Exercícios dos Capítulos 2, 3, 4 e 5

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Ω=++⋅

= k 2016126126

eqR

2.24 (Johnson): Calcule v e i: 16 kΩ

5 kΩ 30 mA 6 kΩ 12 kΩ

i + v -

5 kΩ 30 mA 20 kΩ

+ v -

4 kΩ 30 mA + v -

v = 4 kΩ"# $%⋅30 mA"# $%=120 V"# $%

i1

i2

i3

i1 =120 V!" #$5 kΩ!" #$

= 24 mA!" #$

i2 = ig − i1 = 30− 24 = 6 mA"# $%i = 6

6+12i2 =

66+12

6 = 2 mA!" #$

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2.29 (Johnson):

6 Ω

2 Ω

12 Ω 45 V

4 Ω

i

+ –

6 Ω

2 Ω

4 Ω

3 Ω

3 Ω 6 Ω

12 Ω 45 V + –

6 Ω 2 Ω

2 Ω

[ ]V9663

345 =++

=v

6 Ω

3 Ω 45 V + –

6 Ω

+

v

-

i0

[ ]A31545

0 ==i

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[ ]A4365,4

2 ==i[ ]A43129

1 ==i [ ]A5,135,4==i

6 Ω

2 Ω

12 Ω 45 V

4 Ω

i

+ –

6 Ω

2 Ω

4 Ω

3 Ω

3 Ω

+

9 V

-

i1

i2

+

4,5 V

-

+

4,5 V

- i0

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2.31 (Johnson): Calcule R e i. 8 Ω

10 Ω 30 V i

+ –

2 Ω

R

4 Ω 2 A

1 A

3 A

3 + i

10 Ω 30 V i

+ –

2 Ω

R

32/12 Ω

3 A

3 A

3 + i

3× 3212

+ R"

#$

%

&'=10i

3× 3212

+ R"

#$

%

&'=10×2 ⇒ R = 4Ω3+ i( )×2+10× i = 30 ⇒ i = 2 A#$ %&

+ v - v = 4 ⋅2 = 8 V"# $%

i 8Ω( ) = 88=1 A"# $%

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3.11 (Johnson): Calcule v.

4 Ω 9 V

+

v

-

+ –

2 Ω 3 Ω

18 Ω 6 Ω v1/3 A

+

v1

-

i

[ ]V 624

491 =+

=v [ ]A 34

2718

36

361818

31 =⋅=

++⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=vi

[ ]V 8634

−=⋅−=v

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3.9 (Johnson): Calcule i, se a) R = 6 Ω b) R = 1 Ω

i 4i [V] R 10 cos (2t) [A]

+ –

2 Ω

( ) 2

21

2cos10 iti

iii

−=

+=

( )ti 2cos101 =

i1 i2 v

v = 2i2 + 4× 10cos 2t( )− i2#$

%&= −2i2 + 40cos 2t( )

v = Ri = R 10cos 2t( )− i2"#

$%

R 10cos 2t( )− i2"#

$%= −2i2 + 40cos 2t( ) i2 =

40−10R"# $%cos 2t( )−R+ 2( )

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b) R = 1 Ω

i2 =40−10×1#$ %&cos 2t( )

−1+ 2( )= 30cos 2t( )

a) R = 6 Ω

i2 =40−10×6#$ %&cos 2t( )

−6+ 2( )= 5cos 2t( )

i =10cos 2t( )−5cos 2t( ) = 5cos 2t( )

i =10cos 2t( )−30cos 2t( ) = −20cos 2t( )

Rin =vi1=30cos 2t( )10cos 2t( )

= 3Ω

v =10R 1− 4− R−R+ 2( )

"

#$$

%

&''cos 2t( )

v = 30cos 2t( )

Rin =vi1=−20cos 2t( )10cos 2t( )

= −2Ω

v = −20cos 2t( )

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3.21 (Johnson): Calcule R tal que i = 0,5 A

v = 4 V!" #$

Req =12× R12+ R

+ -

4 V + – R

i 4 Ω v

12 Ω

v1

v1 =Req4+ Req

v =Req4+ Req

4

v1 = Ri

R 12=Req4+ Req

4

R =

12R12+ R

4+ 12R12+ R

×8 = 12R48+ 4R+12R

×8 = 12R6+ 2R

032 =− RR ⇒ R = 0

R = 3Ω

"#$

%$

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v1 v2

4.2 Análise nodal (Johnson):

4 kΩ

6 kΩ 1 mA 2 kΩ 3 mA

6 mA

i

nó v1:

+

nó v2:

6141

41

61

21 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + vv

3621

41

41

21 +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− vv

724 1 =v

[ ]mA4k4218

k421 =

Ω−

=Ω−

=vvi

123 21 −=+− vv⇒

8435 21 =− vv⇒

v1 =18 V!" #$⇒ ⇒ v2 = 2 V!" #$

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v1 v2 v3 v4

4.9 Análise nodal (Johnson):

2 Ω

4 Ω 24 V 4 Ω 8 V

1 A

i

+ –

+ –

4 Ω 4 Ω

v1 = 24 V!" #$

v4 = 8 V!" #$

nó v2:

nó v3:

v214+14+12

!

"#

$

%&− v1

14!

"#$

%&− v3

12!

"#$

%&=1

v314+14+12

!

"#

$

%&− v2

12!

"#$

%&− v4

14!

"#$

%&= −1

⇒ 1216 32 =−− vv ⇒ v2 = 7+

12v3

⇒ v3 −12v2 − 2 = −1 ⇒ v3 =1+

12v2

v2 =10 V!" #$

v3 = 6 V!" #$i =v2 − v32

=10−62

= 2 A"# $%

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v2+v6−v26= 0

5.3) Calcule i usando propriedade de proporcionalidade.

