Producto exterior y derivación de formas diferencialesproducto exterior derivación teoremas...

producto exterior derivación teoremas

Producto exterior y derivación deformas diferenciales

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

11 de junio de 2012


producto exterior

producto exterior

producto exteriorω k -forma

η l-forma0 ≤ k + l ≤ 3el producto exterior ω ∧ η se define axiomáticamente:


producto exterior

producto exterior

producto exteriorω k -formaη l-forma

0 ≤ k + l ≤ 3el producto exterior ω ∧ η se define axiomáticamente:


producto exterior

producto exterior

producto exteriorω k -formaη l-forma0 ≤ k + l ≤ 3

el producto exterior ω ∧ η se define axiomáticamente:


producto exterior

producto exterior

producto exteriorω k -formaη l-forma0 ≤ k + l ≤ 3el producto exterior ω ∧ η se define axiomáticamente:


producto exterior

producto exterior

producto exterior1 cero: 0 k -forma: 0 + ω = ω,

0 ∧ η = 02 distributiva: (fω1 + ω2) ∧ η = f (ω1 ∧ η) + (ω2 ∧ η)3 anticonmutativa: ω ∧ η = (−1)kl(η ∧ ω)4 asociativa: ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3) = (ω1 ∧ ω2) ∧ ω3

ω k -forma


producto exterior

producto exterior

producto exterior1 cero: 0 k -forma: 0 + ω = ω, 0 ∧ η = 0

2 distributiva: (fω1 + ω2) ∧ η = f (ω1 ∧ η) + (ω2 ∧ η)3 anticonmutativa: ω ∧ η = (−1)kl(η ∧ ω)4 asociativa: ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3) = (ω1 ∧ ω2) ∧ ω3

η l-forma tal que 0 ≤ k + l ≤ 3


producto exterior

producto exterior

producto exterior1 cero: 0 k -forma: 0 + ω = ω, 0 ∧ η = 02 distributiva: (fω1 + ω2) ∧ η = f (ω1 ∧ η) + (ω2 ∧ η)

3 anticonmutativa: ω ∧ η = (−1)kl(η ∧ ω)4 asociativa: ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3) = (ω1 ∧ ω2) ∧ ω3

f 0-forma


producto exterior

producto exterior

producto exterior1 cero: 0 k -forma: 0 + ω = ω, 0 ∧ η = 02 distributiva: (fω1 + ω2) ∧ η = f (ω1 ∧ η) + (ω2 ∧ η)3 anticonmutativa: ω ∧ η = (−1)kl(η ∧ ω)

4 asociativa: ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3) = (ω1 ∧ ω2) ∧ ω3

ω k -forma, η l-forma


producto exterior

producto exterior

producto exterior1 cero: 0 k -forma: 0 + ω = ω, 0 ∧ η = 02 distributiva: (fω1 + ω2) ∧ η = f (ω1 ∧ η) + (ω2 ∧ η)3 anticonmutativa: ω ∧ η = (−1)kl(η ∧ ω)4 asociativa: ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3) = (ω1 ∧ ω2) ∧ ω3

k1, k2, k3-formas con 0 ≤ k1 + k2 + k3 ≤ 3


producto exterior

producto exterior

producto exterior5 producto por 0-formas: f ∧ ω = fω

6 producto entre 1-formas:

dx ∧ dy = dxdydy ∧ dz = dydzdz ∧ dx = dzdxdx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz


producto exterior

producto exterior

producto exterior5 producto por 0-formas: f ∧ ω = fω6 producto entre 1-formas:



producto exterior

producto exterior


dx ∧ dy = dxdy

dy ∧ dz = dydzdz ∧ dx = dzdxdx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz


producto exterior

producto exterior


dx ∧ dy = dxdydy ∧ dz = dydz

dz ∧ dx = dzdxdx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz


producto exterior

producto exterior


dx ∧ dy = dxdydy ∧ dz = dydzdz ∧ dx = dzdx

dx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz


producto exterior

producto exterior


dx ∧ dy = dxdydy ∧ dz = dydzdz ∧ dx = dzdxdx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0

dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz


producto exterior

producto exterior




producto exterior

ejemplo 1

ejemplo 1mostrar que dx ∧ dydz = dxdydz

dx ∧ dydz =

dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz


producto exterior

ejemplo 1


dx ∧ dydz = dx ∧ (dy ∧ dz)

= dxdydz


producto exterior

ejemplo 1


dx ∧ dydz = dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz


producto exterior

ejemplo 2

ejemplo 2ω = xdx + ydy

η = zydx + xzdy + xydzcalcular ω ∧ η

ω ∧ η = (xdx + ydy) ∧ (zydx + xzdy + xydz)

= xyz(dx ∧ dx) + zy2(dy ∧ dx) + x2z(dx ∧ dy)xyz(dy ∧ dy) + x2y(dx ∧ dz) + xy2(dy ∧ dz)

