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5. Trabajo y energía

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5. TRABAJO Y ENERGÍA

El concepto de energía es de enorme importancia en la Física y sus alcances exceden el contextode la Mecánica Newtoniana. En efecto la energía junto con la cantidad de movimiento juegan unrol primario en las Teorías Fundamentales que mencionamos en el Capítulo 1, básicamente por-que estas magnitudes se conservan (es decir se mantienen constantes) en todas las interaccionesbásicas de la naturaleza. Pero aquí nosotros estamos desarrollando una teoría macroscópica en lacual como ya vimos aparecen fuerzas no fundamentales como el rozamiento, el arrastre, etc.Estas fuerzas se relacionan de una forma muy complicada con las interacciones fundamentales yde resultas de ello en nuestra descripción de los fenómenos la energía nos aparece bajo diferen-tes aspectos, aunque a nivel microscópico se trata siempre de la misma cosa. Uno de esos as-pectos es la energía mecánica que trataremos aquí. El lector debe recordar lo que se acaba dedecir, y más adelante volveremos sobre esta cuestión.En el contexto de la Mecánica Newtoniana el concepto de energía es muy útil ya que en deter-minados casos ayuda a simplificar la solución de problemas. Se debe notar que la Segunda Leyestablece una ecuación diferencial del segundo orden en el tiempo, que se debe integrar paraconocer el movimiento de los cuerpos. Veremos que bajo ciertas condiciones la energía mecá-nica de un sistema se conserva (es decir no se transforma en otra clase de energía). Cuando estoocurre podemos escribir de inmediato una integral primera de las ecuaciones de Newton, lo cuales un paso adelante muy importante hacia la solución del problema.

Trabajo mecánico

Para presentar la noción de energía mecánica conviene introducir el trabajo mecánico y eso es loque haremos ahora. Este concepto deriva de la noción del esfuerzo que es necesario realizar paradesplazar objetos. Es intuitivo que el esfuerzo está relacionado con la fuerza que se ejerce, peroes algo distinto. Cuando levanto un cajón y lo coloco en una estantería tengo que ejercer unafuerza igual a su peso, pero el esfuerzo es mayor cuanto más alto es el estante donde lo ubico. Sidesplazo un mueble de un lugar a otro la fuerza a ejercer es siempre la misma (la necesaria paravencer el rozamiento) pero el esfuerzo es tanto mayor cuanto más lejos lo llevo. Además el es-fuerzo depende de la dirección del desplazamiento en relación a la fuerza: el esfuerzo necesariopara transportar una valija depende de si el desplazamiento es horizontal, en subida, o en bajada.Estas observaciones cotidianas indican que el esfuerzo depende de la magnitud de la fuerza, dela magnitud del desplazamiento y del ángulo entre el desplazamiento y la fuerza. Basados enestos hechos definimos el trabajo mecánico de modo de respetar la noción intuitiva de esfuerzo,aunque con la precisión y rigor que corresponde a una magnitud física.Sea A un punto material sobre el que actúa la fuerza F y que sufre un desplazamiento infinite-simal dr (Fig. 5.1a). Definiremos el trabajo mecánico de F en el desplazamiento dr como

dW d Fdr= ⋅ =F r cosα (5.1)

De la definición resulta que W es un escalar y que su magnitud y signo dependen del ánguloentre F y dr. Si α<π /2 (desplazamiento a favor de la fuerza) el trabajo es positivo. Si α>π /2(desplazamiento en contra de la fuerza) el trabajo es negativo. Si α=π /2 el trabajo es nulo. Eltrabajo de una fuerza en un desplazamiento finito del móvil entre una posición 1 y una posición2 según la trayectoria T (Fig. 5.1b) se define como


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W dW dT1 21

2

1

2

, , = ∫ = ⋅∫F r (5.2)

donde la integral se calcula a lo largo de T.

(a) (b)

A

F

dra

A

F

dr

1

2T

T'

Fig. 5.1. El trabajo depende (a) del ángulo entre fuerza y desplazamiento y (b) de la tra-yectoria del móvil.

En general el trabajo depende del camino seguido para ir de 1 a 2, luego si T y ′T son dos tra-yectorias diferentes que van ambas de 1 a 2 se tendrá que

W WT T1 2 1 2, , , ,≠ ′ (5.3)

Si T se recorre en el sentido inverso, es decir de 2 a 1, se tiene

W WT T2 1 1 2, , , ,= − (5.4)

De la definición resulta que las dimensiones de trabajo son

[ ] [ ][ ] [ ]W F m t= = −l l2 2 (5.5)

La unidad de trabajo del sistema MKS es el Joule (1 1 1J N kg= =m m /s2 2 ) y en el sistema cgses el erg (1 1 1erg = =dy cm g cm /s2 2). La equivalencia entre ambas unidades es 1 J 107= erg .Se usa también como unidad de trabajo el kgf m (1 kgf m 9.81 J 9.81 10 e7= = ×K K rg).

Fuerza conservativa

Consideremos el trabajo del peso P z= −mgˆ en un desplazamiento vertical d dzr z= ˆ (Fig. 5.2a).Se tendrá dW d mgdz= ⋅ = −P r y entonces

W mgdz mg z zz

z

12 2 1

1

2

= − ∫ = − −( ) (5.6)

En un desplazamiento cualquiera (Fig. 5.2b) d dx dy dzr x y z= + +ˆ ˆ ˆ pero dW d mgdz= ⋅ = −P rcomo antes, luego

W mg z z12 2 1= − −( ) (5.7)


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z

dr

P

2

1

(a) (b)

z

dr

P

2

1

Fig. 5.2. El trabajo del peso en un desplazamiento vertical (a) y en un desplazamientocualquiera (b) depende solamente de la diferencia de altura entre los extremos de la tra-yectoria.

Hemos obtenido así un importante resultado:

El trabajo del peso no depende del camino seguido para ir de 1 a 2 y sólo depende de la di-ferencia de altura entre dichos puntos.

Se dice que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza en un desplazamiento entre dospuntos cualesquiera 1 y 2 tiene el mismo valor cualquiera sea el camino seguido para ir de 1 a 2.Es decir, si 1 y 2 son dos puntos cualesquiera y C, ′C son dos trayectorias cualesquiera que vande 1 a 2 (Fig. 5.3a), F será conservativa si

W W WC C1 2 1 2 1 2, , , , ,= =′ (5.8)

De acuerdo con esta definición y con el resultado anterior el peso es una fuerza conservativa.Consideremos un camino C que parte de 1 y vuelve a 1 (Fig. 5.3b) y sea WC el trabajo realizadopor la fuerza conservativa F en el desplazamiento C. Por definición:

W dCC

= ⋅∫F r (5.9)

Sea ahora 2 un punto cualquiera de C que la divide en dos partes: ′C que va de 1 a 2 y ′′C queva de 2 a 1. Claramente:

W W W W WC C C C C= + = − =′ ′′ ′ ′′1 2 2 1 1 2 1 2 0, , , , , , , , (5.10)

porque W WC C2 1 1 2, , , ,′′ ′′= − y W WC C1 2 1 2, , , ,′ ′′= por ser F conservativa.Luego si F es una fuerza conservativa y C un camino cerrado cualquiera se cumple

F r⋅∫ =dC

0 (5.11)

Con un razonamiento análogo se puede demostrar la propiedad inversa: si F es tal que su trabajoa lo largo de cualquier camino cerrado es nulo, entonces es conservativa.


