CURVAS y glaroton/Curvas-y-Superficies_Larotonda... 1 Curvas Todo el mundo sabe lo que es una curva,...

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  • ISSN xxxx-xxxx

    Xxxx

    Xxxx x

    Gabriel Larotonda & Alejandro Varela

    CURVAS y SUPERFICIES

    GEOMETRÍA

    ANÁLISIS

    CURVAS Y

    SUPERF.

    ECUACIONES DE

    MOVIMIENTO

    L(γs ) =∫ ‖γ′s‖

    Pγ (γ′′ ) = 0

    GEODÉ SICAS

    curvatura

    ‖DfpV ‖ = ‖V ‖

    κV (p)

    K(p) = κ1κ2

    FÍSICA ÁLGEBRA

    xxxxxxxxxx

    xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

    XXXXXXXX 2018

  • Índice general

    Índice general iii

    1. Curvas 1

    1.1. Parametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2. Reparametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2.1. Parametrización por longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2.2. Rectificación (de un arco) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.3. Unicidad de curvas cortas (minimizantes) en el espacio Euclídeo . . . . . 16

    1.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2. Curvatura: curvas planas 19

    2.1. Círculo osculador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.1.1. Orientación, área orientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.1.2. Curvatura orientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.2. Movimientos, invariantes completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.2.1. La curvatura como invariante completo . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3. Curvatura y torsión: curvas espaciales 35

    3.1. Curvatura y plano osculador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3.1.1. Área y Volumen orientado en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3.1.2. Curvatura y Torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.1.3. La torsión de una curva regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.2. Triedro de Frenet, invariantes completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    4. Superficies 51

    4.1. Espacio tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

  • iv ÍNDICE GENERAL

    4.2. Funciones en superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    4.2.1. Campos vectoriales en superficies y flujo de un campo . . . . . . . 57

    4.2.2. Normal, área, integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4.3. Primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    4.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    5. Geodésicas y función exponencial 67

    5.1. Curvas sin aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    5.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    5.2. Cálculo de geodésicas en una parametrización . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    5.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    5.3. Distancia intrínseca y curvas minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    5.3.1. Fórmula de la primer variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    5.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    5.4. Minimalidad local de las geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    5.5. Teoremas de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    6. Curvatura 105

    6.1. Curvaturas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    6.1.1. Mapa de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    6.2. Curvatura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    6.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    6.3. Cálculo de la curvatura en una parametrización . . . . . . . . . . . . . . . 117

    6.3.1. Segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    6.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    6.4. Isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    6.5. El Teorema Egregio de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    6.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    6.6. Formas espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    6.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    7. Geometría Riemanniana 143

    7.1. Métricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    7.1.1. Distancia y derivada métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

  • ÍNDICE GENERAL v

    7.2. Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    7.2.1. Fórmula de la primer variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    7.3. Transporte paralelo e isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    7.3.1. Isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    7.4. El tensor de curvatura y campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    7.4.1. Campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

    7.4.2. Campos de Jacobi versus exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    7.4.3. El lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

    7.4.4. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

    7.5. Minimalidad local de las geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    7.5.1. Variedades planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

    7.6. El espacio hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

    7.7. Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

    7.7.1. Curvatura no positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

    Bibliografía 171

  • vi ÍNDICE GENERAL

  • 1 Curvas

    Todo el mundo sabe lo que es una curva, hasta que estudia suficiente matemática como para confundirse con la innumerable cantidad de posibles excepciones.

    Felix Klein

    1.1. Parametrizaciones

    En esta primer parte del texto, estudiaremos la geometría de las curvas planas y espaciales. Nos concentraremos en una clase especial de curvas, las llamadas curvas regulares, que definimos formalmente a continuación. Estas definiciones nos van a per- mitir incluir en nuestras consideraciones, curvas que no son necesariamente suaves en su trazo, pero si continuas y con puntos “no demasiado malos” donde no sean suaves.

    C = im(α)

    α(a)

    α(b)

    Figura 1.1: Curva regular C ⊂Rn

    Definición 1.1.1. Dado un conjunto C ⊂Rn, decimos que

    1. α : [a,b] → Rn es una parametrización de C si α es una función continua y la imagen de α coincide con C, es decir Im(α) = C. En general consideraremos asig- naciones α inyectivas en (a,b). En este caso decimos que C es una curva continua.

    https://es.wikipedia.org/wiki/Curva

  • 2 Curvas

    2. La parametrización es suave si α es de clase C1, esto es si α(t) = (x(t), y(t)) en- tonces x,y son funciones de clase C1 en (a,b) y existen los límites laterales de las derivadas en a,b. En este caso decimos que C es una curva suave.

    3. La parametrización es regular si además de ser suave, se verifica que α′(t) no es el vector nulo para todo t ∈ (a,b) (equivalente a que ‖α′(t)‖ , 0). En este caso decimos que C es una curva regular.

    4. Si decimos que α es regular a trozos, nos referimos a que la regularidad se verifica en todo [a,b] exceptuando, tal vez, un conjunto finito de puntos ti ∈ [a,b].

    Figura 1.2: Vector tangente a la parametrización α en el punto P = α(t0). Se muestran los vectores y sus trasladados al punto α(t0).

    Definición 1.1.2. Dada una parametrización regular α : [a,b] → Rn, llamaremos a α′(t0) el vector tangente a α en el punto α(t0), para t0 ∈ [a,b]. La interpretación geo- métrica en la Figura 1.2 utiliza que

    α′(t0) = lı́m h→0

    1 h

    ( α(t0 + h)−α(t0)

    ) .

  • 1.1 Parametrizaciones 3

    Observación 1.1.3. Al vector tangente α′(t0) también se lo suele denominar vector ve- locidad. El sentido de este vector depende de la orientacón de la parametrización α y su longitud ‖α′(t0)‖ de la rapidez a la que se recorre la curva. De hecho, a la longitud ‖α′(t0)‖ se la suele llamar rapidez de la parametrización α en α(t0).

    α(ti−1)

    α(ti)

    α(ti+1)

    α′(t+i−1)

    α′(t+i )

    α′(t−i )

    α′(t−i+1)

    Figura 1.3: Cur