Campos de gradientes y formas exactasCampos irrotacionales y formas cerradas

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

24 de marzo de 2011

1

1Sobre notas de Eleonora Catsigeras

motivación

∫C1

~X−→ds

motivación

∫C1

~X−→ds ?

=

∫C2

~X−→ds

campo de gradientes

formas exactas

propiedades

rotor de un campo

aplicación: rotación de un cuerpo sólido

~X vector velocidad

~ω = ωk vector velocidadangular

~X = ~ω ∧ r

∇∧~X =

∥∥∥∥∥∥i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

−ωy ωx 0

∥∥∥∥∥∥

= 2ωk

aplicación: rotación de un cuerpo sólido

~X vector velocidad~ω = ωk vector velocidadangular

~X = ~ω ∧ r

∇∧~X =

∥∥∥∥∥∥i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

−ωy ωx 0

∥∥∥∥∥∥

= 2ωk

aplicación: rotación de un cuerpo sólido

~X vector velocidad~ω = ωk vector velocidadangular

~X = ~ω ∧ r

∇∧~X =

∥∥∥∥∥∥i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

−ωy ωx 0

∥∥∥∥∥∥

= 2ωk

aplicación: rotación de un cuerpo sólido

~X vector velocidad~ω = ωk vector velocidadangular

~X = ~ω ∧ r

∇∧~X =

∥∥∥∥∥∥i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

−ωy ωx 0

∥∥∥∥∥∥

= 2ωk

aplicación: rotación de un cuerpo sólido

~X vector velocidad~ω = ωk vector velocidadangular

~X = ~ω ∧ r

∇∧~X =

∥∥∥∥∥∥i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

−ωy ωx 0

∥∥∥∥∥∥ = 2ωk

campo irrotacional y forma cerrada

teorema

teorema~X de gradientes⇒ ~X irrotacional

L forma exacta⇒ L forma cerrada

teorema

teorema~X de gradientes⇒ ~X irrotacionalL forma exacta⇒ L forma cerrada

observación 1

observación 2

~X irrotacional 6⇒ ~X de gradientes

L forma cerrada 6⇒ L exacta

observación 2

~X irrotacional 6⇒ ~X de gradientesL forma cerrada 6⇒ L exacta

ejemplo

ejemplo