75

CAPÍTULO IV

DERIVACIÓN

4.1 LA DERIVADA COMO PENDIENTE DE UNA CURVA

La pendiente de una curva en un punto dado, es igual a la pendiente de la recta

tangente a la curva en dicho punto.

y

Δx Q(x2,y2)

Q1

Δy

Q2

P(x1,y1)

x

La pendiente de la recta secante PQ viene dada por:

2 1

2 1

tany yx

y x x

Si el punto Q tiende hacia el punto P, la secante se hace cada vez más parecida

a la tangente por tanto;

sectan lim mmPQ

Pero, cuando QP se tiene que Δx0 por tanto

tan0 0

( ) ( )lim lim ' '( )x x

y f x x f x dym y f x

x x dx

Expresión que representa la derivada de la función f(x) y es la pendiente de la

recta tangente a la curva en x, f(x) conocida también como la pendiente de la

curva.

76

Ejemplo 1. Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) = x 3 + 2 en

el punto (1,3)

Solución: 3 3

tan0 0

( ) ( ) ( ) 2 ( 2)lim limx x

f x x f x x x xm

x x

3 2 2 3 3

0

3 3 2 2limx

x x x x x x x

x

2 2

2 2 2

0 0

(3 3 )lim lim (3 3 ) 3x x

x x x x xx x x x x

x

Por tanto la pendiente viene dada por; m tan = 3x²

En el punto (1,3) será:

m tan = 3(1)² = 3

Ejemplo 2. Hallar la derivada de 2y x

22

1

22

1lim

22

22lim

22

2222lim

00

0

x

xxxxxxx

xxx

xxx

xxx

x

xxx

dx

dy

xx

x

Ejemplo 3. Hallar dy/dx si:

xxy 2

2 2

0

( )limx

dy x x x x x x

dx x

2 2 2

0

2 ( )

limx

x x xx x x x x x x x

x x x

x

77

2

0

2

limx

x x xx x x

x x x

x

0

1(2 )

limx

x x xx x x

x

0

1 1lim 2 2

2xx x x

x x x x

Ejemplo 4 Hallar xdx

dsin

xxxx

xx

x

xx

x

xxxx

x

xxxxx

x

xxxx

dx

d

x

x

xx

cos)1(cos)0(sinsin

cos)1(cos

sinlim

sincos)1(cossinlim

sinsincoscossinlim

sin)sin(limsin

0

0

00

xxdx

dcossin

4.2 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO

Existen variaciones respecto al tiempo que expresan el cambio de una variable

respecto a otra; tal es el caso del volumen de agua en un recipiente que recibe

este líquido de un grifo, el volumen de una pelota que esta siendo inflada, la

variación del espacio respecto al tiempo (velocidad), la variación de la

velocidad respecto al tiempo, etc. Estas expresiones se conocen como razones

de cambio.

Sea V = f(t) una función que varía con el tiempo, la razón de cambio de V

(Volumen) respecto a t (tiempo) será:

( ) ( )V f t t f t

t t

La razón de cambio instantánea de V respecto a t (por unidad de tiempo)

será:

78

0 0

( ) ( )lim limt t

dV V f t t f t

dt t t

Expresión que representa la derivada de la función (Volumen)V respecto al

tiempo (t) y es la definición del Caudal

Ejemplo. Un proyectil es lanzado con una cierta velocidad inicial en m/seg y

un ángulo de inclinación α de tal manera que la expresión que representa su

recorrido es: [9]

y = - 0,005 x² + x

Encontrar la razón de cambio dy/dx cuando x = 20 ; x = 100 y x = 120

y

50

x

20 100 120

0 0

( ) ( )lim limx x

dy y f x x f x

dx x x

2 2

0

0,005( ) ( ) ( 0,005 )limx

dy x x x x x x

dx x

2 2 2

0

0,005 0,01 0,005 0,005limx

dy x x x x x x x x

dx x

0 0

( 0,01 0,005 1)lim lim ( 0,01 0,005 1)x x

dy x x xx x

dx x

[9] LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica. Mc. Graw Hill 1987 Pag.111

dx

dy

79

0,01 1dy

xdx

Ecuación que representa la razón de cambio instantáneo de y respecto a x

Si x = 20 se tiene:

0,01(20) 1 0,8dy m

dx seg

Este valor representa el desplazamiento de y por unidad de desplazamiento de x

Si x = 100

0,01(100) 1 0dy m

dx seg

Lo que significa que cuando x = 100 no existe desplazamiento en el sentido de

y

Si x = 120

0,01(120) 1 0,2dy m

dx seg

El signo negativo expresa que la variación de y ha cambiado de sentido (hacia

abajo) por unidad de desplazamiento en el sentido x.

