IADECiência Aplicada ao Design 2009/10

Exercícios para a 2a Frequência

Constantes: c = 3× 108 m/scW = 2,9× 10−3 K m

Radiação e Temperatura

Lei de Wien:λMT = cW

1. Coloca as seguintes «cores» por ordem crescente de energia/frequência:

� a) UV � b) amarelo� c) IV � d) verde

2. O Sol tem um pico de emissão de radiação em λM = 550 nm. A quetemperatura está a superfície do Sol?

Resposta:

550× 10−9 × T = 2,9× 10−3 ⇐⇒ T = 5273 K.

3. Mostre que a temperatura de uma chama azul (λM = 350 nm) é supe-rior à de uma chama vermelha (λM = 650 nm).

Resposta:

Seja Ta a temperatura da chama azul e Tv a da chama vermelha. Então:

350× 10−9 × Ta = 2,9× 10−3 ⇐⇒ Ta = 8286 K

e650× 10−9 × Tv = 2,9× 10−3 ⇐⇒ Tv = 4461 K.

Logo, Ta > Tv.

4. A que comprimento de onda emite o corpo humano radiação?

Resposta:

cw = λMT

2,9× 10−3 = λM (273 + 36,5)

λM =2,9× 10−3

273 + 36, 5= 9,37× 10−6 m

1

Visão e Cor

5. Compara os três espectros de radiação visível mais comuns: Sol, luzde incandescência (vela, lâmpadas, etc) e luz de fluorescência.

Resposta:

O espectro solar está uniformemente distribuído entre o vermelho e ovioleta, com um pouco de mais intensidade no amarelo. O espectrode incandescência tem muita intensidade nos vermelhos e laranjas ebastante menos nos verdes, azuis e violetas. A luz fluorescente tempicos de descontinuidade na emissão dos comprimentos de onda verdese azuis.

6. Tristímulo é:� a) serem necessários três comp. de onda em simultâneo para

dar uma sensação de côr;� b) serem necessários três comp. de onda em sequência para dar

uma sensação de côr;� c) qualquer sensação de côr pode ser reproduzida com três es-

tímulos visuais;� d) qualquer radiação invisível é o resultado da mistura de três

estímulos visuais.

7. Metamerismo é:� a) a mesma sensação de côr pode ser produzida por dois espec-

tros de luz diferentes;� b) ser preciso três cores para ter uma luz visível;� c) o que se vê para além da luz visível;� d) o efeito que o UV tem na pele.

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8. Indica quais os espaços de côr dependentes (D) e independentes (I) dodispositivo de reprodução:

� a) RGB � b) Lab � c) XYZ� d) CMY � e) HSV � f) Pantone

9. No espaço de côr XYZ, o que representa o Y?� a) intensidade � b) amarelo� c) largura � d) comp. de onda

10. Representa geometricamente os espaços de côr RGB e CMY, assina-lando o que aches importante.

Resposta:

11. Representa geometricamente o espaço de côr HSV, assinalando o queaches importante.

Resposta:

3

12. Desenha o diagrama de cromacidade xy e representa nele os seguintesitens: a) o branco, b) duas cores complementares, c) um espaço RGB,d) um espaço CMY, e) a linha do magenta, f) a posição aproximadadas 7 cores do arco-iris.

Resposta:

a)

b)

b)

c)

d)

e)azul

violeta

verde

magenta

vermelho

amarelo

cião

Relatividade

Equações importantes:

Adição das velocidades de Galileu: v = v′ + u

Adição das velocidades de Lorentz: v =v′ + u

1 + v′uc2

Dilatação dos tempos: ∆t =∆t′√1− u2

c2

13. Uma nave desloca-se à velocidade de u = 0,9c em relação ao planetaX. Qual a velocidade da luz emitida pelos faróis da nave em relação aesse planeta

4

(a) segundo a Relatividade Clássica?� a) v = 0,9c � b) v = c� c) v = 1,9c � d) v = 0 m/s.

(b) segundo a Relatividade Restrita?� a) v = 0,9c � b) v = c� c) v = 1,9c � d) v = 0 m/s.