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(a) (b)

A

F

dr

1

2C

C' 1

2

C

C'

C''

A

F

dr

Fig. 5.3. Si la fuerza es conservativa el trabajo en un desplazamiento de 1 a 2 (a) no de-pende del camino seguido y es nulo (b) en un desplazamiento que vuelve al punto inicial.

Campo de fuerza

El peso es un caso particular de una clase importante de fuerzas: aquellas que dependen de laposición. Otro ejemplo de esta clase es la fuerza electrostática entre dos cargas. En las proximi-dades de la superficie de la Tierra P z= −mgˆ donde z es la dirección de la vertical del lugar(positiva hacia arriba). A medida que nos alejamos de la superficie terrestre g disminuye al au-mentar z, y a distancias r grandes del centro de la Tierra1

g g r g rr

rTT= =

( ) ( )2

(5.12)

donde rT ≅ 6400 km es el radio terrestre y g rT( ) ≅ 980gal . Por lo tanto

P r= −

mg rr

rTT( ) ˆ

2

(5.13)

En casos como este, cuando en cada punto del espacio podemos definir un valor de la fuerza, sedice que estamos en presencia de un campo de fuerza. Si además la fuerza es conservativa sedice que el campo correspondiente es conservativo. Cuando además de la posición la fuerza de-pende de otras magnitudes (por ejemplo de la velocidad del cuerpo) no se puede hablar decampo de fuerza. Por ese motivo las fuerzas de rozamiento no son un campo.El concepto de campo es muy importante en la Física y más adelante volveremos sobre él. Por elmomento bastará con esta somera introducción.

Energía cinética

La energía es la magnitud que da la medida de la capacidad de un sistema para producir trabajo.Hay distintas clases de energía, que se distinguen por• la forma como se manifiesta y• las fuerzas e interacciones que la originan.

1 Esta fórmula es aproximada ya que la Tierra no es una esfera perfecta.


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Es así que se habla de energía mecánica, térmica, eléctrica, química, nuclear, etc. Nos ocupare-mos ahora de la energía mecánica, que es la energía que poseen los cuerpos en virtud de su mo-vimiento y de su posición.Para detener un móvil que se desplaza con cierta velocidad es preciso aplicarle una fuerza que lofrene. Dicha fuerza realiza un trabajo negativo, es decir, el móvil entrega trabajo al sistema queejerce la fuerza2. Luego el móvil por el hecho de moverse posee energía. En otras palabras:

Por virtud de su inercia todo cuerpo en movimiento posee energía, que denominamosenergía cinética.

F1

2

mv

v1

v2

Fig. 5.4. El Teorema de la fuerza viva: la variación de la energía cinética del móvil es igualal trabajo de la fuerza que actúa sobre él.

La energía cinética se relaciona con el esfuerzo necesario para cambiar el estado de movimientode un objeto. Dicho esfuerzo se origina en la inercia del cuerpo. Es sencillo calcular la energíacinética del móvil. Sea una masa m animada de una velocidad v, sobre la cual actúa la fuerza F.En el intervalo dt el desplazamiento del móvil es d dtr v= y la fuerza realiza un trabajo

dW d dt= ⋅ = ⋅F r F v (5.14)

Por la Segunda Ley F v= md dt/ , luego

dW m d md v= ⋅ =v v 12

2( ) (5.15)

Por lo tanto el trabajo de la fuerza en el trayecto de 1 a 2 (Fig. 5.4) es

W dW m d v m v v121

212

2

1

212 2

212= ∫ = ∫ = −( ) ( ) (5.16)

Si al llegar a 2 el móvil se detiene tendremos v2 0= y

W mv1212 1

2= − (5.17)

Este es el máximo trabajo que se puede extraer del móvil. Es natural entonces definir la cantidad

T mv= 12

2 (5.18)

2 Por ejemplo la fuerza que ejerce el clavo sobre el martillo que lo golpea realiza un trabajo negativo sobre éste y lo

frena. La reacción del martillo realiza un trabajo que hace penetrar el clavo en el tablón. Así podemos extraer

trabajo del móvil.


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como la energía cinética del móvil, pues da la medida del trabajo que se puede extraer delmismo en virtud de su movimiento. En términos de la energía cinética los resultados anterioresse pueden escribir en la forma diferencial

dW dT= (5.19)

o bien en forma integral como

W T T T12 2 1= − = ∆ (5.20)

Las ecs. (5.19) y (5.20) constituyen el Teorema de la fuerza viva3.De lo anterior podemos concluir lo siguiente:• si queremos acelerar un móvil partiendo del reposo tenemos que realizar sobre él un trabajo

igual a la energía cinética que adquiere;• si el móvil tiene la velocidad v y por lo tanto la energía cinética T mv= 2 2/ se podrá extraer

del mismo, frenándolo, un trabajo igual en valor a T.Notar que T depende del módulo de v y no de su dirección. Si por efecto de una fuerza v cambiasu dirección pero no su módulo, la fuerza no realiza trabajo. Esto ocurre si F es perpendicular av, pues entonces F v⋅ = 0 ; por ejemplo, en un movimiento curvilíneo la fuerza centrípeta norealiza trabajo.En conclusión: el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un móvil determina elcambio de la energía cinética del mismo. Dejamos para más adelante aclarar cuál es la fuenteque suministra la energía cinética que gana el móvil, y cuál es el destino de la que pierde.

Energía potencial

La energía cinética no es la única forma en que se puede manifestar la energía mecánica. Si unmóvil se encuentra en un campo de fuerza y su posición varía, la fuerza del campo realiza untrabajo. Existe entonces una forma de energía asociada con la posición de un cuerpo sometido aun campo de fuerza. Sea un móvil que se desplaza en un campo de fuerza de 1 a 2 según la tra-yectoria C. El trabajo de la fuerza es

W dC121

2

, = ⋅∫F r (5.21)

En general el trabajo depende de la trayectoria y por lo tanto no se puede asignar un valor defi-nido a W12 y no podemos afirmar (como hicimos en el caso de la energía cinética) que W12 es ladiferencia entre cantidades calculadas para el punto 1 y el punto 2 (Fig. 5.5a). Hay sin embargouna clase de fuerzas, las fuerzas conservativas, para las cuales W12 es el mismo cualquiera sea elcamino seguido para ir de 1 a 2. Consideremos, para ser concretos, el peso. Para el pesoW mg z z12 2 1= − −( ) lo que muestra que un cuerpo posee una capacidad de producir trabajo (esdecir una energía) que depende de la altura donde se encuentra (Fig. 5.5b). Luego en este casopodemos escribir

W V z V z12 2 1= − −[ ( ) ( )] (5.22)

3 La denominación proviene de vis viva (“fuerza viva” en latín), nombre (hoy en desuso) que se daba a la energía

cinética.