4.3 ALGUNAS REGLAS DE DERIVACIÓN

Las siguientes constituyen reglas elementales de derivación

1) 0d

cdx

2)1n nd

x n xdx

3) ( ) '( )d

c f x c f xdx

4) ( ( ) ( ) '( ) '( )d

f x g x f x g xdx

Ejemplo 1. Demostrar que 1n nd

x n xdx

Solución:

0 0

( ) ( ) ( )lim lim

n nn

x x

dy f x x f x x x xx

dx x x

80

1 2 2

0

( 1)...

2lim

n n n n n

x

n nx nx x x x x

x

1 2 1

1

0

( 1)...

2lim

n n n

n

x

n nx nx x x x

n xx

Hallar la pendiente de la curva, la razón de cambio instantánea o la derivada de

cada una de las siguientes funciones:

Ejemplo 2

25 3

1 14 3 2

34 100

2

1' 20

2

y x x x

y x x x

Ejemplo 3

x - x10 + x4

15 = y

x45

45 - x

3

30 + x

4

15 = y

1 + x 45 - ) )(3x( + )(x 3 =y

1/4

1/4

1/453 54 5

4544

37

4544

37

2

Ejemplo 5

4

3

33

4

x

xxy

43

1225

43

23

43

34

43

33

4

xxxxxx

x

xxy

41

1237

4

3

12

25 xx

dx

dy

81

4.4 DERIVADAS DE ÓRDEN SUPERIOR

Se denominan así a las derivadas que se obtienen al derivar una función por

segunda, tercera, ... enésima vez

' '( ) ( )dy d

y f x f xdx dx

Primera derivada

Derivadas de orden superior son:

2 2

2 2'' ''( ) ( )

d y dy f x f x

dx dx Segunda derivada

3 3

3 3''' '''( ) ( )

d y dy f x f x

dx dx Tercera derivada

4 4

4 4( ) ( )IV IVd y d

y f x f xdx dx

Cuarta Derivada

.......

( ) ( )n n

n n

n n

d y dy f x f x

dx dx Enésima derivada

4.5 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Si s = s(t) es la ecuación de la posición de un objeto en que se mueve a lo largo

de una recta, la velocidad del objeto en el instante t es la razón de cambio de s

respecto al tiempo y la aceleración es la razón de cambio de la velocidad

respecto al tiempo, por tanto:

velocidad = v = s'(t) aceleración = a = v'(t) = s''(t)

4.6 DIFERENCIABILIDAD Y CONTINUIDAD

La derivada de una función en el punto c puede escribirse como sigue:

( ) ( )'( ) lim

x c

f x f cf c

x c

Supuesto que el último límite exista, para lo cual se exige que los limites

laterales existan y sean iguales. Si los límites laterales fuesen distintos,

significaría que la función presenta en x =c un punto anguloso, que no

82

permite definir la derivada en x = c.

Si la función presenta un salto en la gráfica para x = c tampoco será posible

encontrar límites laterales iguales, siendo otro caso de inexistencia de la

derivada.

La existencia de tangentes verticales de la función también es otro indicador

de la inexistencia de la derivada.

Por tanto toda función diferenciable (derivable), será siempre una función

continua, pero no toda función continua es diferenciable ya que su gráfica

puede presentar, puntos angulosos o tangentes verticales en los cuales no se

puede derivar la función.