14. Um neutrão em repouso decai num protão, num electrão e num neu-trino ao fim de 11min. Ao fim de quanto tempo se dará este decaimentose o neutrão estiver à velocidade de 0,5c?

Resposta:

Dilatação dos tempos:

∆t =∆t′√1− u2

c2

=11√

1− (0,5c)2

c2

=11√

1− 0,25= 12,7 min.

15. Enuncia o paradoxo dos gémeos. Apresenta a sua solução com seguinteexemplo: segundo o gémeo na Terra, o seu irmão viajou durante 10anos à velocidade de 0,8c.

Resposta:

Enunciado:

O paradoxo dos gémeos consiste no seguinte raciocínio: Um de doisgémeos faz uma viagem espacial numa nave a uma velocidade próximada da luz, enquanto que o seu irmão fica na Terra. Designemos por Ao gémeo que viaja e por T o que fica na Terra. Para o gémeo que ficouna Terra (T ), o seu irmão A envelheceu menos, devido à contracçãodos tempos:

∆t =∆t′√1− u2

c2

.

(Nota que ∆t′ é o tempo que passou na nave do ponto de vista daTerra e que u é a velocidade da nave em relação à Terra.)

No entanto, o gémeo que viajou (A) pode afirmar que ele é que esteveimóvel e que o irmão na Terra (T ) é que se afastou e aproximou. Se-gundo este gémeo A, foi irmão T que sofreu a contracção dos tempose que envelheceu menos. Tem-se novamente

∆t =∆t′√1− u2

c2

,

5

mas agora ∆t′ é o tempo que passou na Terra do ponto de vista danave e u é a velocidade da Terra em relação à nave (portanto, simétricoda velocidade anterior).

Temos assim um paradoxo: segundo T , A está mais novo; segundo A,é T quem está mais novo. Afinal, quem tem razão?

Resolução:

Este é um paradoxo falso. Os gémeos não estão em situações simétricas.Para que os gémeos se encontrem e possam comparar as idades, umterá que voltar para trás. Nesse momento de mudança de direcção, iránotar a desaceleração e a aceleração, e a simetria fica quebrada.

Existem assim 3 pontos de vista inérciais: o do gémeo na Terra (T ), odo gémeo na nave (A) durante a viagem de ida e o do gémeo da navedurante a viagem de regresso. Com os dados do enunciado, podemosfazer os seguintes cálculos:

Gémeo na Terra (T ): O meu irmão A viajou 5 anos para lá e 5 anospara cá. A distância máxima que esteve foi:

u =∆x′

∆t⇐⇒ 0,8c =

∆x′

5⇐⇒ ∆x′ = 5× 0,8c = 4c = 4 anos-luz

Para mim, o tempo na nave do meu irmão gémeo passou maisdevagar:

∆t =∆t′√1− u2

c2

⇐⇒ 10 =∆t′√

1− (0,8c)2

c2

⇐⇒ ∆t′ = 10√

1− 0,64 = 6 anos.

Portanto o meu irmão A afastou-se da Terra durante 5 anos àvelocidade de 0,8c, ficando a 4 anos-luz. Depois voltou com amesma velocidade e demorou os mesmos 5 anos. Dentro da navepassou apenas 6 anos (3 anos na ida e 3 anos no regresso).

Gémeo na nave (A): Eu vi a Terra a afastar-se de mim à velocidadede 0,8c durante os primeiros 3 anos e depois a aproximar-se demim com a mesma velocidade durante outros 3 anos. Enquantonos afastámos, notei que na Terra o tempo passou mais devagar:

∆t =∆t′√1− u2

c2

⇐⇒ 3 =∆t′√

1− (0,8c)2

c2

⇐⇒ ∆t′ = 3√

1− 0,64 = 1,8 anos.

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Pode parecer então que, para o gémeo na nave, passam apenas 2 ×1,8 = 3,6 anos na Terra. No entanto, durante a viagem de regresso ogémeo da nave não pode acrescentar que na Terra o tempo passa maisdevagar, devido à dilatação dos tempos. Esta dilatação só é verificadana primeira parte do movimento, enquanto a Terra se afasta da nave.Na segunda parte, quando a Terra se aproxima da nave, a simetriaé finalmente quebrada e o gémeo A vê o gémeo T a envelhecer muitomais depressa que ele, até se obter o resultado de 10 anos para o gémeoT .