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donde

V z mgz V V( ) ,= + =0 0 cte. (5.23)

La función V z( ) se llama energía potencial gravitatoria de la masa m y como se ve está definidaa menos de una constante aditiva arbitraria V0. Esta ambigüedad no tiene importancia pues sólopodemos medir diferencias de energía potencial. La elección de V0 equivale a fijar un nivel dereferencia en el cual V = 0 . Este nivel lo podemos elegir donde más nos guste o convenga. La(5.22) nos dice entonces que el trabajo del peso es igual a menos la variación de la energía po-tencial gravitatoria del cuerpo.

z

dr

P

2

1

(b)(a)

F

dr

1

2C

C'

Fig. 5.5. En general (a) el trabajo depende de la trayectoria, luego no se puede asignar unvalor definido a W12 . Pero para el peso W12 no depende de la trayectoria (b), luego pode-mos introducir una energía potencial y escribir W V z V z12 2 1= − −[ ( ) ( )].

Corresponde aclarar que la fórmula (5.23) vale sólo cerca de la superficie de la Tierra. Si quere-mos calcular la energía potencial gravitatoria de un cuerpo lejos de la superficie, por ejemplo unsatélite artificial, tenemos que emplear la expresión (5.12) de g. Se obtiene entonces

V r mg r rr

VT T( ) ( )= − + ∞2 1

(5.24)

donde r r zT= + es la distancia del cuerpo al centro de la Tierra y V∞ es la energía potencial delcuerpo cuando su distancia es infinita. Es habitual poner V∞ = 0 , de modo que

V r mg r rrT T( ) ( )= − 2 1

(5.25)

Notar que esta elección del nivel de referencia corresponde a fijar V mg r rT T0 = − ( ) en la (5.23).En general para una fuerza conservativa cualquiera podemos definir una energía potencial delmodo siguiente (Fig. 5.6):• se elige (arbitrariamente) un nivel de referencia, por ejemplo el punto R,• la energía potencial en otro punto r cualquiera es entonces

V d V( )r F rR

r

= − ⋅ ′∫ + 0 (5.26)


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Aquí V0 es una constante arbitraria y la integral se calcula sobre cualquier camino que lleve de Ra r, porque por ser F conservativa la integral no depende del camino.Si ahora queremos calcular el trabajo de F en un desplazamiento de 1 a 2 tendremos que

W d d d d d

V V

12

2 1

1

2

1

2 1 2

= ⋅∫ = ⋅∫ + ⋅∫ = − ⋅∫ + ⋅∫

= − −

F r F r F r F r F r

r r

r

r

r

R

R

r

R

r

R

r

[ ( ) ( )]

(5.27)

Según la definición anterior el trabajo de la fuerza conservativa es igual a menos la variación dela energía potencial. Luego si el trabajo realizado por la fuerza del campo es positivo el móvilpierde energía potencial. Viceversa, si el trabajo es negativo el cuerpo gana energía potencial.

(a) (b)

F(r)

R

r

F(r)

R

1 2

Fig. 5.6. Para definir la energía potencial de una fuerza conservativa cualquiera se elige unnivel de referencia R, luego (a) para un punto r cualquiera V( )r está dada por la (5.26). Eltrabajo de F en un desplazamiento (b) de 1 a 2 es entonces W V V12 2 1= − −[ ( ) ( )]r r .

Relación entre energía potencial y fuerza

Por definición, para una fuerza conservativa

V d VR

r

( )r F r= − ⋅ ′∫ + 0 (5.28)

Por lo tanto dV d( )r F r= − ⋅ . Esto significa que

∂∂

∂∂

∂∂

V

xF

V

yF

V

zFx y z= − = − = −, , (5.29)

que se puede escribir como

F V V= −∇ = −grad (5.30)

donde hemos introducido el operador gradiente

∇ ≡ ≡ + +grad ˆ ˆ ˆx y z∂∂

∂∂

∂∂x y z

(5.31)


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Corresponde aclarar que la condición F F r≡ ( ) es necesaria pero no suficiente para que F seaconservativa. Por ejemplo, una fuerza de la forma F = f r( )ϕϕ no es conservativa; en efecto, esfácil verificar que en este caso la condición

F r⋅∫ =d CC

0 , todo (5.32)

no se cumple. Por lo tanto para dicha fuerza no se puede encontrar una función V( )r tal queF V f r= −∇ = ( )ϕϕ.De las (5.29) podemos obtener las condiciones para que F sea conservativa. De la primera y se-gunda de dichas ecuaciones obtenemos que

∂∂ ∂

∂∂

∂

∂

2V

x y

F

y

F

xx y= − = − ⇒

∂∂

∂

∂F

y

F

xx y− = 0 (5.33)

Del mismo modo, de la segunda y la tercera, y de la tercera y la primera de las (5.29) se obtie-nen, respectivamente, las condiciones

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

F

z

F

y

F

x

F

zy z z x− = − =0 0, (5.34)

Si en todo punto se cumplen las tres condiciones (5.33), (5.34) F r⋅ d es un diferencial totalexacto: éstas son pues las condiciones suficientes para que F sea conservativa.Usando el operador gradiente las condiciones (5.33), (5.34) se expresan en la forma compacta

∇ × ≡ =F Frot 0 (5.35)

El operador ∇ × se denomina rotor y un campo vectorial A que cumple la condición ∇ × =A 0se dice irrotacional. Por lo tanto la condición necesaria y suficiente para que un campo de fuerzasea conservativo es que sea irrotacional en todo punto. La fuerza F = f r( )ϕϕ cumple la condición∇ × =F 0 para todo r ≠ 0 , pero no la cumple en r = 0 : por eso dicho campo no es conservativo.

Energía mecánica

Sea una masa que se mueve bajo la acción de una fuerza desde 1 hasta 2. Por el Teorema de lafuerza viva W T T12 2 1= − . Si además la fuerza es conservativa y V es la energía potencial corres-pondiente, W V V12 2 1= − −( ) . Comparando ambas expresiones y ordenando términos obtenemos

1122 VTVT +=+ (5.36)

Vemos así que la cantidad

E T V= + ≡ Energía mecánica (5.37)

se conserva en el movimiento aunque T y V varían4. En un movimiento bajo la acción de fuerzasconservativas todo aumento de la energía cinética ocurre a expensas de la energía potencial delmóvil, y viceversa, de modo tal que la energía mecánica, suma de ambas, se mantiene constante.