4.7 DERIVADA DE UN PRODUCTO

La derivada de un producto es igual a: La derivada de la primera función por la

segunda sin derivar mas la primera función por la derivada de la segunda, es

decir si:

)(')()()(')()( xgxfxgxfxgxfdx

d

Demostración

x

xgxxgxxfxfxxfxg

x

xgxxfxgxxfxgxfxxgxxf

x

xgxfxxgxxfxgxf

dx

d

x

x

x

)]()()[()]()()[(lim

)()()()()()()()(lim

)()()()(lim)()(

0

0

0

dondede

x

xgxxgxxf

x

xfxxfxg

x

)]()([)(

)]()([)(lim

0

lqqdxgxfxgxfxgxfdx

d)(')()()(')()(

83

4.8 DERIVADA DE UN COCIENTE

La derivada de un cociente es igual a: La derivada del numerador por el

denominador sin derivar menos el numerador por la derivada del denominador,

todo sobre el denominador al cuadrado.

2))((

)(')()()('

)(

)(

xg

xgxfxgxf

xg

xf

dx

d

Demostración

0

( ) ( )

( ) ( ) ( )lim

( ) x

f x x f x

d f x g x x g x

dx g x x

0

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim

( ) ( )

( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )]lim

( ) ( )

x

x

g x f x x f x g x f x g x f x g x x

x g x g x x

g x f x x f x f x x g x x g x

x g x g x x

lqqdxg

xgxfxgxf

xg

xf

dx

d

dondede

xxgxgx

xgxxgxxf

xxgxgxx

2

0

))((

)(')()()('

)(

)(

)()(

)()()[(

)()(

x)g(x)[f(xlim

4.9 REGLA DE LA CADENA

Si y = f(u) es una función diferenciable de u y u = g(x) es una función

diferenciable de x, y = f ( g(x) ) es una función diferenciable de x;

dy dy du

dx du dx

84

Ejemplo 1. Derivar

8

24y x x

Sea

8 7

2

' 8

4 ' 8 1

y u y u

u x x u x

7 2 78 (8 1) 8(4 ) (8 1)dy dy du

u x x x xdx du dx

Ejemplo 2. Derivar la siguiente expresión:

Ejemplo 3. Derivar

])(x2

5+2x-[12x)x+x-x(4

3

1 = y

x+x-x4 =y

2

353 3

2-

3 53

22

2

3x

x3)3+x(2

1)x2-x(3 - 3-x)x8-x)(15x2-x2(3

=y

3 - x

) x2 - x3 ( =y

3

22

1-324533445

3

245

85

Ejemplo 4. Derivar

3

4 52 7y x x x x

3 51

3 5 4 62 2 2

3 311 112 2 2 22 2 2 2

1 3' 4 7 35

2 2

1 7 3 3' 4 28 35 35

2 2 2 2

y x x x x x x x x

y x x x x x x x x

3 1122 2

5 63' 6

2 2y x x x

Ejemplo 5. Derivar

3 2

2( )

xf x

x x x

13 2 22

23 2

1( 2) ( ) 2(3 2 1)

2( )x x x x x x x

f x

x x x

Ejemplo 6. Derivar 2( 3) 2

1

x xy

x

1 12 22 2

1 12 2 ( 3) ( 2) 1 ( 3) 2 ( 1)

2 2

1

x x x x x x x x

yx

Ejemplo 7. Hallar la derivada de: 5

8

2(3 5)

( 2) 3

x xy

x x

23)28(

1

}2/1)3(2/1)28(378){553(2

3)28)}(415(2)553(2/1)2(2/1{'

xxxxxxxx

xxxxxxy

86

Ejemplo 8. Derivar

3 6 7

7 5

x xy

x x

2 6 136 7 5 8 7 6 73 7 21 1 1( ) (6 7 ) 5 ( 5 ) ( 5)

3 7 2'2

75

x x x x x x x x x x xy

x x

Ejemplo 9. Derivar

2 1

8 2 2 3 4

2 17

2 28 3 4

( ) ( 2 8 )( )( 2 )

1'( ) (2 8 ) (4 8)( )( 2 )

8

f x x x x x x x

f x x x x x x x x

1 18 2 3 3 4

2( 2 8 )( 2 ( ) )( 2 )

3x x x x x x

1 18 2 3 3 4

2( 2 8 )( 2 ( ) )( 2 )

3x x x x x x

Ejemplo 10 Hallar la enésima derivada de bax

xf

1

)(

4

3

3

2

2 )(

6)(''';

