

→ ds=R

sin2θdθ

B =μ0 i

4 π R

θ

(fio semi-infinito)

μ0 i

2 π R

A lei de Biot-Savart d B⃗=μo

4 πId { l⃗ × r⃗ }

r3

Mas:

se reduz a:

Sentido do campo : dado pela regra da mão direita (ver figura)

B⃗

longo com corrente i

B⃗ B

devido a uma corrente em um arco

• campo magnético no ponto C

• para os segmentos 1 e 2 da figura (a) é nulo (vetores paralelos e anti-paralelos)

• no segmento 3 são perpendiculares entre si.

B=μ0 iφ

4 π R

d s⃗×r

d s⃗ e r

φ

B⃗

onde é o ângulo subentendido

pelo arco.

,

circular

Neste caso:

Exemplo

• Intensidade de cada campo:

• Módulo de

• A fase

• faz um ângulo com o eixo x dado por :

Bn=μ0 in

2π d cos450, n=1,2

B=μ0

2 π d cos450 √ i12+i2

2=1 ,89×10−4T≈190 μT

φ= arctan( B1

B2)=arctan (15 A

32 A )=250

φ+ 450=700

Dois fios transportam correntes i1 e i2 em sentidos contrários. Obter a intensidade , direção e sentido de em P. Adote i1 =15A, i2 =32A e d=5,3cm.

B⃗

B⃗

B⃗

Força entre dois condutores com correntes

d F⃗ba=ib d l⃗ b×B⃗a

A corrente do fio a gera um campo na posição do fio b:

O fio a produz no fio b uma força dada por:

F⃗ba=∫

b

d F⃗ba=

μ0 ib ia

4 π∫b

d l⃗ b(∫a

d l⃗ a r⃗

r3)

Para dois fios paralelos, a força sobre um comprimento L do fio b vale:

F⃗ba=ib L⃗×B⃗a

Fba

L=ib Basin90

o=μ0 ib ia

2 π d Esta expressão possibilita a

definiçãodo ampère.

Ba=μ0 ia

2πdB⃗a=∫

a

μ0

4 π

ia d l⃗ a× r̂

r2

Canhão sobre trilhos

• Força magnética como acelerador de projéteis

Corrente percorre os trilhos condutores ligados por um fusível condutor que se funde ao se estabelecer corrente criando um gás condutor.

A expansão do gás empurra o projétil!

Circuitação de um campo vetorial

• Cada linha de é uma curva fechada.• A determinação de pode ser feita em termos da sua

circuitação.

rdφ=dl cosθ⇒ cosθ=rdφdl

∮C

Bdlcos θ=∮Br dφ=∮μ0 i

2 π rr dφ=

μ0 i

2 π∮dφ =μ0 i

B=μ0 I

2 π RIntensidade de :

∮C

B⃗⋅d l⃗ =∮C

Bdlcos θi

θθ

dφ

B⃗

B⃗

B⃗

B⃗

r⃗

d l⃗

A lei de Ampère

A lei de Ampère é geral, mas a sua utilidade no cálculo docampo magnético devido a uma distribuição de correntesdepende da simetria do problema.

∮C

B⃗⋅d l⃗ =μo ienv

ienv =i1−i2⇒∮C

Bdlcos θ=μ0 ( i1−i2 )

Da figura ao lado tem-se:

Então:

∮C

B⃗⋅d l⃗ =μo (i1−i2 )

(lei de Ampère)

Campo magnético fora de um fio retilíneo

∮1

B⃗⋅d l⃗ =∮1

Bdlcos θ =μ0 i0

θ=00⇒ cosθ=1

possui simetria cilíndrica em torno do fio e a mesma intensidade em todos os pontos a uma distância r do mesmo.

é paralelo a

∮1

Bdlcos θ =B∫1

dl=B(2 π r )

B=μ0 I 0

2 π rDa lei de Ampère: (fora do fio)

B⃗

d l⃗B⃗

longo com corrente

Curva 1 ( r>R ):

Campo magnético no interior de um fio

Curva 2 (

∮2

Bdlcos θ =B∫2

dl=B(2 πr )

A corrente envolvida pela curva 2 (de raio r) é:

ienv =I 0π r2

π R2

B(2π r )=μ0 ienv =μ0 I 0π r 2

π R2⇒ (dentro do fio)

O sentido de é dado pela regra da mão direita.

r≤R

B=μ0 I 0

2 π R2r

B⃗

longo de raio R

:)

Gráfico da intensidade de de um fio

• Para

• Para

r≤R

r≥R

B=μ0 i

2 π R2r

B=μ0 i

2 π r

B⃗

:

:

retilíneo longo com corrente

Solenóides e Toróides

• Um fio longo enrolado formando uma bobina em espiral é chamado de solenóide.

• O campo magnético do solenóide é a soma vetorial dos campos produzidos por cada uma das voltas do fio que o forma.

Solenóide compacto Solenóide esticado

Solenóides e Toróides O campo no interior de um solenóide é praticamente uniforme. As figuras abaixo mostram um solenóide ideal e um solenóide real. Em ambos os casos os campos fora do solenóide são fracos, em comparação com os do interior.

Aplicando-se a lei de Ampère à curva abcd, havendo N voltas num comprimento h do solenóide:

∮C

B⃗⋅d l⃗ =∫a

b

B⃗⋅d l⃗ +∫b

c

B⃗⋅d l⃗ +∫c

d

B⃗⋅d l⃗ +∫d

a

B⃗⋅d l⃗ =μ0 ienvienv =i0 ( nh)

B=nμ0 i0

;

(n=Nh

)

Campo de um toróide

∮C

B⃗⋅d l⃗ =μ0 I N ∮C

B⃗⋅d l⃗ =B(2 π r )

B=Nμ0 i

2 πr( toróide )

A figura mostra o enrolamento de um toróide de N voltas, transportando uma corrente I. é diferente de zero apenas no interior do toróide. Sua intensidade varia com r.

Aplicando-se a lei de Ampère para a curva tracejada em azul, tem-se:

B⃗

N2πr

≈nNote que como , esta expressão é parecida à do campo de

um “solenóide enrolado”.

d B⃗d B⃗ ( z )=d{ B⃗||} +d { B⃗ ⊥ }

B( z )=∫dB||=∫ dB cos α

dB=μ0 i

4 πdsr2

sin (900 )

r2=R2 +z2 e cosα=Rr=

R

√ R2+z2

Substituindo essas três relações na integral de B(z) tem-se:

B( z )=∫dB||=μ0 iR

4 π ( R2+z2 )3/2 ∫espira

ds B( z )=μ 0 iR 2

2( R2+z2 )3/2

Campo magnético de uma bobina

Como a soma vetorial dos se anula:

O campo de uma bobina não tem simetria suficiente para ser calculado pela lei de Ampère. Usaremos a lei de Biot-Savart paracalcular em pontos do eixo central da espira.B⃗

Temos:

Campo magnético de uma bobina

B( z )=μ0 iR2

2( R2+z2 )3/2

B( z )=μ0

2πNiAz3

B( z )≈μ0 i R2

2 z3

B⃗( z )=μ0

2πμ⃗z3

Para pontos afastados ( ): z>> R

(A bobina se comporta como um ímã)

Lembrando que é a área da espira e é o seu momento magnético:

π R2=A μ⃗=iA n̂

Vimos: