Determinación de la inclinación y la pendiente

·La inclinación se puede determinar por simple inspección cuando la pendiente de la recta

tiene algunos valores particulares.

Si la Inclinación es 45|: Se determina a partir de un

cuadrado

m= 1a

a y la inclinación es entonces: α=45

si la inclinación es de 135|. Entonces la pendiente m=-1

En la figura,

Para 30° . la pendiente es

m= 3

31

3

3*

3

1

3

a

a

la pendiente para 60° es entonces : 3

Se deduce también que la pendiente de 120° es: - 3

Resumen:

m=1=α=45º

m=-1, si α=135º

m= 33

1, si α=30º

m=- 33

1 , si α=150º

m= 3 si α=60º

m=- 3 , si α=120º

Obs:

1.- Lo valores de las pendientes para ángulos de múltiplos de 15| , se pueden determinar también

por simple inspección.

2.-Solo con estos valores se pueden determinar los parámetros de la pendiente y la inclinación por

simple inspección

Problemas de Aplicación:

1) si la pendiente de una recta es - 3 ¿Cuál es su inclinación?

R- 120º

2) si la pendiente de una recta es m=332

332

¿Cuál es la inclinación?

R- 45º

3) ¿Cuál es la inclinación de la bisectriz del primer y tercer cuadrante?

R- 45º

4) ¿Cuánto vale la pendiente de la bisectriz?

R- 1

5) ¿Cuánto vale la pendiente de la bisectriz del 2 y 4 cuadrante?

R- -1

6) En las figuras ¿Cuánto vale la pendiente de cada una de las rectas?

Calcule la inclinación y pendiente de la recta que pasa por los puntos.

1- P (1,4) Q (3,6) 2- P (-1,4) Q (-5,0)

3- P (1+√3,2) Q (1,1) 4- P (5, 3+2√3) Q (3,-3)

5- P (-7,1) Q (4, 1+11√3) 6- P (2,5) Q (-3,0)

7- P (2√2,-2√2) Q (3√2,-√2) 8- P (4-5√3,2) Q (4-2√3,-1)

9- P (1,3+4√3) Q (-5,3-2√3) 10- P (0,√3) Q (1,0)

11- P (-√3,0) Q (0,1) 12- P (0,4) Q (4√3,0)

Respuestas:

1- m=1 ℓ=45° 2- m=1 ℓ=45° 3- 4- m=√3 ℓ=60°

5- m=√3 ℓ=60° 6- m=1 ℓ=45° 7- m=1 ℓ=45° 8- m=√3 ℓ=60°

9- m=√3 ℓ=60° 10- m=√3 ℓ=120° 11- m=√3 ℓ=30° 12-m=⅓√3 ℓ=30°

En cada grafico determine la pendiente y la inclinación.

Respuestas:

1. m=1 ℓ=45° 2. m=⅓√3 ℓ=30° 3. m=1 ℓ=45° 4. m=0,65 ℓ=33°

5. m= ℓ= 6. m = ℓ=

Con calculadora científica:

1. P (2,3) Q (5,8) 2. P (-2,4) Q(3,7) 3. P (-2,1) Q (4,-9)

4. P (2,-3) Q(-1,7) 5. P ( 8,6) Q (-4,1)

Determinación de la ecuación de la recta:

Hay distintas métodos para determinar la ecuación de la recta.

1º caso:.

Se conoce la pendiente y un punto contenido en la recta.

Ej.1

1.- Escribir la ecuación de la recta cuya pendiente se

indica y que contiene el punto Po

M: 9 y Po: (6.4)

Y= mx + b

¿b?

Si P (6.4) Є L satisface

la ecuación

Po ( 6.4 ) Є L Y = 9x + b

4= 9 · 6 + b

4= 54 + b Forma general

b= -50

Y= 9x – 50

9x –y – 50 = 0

Ax + By + C = 0

3x + 4y +2= 0

Forma particular

Ejemplo 2:

m= -¾ y Po (-2.1)

Y= -3/4 + b

1= -3/4 · - 2 +b

1= 3/2 + b

B= 1 – 3/2

B= -1/2

Y= -3/4x – ½ F.P. /·4

4y = -3x – 2

Ejercicios:

1. m = ½ ; Po = (2.-3) 2. m = -3/5 ; Po = (-1.5) 3. m = 6 ; Po = (3.-2) 4. m = -4 ; Po = (4.-1/5) 5. m = 2/7 ; Po = (0.4) 6. m = ¾ ; Po = (1/2 . 1/3)

Respuestas:

1. F.P.: Y = 1 /2x + -4 F.G.:1x-8-2y = 0 2. F.P: Y = -3/5x + 22/5 F.G.: 3x + 5y – 22 = 0 3. F.P.: Y = 6x – 20 F.G.: 3x + 5y – 22 = 0 4. F.P.: Y = -4x + 79/5 F.G.: 20x + 5y – 79 =0 5. F.P.: Y = 2/7x + 4 F.G.: 2x – 7y + 28 = 0 6. F.P.: Y = 3/5x + 1/30 F.G.: 18x – 30y + 1 = 0

2º caso:

Dado la inclinación y un punto contenido en la recta.