)(

2)('';

)()('

bax

axf

bax

axf

bax

axf

Podemos observar que las derivadas sucesivas responden a una ley de

formación que resume la enésima derivada de la siguiente manera:

1)(

!)1()(

n

nnn

bax

anxf

Ejemplo 11 Encontrar la derivada quinta de x

xxf

1

1)(

222 )1(

2

)1(

11

)1(

)1)(1()1()('

xx

xx

x

xxxf

543 )1(

48)(;

)1(

12)(''';

)1(

4)(''

xxf

xxf

xxf IV

87

6)1(

288)(

xxf V

NOTA. Resuelva los 10 primeros problemas de la práctica No 3, páginas 248 y

249

4.10 DERIVADA DEL VALOR ABSOLUTO

Sea y = │u│, donde u es una función diferenciable de x, entonces

d u duu

dx u dx

donde u(x) 0

Ejemplo 1. Demostrar la fórmula de derivación del valor absoluto.

y = │u│

Sea │u│ = u ²

21

-2

1 du= (u 2u =)

2 dx

2 u

u du u du= =

dx dxu

Ejemplo 2. Derivar

y = │ 7 - x 3 │

Entonces

2 2u1

2d d d

= u = (u =)dx dx dx

)x (- x -

x - = y 2

3

3

37

7

88

f'(x) = ( 1 ) ( - 3 x2 ) = - 3x

2 para 7 - x

3 > 0

f'(x) = ( - 1 ) ( - 3 x2 ) = 3x

2 para 7 - x

3 < 0

Ejemplo 3 Derivar

y = │ x 4 - x │

Entonces

f '(x) = ( 1 ) ( 4 x 3 - 1 ) = 4 x

3 - 1 para x

4 - x > 0

f '(x) = ( - 1 ) ( 4 x 3 - 1 ) = - 4 x

3 + 1 para x

4 - x < 0

4.11 DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Cuando una de las dos variables se da explícitamente en función de la otra se

trata de una función explícita como las funciones que tratamos hasta ahora, por

ejemplo

y = 5x² + x + 10 t = 3 t - 5 t²

Cuando una ecuación no tiene una de las variables despejada se dice que esta

dada en forma implícita, por ejemplo.

x² + y² = 25 2 x² - 3 x y + y² =10

Para derivar este tipo de ecuaciones se procede a derivar en forma separada

cada uno de los miembros de la ecuación respetando la regla de la cadena y

considerando que una de las variables es función de la otra.

Ejemplo 1. Si 2 x ² - x y + 3 y 3

= 20

Hallar a) dy/dx b) dx/dy

a)

1) - x4 ( x - x

x - x = y 3

4

4

x - y9

4x -y =

dx

dy

0 = x) - y(9 dx

dy +y - 4x

0 = dx

dy y9 + )

dx

dy x +y (1 - 4x

2

2

2

89

b)

Ejemplo 2. Si

x ² y + 2 y ² x - x 3 = 0

Hallar a) dy/dx b) dx/dy

a)

b)

Ejemplo 3. Dada la ecuación

x 4 - y

5 = 10 √ x y

Hallar dy/dx

y - 4x

y9 - x =

dy

dx

0 = y9 + x - y) - (4x dy

dx

0 = y9 + 1) x +y dy

dx( -

dy

dx 4x

2

2

2

4xy + x

2xy - y2 - x3 =

dx

dy

2xy - y2 - x3 = 4xy) + x( dx

dy

0 = x3 - 1 y2 + x dx

dy4y +

dx

dy x +2xy

2

22

222

222

22 2dx dx dx2x y + 1 + 4xy + 2 - 3 = 0yx x

dy dy dy

2 2 2dx (2xy + 2 - 3 ) = - - 4xyy x x

dy

2

2 2

dx - - 4xyx =

dy 2xy + 2 - 3y x

90

)dx

dy x +(y )(xy

2

1 10 =

dx

dy y5 - x4 2

1-43

xy

)dx

dy x +(y 5

= dx

dy y5 - x4 43

5x + xyy5

5y - x4 xy =

dx

dy

5x) + xyy(5 dx

dy =5y - x4 xy

dx

dy 5x +5y =

dx

dy xyy5 - x4 xy

4

3

43

43

Ejemplo 4

Hallar dy/dx si

3232 tancossin xyxyx

2223232

2 32sectan3

1)sin(cos2sincoscos x

dx

dyyyxyx

dx

dyyyxyx

232

22223 tan3

1coscos3sec2sincossin2 yxyxxyxyyyx

dx

dy

223

232

22

sec2sincossin2

tan3

1coscos3

yxyyyx

yxyxx

dx

dy

Ejemplo 5

Probar que las gráficas de las ecuaciones xy

yx

4

62

2

22

son ortogonales.