4 De la definición es evidente que las dimensiones y unidades de la energía son las mismas que las del trabajo.


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Importancia de las constantes del movimiento

Cuando una magnitud física se conserva durante el movimiento se dice que es una constante delmovimiento o, también, que es una integral primera del movimiento. Muchas veces la integra-ción de las ecuaciones del movimiento es complicada o difícil. En estos casos el conocimientode las constantes del movimiento es de gran importancia pues:• permite deducir de inmediato propiedades del movimiento y relaciones entre las magnitudes

que lo describen, sin que haga falta para eso integrar las ecuaciones de Newton,• simplifica el problema de resolver las ecuaciones del movimiento pues ayuda a hacer el

planteo más conveniente para el cálculo.Por lo tanto uno de los más importantes problemas de la Mecánica es encontrar las constantesdel movimiento. Ya encontramos dos leyes de conservación:• la conservación de la cantidad de movimiento para sistemas aislados,• la conservación de la energía mecánica para sistemas sometidos a fuerzas conservativas.Se puede mostrar que la conservación de la cantidad de movimiento se vincula con la simetría deun sistema aislado frente a traslaciones. Esta simetría refleja el hecho de que el resultado de unexperimento no depende del lugar donde está ubicado el laboratorio. La conservación de la ener-gía mecánica se vincula con la simetría frente a desplazamientos en el tiempo, lo que refleja elhecho que el resultado de un experimento no depende del momento en que se lleva a cabo. Estosejemplos (y otros que veremos más adelante) muestran que:

Toda ley de conservación está relacionada con una propiedad de simetría del sistema.

También vale la inversa: cuando un sistema posee una simetría (es decir cuando hay una trans-formación que lo deja igual del punto de vista físico), asociada con esta simetría hay una cons-tante de movimiento. Por lo tanto existe la siguiente relación biunívoca:

simetrías ⇔ constantes del movimiento

Por eso al comenzar el estudio de un problema es siempre útil detenerse a reflexionar sobre suspropiedades de simetría. Eso veremos a medida que avancemos.

Potencia

En muchas aplicaciones interesa el tiempo necesario para realizar un trabajo. La magnitud físicaque da la medida del trabajo producido en la unidad de tiempo es la potencia

PW

t=δδ

(5.38)

Como δ δ δW t= ⋅ = ⋅F r F v , será

P = ⋅v F (5.39)

La unidad de potencia en el sistema MKS es el Watt (W): 1 W = 1 J/s=1 Nm/s = 1 kg m2/s3. Enel sistema cgs es el erg/s = 10–7W. En algunas aplicaciones se usa el HP (1HP = 748W). De launidad de potencia deriva una unidad de energía muy usada: el kWh (1 kWh = 3.6 × 106J).Calculemos la potencia disipada en un salto de agua en el que en la unidad de tiempo un masadm dt/ cae desde una altura h; claramente


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Pdm

dtgh= (5.40)

Si el caudal del salto es de 1000 m /s3 tendremos que dm dt/ = 106 kg/s . Si h = 100 m resultaentonces P ≅ × =9 8 10 9808. W MW .

Trabajo y energía en movimientos unidimensionales

En todo movimiento unidimensional si la fuerza depende sólo de la posición y no del tiempo, dela velocidad, etc. o sea si F F x= ( ), F es conservativa y podemos introducir la energía potencial

V x Fdx Vx

( ) = −∫ +0

0 (5.41)

En presencia de una fuerza conservativa la energía mecánica se conserva y E T V= + = cte.Examinemos las consecuencias de la conservación de la energía mecánica en un movimientounidimensional (Fig. 5.7a). Una forma útil de analizarlo se basa en el diagrama de la energía(Fig. 5.7b), en el cual representamos los términos de E en función de la coordenada x:• E ( = cte.) es una recta paralela al eje x,• V(x) es una curva cuya forma depende de F(x),• T E V= − como se ve en la figura para el punto x1.

x–

x1

T(x1)

V(x1)

V(x)

x

E

(a) (b)

O

x

x+ x2

Fig. 5.7. En un movimiento unidimensional (a) bajo el efecto de una fuerza conservativa esútil el diagrama de la energía (b) que da una representación integral del movimiento.

El diagrama de la energía es una representación integral del movimiento que permite deducirvarias características del mismo sin necesidad de cálculos laboriosos, de ahí su utilidad.Puesto que T no puede ser negativa (T mv= ≥2 2 0/ ) se debe cumplir

E V x≥ ( ) (5.42)

Luego el movimiento está confinado a los intervalos de x tales que V E< . Por eso en el caso dela Fig. 5.7b el móvil no puede llegar al punto x2. En la Fig. 5.7b el movimiento está limitado alos puntos que cumplen la condición x x x− +< < . En x− y x+ , que se llaman puntos de retorno,se tiene T = 0 o sea v x( )m = 0 , luego E V= .En un punto como x1 la velocidad puede tener dos valores:


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v xm

E V x( ) [ ( )]1 12

= ± − (5.43)

En x1 la fuerza

F xdV

dx x( )1

1

= −

(5.44)

apunta hacia las x negativas. Si imaginamos que V x( ) representa el perfil de una cuesta, lafuerza está siempre dirigida cuesta abajo. Está claro pues que a medida que el móvil se acerca ax+ la fuerza lo frena. Análogamente si el móvil se acerca a x− la fuerza (ahora dirigida en sen-tido x positivo) también lo frena. Luego el movimiento descripto por el diagrama es una oscila-ción en que el móvil va y viene entre los puntos de retorno.

x1

V(x)

x

E4

E3

E2

E1

x2 x3 x4x5 x6 x7

Fig. 5.8. Diagrama de la energía que muestra los diferentes tipos de movimiento que sepresentan según sea el valor de la energía mecánica del móvil.

El tipo de movimiento depende de la forma de V x( ) y del valor de E. Observando la Fig. 5.8vemos que se presentan varias posibilidades:• para E E= 1 puede haber dos movimientos posibles: una oscilación con puntos de retorno x1

y x2 y una oscilación con puntos de retorno x3 y x4 ;• para E E= 2 el movimiento es una oscilación con puntos de retorno x5 y x6;• para E E= 3 el movimiento no es oscilatorio; el móvil viene de la izquierda desde el infinito

y al acercarse a x7 se frena, se detiene y vuelve atrás alejándose nuevamente hasta el infi-nito: hay un solo punto de retorno;

• para E E= 4 no hay puntos de retorno: un móvil que viene de –∞ va hasta +∞ sin detenerse(aunque su velocidad varía con x); también es posible el movimiento en sentido contrario, enque el móvil viene de +∞ y va a –∞ sin detenerse.