= (x2z − y2z)dxdy + xy2dydz − x2ydzdx


producto exterior

ejemplo 2

ejemplo 2ω = xdx + ydyη = zydx + xzdy + xydz

calcular ω ∧ η





producto exterior

ejemplo 2

ejemplo 2ω = xdx + ydyη = zydx + xzdy + xydzcalcular ω ∧ η





producto exterior

ejemplo 2


ω ∧ η = (xdx + ydy) ∧ (zydx + xzdy + xydz)= xyz(dx ∧ dx) + zy2(dy ∧ dx) + x2z(dx ∧ dy)

xyz(dy ∧ dy) + x2y(dx ∧ dz) + xy2(dy ∧ dz)



producto exterior

ejemplo 2


ω ∧ η = (xdx + ydy) ∧ (zydx + xzdy + xydz)= xyz(dx ∧ dx) + zy2(dy ∧ dx) + x2z(dx ∧ dy)

xyz(dy ∧ dy) + x2y(dx ∧ dz) + xy2(dy ∧ dz)= (x2z − y2z)dxdy + xy2dydz − x2ydzdx


producto exterior

ejemplo 3

ejemplo 3ω = xdx − ydy

η = xdydz + zdxdycalcular ω ∧ η

ω ∧ η = (xdx − ydy) ∧ (xdydz + zdxdy)

= x2(dx ∧ dydz)− xy(dy ∧ dydz)+xz(dx ∧ dxdy)− yz(dy ∧ dxdy)

= x2dxdydz


producto exterior

ejemplo 3

ejemplo 3ω = xdx − ydyη = xdydz + zdxdy

calcular ω ∧ η



= x2dxdydz


producto exterior

ejemplo 3

ejemplo 3ω = xdx − ydyη = xdydz + zdxdycalcular ω ∧ η



= x2dxdydz


producto exterior

ejemplo 3


ω ∧ η = (xdx − ydy) ∧ (xdydz + zdxdy)= x2(dx ∧ dydz)− xy(dy ∧ dydz)

+xz(dx ∧ dxdy)− yz(dy ∧ dxdy)

= x2dxdydz


producto exterior

ejemplo 3


ω ∧ η = (xdx − ydy) ∧ (xdydz + zdxdy)= x2(dx ∧ dydz)− xy(dy ∧ dydz)

+xz(dx ∧ dxdy)− yz(dy ∧ dxdy)= x2dxdydz


derivación

derivada

derivadala derivada de una k -forma es una (k + 1)-forma

para 0 ≤ k ≤ 2.si k = 3 la derivada de una 3-forma es cero


derivación

derivada

derivadala derivada de una k -forma es una (k + 1)-formapara 0 ≤ k ≤ 2.

si k = 3 la derivada de una 3-forma es cero


derivación

derivada

derivadala derivada de una k -forma es una (k + 1)-formapara 0 ≤ k ≤ 2.si k = 3 la derivada de una 3-forma es cero


derivación

derivada

derivada1 f 0-forma:

df = fxdx + fydy + fzdz

2 linealidad: d(ω1 + ω2) = dω1 + dω2

3 d(ω ∧ η) = (dω ∧ η) + (−1)k (ω ∧ dη)4 d2 = 0


derivación

derivada




3 d(ω ∧ η) = (dω ∧ η) + (−1)k (ω ∧ dη)

4 d2 = 0

ω k -forma


derivación

derivada




3 d(ω ∧ η) = (dω ∧ η) + (−1)k (ω ∧ dη)4 d2 = 0


derivación

ejemplo 4

ejemplo 4ω = Pdx + Qdy

calcular dω

dω = d(Pdx + Qdy)

= (dP ∧ dx) + (P ∧ d2x) + (dQ ∧ dy) + (Q ∧ d2y)= (Pxdx + Pydy + Pzdz) ∧ dx + (Qxdx + Qydy + Qzdz) ∧ dy= (Qx − Py )dxdy −Qzdydz + Pzdzdx


derivación

ejemplo 4

ejemplo 4ω = Pdx + Qdycalcular dω

dω = d(Pdx + Qdy)



derivación

ejemplo 4


dω = d(Pdx + Qdy)= d [(P ∧ dx) + (Q ∧ dy)]



derivación

ejemplo 4


dω = d(Pdx + Qdy)= d [(P ∧ dx) + (Q ∧ dy)]= (dP ∧ dx) + (P ∧ d2x) + (dQ ∧ dy) + (Q ∧ d2y)

= (Pxdx + Pydy + Pzdz) ∧ dx + (Qxdx + Qydy + Qzdz) ∧ dy= (Qx − Py )dxdy −Qzdydz + Pzdzdx


derivación

ejemplo 4


dω = d(Pdx + Qdy)= d [(P ∧ dx) + (Q ∧ dy)]= (dP ∧ dx) + (P ∧ d2x) + (dQ ∧ dy) + (Q ∧ d2y)= (Pxdx + Pydy + Pzdz) ∧ dx + (Qxdx + Qydy + Qzdz) ∧ dy