Representar las gráficas de las ecuaciones y hallar las ecuaciones de las rectas

tangente y normal en cada uno de los puntos de intersección.

El punto de intersección de las curvas puede hallarse resolviendo ambas

ecuaciones como un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

032426

4

2662

22

2

2222

xxxx

xy

xyyx

91

Para x = 1 se tiene y = ±2. (1,2) ;(1,-2) constituyen las intersecciones de las

gráficas, el punto x = -3 no tiene soluciones reales en las ecuaciones, por tanto,

es descartado.

Hallando las derivadas de cada una de las ecuaciones, obtenemos las

ecuaciones que nos permiten hallar las pendientes de las curvas.

ydx

dy

dx

dyy

xy

y

x

dx

dy

dx

dyyx

yx

242

4

2024

62

2

22

En el punto (1,2) se tiene:

12

2;1

2

12

dx

dy

dx

dy

En el punto (1,-2) se tiene:

12

2;1

2

)1(2

dx

dy

dx

dy

En ambos puntos de corte de las gráficas se tiene que se satisface la condición

de perpendicularidad ente las pendientes, esto es, 2

1

1

mm probando de esta

manera que las curvas son ortogonales.

Las ecuaciones de la recta tangente y normal a la elipse 62 22 yx en el

punto (1,2) serán:

Recta tangente

0312

11

2

1

1

yxxy

x

ym

xx

yy

3;1

0)3)(1(

xx

xx

92

Recta normal

0112

11

2

1

1

yxxy

x

ym

xx

yy

Estas ecuaciones son a la vez la recta normal y la recta tangente a la parábola

xy 42 en (1,2)

Las ecuaciones de la recta tangente y normal a la elipse 62 22 yx en el

punto (1,-2) serán:

Recta tangente

0112

11

2

1

1

yxxy

x

ym

xx

yy

Recta normal

0312

11

2

1

1

yxxy

x

ym

xx

yy

Estas ecuaciones son a la vez la recta normal y la recta tangente a la parábola

xy 42 (1,-2)

03 yx

03 yx

01 yx

01 yx

xy 42 62 22 yx

93

4.12 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Función exponencial es aquella en la cual la variable aparece en el exponente,

en su presentación más elemental tiene la forma, ax de la cual se deriva la forma

ex. Cuando se tienen que derivar funciones en las cuales la variable aparece en

el exponente se debe logaritmizar ambos miembros de la ecuación y proceder a

derivar implícitamente, luego despejar la derivada buscada.

Ejemplo 1

Hallar dy/dx si y = xx

Logaritmizando tenemos: ln y = x ln x

Derivando implícitamente: xxx

dx

dy

xxx

dx

dy

y

)1(ln

1ln1

1

Ejemplo 2 Hallar dy/dx si

ln ln

xx

x

y x

y x x

xxx

x

x

x

xxxxdx

dy

xxx

xxdx

dy

y

))}(1(ln{ln

)1(ln1

ln1

Ejemplo 3

Hallar dy/dx si

ln ln

xx xx

x

y x x

y x x

1 1

ln 1 lnx xdyx x x x

y dx x

1ln 1 lnxx x xdy

x x x x xdx

2 1ln ln 1xx xdy

x x x x x xdx

94

Ejemplo 4 Derivar

2

xy x

ln 2ln 2 lnxy x x x

1 1

2ln 2 2 ln 1dy

x x xy dx x

2

22 ln 1 2ln 2x xdyx x x x

dx

Ejemplo 5 Derivar

5 3 2 sin 5

5 3 2

{tan (cos )}

ln sin 5 ln{tan (cos )}

xy x

y x x

11 1 5 3 2

cos ln tan cos ..22

4 3 2 2 3 2 2 2 25 tan (cos ) sec (cos )3cos ( sin )2

... sin 55 3 2

(cos )

sin 5

tan

dyx x

y dx

x x x x xx

x

x

5 3 2ln tan cos cos

...1

22(sin 5)