Luego el movimiento puede ser ligado, si el móvil está atrapado en un pozo de energía potencialy oscila entre dos puntos de retorno, o no ligado, cuando el móvil viene y va al infinito. Veamosalgunos ejemplos.


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Lanzamiento vertical

Si lanzo un objeto de masa m hacia arriba con velocidad v0, inicialmente T mv0 02 2= / , V V= 0 y

E T V= +0 0 . La altura máxima corresponde al punto de retorno zm donde E V zm= ( ) . Luego

z v gm = 02 2/ (5.45)

–1.0

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.5 1.0 1.5 2 2.5 3

0.5 1 1.5 2

V(r)mg(rT)rT

V(z)–V0mg(rT)rT

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

r/rT

z/rT

mg(rT)z–mg(rT)rT/r2

zm/rT

rm/rT

E

E'

Fig. 5.9. Diagrama de la energía para el lanzamiento vertical.

La (5.45) vale para z rm T<< , es decir para valores pequeños de la velocidad inicial v0 . Para va-lores grandes de v0 hay que tomar en cuenta la variación de g con la altura, usando la expresión(5.25) de la energía potencial (Fig. 5.9). Tenemos entonces que

E T r V r mv r mg r rr

mv mg r rT T T T= + = − = − =( ) ( ) ( ) ( ) ( )12

2 2 12 0

21cte. (5.46)

De aquí obtenemos que el punto de retorno5 rm (correspondiente a v rm( ) = 0) está dado por

1 1 12

02

2r r

v

g r rm T T T= −

( )(5.47)

Para que el cuerpo se pueda alejar hasta el infinito es preciso que v0 cumpla la condición

v v g r re T T0 2 11 2≥ = ≅( ) . km/s (5.48)

La velocidad ve se llama velocidad de escape. Si v ve0 < el movimiento es ligado y el móvilvuelve a caer. Si v ve0 > el móvil se aleja al infinito. Un cuerpo lanzado con la velocidad vellega a r = ∞ con velocidad nula. La velocidad de escape es igual a la velocidad con la cual uncuerpo que cae (con velocidad inicial nula) desde el infinito llega a la superficie de la Tierra.

5 Estas fórmulas valen siempre y cuando se conserve la energía mecánica y por lo tanto no toman en cuenta la

resistencia del aire, que reduce la velocidad del móvil mientras éste se encuentra dentro de la atmósfera terrestre.


118

La fórmula (5.48) de la velocidad de escape vale para cualquier cuerpo celeste, con tal de usar elvalor correspondiente del radio y de la aceleración de la gravedad en la superficie. Consideremosla Luna: su radio es de 1738 km y la aceleración de la gravedad en su superficie es de 162.4 gal(aproximadamente una sexta parte de la gravedad en la superficie de la Tierra). De la (5.48) ob-tenemos entonces que la velocidad de escape desde la Luna es de 2.38 km/s.

Oscilaciones de un resorte

Si desplazo el extremo de un resorte una distancia x desde el equilibrio (x es la elongación) elresorte ejerce una fuerza que tiende a devolverlo al equilibrio, dada por

F kx= − (5.49)

donde k es la constante del resorte (Fig. 5.10). La energía potencial correspondiente vale:

V kx dx kx Vx

= ′ ′∫ = +0

12

20 (5.50)

x

F = – kx

m

m

Fig. 5.10. Si desplazamos el extremo de un resorte una distancia x desde el equilibrio el re-sorte ejerce una fuerza F kx= − que tiende a devolverlo al equilibrio.

Es usual elegir V0 0= . Luego

V x kx( ) = 12

2 (5.51)

El movimiento de una masa m sometida a la fuerza (5.49) se describe por medio de la Fig. 5.11.El movimiento es siempre ligado y consiste de una oscilación entre los puntos de retorno −a y+a, dados por

k

Ea

2= (5.52)

Luego a es la amplitud de la oscilación. La energía de la oscilación es proporcional al cuadradode la amplitud. En los extremos de la trayectoria ( x a= ± ) la energía cinética de la masa es nulay la energía mecánica es solamente potencial. En el punto medio ( x = 0 ) la energía potencial esnula y le energía mecánica es puramente cinética. Por lo tanto a medida que el móvil se desplazaalejándose de x = 0 , la energía cinética se transforma en energía potencial; viceversa a medidaque el móvil se acerca a x = 0 , su energía potencial se transforma en energía cinética.


119

–1 –0.75 –0.5 –0.25 0.25 0.5 0.75 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

2V(x)/k

E

a x–a

Fig. 5.11. Diagrama de la energía para las oscilaciones de una masa movida por un resorte.

Consideraciones dimensionales sobre las oscilaciones

Claramente la oscilación está completamente definida dando k, m, a y la fase inicial ϕ0 , cuyasdimensiones son

[ ] [ / ] , [ ] , [ ] [ ] , [ ]k m t m a= = =20 0l ϕ (5.53)

Todas las características del movimiento se deben poder expresar en términos de estos paráme-tros. En particular el periodo T de la oscilación no puede depender de ϕ0 , luego

T m k~ / (5.54)

Por lo tanto el periodo de las oscilaciones del resorte no depende de la amplitud de las mismas6.Nuestro análisis muestra que T es proporcional a m k/ pero no permite conocer la constante(numérica) de proporcionalidad. Podemos sólo suponer que esa constante es del orden de la uni-dad. Para determinar su valor exacto hay que resolver las ecuaciones del movimiento (cosa queharemos en el Capítulo 6). Es interesante, sin embargo, hacer una estimación. ¿Cómo? Basán-donos en consideraciones sobre el impulso y la cantidad de movimiento. Consideremos, porejemplo, qué sucede en un cuarto de período, cuando el móvil va de 0 hasta a. Será

∆ p FdtT

= ∫0

4/

(5.55)

Pero ∆ p mvm= − donde la velocidad máxima v v xm = =( )0 vale v a k mm = / , luego

∆ p ma k m= − / (5.56)

Por otra parte el miembro derecho de la (5.55) se puede escribir como FT / 4 donde F es el va-lor medio temporal de la fuerza. Obviamente F qFm= , donde F k am = − y 0 1< <q . El factor q

6 La razón física de esto es la ley de fuerza (5.49), que determina las dimensiones de k.


120

es menor que la unidad, pero próximo a ella pues el móvil pasa más tiempo cerca del punto deretorno, donde tiene menos velocidad. Luego qd1. Por lo tanto

Fdtqk aT

T

0

4

4

/

∫ = − (5.57)

Entonces de (5.56) y (5.57) resulta

Tq

m

kq=

41, d (5.58)

En el Capítulo 6 veremos que T m k= 2π / de modo que q = ≅2 0 64/ .π , luego nuestra conje-tura es correcta. El lector pensará que tiene poca gracia nuestra estimación siendo que se conoceel valor exacto. Sin embargo es útil acostumbrarse a hacer estimaciones porque:• para hacerlas se tiene que analizar la física del problema y evaluar la importancia relativa de

factores y efectos, lo cual mejora la comprensión del mismo;• a veces el cálculo exacto es muy difícil o imposible; cuando eso ocurre las estimaciones son

el único recurso que queda para obtener algún resultado. Una estimación, por grosera quesea, es siempre mejor que nada.

