Determinacin de la inclinacin y la de la inclinacin y la pendiente La inclinacin se puede determinar...

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  • Determinacin de la inclinacin y la pendiente

    La inclinacin se puede determinar por simple inspeccin cuando la pendiente de la recta

    tiene algunos valores particulares.

    Si la Inclinacin es 45|: Se determina a partir de un

    cuadrado

    m= 1a

    a y la inclinacin es entonces: =45

    si la inclinacin es de 135|. Entonces la pendiente m=-1

    En la figura,

    Para 30 . la pendiente es

  • m= 3

    31

    3

    3*

    3

    1

    3

    a

    a

    la pendiente para 60 es entonces : 3

    Se deduce tambin que la pendiente de 120 es: - 3

    Resumen:

    m=1==45

    m=-1, si =135

    m= 33

    1, si =30

    m=- 33

    1 , si =150

    m= 3 si =60

    m=- 3 , si =120

    Obs:

    1.- Lo valores de las pendientes para ngulos de mltiplos de 15| , se pueden determinar tambin

    por simple inspeccin.

    2.-Solo con estos valores se pueden determinar los parmetros de la pendiente y la inclinacin por

    simple inspeccin

    Problemas de Aplicacin:

    1) si la pendiente de una recta es - 3 Cul es su inclinacin?

    R- 120

    2) si la pendiente de una recta es m=332

    332

    Cul es la inclinacin?

  • R- 45

    3) Cul es la inclinacin de la bisectriz del primer y tercer cuadrante?

    R- 45

    4) Cunto vale la pendiente de la bisectriz?

    R- 1

    5) Cunto vale la pendiente de la bisectriz del 2 y 4 cuadrante?

    R- -1

    6) En las figuras Cunto vale la pendiente de cada una de las rectas?

  • Calcule la inclinacin y pendiente de la recta que pasa por los puntos.

    1- P (1,4) Q (3,6) 2- P (-1,4) Q (-5,0)

    3- P (1+3,2) Q (1,1) 4- P (5, 3+23) Q (3,-3)

    5- P (-7,1) Q (4, 1+113) 6- P (2,5) Q (-3,0)

    7- P (22,-22) Q (32,-2) 8- P (4-53,2) Q (4-23,-1)

    9- P (1,3+43) Q (-5,3-23) 10- P (0,3) Q (1,0)

    11- P (-3,0) Q (0,1) 12- P (0,4) Q (43,0)

    Respuestas:

    1- m=1 =45 2- m=1 =45 3- 4- m=3 =60

    5- m=3 =60 6- m=1 =45 7- m=1 =45 8- m=3 =60

    9- m=3 =60 10- m=3 =120 11- m=3 =30 12-m=3 =30

    En cada grafico determine la pendiente y la inclinacin.

  • Respuestas:

    1. m=1 =45 2. m=3 =30 3. m=1 =45 4. m=0,65 =33

    5. m= = 6. m = =

    Con calculadora cientfica:

    1. P (2,3) Q (5,8) 2. P (-2,4) Q(3,7) 3. P (-2,1) Q (4,-9)

    4. P (2,-3) Q(-1,7) 5. P ( 8,6) Q (-4,1)

    Determinacin de la ecuacin de la recta:

    Hay distintas mtodos para determinar la ecuacin de la recta.

    1 caso:.

    Se conoce la pendiente y un punto contenido en la recta.

    Ej.1

    1.- Escribir la ecuacin de la recta cuya pendiente se

    indica y que contiene el punto Po

    M: 9 y Po: (6.4)

    Y= mx + b

    b?

    Si P (6.4) L satisface

    la ecuacin

    Po ( 6.4 ) L Y = 9x + b

    4= 9 6 + b

    4= 54 + b Forma general

    b= -50

    Y= 9x 50

    9x y 50 = 0

    Ax + By + C = 0

  • 3x + 4y +2= 0

    Forma particular

    Ejemplo 2:

    m= - y Po (-2.1)

    Y= -3/4 + b

    1= -3/4 - 2 +b

    1= 3/2 + b

    B= 1 3/2

    B= -1/2

    Y= -3/4x F.P. /4

    4y = -3x 2

    Ejercicios:

    1. m = ; Po = (2.-3) 2. m = -3/5 ; Po = (-1.5) 3. m = 6 ; Po = (3.-2) 4. m = -4 ; Po = (4.-1/5) 5. m = 2/7 ; Po = (0.4) 6. m = ; Po = (1/2 . 1/3)

  • Respuestas:

    1. F.P.: Y = 1 /2x + -4 F.G.:1x-8-2y = 0 2. F.P: Y = -3/5x + 22/5 F.G.: 3x + 5y 22 = 0 3. F.P.: Y = 6x 20 F.G.: 3x + 5y 22 = 0 4. F.P.: Y = -4x + 79/5 F.G.: 20x + 5y 79 =0 5. F.P.: Y = 2/7x + 4 F.G.: 2x 7y + 28 = 0 6. F.P.: Y = 3/5x + 1/30 F.G.: 18x 30y + 1 = 0

    2 caso:

    Dado la inclinacin y un punto contenido en la recta.