= (Qx − Py )dxdy −Qzdydz + Pzdzdx


derivación

ejemplo 4


dω = d(Pdx + Qdy)= (dP ∧ dx) + (P ∧ d2x) + (dQ ∧ dy) + (Q ∧ d2y)= (Pxdx + Pydy + Pzdz) ∧ dx + (Qxdx + Qydy + Qzdz) ∧ dy= (Qx − Py )dxdy −Qzdydz + Pzdzdx


derivación

proposición

proposiciónd(dxdy) = 0

d(dydz) = 0d(dzdx) = 0


derivación

proposición

proposiciónd(dxdy) = 0d(dydz) = 0

d(dzdx) = 0


derivación

proposición

proposiciónd(dxdy) = 0d(dydz) = 0d(dzdx) = 0


derivación

demostración

demostración

d(dxdy) = d(dx ∧ dy)

= (d2x ∧ dy)− (dx ∧ d2y)= 0


derivación

demostración

demostración

d(dxdy) = d(dx ∧ dy)= (d2x ∧ dy)− (dx ∧ d2y)

= 0


derivación

demostración

demostración

d(dxdy) = d(dx ∧ dy)= (d2x ∧ dy)− (dx ∧ d2y)= 0


derivación

ejemplo 5

ejemplo 5η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdx

calcular dη

dη = d(Fdxdy + Gdydz + Hdzdx)

= dF ∧ dxdy + dG ∧ dydz + dH ∧ dzdx= (Fz + Gx + Hy )dxdydz


derivación

ejemplo 5

ejemplo 5η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxcalcular dη

dη = d(Fdxdy + Gdydz + Hdzdx)

= dF ∧ dxdy + dG ∧ dydz + dH ∧ dzdx= (Fz + Gx + Hy )dxdydz


derivación

ejemplo 5


dη = d(Fdxdy + Gdydz + Hdzdx)= dF ∧ dxdy + dG ∧ dydz + dH ∧ dzdx

= (Fz + Gx + Hy )dxdydz


derivación

ejemplo 5




dF ∧ dxdy = (Fxdx + Fydy + Fzdz) ∧ dxdy

= Fzdzdxdy = Fzdxdydz


derivación

ejemplo 5




dF ∧ dxdy = (Fxdx + Fydy + Fzdz) ∧ dxdy= Fzdzdxdy

= Fzdxdydz


derivación

ejemplo 5




dF ∧ dxdy = (Fxdx + Fydy + Fzdz) ∧ dxdy= Fzdzdxdy = Fzdxdydz


derivación

ejemplo 5


dη = d(Fdxdy + Gdydz + Hdzdx)= dF ∧ dxdy + dG ∧ dydz + dH ∧ dzdx= (Fz + Gx + Hy )dxdydz


teorema de green

teorema de green

teorema de greenD región de Green

ω = Pdx + Qdy 1-forma⇒ ∫

∂Dω =

∫∫D

dω


teorema de green

teorema de green

teorema de greenD región de Greenω = Pdx + Qdy 1-forma

⇒ ∫∂Dω =

∫∫D

dω


teorema de green

teorema de green

teorema de greenD región de Greenω = Pdx + Qdy 1-forma⇒ ∫

∂Dω =

∫∫D

dω


teorema de stokes

teorema de stokes

teorema de stokesS superficie orientada

∂S orientada en forma coherenteω 1-forma⇒ ∫

∂Sω =

∫∫S

dω


teorema de stokes

teorema de stokes

teorema de stokesS superficie orientada∂S orientada en forma coherente

ω 1-forma⇒ ∫

∂Sω =

∫∫S

dω


teorema de stokes

teorema de stokes

teorema de stokesS superficie orientada∂S orientada en forma coherenteω 1-forma

⇒ ∫∂Sω =

∫∫S

dω


teorema de stokes

teorema de stokes

teorema de stokesS superficie orientada∂S orientada en forma coherenteω 1-forma⇒ ∫

∂Sω =

∫∫S

dω


teorema de gauss

teorena de gauss

teorema de gauss

W 3

∂W orientado con normal exteriorη 2-forma⇒ ∫∫

∂Wη =

∫∫∫W

dη


teorema de gauss

teorena de gauss

teorema de gauss

W 3

∂W orientado con normal exterior

η 2-forma⇒ ∫∫

∂Wη =

∫∫∫W

dη


teorema de gauss

teorena de gauss

teorema de gauss

W 3

∂W orientado con normal exteriorη 2-forma

⇒ ∫∫∂W

η =

∫∫∫W

dη


teorema de gauss

teorena de gauss

teorema de gauss

W 3

∂W orientado con normal exteriorη 2-forma⇒ ∫∫

∂Wη =

∫∫∫W

dη


teorema de gauss

fin

fingracias!

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