Variación de la energía mecánica por efecto de fuerzas no conservativas

La noción de sistema mecánico conservativo, para el cual el movimiento consiste en un juego enel que la energía cinética aumenta a expensas de la energía potencial y viceversa, es una ideali-zación ya que en realidad ningún sistema macroscópico es conservativo. En la práctica existensiempre fuerzas no conservativas de una u otra clase7. Consideremos entonces el caso en quealgunas de las fuerzas que actúan sobre un móvil no son conservativas, de modo que

F F F= +c nc (5.59)

donde Fc V= ∇ es la resultante de las fuerzas conservativas y Fnc indica la resultante de lasfuerzas no conservativas que actúan sobre el móvil (fuerzas de rozamiento, resistencia del aire yotras que tienden a disipar la energía mecánica o bien fuerzas que tienden a aumentarla, comolas que actúan cuando se produce una explosión). Si calculamos el trabajo, será

δ δ δ δ δ δW V Wc nc nc= ⋅ = ⋅ + ⋅ = − +F r F r F r (5.60)

Pero por el Teorema de la fuerza viva δ δW T= . En consecuencia δ δ δT V Wnc= − + , de donde

δ δ δ δE T V Wnc= + = (5.61)

Luego en general la energía mecánica no se conserva y su variación es igual al trabajo de lasfuerzas no conservativas. Si éstas se oponen al movimiento (como las fuerzas de roce), el trabajoque realizan es negativo y la energía mecánica disminuye: hay lo que se llama disipación.

7 El movimiento de los cuerpos celestes, como los que integran el Sistema Solar, es quizás lo que mejor se

aproxima a un sistema conservativo ideal. Pero aún en ese caso hay fuerzas no conservativas provenientes de la

interacción de esos cuerpos con el gas y el polvo del espacio interplanetario y de otros efectos.


121

Disipación de energía mecánica

La energía mecánica se puede disipar cuando actúan fuerzas no conservativas. Es así que lasoscilaciones de un resorte se amortiguan y finalmente cesa el movimiento. En este proceso desa-parece la energía mecánica, pero no se aniquila: se transforma en otra clase de energía.En ciertos casos la energía mecánica se transforma en calor: es un dato de la experiencia que lafricción genera calor (todos saben que los frenos de un automóvil se calientan). Cuando se pro-duce un fenómeno de esta clase, al desaparecer una cantidad de energía mecánica dada por

δ δE Wnc= < 0 (5.62)

se produce una cantidad equivalente de calor:

δ δQ Wnc= − (5.63)

El calor es una forma de energía: a nivel microscópico es la energía mecánica debida a la agita-ción desordenada de las moléculas de todo medio material.

Las unidades de calor

El calor una forma de energía y se lo puede medir en la misma unidad que la energía mecánica(por ejemplo J o erg). Pero como el concepto de calor se introdujo antes de saber que se tratabade una forma de energía, se establecieron para el mismo unidades independientes de las unidadesmecánicas. La unidad de calor es la caloría (cal), que originalmente se definió como la cantidadde calor necesaria para elevar la temperatura de 1 g de agua de 14.5 ˚C a 15.5 ˚C. Posteriormentese determinó la equivalencia entre las unidades de calor y energía midiendo el trabajo disipativonecesario para producir 1 cal. Se encontró así que 1 cal = 4.1868 J. Hoy día se sigue empleandola caloría en algunas aplicaciones, pero su definición actual es simplemente

1 4 186cal J= . (5.64)

Si se emplean las calorías o los Joules es puramente cuestión de conveniencia.

Transformaciones de la energía

La energía mecánica se puede transformar en calor produciendo una variación de la energía tér-mica o energía interna. Esta es sólo una de las transformaciones que puede sufrir la energía. Sise toman en cuenta todas las formas de energía y todas las transformaciones, resulta que la ener-gía total (suma de todas las formas) de un sistema aislado permanece constante. Luego la ener-gía no se crea ni se destruye, sólo se transforma y se transfiere de un sistema a otro8.Así como la energía mecánica se transforma en energía interna, se puede dar el proceso inverso,es decir la transformación Energía Interna ⇒ Energía Mecánica. Por ejemplo si se expande ungas contenido en un cilindro moviendo el pistón, la fuerza debida a la presión del gas realiza untrabajo sobre el pistón, que podemos usar para aumentar la energía mecánica del ambiente (porejemplo levantando una pesa). Al mismo tiempo el gas del cilindro se enfría y su energía internadisminuye, a menos que compensemos esa pérdida de energía interna suministrándole calor(para lo cual hay que poner el gas en contacto con una fuente térmica). En este último caso, el

8 Este hecho constituye la Primera Ley de la Termodinámica.


122

resultado neto del proceso es que el calor que hemos suministrado al gas se ha convertido enenergía mecánica del ambiente, el gas ocupa un volumen mayor pero su energía interna es lamisma que antes de la expansión, y la fuente térmica ha perdido energía. Pero en esta clase detransformaciones hay limitaciones: no es posible un proceso cuyo único resultado sea transfor-mar totalmente en energía mecánica el calor extraído de una fuente térmica9. Sólo una parte delcalor extraído de la fuente se puede transformar en energía mecánica. El resto tiene que ser en-tregado en forma de calor a otra fuente más fría. No seguiremos más sobre estos temas. Bastaesto como introducción. El estudio de las transformaciones de la energía y de sus limitaciones esmateria de la Termodinámica.No está demás señalar aquí que la energía es un bien útil y valioso, pero no hay que perder devista que la presencia de grandes cantidades de energía en pequeños volúmenes es potencial-mente peligrosa. Esto es obvio en el caso de la energía química de un explosivo, pero la gente nosuele pensar en eso cuando se trata de la energía química almacenada en el tanque de un auto-móvil o de la energía cinética de un vehículo lanzado con alta velocidad, a pesar que todos losdías nos enteramos de las lamentables consecuencias que resultan si esas cantidades de energíase liberan por accidente en forma imprevista y no deseada. Veremos en lo que sigue que las altasdensidades de energía pueden producir efectos catastróficos.