16. A figura seguinte representa o diagrama espaço-tempo de um aconte-cimento A. Coloca nesse diagrama os seguintes novos acontecimentos:

(a) Um acontecimento que possa ser influenciado por A.(b) Um acontecimento que possa ter influenciado A.(c) Um acontecimento que A não possa influenciar.(d) Um acontecimento que não possa influenciar A.

Resposta:

ct

x

45º

45º A

a)

b)b)

c)c)

d)d)

a)

Modelização

17. Seja H a relação entre a força muscular de uma pulga e o seu peso, istoé, H = F

P . Mostra que, se aumentarmos a pulga 1000× de tamanho,esta relação piora 1000×. (Admite que o peso depende apenas dovolume do corpo, enquanto que a força depende apenas da área dasecção dos “músculos” da pulga.)

Resposta:

Designamos por

H ′ =F ′

P ′

7

a nova relação entre a força muscular e o peso. Como a força dependeda área, esta aumenta 1000 × 1000 = 106×: F ′ = 106F . Por outrolado, como o peso depende do volume (comprimento ao cubo), esteaumenta 109×: P ′ = 109P . Então a nova relação fica:

H ′ =F ′

P ′=

106F

109P=

H

1000.

18. Seja H a relação entre a resistência de uma corda (R) e o seu peso(P ), isto é, H = R

P . Com a corda pendurada na vertical, mostraque aumentar o diâmetro para o dobro, mantendo o comprimento, nãotem influência nesta relação. (Admite que o peso depende apenas dovolume da corda, enquanto que a resistência depende apenas da áreada secção.)

Resposta:

Designamos por

H ′ =R′

P ′

a nova relação entre a resistência da corda e o seu peso. A resistênciadepende da área da secção, que varia com o quadrado do raio: A = πr2.Se o diâmetro aumenta para o dobro, o raio também aumenta para odobro e a área aumenta 22 = 4 vezes: R′ = 4R. Por outro lado, o pesodepende do volume. Como o comprimento da corda não aumentou, só asua espessura, o volume aumenta apenas 22 (e não 23, como aconteceriase o comprimento também tivesse aumentado para o dobro). Assim, opeso aumentará 4 vezes: P ′ = 22P = 4P . Então a nova relação fica:

H ′ =R′

P ′=

4R4P

= H.

19. A resistência de uma raquete é proporcional à área da secção do braçoda raquete. Um modelo de uma nova raquete quebra-se quando sujeitoa uma força de 80 N, e é 10× menor que a raquete real. Qual aresistência da raquete real?

Resposta:

Seja Fm a força a que o modelo resiste, enquanto que Fr é a mesmaforça para a raquete real. Se a raquete real é 10× maior que o modelo,então a área é 102 = 100× maior. Logo a resistência aumenta 100×,passando para 80× 100 = 8000 N.

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20. Calcula a equação da potência do motor de um guindastre (P ), sabendoque depende da velocidade a que consegue elevar massas (v) e da força(F ) que consegue suportar. Nota que:

[F ] = N = Kg m/s2,

[P ] = W = Kg m2/ s3.

Resposta:

Começamos por admitir que a equação da potência do motor será dotipo:

P ∝ FAvB.

Temos que calcular o valor de A e B.

Segundo a nossa hipótese, as unidades da potência serão:

[P ] = [F ]A[v]B

=(

Kg ms2

)A ( ms

)B

=KgA mA

s2A

mB

sB

=KgA mA+B

s2A+B.

Por outro lado, do enunciado sabemos que

[P ] =Kg m2

s3.

Igualando estas duas expressões temos que:A = 1A+B = 22A+B = 3

⇐⇒

{A = 1B = 1.

Ou seja, a equação é:P ∝ Fv.

21. Descobre a fórmula para o cálculo da potência (P ) de uma turbina,admitindo que depende da densidade do ar (d), do raio das pás (r) eda sua velocidade de rotação (v). Lembra que as unidades de potênciasão [P ] = W = Kg m2/ s3 e que as de densidade são [d] = Kg/m3.