Si = 120º ^ P (2,-1) -1= -√3 · 2 + b

M = - 3 ^ P (2,-1) b = 2√3 – 1

Y = - 3 + b

-1= 3.2+b

b=2 3 − 1

Por lo tanto la ecuación es: y= 3 x+2 3 , que escrita en la forma general: : 3 x-y +2 3=0

Inclinación m

45º 1

135º -1

30º 1/3 √3

60º √3

120º - √3

150º -1/3 √3

Ejercicios de aplicación:

Escriba la ecuación de la recta dada la inclinación y el punto contenido en ella.(grafique)

1. Y = 300º ; P = (1 , √3) 2. Y = 45º ; P = (√3,0) 3. Y = 150º ; P = (1,-2) 4. Y = 210º ; P = (1, 1) 5. Y= 330º ; P = (-√3, 2) 6. Y = 240º ; P = (0, 4)

Ecuación Canónica de la recta.

Tag φ = 12 yy = y

12 xx x

1y

2y

y

x1x 2x

12 yy

12 xx

1P

2P

o

Tag φ = m

12

12

yx

yy

=

1

m

Si 2P =(x,y)

1P = ),( 00 yx

10

0 m

xx

yy

)( 00 xxmyy Ecuación Canónica.

Considere los puntos:

P(4,5) Q(10,1)

1) ecuación de la recta que contiene los puntos P y Q.

Forma Canónica:

P(4,5) Q(10,1)

3

2

6

4

104

15

m

02332

82153

3/3

8

3

25

)4(3

25

)5,4(,3

20

yx

xy

xy

xy

Pm

Comprobación:

02332..

3

23

3

201

3

20

103

2

3

2

)1,10(;3

2

yxGF

b

b

by

by

bxy

Qm

Distancia entre dos puntos en 2

Pitágoras:

dAB= 22 )())( yx

Ejemplo de aplicación

4

4

1

5

10

P

Q

d

6

52

1636

d

d

52

1636

)4(6

)51()410(

)1,10(

)5,4(

22

22

PQ

PQ

PQ

PQ

Q

P

Dado: A(-2,3) D(6,3) C(4,6) B(1,-5)

1) Calcule el perímetro del cuadrilátero. 2) Determine la ecuación de las diagonales del cuadrilátero.

Método: Gráfico.

85

2564

58 22

BD

BD

BD

13

94

32 22

CD

CD

CD

45

936

36 22

CA

CA

CA

73

964

38 22

AB

AB

AB

12

3A

6

D

4

6 C

5

8

5

85

13

2

3

6

3 45

3

738

Perímetro:

u2,28

7,66,34,95,8

45138973

Método: Analítico: (después de graficar, se definen los trazos).

BDd

b

ACc

a

)3,6(

)5,1(

)6,4(

)3,2(

ABb

a

CDd

c

)5,1(

)3,2(

)3,6(

)6,4(

73649)8()3(

1394)3()2(

896425)8()5(

45936)3()6(

22

22

22

22

AB

CD

BD

AC

Punto medio de un trazo en 2 .

1xxm

1yym 1

12 xx

12 yy 2

),(

2

22

2

1

2

1

21

21

112

12

1

12

1

yxm

xx

m

xxx

xxx

xxxx

yy

yy

xx

xx

m

m

m

m

m

m

P

Q

1x 2x

1y

2y

mmy

mx

qmpm

),( xm yxm

1yym

12 yy

12 xx 1xxm

P

Q

m

Ejemplo de aplicación.

Ejercicios de aplicación:

1.- Determine el punto medio de cada trazo cuyas coordenadas extremas se indican:

1.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 1.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)

1.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 1.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)

1.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 1.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)

2.- Escriba la ecuación de la recta que contiene los puntos P y Q :

2.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 2.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)

2.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 2.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)

2.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 2.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)

3.- Escriba la ecuación de la simetral al trazo PQ :

3.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 3.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)

3.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 3.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)

3.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 3.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)

m

7

5

5

3

1 9

)5,5(m

4.-Determine la medida del trazo PQ

4.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 4.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)

4.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 4.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)

4.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 4.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)

5.-Calcule el perímetro de cada uno de los polígonos que se indican:

5.1.- A(2,3), B(-3,-6) y C(4,7) 5.2.- A(2,6), B(-1,-10) y C(3,5)

5.3.- A(-2,3), B(3,-6) y C(4,7) 5.4.- A(-5.5), B(-3,-6) C(2,7) y D(8,2)

5.5.- A(2,6), B(-2,6) C(4,-3) y D(9,3)

6.- Determine el área de cada uno de los polígonos cuyos vértices se indican:

6.1.- A(2,3), B(-3,-6) y C(4,7) 6.2.- A(2,6), B(-1,-10) y C(3,5)

6.3.- A(-2,3), B(3,-6) y C(4,7) 6.4.- A(-5.5), B(-3,-6) C(2,7) y D(8,2)

6.5.- A(2,6), B(-2,6) C(4,-3) y D(9,3)