Caída de un objeto en el aire

Si un objeto cae en el aire su aceleración está dada por la ec. (4.52):

a gF

mg

mC uaa f= − = −

12

2 2ρ l (5.65)

Aquí m es la masa del cuerpo, l es su dimensión lineal transversal al movimiento, u su veloci-dad, ρ f es la densidad del aire y el valor del coeficiente da arrastre Ca depende del numero deReynolds R (ver el Capítulo 4). Sabemos que en este caso se alcanza una velocidad límite v*para la cual 0=a . A partir del momento en que el móvil llega a la velocidad límite, se tiene quev v= =* cte. y todo el trabajo de la fuerza de gravedad se disipa, dado que la energía cinética delmóvil no crece a medida que éste desciende y pierde energía potencial. Tendremos entonces queδT = 0, δ δV mg z= − y δ δW F zdis a= − . Luego

δ δ δE mg z F za= − = − (5.66)

¿En qué va a parar en este caso la energía mecánica que pierde el móvil? Esa energía queda en elfluido, parte en forma de energía cinética del movimiento de las parcelas del fluido (que se po-nen en movimiento debido al pasaje del móvil), parte como energía interna del mismo. En con-diciones de arrastre turbulento (R >> 1) el grueso va a parar a la energía cinética del movimientodel fluido. Eso es lo que ocurre de inmediato. Es complicado describir lo que pasa después, peroesencialmente lo que sucede es que los vórtices y remolinos de la turbulencia intercambianenergía entre sí, y de resultas de ello los vórtices pequeños ganan energía a expensas de los másgrandes. Al mismo tiempo la energía de los vórtices más pequeños se disipa por efecto de laviscosidad, transformándose en energía interna. Se produce así lo que se llama una cascada en lacual la energía pasa gradualmente de los vórtices grandes a los pequeños y de éstos a la energía

9 Este hecho se conoce como Segunda Ley de la Termodinámica.


123

del movimiento desordenado de las moléculas del fluido. Al final del proceso el fluido queda denuevo en reposo y toda la energía que ganó a expensas de la energía mecánica del móvil acabaen forma de energía interna, o sea de calor.

Impacto de bólidos

El impacto de cuerpos celestes es un proceso de fundamental importancia para la formación y laevolución de los cuerpos del Sistema Solar y que alteró (y sigue alterando) las superficies de lamayor parte de ellos debido a la formación de cráteres de impacto. El impacto en la Tierra degrandes bólidos en el remoto pasado provocó catástrofes globales de resultas de las cuales ocu-rrieron extinciones masivas de especies. Desde nuestro punto de vista son un ejemplo especta-cular de los efectos de la disipación de energía mecánica, que muestra la variedad de transfor-maciones de la energía.Varias clases de objetos cósmicos pueden chocar con la Tierra y lo han hecho en el pasado comolo muestra la evidencia geológica. Los impactores o meteoroides más grandes (afortunadamentepoco frecuentes) son asteroides o cometas; los menores son fragmentos de dichos cuerpos, tro-zos de roca de la superficie de algún planeta arrojados al espacio de resultas de un impacto ante-rior, u objetos primordiales. Los meteoroides más pequeños se destruyen en la atmósfera y sustrayectorias visibles dan lugar a meteoros tales como estrellas fugaces y bolas de fuego; los me-teoritos son los restos de esos cuerpos que sobrevivieron y llegaron el suelo. Aquí nos ocupare-mos de meteoroides cuyo tamaño es de 100 m o más, cuyo impacto puede producir catástrofesde escala local, regional e incluso global.Los asteroides y cometas orbitan alrededor del Sol y cuando llegan a las proximidades de nues-tro planeta sus velocidades vb son del orden de 30 km/s para los asteroides y 40 km/s para loscometas. La velocidad orbital vT de la Tierra es de unos 30 km/s. La velocidad relativa vr deuno de esos cuerpos respecto de la Tierra depende del ángulo con que se intersecan las respecti-vas órbitas y su valor (Fig. 5.12) está comprendido entre

v v v v vT b r T b− ≤ ≤ + (5.67)

vT

vb

v

bólido

Tierra

Fig. 5.12. La velocidad relativa de un cuerpo respecto de la Tierra depende del ángulo conque se intersecan las respectivas órbitas.


124

Al acercarse a la Tierra el impactor se acelera al caer en el campo gravitatorio terrestre. Podemosestimar el efecto que esto tiene sobre la velocidad vi con que choca con nuestro planeta a partirde la conservación de la energía mecánica. Lejos de la Tierra la energía del bólido es puramentecinética y vale T T m vb r= =∞

2 2/ . Al llegar a la superficie T T r m vT b i= =( ) /2 2 y su energía po-tencial es V r m g r rT b T T( ) ( )= − (5.25). Por conservación de la energía mecánica

T r V r TT T( ) ( )+ = ∞ (5.68)

Usando la expresión (5.48) de la velocidad de escape obtenemos

v v vi r e2 2 2= + (5.69)

De aquí y de (5.67) resulta que vi es como mínimo ve ≅ 11 2. km/s y como máximo unos70 km/s. Un valor típico para un impacto asteroidal es 20 km/s mientras que para un impactocometario es de 56 km/s. Podemos entonces suponer que 30 km/s es la típica escala de velocidadasociada con los impactos.La energía cinética específica de un bólido de masa mb cuya velocidad es vi vale

εi i b i iT m v V V v= = ≅ ≡/ / ( ) , ( ) /2 22 450 30MJ/kg km/s (5.70)

donde V es del orden de la unidad. El valor de εi es mucho mayor que la energía química especí-fica de un explosivo como el TNT (εTNT MJ/kg≈ 4 7. ). Luego a igual masa el contenido deenergía cinética de un bólido lanzado a 30 km/s es 100 veces mayor que la energía química deun explosivo militar. La comparación es apropiada pues veremos que al chocar con el suelo elbólido libera su energía cinética (es decir la disipa) en forma de una explosión.Los cometas son una mezcla porosa de hielo y polvo y su densidad media es ρb ≈ 0 6 3. g/cm . Lamayoría de los asteroides y de sus fragmentos son rocosos ( ρ ≈ −2 3 3 5 3. . g/cm ), pero una pe-queña fracción de ellos son metálicos (esencialmente hierro, ρ ≈ 7 8 3. g/cm ). Su porosidad varíadesde 0 hasta un 70%. Según su composición y porosidad, su densidad media ρb está compren-dida entonces entre 1 y 7 g/cm3. La forma de los asteroides y los cometas es irregular y sus di-mensiones lineales van desde algunas decenas de metros a varias decenas de km. Para evitarfactores numéricos no esenciales en nuestras fórmulas vamos a suponer que el impactor es uncubo de arista d. Resulta entonces

T d Vi b( ) ,ton TNT cgs m≅ 108 3 2ρ (5.71)

Aquí ρ ρb b, ( )cgs g/cm≡ 3 , d dm m≡ ( ) y expresamos la energía cinética en términos de toneladasde TNT o de sus múltiplos como el kiloton y el megaton10.El estudio del impacto es muy difícil. De hecho no se pueden encontrar soluciones exactas nique se expresen en términos de fórmulas cerradas y funciones conocidas. Esta es una situaciónque se presenta a menudo cuando se estudian fenómenos de la naturaleza y lo que se hace enesos casos es recurrir a simulaciones numéricas basadas en sofisticados códigos. Cabe pregun-

10 El megaton es aproximadamente equivalente a la energía liberada en la detonación de 106 toneladas de TNT. Por

definición 1 megaton (Mton) = 4.184 × 1015 J.


