26 4. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIO DE FREQUNCIA PARA DADOS CONTNUOS 4.1 - Simulando que um professor aplicou um exame a um grupo de 71 alunos gerando a seguinte tabela: Nota f Nota f Nota f Nota f 50 1 64 1 78 8 92 1 51 1 65 0 79 1 93 0 52 1 66 6 80 2 94 0 53 0 67 4 81 1 95 1 54 1 68 5 82 3 96 1 55 0 69 3 83 0 97 0 56 1 70 9 84 1 98 1 57 0 71 4 85 2 99 0 58 1 72 2 86 0 77 59 3 73 1 87 1 60 2 74 1 88 0 61 0 75 1 89 1 62 0 76 2 90 0 63 2 77 0 91 1 Uma tabela assim representada, nada nos fornece em termos de concluso. Se montarmos uma tabela da seguinte maneira: Intervalo de classe f % 5056 4 5,19 Porque esta tabela foi assim organizada? Como foram 5662 7 9,09 escolhidos os intervalos em cada classe? Os dados poderiam 6268 1 16,89 ser organizados de outra maneira? Para respondermos estas perguntas devemos proceder da 3 6874 2 31,17 seguinte maneira: Passo 1 observamos a amplitude total da amostra (AT): 4 7480 1 16,89 a diferena entre o maior e o menor valor observado no conjunto de dados, ou seja: 3 8086 9 11,69 AT = XMAX XMIN. 8692 3 3,89 Para o exemplo acima temos: AT = 99 50 = 49 9298 3 3,89 Passo 2 Nmero de classes (K): a quantidade de classes 98104 1 1,30 de uma distribuio de frequncias 7 100 No exemplo acima, temos 10 classes. Para calcularmos este nmero de classes, so sugeridas duas formas de 7 encontrarmos, de forma aproximada: a) K = n onde n o nmero total de dados ou f. No exemplo temos: K = 77 8,8 9 b) Frmula de Sturges: K= 1 + 3,8.log n No exemplo temos: K = 1 + 3,8. log 77 = 8,2 Passo 3 Amplitude de um intervalo de classe (h) a diferena entre os limite superior e inferior de uma classe. Ou seja: h = Lsuperior - Linferior Mas, para conhecermos os limites destas classes devemos calcular a amplitude dos intervalos, ou A seja, h = T ; onde: AT a amplitude total da amostra e K o nmero de classes. K Portanto, no exemplos temos: h =49 = 5,4 9

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27 4.2. Distribuio de frequncias Sua finalidade organizar os dados coletados em um rol. 4.2.1. Limite das classes Formas de expresso dos limites das classes. a) 50 || 56 significa que devemos colocar dentro do intervalo todos os nmeros entre 50 e 56, inclusive 50 e 56. b) 50 56 significa que compreende o intervalo entre os nmeros 50 e 56, excluindo o 56. c) 50 | 56 significa que compreende o intervalo entre os nmeros 50 e 56, excluindo o 50. Vemos neste exemplo que o Limite inferior da classe 50 e o Limite superior 56, portanto, a amplitude da classe ou do intervalo : h = Lsuperior - Linferior = 56 50 = 6. 4.2.2. Pontos mdios das classes (m) a mdia aritmtica entre o limite superior e o limite inferior da classe, ou seja:m= Linf erior + Lsup erior 2Linf erior + Lsup erior 2 = 50 + 56 = 53 2

Ex. Tomando do exemplo a classe 50 56, temos o ponto mdio da classe ou do intervalo:m=

