Series de potencias - Universidad de Chile · 2019-03-11 · Series numéricas Semana 15 [15/23]...

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Semana 15 [1/23] Series de potencias November 10, 2007 Series de potencias

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Semana 15 [1/23]

Series de potencias

November 10, 2007

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [2/23]

Definiciones

Serie de potenciasUna serie de potencias es una serie en donde el término general es de laforma ak (x − α)k .

Nos concentraremos en el caso α = 0.

Ejemplo: ∑xk .

Series de potencias

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Definiciones

Serie de potenciasUna serie de potencias es una serie en donde el término general es de laforma ak (x − α)k .

Nos concentraremos en el caso α = 0.

Ejemplo: ∑xk .

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [4/23]

Definiciones

Serie de potenciasUna serie de potencias es una serie en donde el término general es de laforma ak (x − α)k .

Nos concentraremos en el caso α = 0.

Ejemplo: ∑xk .

Series de potencias

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Definiciones

ProposiciónSi la serie

∑akxk

0 converge, se tiene que para cada a ∈ (0, |x0|) y para todox ∈ [−a, a] la serie

∑akxk converge absolutamente.

Series de potencias

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Radio e intervalo de convergencia

Radio de convergenciaAl valor

R = sup{

x0 :∑

akxk0 < +∞

},

lo llamaremos el radio de convergencia de la serie de potencias∑

akxk .

Este valor es finito si existe algún x para el cual la serie∑

akxk diverge yvale +∞ en otro caso.

Una forma de calcular R:1R

= lim |an|1n .

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [7/23]

Radio e intervalo de convergencia

Radio de convergenciaAl valor

R = sup{

x0 :∑

akxk0 < +∞

},

lo llamaremos el radio de convergencia de la serie de potencias∑

akxk .

Este valor es finito si existe algún x para el cual la serie∑

akxk diverge yvale +∞ en otro caso.

Una forma de calcular R:1R

= lim |an|1n .

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [8/23]

Radio e intervalo de convergencia

Radio de convergenciaAl valor

R = sup{

x0 :∑

akxk0 < +∞

},

lo llamaremos el radio de convergencia de la serie de potencias∑

akxk .

Este valor es finito si existe algún x para el cual la serie∑

akxk diverge yvale +∞ en otro caso.

Una forma de calcular R:1R

= lim |an|1n .

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [9/23]

Radio e intervalo de convergencia

Intervalo de convergenciaLlamamos intervalo de convergencia I al conjunto de reales x para loscuales la serie

∑akxk converge. Tenemos que (−R, R) ⊆ I ⊆ [−R, R].

Series de potencias

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Integración y derivación

Dada una serie de potencias∑

akxk con intervalo de convergencia I,podemos definir:

f : I −→ R

x 7−→ f (x) =∑

akxk = limn→∞

n∑k=0

akxk .

TeoremaSea

∑akxk una serie de potencias con radio de convergencia mayor que

cero.

La función f asociada es continua en int(Dom f ).

Con esto, f es integrable.

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [11/23]

Integración y derivación

Dada una serie de potencias∑

akxk con intervalo de convergencia I,podemos definir:

f : I −→ R

x 7−→ f (x) =∑

akxk = limn→∞

n∑k=0

akxk .

TeoremaSea

∑akxk una serie de potencias con radio de convergencia mayor que

cero.

La función f asociada es continua en int(Dom f ).

Con esto, f es integrable.

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [12/23]

Integración y derivación

Dada una serie de potencias∑

akxk con intervalo de convergencia I,podemos definir:

f : I −→ R

x 7−→ f (x) =∑

akxk = limn→∞

n∑k=0

akxk .

TeoremaSea

∑akxk una serie de potencias con radio de convergencia mayor que

cero.

La función f asociada es continua en int(Dom f ).

Con esto, f es integrable.

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [13/23]

Integración y derivación

Dada una serie de potencias∑

akxk con intervalo de convergencia I,podemos definir:

f : I −→ R

x 7−→ f (x) =∑

akxk = limn→∞

n∑k=0

akxk .

TeoremaSea

∑akxk una serie de potencias con radio de convergencia mayor que

cero.

La función f asociada es continua en int(Dom f ).

Con esto, f es integrable.

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [14/23]

Integración y derivación

Dada una serie de potencias∑

akxk con intervalo de convergencia I,podemos definir:

f : I −→ R

x 7−→ f (x) =∑

akxk = limn→∞

n∑k=0

akxk .

TeoremaSea

∑akxk una serie de potencias con radio de convergencia mayor que

cero.

La función f asociada es continua en int(Dom f ).

Con esto, f es integrable.

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [15/23]

Integración y derivación

TeoremaSea

∑akxk una serie de potencias de radio de convergencia R > 0.