    Si = 120 ^ P (2,-1) -1= -3 2 + b

    M = - 3 ^ P (2,-1) b = 23 1

    Y = - 3 + b

    -1= 3.2+b

    b=2 3 1

    Por lo tanto la ecuacin es: y= 3 x+2 3 , que escrita en la forma general: : 3 x-y +2 3=0

    Inclinacin m

    45 1

    135 -1

    30 1/3 3

    60 3

    120 - 3

    150 -1/3 3

  • Ejercicios de aplicacin:

    Escriba la ecuacin de la recta dada la inclinacin y el punto contenido en ella.(grafique)

    1. Y = 300 ; P = (1 , 3) 2. Y = 45 ; P = (3,0) 3. Y = 150 ; P = (1,-2) 4. Y = 210 ; P = (1, 1) 5. Y= 330 ; P = (-3, 2) 6. Y = 240 ; P = (0, 4)

    Ecuacin Cannica de la recta.

    Tag = 12 yy = y

    12 xx x

    1y

    2y

    y

    x1x 2x

    12 yy

    12 xx

    1P

    2P

    o

  • Tag = m

    12

    12

    yx

    yy

    =

    1

    m

    Si 2P =(x,y)

    1P = ),( 00 yx

    10

    0 m

    xx

    yy

    )( 00 xxmyy Ecuacin Cannica.

    Considere los puntos:

    P(4,5) Q(10,1)

    1) ecuacin de la recta que contiene los puntos P y Q.

  • Forma Cannica:

    P(4,5) Q(10,1)

    3

    2

    6

    4

    104

    15

    m

    02332

    82153

    3/3

    8

    3

    25

    )4(3

    25

    )5,4(,3

    20

    yx

    xy

    xy

    xy

    Pm

    Comprobacin:

    02332..

    3

    23

    3

    201

    3

    20

    103

    2

    3

    2

    )1,10(;3

    2

    yxGF

    b

    b

    by

    by

    bxy

    Qm

  • Distancia entre dos puntos en 2

    Pitgoras:

    dAB= 22 )())( yx

    Ejemplo de aplicacin

    4

    4

    1

    5

    10

    P

    Q

    d

    6

    52

    1636

    d

    d

    52

    1636

    )4(6

    )51()410(

    )1,10(

    )5,4(

    22

    22

    PQ

    PQ

    PQ

    PQ

    Q

    P

  • Dado: A(-2,3) D(6,3) C(4,6) B(1,-5)

    1) Calcule el permetro del cuadriltero. 2) Determine la ecuacin de las diagonales del cuadriltero.

    Mtodo: Grfico.

    85

    2564

    58 22

    BD

    BD

    BD

    13

    94

    32 22

    CD

    CD

    CD

    45

    936

    36 22

    CA

    CA

    CA

    73

    964

    38 22

    AB

    AB

    AB

    12

    3A

    6

    D

    4

    6 C

    5

    8

    5

    85

    13

    2

    3

    6

    3 45

    3

    738

  • Permetro:

    u2,28

    7,66,34,95,8

    45138973

    Mtodo: Analtico: (despus de graficar, se definen los trazos).

    BDd

    b

    ACc

    a

    )3,6(

    )5,1(

    )6,4(

    )3,2(

    ABb

    a

    CDd

    c

    )5,1(

    )3,2(

    )3,6(

    )6,4(

    73649)8()3(

    1394)3()2(

    896425)8()5(

    45936)3()6(

    22

    22

    22

    22

    AB

    CD

    BD

    AC

  • Punto medio de un trazo en 2 .

    1xxm

    1yym 1

    12 xx

    12 yy 2

    ),(

    2

    22

    2

    1

    2

    1

    21

    21

    112

    12

    1

    12

    1

    yxm

    xx

    m

    xxx

    xxx

    xxxx

    yy

    yy

    xx

    xx

    m

    m

    m

    m

    m

    m

    P

    Q

    1x 2x

    1y

    2y

    mmy

    mx

    qmpm

    ),( xm yxm

    1yym

    12 yy

    12 xx 1xxm

    P

    Q

    m

  • Ejemplo de aplicacin.

    Ejercicios de aplicacin:

    1.- Determine el punto medio de cada trazo cuyas coordenadas extremas se indican:

    1.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 1.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)

    1.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 1.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)

    1.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 1.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)

    2.- Escriba la ecuacin de la recta que contiene los puntos P y Q :

    2.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 2.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)

    2.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 2.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)

    2.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 2.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)

    3.- Escriba la ecuacin de la simetral al trazo PQ :

    3.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 3.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)

    3.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 3.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)

    3.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 3.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)

    m

    7

    5

    5

    3

    1 9

    )5,5(m

  • 4.-Determine la medida del trazo PQ

    4.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 4.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)

    4.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 4.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)

    4.5.- P=(-2,-6) y Q=