A tabela completa para este estudo fica: Intervalo de classe f m fAC 5056 4 53 4 5662 6268 6874 7480 8086 8692 9298 98104 7 1 3 2 4 1 3 9 3 3 1 7 7 59 65 71 77 83 89 95 101 11 24 48 61 70 73 76 77

fR 0,051 9 0,090 9 0,168 9 0,311 7 0,168 9 0,116 9 0,038 9 0,038 9 0,013 0 1,000

%fR 5,19

FRAC 5,19

9,09 14,29 16,8 9 31,1 7 16,8 9 11,6 9 3,89 31,17 62,34 79,22 90,91 94,81

3,89 98,70 1,30 100 100

EXERCCIOS: 1. Os pesos dos 24 alunos de uma classe do 2o grau de um colgio so: (em Kg) 51 67 51 60 56 52 63 54 49 53 48 53 55 59 56 58 59 46 58 50 58 55 62 57 Organiza esses dados em forma de tabela de freqncia, agrupando os dados em 5 classes. Anotaes de aula de Estatstica I Curso de Cincias Contbeis Prof. Ms. Srgio Luiz Cabrini

28 2. No treino de atletismo, o tempo de percurso de 400 metros foi registrado para cada um dos 18 atletas, obtendo-se os seguintes dados (tempos em segundos): 61,2 57,3 63,1 69,6 58,9 65,7 71,2 69,8 62,7 68,3 69,4 75,0 73,1 68,2 Monte uma tabela de freqncia com 5 classes. 67,4 66,3 60,5 62,3 72,3 63,5 obtendo-se os seguintes 45,2 48,2 38,3 44,9 49,2 34,9

3. Uma pesquisa coletou os pesos de uma amostra de 36 crianas, dados (peso em Kg): 36,2 41,4 32,3 35,7 32,7 44,1 46,3 40,0 39,5 34,7 31,6 43,9 45,8 49,1 45,7 37,8 39,4 46,9 35,7 38,1 40,3 35,4 31,0 43,7 44,8 47,0 43,0 47,1 39,1 35,7 Monte uma tabela de freqncia com 6 classes.

4.3. HISTOGRAMA E POLGONO DE FREQUNCIA Para representar graficamente os dados quantitativos contnuos, usamos o histograma e o polgono de freqncia para melhor visualizao dos dados. Considerando os casos de classes com mesma amplitude. 4.3.1. HISTOGRAMA O histograma usado para dados agrupados em classes. Semelhante ao grfico de colunas, sendo que, a rea de cada retngulo proporcional freqncia e os retngulos adjacentes se tocam. No exemplo da tabela a seguir: CLASSE FREQUNCIA 1 40,0 41,0 2 41,0 42,0 5 42,0 43,0 7 43,0 44,0 1 44,0 45,0 SOMA = 16 Representando por meio de um histograma: Tempo de percurso dos alunos 7 6 5 4 3 2 1

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29 0 40 41 42 43 44 45 46 TEMPO DE PERCURSO (segundos) Histograma do tempo de percurso no campo de atletismo 4.3.2. ROTEIRO PARA CONSTRUO DO HISTOGRAMA 1)Obtenha a tabela de freqncia partir dos dados, agrupando-os em classes. 2)Desenhe dois eixos perpendiculares de bom tamanho. 3)Divida o eixo horizontal em partes conforme o nmero de classes (considere, sempre uma classe esquerda da primeira classe e uma classe sempre direita da ltima classe), marque os nmeros correspondentes aos limites inferiores e superiores de cada classe. 4)Identifique a maior freqncia da classe na tabela de freqncia; escolha um nmero maior ou igual quela freqncia e marque este nmero na extremidade do eixo vertical. Divida o eixo em partes adequadas as freqncias e marque os nmeros correspondentes 5)Para cada classe, desenhe um retngulo com largura igual largura da classe e com altura igual freqncia da classe. 6)Hachure ou preencha os retngulos com padres ou cores. 7)Coloque o ttulo do grfico, o nome da varivel no eixo horizontal e a palavra freqncia no eixo vertical. 4.3.3. POLGONO DE FREQUNCIA Unindo-se os pontos mdios da parte superior (patamar) de cada retngulo do histograma com segmentos de reta, obtemos o chamado polgono de freqncia. Tempo de percurso dos alunos 7 6 5 4 3 2 1 0 39 40 41 42 43 Tempo de percurso (segundos) 44 45 46 39

OBS 1. O polgono inicia com freqncia nula para uma classe abaixo da primeira classe. 2. O polgono termina com freqncia nula para uma classe acima da ltima classe. 3. A rea delimitada pelo polgono e o eixo horizontal igual rea total dos retngulos, ou seja, essa rea proporcional ao nmero total de dados.