4 3 2 2 3 2 2 2 25 tan cos sec cos 3cos sin 2

... sin 55 3 2

(cos )

sin 55 3 2

tan cos

tan

x x

dyx

dxx x x x x

x

x

x

x

95

Ejemplo 6

)2(sec

2

3434

arctan

8cos

x

xx

xxy

2

3434

arctan

8cosln)2(secln

xx

xxxy

)2(sec

2

34

22

2

34

22333

2

34

34

2

343333

34

arctan

8cos

arctan

21

1)8(cos...

...))(arctan83)sin(cos4(

arctan

8cos

1)2(sec

arctan

8cosln)2tan()2sec()2(sec4'

x

xx

xx

xx

xx

xx

xxxxx

xx

xxx

xx

xxxxxy

Problemas de aplicación

Ejemplo 7 Hallar la ecuación de la recta normal a 242 2 xxy que sea

perpendicular a 052 yx

Igualando las ecuaciones de las pendientes obtenemos:

2

1

4

42244

xx

La pendiente de la recta tangente

a la curva será:

44' xy

Que es igual a la pendiente de la recta

2

52

052

m

xy

yx

2

7,

2

1

242 2 xxy

96

Reemplazando en la ecuación de la parábola:

2

722

2

12

2

14

2

12

2

y

La ecuación de la recta buscada será la que pasa por el punto

2

7,

2

1y

tiene, por la relación de perpendicularidad, la pendiente 2

111

mm

4

1

272

2

1

2

12

7

;11

1

xy

x

y

mxx

yy

01584 yx

NOTA. Resuelva los ejercicios 11 al 25 de la práctica No 3, páginas 249 y

250

4.13 LA DERIVADA CALCULADA CON DERIVE

Derive nos ofrece la posibilidad de calcular diferentes tipos de derivadas con

bastante facilidad, el formato es: dif(u,x). Si se desea hallar

)cos(38( 45 xxxdx

d )

se debe introducir en la barra de entrada de expresiones

dif(8x^5-3x^4+cos(x),x)

Al presionar el ícono, Introducir y simplificar la ventana de álgebra mostrará:

))cos(38( 45 xxxdx

d

40 x4-12 x

3- sinx

4.13.1 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Derive permite el cálculo de derivadas de orden superior, el formato utilizado

es el siguiente: dif(u,x,n) donde n es el orden de la derivada que se desea.

Para obtener la cuarta derivada de: ))cos(38( 45 xxx

Introduzca en la barra de entrada de expresiones

dif(8x^5-3x^4+cos(x),x,4)

Luego de introducir y simplificar la ventana de álgebra mostrará:

97

))cos(38( 45

4

xxxdx

d

cos(x) + 960 x –72

4.13.2 DERIVADA DEL VALOR ABSOLUTO

Para hallar este tipo de derivadas utililice dif(abs(u),x), por ejemplo si

deseamos derivar xxy 2introduzca en la barra de entrada de expresiones;

dif(abs(x^2-x),x) luego haga click en y la ventana de álgebra mostrará

)( 2 xxabsdx

d

(2 x – 1) sign(x(x – 1))

4.13.3 DERIVACIÓN IMPLÍCITA

El formato es imp_dif(u, x, y, n) derivada implícita de grado n de y respecto de

x. n debe ser un entero positivo,. En muchos casos el resultado depende de x y

de y, más que de x o de y por separado. Esto es aceptable para algunas

aplicaciones pero, si no es así, se puede intentar usar la ecuación original u=0

para eliminar y ó x de la derivada. También se puede sustituir un valor

particular de x o de y en u, para luego despejar para las otras variables (exacta o

numéricamente).

