INTEGRALE DEFINITO

Curva γ di equazione y = f(x) continua nell’interv. a-b.

C

D

Ci proponiamo di calcolare l’area del trapezoide mistilineo ABCD.A tale scopo dividiamo l’intervallo (a,b) in un certo numero n di partieguali e, detta h = b-a l’ampiezza comune di ciascuna di queste parti,……… n

A B

C

D

a bh

A B

C

D

a bh

…consideriamo la seguente somma: sn = m1h + m2h + m3h + …..mnh,dove mi indica il minimo della f(x) nell’iesimo intervallo.

m11°

m2

2°

m3

3°

mn

A B

C

D

a bh

…la somma: sn = m1h + m2h + m3h + …..mnh, rappresenta la superficie approssimata per difetto del trapezoide ABCD

m11°

m2

2°

m3

3°

mn

A B

C

D

a bh

…mentre la somma:Sn = M1h + M2h + M3h…+ Mnh, dove Mi rap == presenta il massimo della funzione f(x) nell’iesimo intervallo…

M1

1°

M2

2°

M3

3°

A B

C

D

a bh

…rappresenta un approssimazione per eccesso dell’area dello stessotrapezoide.

M1

1°

M2

2°

M3

3°

Se aumentiamo il numero n di parti eguali in cui dividiamo l’intervallo(a,b) l’ampiezza h = b-a di ciascun intervallino diminuisce n

A B

C

D

a bh

Se adesso rifacciamo la somma sn = m1h + m2h + m3h + …..mnh otteniamo la superficie del trapezzoide per difetto ma con una appros ==simazione migliore della precedente

A B

C

D

a bh

.. Analogamente se calcoliamo la Sn = M1h + M2h + M3h…+ Mnh,otteniamo la superficie del trapezzoide per eccesso ma con una appros ==simazione migliore della precedente. Se esiste un numero S da definirsicome area del trapezzoide dovrà essere: sn < S < Sn

A B

C

D

a bh

Al crescere di n, sn aumenta e Sn diminuisce, ma pern + ∞ possiamo scrivere: cioè il valore limite che assume=lim sn = lim Sn = S ranno le due superfici per nn ∞ n ∞ tendente all’infinito è la superf. del trapezzoide

Un modo equivalente per rappresentare l’ultima relazione è:

S = ∫ f(x) dx dove il simbolo ∫ (integrale) rappresenta la

sommatoria nell’intervallo (a,b) della funzione per incrementiinfinitesimi (dx) della variabile indipendente (dx prende il posto di h quando n ∞).

a

b

y = x^2

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6

x

y y

Significato geometrico di integrale definito

Equazione: y = x2

y

x

x y

0 0

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

Equazione integrata:

y = 0∫ x2 dx = = 1.x3 5

= 3= [1. 53 – 1 .03] = 3 3= 125 = 41,6 3

Unità di superficie

5

0

y = x^2

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6

x

y y

Significato geometrico di integrale definito

Equazione: y = x2

y

x

x y

0 0

1 1

2 4

3 9

Equazione integrata:

y = 0∫ x2 dx = = [1.x3]3

0 = 3= [1. 33 – 1 .03] = 3 3= 27 = 9 3

Unità di superficie

3

x.y = 20

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

x

y Serie1y

x

Equazione : y = 20 = 20 1 x x

x y

1 20

2 10

3 6,6

4 5

5 4

6 3,3

7 2,8

8 2,5

9 2,2

10 2

…… ……

equazione integrata:

y = 20 1∫1 dx = x= 20 [lnx]10

1 = 20 [ln10 –ln1] =46

10

L’impiego del calcolo integrale, ove possibile, comporta un notevole risparmio di tempo e un ottimo grado di precisione.