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30 O polgono de freqncia importante, pois podemos comparar duas ou mais distribuies de freqncia, traando os polgonos em um mesmo grfico. Como exemplo podemos comparar o tempo de percurso, de duas turmas A e B, no campo de atletismo com 16 alunos cada. Tempo de percurso dos alunos 7 6 5 4 3 2 1 0 39 40 41 42 43 44 Tempo de percurso (segundos) 45 46 Turma B Turma A

Observa-se que o desempenho da turma B foi melhor que o da turma A, pois o pico da distribuio de freqncia da turma B se localiza mais a esquerda em relao ao pico da distribuio da turma, significando que houve mais alunos da turma B que fizeram o percurso com menor tempo. De maneira idntica, podemos construir histogramas e polgonos de freqncia para a freqncia relativa e para a porcentagem. EXERCCIOS 1. Uma enfermeira mediu a temperatura do corpo de 38 pacientes de um hospital, obtendo os seguintes dados (oC), j organizados em forma de tabela de freqncia: CLASSE FREQUNCIA 8 35,0 36,0 16 36,0 37,0 5 37,0 38,0 2 38,0 39,0 6 39,0 40,0 1 40,0 41,0 SOMA 38 Construa um histograma e o polgono de freqncia para esses dados. 2. O tempo que cada cliente de um restaurante permanece na mesa foi medido. Para uma amostra de 50 clientes, os dados obtidos (tempo em minuto) e j organizados em tabela de freqncia, foram: Anotaes de aula de Estatstica I Curso de Cincias Contbeis Prof. Ms. Srgio Luiz Cabrini

31 Tempo de permanncia (min) frequncia 5 10 20 13 20 30 19 30 40 9 40 50 2 50 60 1 60 70 1 70 80 SOMA 50 Construa um histograma e um polgono de frequncia para esses dados. 3. O peso de cada uma das 26 laranjas foi medido, em gramas, obtendo-se os seguintes dados: 148 175 155 143 180 177 125 126 182 170 200 160 173 171 180 128 198 160 130 145 162 173 168 140 138 150 Organize estes dados em uma tabela de freqncia com 6 classes e construa um histograma e um polgono de freqncia. 4.3.4. FREQUNCIA ACUMULADA E OGIVA FREQNCIA ACUMULADA: Para dados contnuos agrupados em classes, a freqncia acumulada o nmero de dados menores ou iguais a uma determinada classe, ou seja: Freqncia acumulada o nmero de dados menores que o limite superior da classe considerada. Frequncia relativa acumulada =Frequncia acumulada nmero de dados

Porcentagem relativa acumulada = (freqncia relativa acumulada) x 100 A freqncia acumulada calculada somando todas as freqncias da classe at a classe considerada (inclusive). No exemplo do percurso dos estudantes: CLASSE 40,0 41,0 41,0 42,0 42,0 43,0 43,0 44,0 44,0 45,0 SOMA = FREQUNCIA Frequncia acumulada 1 1 2 1+2=3 5 1+2+5=8 7 1+2+5+7=15 1 1+2+5+7+1=16 16 Freq. Relativa Acumulada 0,06 0,19 0,50 0,94 1,00 % acumulada 6 19 50 94 100

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32 4.3.5. OGIVA a representao grfica da freqncia acumulada. construda por segmentos de reta interligando os pontos definidos pela freqncia acumulada e pelo limite superior de cada classe. Tempo de percurso dos alunos 16 14 12 10 8 6 4 2 0 39 40 41 42 43 44 45 tempo de percurso (segundos) 46