Ejemplo.- Hallar a) dy/dx , b) dx/dy si x2 y

3 + x y

2 =10

a) IMP_DIF(x2 y

3 + x y

2 – 10, x, y)

)23(

)12(

xyx

xyy

b) IMP_DIF(x2 y

3 + x y

2 – 10, y, x)

)12(

)23(

xyy

xyx

Las derivadas de segundo orden de funciones implícitas se hallan del

siguiente modo:

IMP_DIF(x2 y

3 + x y

2 – 10, x, y,2)

32

2233

)23(

)3152615(2

xyx

xyyxyxy

98

4.14 DERIVADAS DIVERSAS CON DERIVE

#1 ))cos()sin(3( 2 xxdx

d

#2 6 sin (x) cos (x)2 – 3 sin (x)

3

#3 ))cos(2( 2xxdx

d

#4 2 cos (x2) – 4 x

2 sin (x

2)

#5 3)sin(x

dx

d

#6 3 sin (x2) cos (x)

#7 2

222 )cos()sin(6

x

xx

dx

d

#8 x

x

x

xx

x

xx 32

3

222222 )sin(12)cos()sin(12)cos()sin(24

#9 xx

dx

d

#10 xx (ln (x) + 1)

#11 xxx

dx

d

#12 )1)ln()ln(( 21 xxxxxx xxx

#13

3

)tan(

)ln( 2x

x

xx

dx

d

#14

))1(ln()cos()sin()1(

)cos()sin()21())1(ln()1((

)))1(ln()ln(cot(3

)))1(ln()(cot( 2

2

3

xxxxx

xxxxxxxx

xxxx

xxx x

DERIVADA DEL VALOR ABSOLUTO

#15 5xdx

d

99

#16 SIGN ( x – 5 )

#17 xxdx

d2

#18 (2 x – 1) SIGN ( x ( x – 1 ))

DERIVADA DE LAS FUNCIONES IMPLÍCITAS

#19 IMP_DIF ( x2 y

3 , x )

#20 x

y

3

2

SE OBTIENE EL MISMO RESULTADO CON

#21 IMP_DIF ( x2 y

3 , y , x )

#22 x

y

3

2

#23 IMP_DIF ( x2 y

3 – x y

2 , x )

#24 )23(

)21(

xyx

xyy

#25 IMP_DIF ( x2 y

3 – x y

2 , x , y)

#26 )23(

)21(

xyx

xyy

#27 IMP_DIF ( x2 y

3 – x y

2 , y , x)

#28 )21(

)23(

xyy

xyx

LAS DERIVADAS DE LAS FUNCIONES IMPLÍCITA DE ORDEN

SUPERIOR SE PUEDEN HALLAR DE LA SIGUIENTE MANERA

#29 IMP_DIF ( x2 y

3 , y , x , 2 )

#30 29

10

x

y

#31 IMP_DIF ( x2 y

3 – x y

2 , x , y , 2)

#32 32

2233

)23(

3152615(2

xyx

xyyxyxy

#33 IMP_DIF ( x2 y

3 – x , x , y , 2)

#34 54

362

9

)125(2

yx

xyyx

100

FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

Sean u, v funciones de x ; c una constante

0)( cdx

d 'cucu

dx

d

xx eedx

d

x xde e

dx

'1

ln uu

udx

d

au

uu

dx

da

ln

'log

'')( vuvudx

d '' uvvuuv

dx

d

dx

du

du

dyy

dx

d

dx

du

u

uu

dx

d '1unuu

dx

d nn 2

''

v

uvvu

v

u

dx

d

'cossin uuudx

d 'sincos uuu

dx

d

'sectan 2 uuudx

d 'tansecsec uuuu

dx

d

'cotcsccsc uuuudx

d 'csccot 2 uuu

dx

d

'coshsinh uuudx

d 'sinhcosh uuu

dx

d

'sectanh 2 uuhudx

d 'csccoth 2 uuhu

dx

d

'tanhsecsec uuuhuhdx

d 'cothcsccsc uuuhuh

dx

d

21

1arcsin

xx

dx

d

1

1arcsin

2

xxh

dx

d

21

1arccos

xx

dx

d

1

1arccos

2

xxh

dx

d

21

1arctan

xx

dx

d

21

1arctan

xxh

dx

d

21

1cot

xxarc

dx

d

21

1coth

xxarc

dx

d