9

Resposta:

Começamos por admitir que a equação da potência será do tipo:

P ∝ dArBvC .

Temos que calcular o valor de A, B e C.

Segundo a nossa hipótese, as unidades da potência serão:

[P ] = [d]A[r]B[v]C

=(

Kgm3

)A

mB( m

s

)C

=KgA

m3AmB mC

sC

=KgA m−3A+B+C

sC.

Por outro lado, do enunciado sabemos que

[P ] =Kg m2

s3.

Igualando estas duas expressões temos que:A = 1−3A+B + C = 2C = 3

⇐⇒

A = 1B = 2C = 3.

Ou seja, a equação é:P ∝ d r2v3.

22. Admite que a equação da potência de uma turbina é P = d r2v3.

(a) Quanto aumentará a potência de fizer uma turbina 5× maior?

(b) Fez-se um modelo 5× menor. Quantas vezes mais rápido teráque rodar a turbina do modelo para ter a mesma potência que aturbina real?

Resposta:

Seja Pm = dmr2mv

3m a potência do modelo e Pr = drr

2rv

3r a potência da

turbina real.

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(a) Neste caso, dm = dr, 5rm = rr e vm = vr. Então:

Pr = drr2rv

3r

= dm(5rm)2v3m

= 25(dmr2mv

3m)

= 25Pm.

Aumentará a potência 25×.(b) Neste caso, dm = dr, 5rm = rr e Pm = Pr. Então:

dmr2mv

3m = drr

2rv

3r ⇐⇒dmr

2mv

3m = dm(5rm)2v3

r

⇐⇒v3m = 25v3

r

⇐⇒vm = 3√

25v3r

⇐⇒v3m = 2,9vr.

O modelo terá que rodar 2,9 vezes mais rápido.

23. Qual a expressão para o período T de oscilação de uma mola, sa-bendo que depende da massa m pendurada na mola, da constante deelasticidade K da mola e da aceleração da gravidade g? Nota que[K] = N/m = Kg/s2.

Resposta:

Podemos assumir queT ∝ mAKBgC .

Por outro lado, sabemos que:

[m] = Kg,

[K] = N/m = Kg s−2,

[g] = m s−2

[T ] = s.

Então,

[T ] = KgA(Kg s−2)B(m s−2)C

= KgA KgB s−2B mC s−2C

= KgA+B mC s−2B−2C .

Ora como temos que [T ] = s, podemos escrever:A+B = 0C = 0−2B − 2C = 1

⇐⇒

A = 1

2

C = 0B = −1

2 .

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A expressão final fica então:

T ∝√m

K,

que não depende de g, ao contrário do que era sugerido no enunciado.

24. Construi-se um modelo da suspensão de um carro. As molas do modelotêm uma constante de elasticidade 100× menor que as molas reais ea massa do modelo do carro é 50× menor que a massa do carro real.Qual a relação entre o período das vibrações da suspensão do modeloe do carro real? (Usa a equação da pergunta anterior.)

Resposta:

Temos que

mr = 50mm

Kr = 100Km,

logo,

Tr =√mr

Kr

=√

50mm

100Km

=

√50100

√mm

Km

= 0,71Tm.

Fractais e Caos

25. Quais são as características mais importantes de uma geometria frac-tal?

� a) simplicidade � b) dimensão elevada� c) dimensão fracionária � d) auto-semelhança� e) ser muito colorido � f) complexidade elevada.

26. Quais são as características mais importantes de um sistema caótico?� a) grande dependência das condições iniciais �� b) previsibilidade �� c) imprevisibilidade �� d) evolução para estados conhecidos. �

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27. Calcular a dimensão de Hausdorff das seguintes figuras:� a) curva de Peano � b) triângulo de Sierpinski� c) floco de neve de Koch � d) poeira de Cantor.

Resposta:

A dimensão de Hausdorf é calculada como

N = ID ou D =logNlog I

onde N é o número de cópias e I o factor de zoom. Os cálculos dasalíneas a)–c) foram feitos na aula. A alínea d) consiste numa linha àqual se retira o terço do meio e assim sucessivamente.

Assim, a dimensão de Hausdorff é:

2 = 3D ou D =log 2log 3

= 0,63.

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