A ogiva um grfico bastante importante, pois permite determinar aproximadamente a frequncia acumulada para qualquer valor. Portanto, a partir da ogiva, possvel estimar o nmero de dados que pertencem a qualquer intervalo de dados. Exemplo: para determinarmos o nmero aproximado de alunos que fizeram o percurso com tempo menor que 42,5 segundos, basta traar uma reta vertical e perpendicular ao eixo horizontal (eixo de dados) do ponto 42,5 at interceptar a curva da ogiva, e a partir deste ponto, traar uma reta horizontal at interceptar o eixo vertical (eixo de frequncia acumulada), obtendo o valor aproximado da freqncia acumulada de 5 (nmero de alunos) para o valor 42,5 segundos (tempo de percurso). 16 14 12 10 8 6 4 2 0 39 40 41 42 43 44 Tempo de percurso (segundos) 45 46

Estima-se que 5 alunos fizeram o percurso com tempo menor que 42,5 segundos. E, para 43,5 segundos, estima-se que 11 alunos fizeram o percurso. A diferena entre as freqncias acumuladas 11 e 5, ( 11 5 = 6) corresponde estimativa da freqncia da classe 42,5 43,5, ou seja, aproximadamente 6 alunos fizeram o percurso com tempo maior ou igual 42,5 segundos e menor que 43,5 segundos. Esses valores obtidos atravs da ogiva so meramente estimativas, uma vez que considerado uma distribuio uniforme dos dados dentro de cada classe. A ogiva pode tambm ser construda utilizando freqncia relativa acumulada e porcentagem acumulada. A partir da ogiva de porcentagem acumulada, podemos obter estatsticas como a mediana, o quartil e o percentil.

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33 EXERCCIOS 1. As alturas, em metros, dos 100 alunos de um Centro Universitrio esto apresentadas na tabela de freqncia abaixo: CLASSE FREQUENCIA 3 1,55 1,60 12 1,60 1,65 24 1,65 1,70 36 1,70 1,75 15 1,75 1,80 8 1,80 1,85 2 1,85 1,90 SOMA 100 a) Construa uma tabela de freqncia com freqncia acumulada, freqncia relativa acumulada e porcentagem acumulada. b) Construa uma ogiva de porcentagem acumulada. c) Determine a proporo de alunos que tem a altura maior ou igual a 1,68 e menor que 1,72. 2. Um trabalhador mediu o tempo para ir da casa ao local de servio, durante 30 dias, obtendo os dados da tabela abaixo (tempo em minutos): Construa a tabela de freqncia com freqncia acumulada, freqncia relativa acumulada e porcentagem acumulada e construa uma ogiva de freqncia acumulada. CLASSE FREQUENCIA 3 30 40 16 40 50 7 50 60 2 60 70 1 70 80 1 80 90 SOMA 30 3. O preo de um televisor em cores de 14 polegadas foi pesquisado em 20 lojas da cidade, obtendo os seguintes dados: $239,00 $229,00 $259,99 $219,95 $225,00 $227,90 $246,90 $230,00 $236,90 $222,95 $225,90 $215,00 $228,90 $232,00 $227,99 $216,95 $228,99 $229,90 $249,99 $239,90 Organize estes dados em uma tabela com freqncia com 5 classes e construa um histograma, um polgono de freqncia e uma ogiva

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34 AGRUPAMENTOS DE DADOS DISCRETOS EM CLASSES Nem sempre a organizao de dados discretos em forma de tabela adequada para obtermos informaes sobre a distribuio de freqncia. Exemplificando com os dados abaixo, referentes ao nmero transportados por um nibus urbano, em cada viagem, no total de 50 viagens. 65 93 74 102 83 80 62 75 70 96 55 100 86 84 77 91 88 53 70 58 78 72 98 65 78 83 109 95 79 97 68 91 102 83 108 67 80 85 101 74 71 97 92 99 89 82 de freqncia, de passageiros 78 71 85 106

Se organizarmos estes dados em forma de tabela de freqncia, notaremos que o tamanho desta tabela ser enorme (muitas linhas), pois cada dado se repete poucas vezes,no fornecendo informaes suficientes sobre a distribuio de freqncia. 5 4 3 2 1 0 70 80 90 100 110 nmero de passageiros A soluo para este problema agrupar os dados em classes, da mesma forma como foi feito com os dados contnuos. Agrupando os dados, temos a tabela: Classe 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 100 110 Total freqncia 3 5 13 12 10 7 50 50 60