+ -

v1 v2

v 2 kΩ

+ –

6 kΩ 8 kΩ

4cos 4t( )i

i = cos 4t( ) mA!" #$Supor

v = v1

4v = v2

v2 = 8 ⋅ i = 8cos 4t( ) V"# $%

v1 = 2cos 4t( ) i = 2cos 4t( ) mA!" #$

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5.19) Calcule o equivalente de Norton do circuito à esquerda dos terminais a-b

e use o resultado para calcular i.

+ -

vg = 24 V 6 Ω

i

9 Ω

30 Ω 5 Ω

10 Ω

a

b

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105630630

1 =++⋅

=thR

6 Ω

30 Ω 5 Ω

10 Ω

a

b

Rth

[ ]Ω=+⋅

= 510101010

thR

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024101

51

51

101

1 =⋅−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + vvoc

051

30124

51

61

301

1 =−⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ ocvv

+ -

vg = 24 V 6 Ω

30 Ω 5 Ω

10 Ω

a

b

+ voc -

v1

2423 1 =− vvoc

42 1 =− ocvv

242

223 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− oc

ocvv

[ ]V14=ocv[ ]A8,2514

===thoc

sc Rvi

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5 Ω

i

9 Ω 2,8 A

a

b

Equivalente de Norton:

[ ]A 195

58,2 =+

⋅=i

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4.31) Calcule a potência desenvolvida pela fonte de 10 V, usando análise nodal

e de malha.

+ - 10 V 3 Ω

i1

2 Ω

4 Ω 6 Ω

3 A

- +

12i1 V

2v1 A

+ v1 -

ia

id

ib

ic

12vii ba =−

3=di

( ) 16 vii dc =−

1iii da =−

31 += iia

11 23 viib −+=

361 += vicid = 3 A!" #$

0121043 11 =+++ iiia

01021 =−+ civ

i

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0121043 11 =+++ iiia

01021 =−+ civ

( ) 01210433 111 =++++ iii i1 = −1 A"# $%

01036

2 11 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++vv v1 = 3 V!" #$

ia = i1+3= 2 A!" #$

ib = 3+ i1 − 2v1 = 3−1− 2 ⋅3= −4 A#$ %&

ic =v16+3= 3

6+3= 7

2 A!" #$

p = v ⋅ i =10 ⋅ ib − ic( ) =10 ⋅ −4− 72

#

$%

&

'(= −75 W)* +,

O sinal negativo da potência desenvolvida pela fonte de 10 V, significa que ela

fornece potência ao circuito.

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+ - 10 V 3 Ω

i1

2 Ω

4 Ω 6 Ω

3 A

- +

12i1 V

2v1 A

+ v1 -

va vb

( ) 3123110

41

31

41

1 −=−⋅−⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + iva

31061

21

61

=⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +bv

1041 += iva

110 vvb −=vb = 7 V!" #$

i

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4i1+10( ) 712!

"#

$

%&−104+ 4i1 = −3

28i112

+7012

−3012

+48i112

= −3612

i1 = −1 A"# $%

v1 = 3 V!" #$

p = v ⋅ i =10 ⋅ i1 −v16− 2v1

#

$%

&

'(=10 ⋅ −1− 3

6− 2 ⋅3

#

$%

&

'(=10 ⋅ −7,5( ) = −75 W)* +,

bvv −=101

i = i1 −v16− 2v1

p = −75 W"# $%

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vb

va

4.21) Calcule R tal que v0 = -20vg.

+

-

+ -

10 kΩ

10 kΩ

vg

10 kΩ

R

+ v0 -

0101

101

101

101

=−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + bga vvv

011101

101

0 =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ v

RRvb

0=av

gb vv −=

020

51

=+−−Rv

Rv

v ggg Ω= k 95R

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5.16) Calcule equivalente de Thévenin para o circuito à esquerda de a-b e

calcule i. i

12 Ω

12 V

6 Ω 3 A + –

6 Ω 4 Ω a

b

12 Ω

6 Ω 4 Ω a

b

Ω=+⋅

+= 8612

1264thR

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12 Ω +

voc

-

3 A + –

6 Ω 4 Ω a

b

voc

12 V

v1

04112

121

41

121

61

1 =−⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ ocvv

341

41

1 =⋅−⋅ vvoc 121 −= ocvv

42 1 =− ocvv voc = 28 V!" #$

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i

28 V 6 Ω + –

8 Ω a

b

i = 286+8

= 2,0 A!" #$

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5.21) Calcule equivalente de Norton para o circuito à esquerda de a-b e calcule i.

a

4 [A]

2 Ω

4 Ω 16 Ω

b

i

v/4 [A]

+ v -

a

4 [A]

2 Ω

4 Ω

b

isc

v/4 [A]

+ v -

i1 i3

i2

42vi =

i1 = 4 A!" #$

scii =3

( ) sciiiv 416431 −=⋅−=

( ) ( ) 024 2313 =⋅−+⋅− iiii

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( ) 024

44 =⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅−

vii scsc( ) ( ) 024 2313 =⋅−+⋅− iiii

sciv 416−=

isc = 3 A!" #$

v =16− 4 ⋅3= 4 V#$ %&

a

4 [A]

2 Ω

4 Ω

+

voc -

b

v/4 [A]

+ v -

23

42 vvvvoc =+⋅=

v = 4 ⋅4 =16 V"# $%

Rth =vocisc

=243= 8 Ω

voc = 24 V!" #$

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a

3 [A] 8 Ω

b

16 Ω

i

[ ]A 1168

83 =+

⋅=i