Entonces para todo p ∈ Z, la serie∑kpakxk

tiene radio de convergencia R.

ObservaciónGracias a este último resultado, si

∑akxk tiene radio de convergencia

R > 0, entonces ∑ akxk+1

k + 1tiene también radio de convergencia R > 0.

Lo mismo sucede para la serie de potencias∑

k≥1 kakxk−1.

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [16/23]

Integración y derivación

TeoremaSea

∑akxk una serie de potencias de radio de convergencia R > 0.

Entonces para todo p ∈ Z, la serie∑kpakxk

tiene radio de convergencia R.

ObservaciónGracias a este último resultado, si

∑akxk tiene radio de convergencia

R > 0, entonces ∑ akxk+1

k + 1tiene también radio de convergencia R > 0.

Lo mismo sucede para la serie de potencias∑

k≥1 kakxk−1.

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [17/23]

Integración y derivación

TeoremaSea

∑akxk una serie de potencias de radio de convergencia R > 0.

Entonces para todo p ∈ Z, la serie∑kpakxk

tiene radio de convergencia R.

ObservaciónGracias a este último resultado, si

∑akxk tiene radio de convergencia

R > 0, entonces ∑ akxk+1

k + 1tiene también radio de convergencia R > 0.

Lo mismo sucede para la serie de potencias∑

k≥1 kakxk−1.

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [18/23]

Integración y derivación

TeoremaSea

∑akxk una serie de potencias de radio de convergencia R > 0.

Entonces para todo p ∈ Z, la serie∑kpakxk

tiene radio de convergencia R.

ObservaciónGracias a este último resultado, si

∑akxk tiene radio de convergencia

R > 0, entonces ∑ akxk+1

k + 1tiene también radio de convergencia R > 0.

Lo mismo sucede para la serie de potencias∑

k≥1 kakxk−1.

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [19/23]

Integración y derivación

TeoremaSea

∑akxk una serie de potencias, con radio de convergencia R > 0.

La función f es integrable en (−R, R) y

∀x ∈ (−R, R),

∫ x

0f (t)dt =

∫ x

0(∑

ak tk)dt =∑ akxk+1

k + 1.

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [20/23]

Integración y derivación

TeoremaSea

∑akxk una serie de potencias, con radio de convergencia R > 0.

La función f es integrable en (−R, R) y

∀x ∈ (−R, R),

∫ x

0f (t)dt =

∫ x

0(∑

ak tk)dt =∑ akxk+1

k + 1.

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [21/23]

Integración y derivación

TeoremaSea

∑akxk una serie de potencias, con radio de convergencia R > 0.

La función f es derivable en (−R, R) y

∀x ∈ (−R, R), f ′(x) =∑k≥1

kakxk−1.

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [22/23]

Integración y derivación

TeoremaSea

∑akxk una serie de potencias, con radio de convergencia R > 0.

La función f es derivable en (−R, R) y

∀x ∈ (−R, R), f ′(x) =∑k≥1

kakxk−1.

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [23/23]

Álgebra de series de potencias

TeoremaDadas dos series de potencias

∑akxk y

∑bkxk convergentes para x0.

Entonces la serie∑

(ak + bk) xk converge para todo x ∈ (− |x0| , |x0|) y setiene que ∑

(ak + bk) xk =∑

akxk +∑

bkxk .

Además, si ck =∑k ajbk−j la serie

∑ckxk converge para todo

x ∈ (− |x0| , |x0|) y se tiene que∑ckxk =

(∑akxk

) (∑bkxk

).

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [24/23]

Álgebra de series de potencias

TeoremaDadas dos series de potencias

∑akxk y

∑bkxk convergentes para x0.

Entonces la serie∑

(ak + bk) xk converge para todo x ∈ (− |x0| , |x0|) y setiene que ∑

(ak + bk) xk =∑

akxk +∑

bkxk .

Además, si ck =∑k ajbk−j la serie

∑ckxk converge para todo

x ∈ (− |x0| , |x0|) y se tiene que∑ckxk =

(∑akxk

) (∑bkxk

).

Series de potencias

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Series numéricas Semana 15 [25/23]

Álgebra de series de potencias

TeoremaDadas dos series de potencias

∑akxk y

∑bkxk convergentes para x0.

Entonces la serie∑

(ak + bk) xk converge para todo x ∈ (− |x0| , |x0|) y setiene que ∑

(ak + bk) xk =∑

akxk +∑

bkxk .

Además, si ck =∑k ajbk−j la serie

∑ckxk converge para todo

x ∈ (− |x0| , |x0|) y se tiene que∑ckxk =

(∑akxk

) (∑bkxk

).

Series de potencias