A representao grfica dos dados da tabela deve ser feita por meio de um histograma, como mostra abaixo. Como podemos observar pela tabela e pelo grfico, agrupando os dados discretos em classes conseguimos obter informaes sobre a distribuio de frequncia. As definies dos nmeros de classes, largura da classe, ponto inicial, frequncia da classe, freqncia relativa da classe, porcentagem da classe, freqncia acumulada da classe e porcentagem acumulada da classe so iguais s definies utilizadas para os dados contnuos. Da mesma forma, as representaes grficas utilizadas para os dados contnuos, como o histograma, o polgono de freqncia e a ogiva, so utilizadas da mesma forma para os dados discretos agrupados em classes.

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35 14 12 10 8 6 4 2 0 40

50

60

70

80

90

100

110

120

Tabela de freqncia em classes para o nmero de passageiros transportados por nibus. Classe Freq. Freq. Rel. Porc. Freq. Freq. Rel. Porc. (%) Acum. Acum. Acum. (%) 3 0,06 6 3 0,06 6 5060 5 0,10 10 8 0,16 16 60 70 13 0,26 26 21 0,42 42 7080 12 0,24 24 33 0,66 66 8090 10 0,20 20 43 0,86 86 90 100 0,14 14 50 1,00 100 100 101 7 total 50 1,00 100 O polgono de freqncia e j ogiva podem ser vistos abaixo. POLGONO DE FREQUENCIA para o nmero de passageiros de nibus 14 12 10 8 6 4 2 0 40 50 60 70 80 90 100 110 120 nmeros de passageiros

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35 Ogiva para o nmero de passageiros de nibus 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 40 50 60 70 80 90 nmeros de passageiros EXERCCIOS

100

110

120

1. Em uma prova de vestibular com 160 testes de mltipla escolha, 100 candidatos fizeram os seguintes nmeros de pontos: 92 12 17 110 23 107 27 32 96 39 40 98 42 45 70 65 46 48 99 49 80 50 92 52 106 53 100 55 57 61 120 92 61 118 62 63 105 64 66 67 67 68 69 70 40 71 45 72 73 74 75 75 79 52 82 82 111 83 84 84 84 86 62 87 31 88 90 90 90 91 93 43 62 38 20 94 95 96 96 97 97 71 35 103 58 109 51 110 49 83 105 102 86 124 66 132 138 143 60 89 Pede-se: Organizar os dados em uma tabela de freqncia com 8 classes. Incluir uma coluna para freqncia acumulada. Construir um histograma. Construir um polgono de freqncia. Construir uma ogiva. 2. Um sensor instalado em uma rodovia conta o nmero de automveis que passam por minuto. Os dados obtidos em um perodo de 1 hora, foram: 21 25 40 13 17 34 30 25 20 28 43 23 21 32 38 22 20 16 45 52 26 38 30 35 46 49 11 19 78 53 13 65 54 45 48 16 23 27 14 63 53 41 17 24 33 62 36 33 50 27 10 29 58 44 32 23 39 46 32 31 Organize estes dados em uma tabela de freqncia com 7 classes, e construa um histograma, um polgono de freqncia e uma ogiva. Anotaes de aula de Estatstica Curso Cincias Contbeis Prof.Ms. Srgio Luiz Cabrini

35 3. A tabela apresentada abaixo, mostra os rendimentos brutos semanais de homens e mulheres que trabalhavam em turno completo na Gr-Bretanha, em 1989. Mdia de ganhos brutos semanais (em dlares) Homens Mulheres $100,00 a $150,00 13 20 $150,00 a $ 200,00 18 11 $200,00 a $ 250,00 17 7 $250,00 a $ 300,00 13 4 $ 300,00 a $ 400 24 3 soma 85 45 Montando o polgono de freqncia, comente, comparando em um s grfico, a performance dos homens em relao as mulheres.

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