125

tarse entonces de qué sirven las estimaciones11. La respuesta es que no se puede encarar el desa-rrollo de un código si no se tiene una idea previa de cuál es la física que tiene que contemplar.Aún contando con los más poderosos supercomputadores, ningún código puede incluir todos losprocesos y efectos imaginables. Por lo tanto hay que tener criterios para decidir qué se debe in-cluir y qué se puede omitir sin temor de descuidar aspectos fundamentales. Por eso las estima-ciones son un paso previo indispensable cuando se aborda un problema de esta clase.Para nuestras estimaciones numéricas usaremos un bólido “patrón” para el cual ρb = 2 5 3. g/cm ,d = 100 m , vi = 30 km/s , que entra en la atmósfera con una inclinación θ = 45˚ desde la vertical.Con estos datos resulta Ti ≅ 270 megatones (unas 10000 veces más que la energía conjunta delas explosiones atómicas que destruyeron Hiroshima y Nagasaki a fines de la Segunda GuerraMundial). Puesto que existen en el sistema Solar numerosos objetos cuyos tamaños llegan hastavarias decenas de km o más, que circulan en órbitas que pueden llegar a intersecar la de la Tie-rra, y dado que Ti escala como d3, está claro que se trata de objetos en extremo peligrosos.

Impacto de un bólido a hipervelocidad

Si nada frena al bólido antes de estrellarse12, como ocurre en la Luna, el cuerpo al llegar al sueloconserva su velocidad cósmica vi . Veamos qué sucede entonces.

Penetración y frenado

La velocidad cs de las ondas elásticas en la corteza terrestre (que pueden transportar energía lejosdel punto del impacto) es a lo sumo de 3 – 5 km/s, según sea el material de la misma. Luego

c vs i<< (5.72)

Mientras su velocidad está muy por encima de cs el impactor interactúa sólo con el material quese lleva por delante. El material embestido es empujado por el proyectil, dejando detrás un túnel(Fig. 5.13). Por lo tanto durante la fase principal del frenado la perturbación afecta apenas unacapa muy delgada alrededor de dicho túnel. Consideramos despreciable esa pequeña capa. Elmodelo que resulta de esta hipótesis recibe el nombre de modelo de barrenieve, o de topadora.Si ρs es la densidad del suelo, la masa barrida por el impactor en un intervalo dt esdm vdt ds s= ρ 2 . Esta masa adquiere la velocidad v, y por lo tanto la cantidad de movimiento

dp dm v v dt ds s s= = ρ 2 2 (5.73)

Por conservación de la cantidad de movimiento,

dp dps b+ = 0 (5.74)

Luego en dt el bólido pierde la cantidad de movimiento dp v dt db s= −ρ 2 2 , de modo que lamagnitud de la fuerza de arrastre es

Fdp

dtv da

bs= = ρ 2 2 (5.75)

11 Se advierte al lector que para entender bien algunos aspectos de nuestras estimaciones conviene haber leído

previamente los Capítulos 12, 14 y 15 de este libro.12 Veremos que la atmósfera puede frenar cuerpos de pequeño tamaño.


126

En la (5.75) se reconoce la expresión (4.74) de la fuerza de arrastre. Como m db b≈ ρ 3 , la ecua-ción de movimiento es

d v

dt

v= −

2

l(5.76)

donde hemos introducido la longitud característica de frenado

l =ρρb

sd (5.77)

d

vi

Fig. 5.13. Impacto a hipervelocidad en el suelo. Mientras la velocidad del cuerpo es muchomayor que la cs el proyectil interactúa sólo con el material que encuentras en su camino,de modo que durante la fase principal del frenado el impacto no perturba lugares alejadosy sólo afecta una zona despreciable alrededor del túnel que excava el proyectil.

La (5.76) se puede escribir como d v dt( / ) /1 = l, que se integra de inmediato dando

1 1v v

t

i= +

l(5.78)

de donde obtenemos

vv

v ti

i=

+1 / l(5.79)

Luego la velocidad disminuye hiperbólicamente en el tiempo característico

tv

d

vi

b

s i* = =

l ρρ

(5.80)

La distancia característica de frenado l corresponde a un espesor de suelo tal que la masa ba-rrida es igual a la masa del proyectil. En pocas palabras, en el intervalo t * el bólido penetra en


127

el suelo hasta una distancia l , su velocidad se reduce a la mitad y por lo tanto se disipan las 3/4partes de su energía cinética, esto es, el grueso de la misma (Fig. 5.14).

0.5 1.0 1.5 2.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

v(t)/vi

T(t)/Ti

t/t*

Fig. 5.14. Mientras el impactor se entierra en el suelo su velocidad disminuye hiperbóli-camente con t. El tiempo característico de frenado es t vi* /= l y la distancia característical de frenado corresponde a un espesor de suelo tal que la masa barrida es igual a la masadel proyectil. En t * el bólido recorre la distancia l , su velocidad se reduce a la mitad y sedisipan las 3/4 partes de su energía cinética.

Luego si nuestro bólido patrón impacta sobre un suelo rocoso ( ρs ≅ 2 5. g/cm3) se enterrará auna profundidad l ≈ 100 m en t* ≈ × −3 10 3 s disipando una energía equivalente a 270 megato-nes. En ese tiempo la perturbación se habrá alejado a una distancia ct* ≈ −10 15 m del lugar delimpacto. Lo que sucede después que la velocidad ha disminuido hasta hacerse sónica es difícilde describir en detalle. Pero las características esenciales del fenómeno no dependen de eso, sinode consideraciones generales que se puedan hacer fácilmente.

La atmósfera puede frenar un bólido?

Cada año ingresan en la atmósfera unos 1500 meteoroides de más de 100 kg, que si llegaran alsuelo sin frenarse producirían explosiones equivalentes a 10 toneladas de TNT o más. Afortuna-damente la atmósfera brinda cierta protección contra estos peligrosos proyectiles. En efecto,mientras cruza la atmósfera el bólido está sometido a esfuerzos mecánicos debidos al frenadocausado por la fuerza de arrastre (ver el Capítulo 4). Estos esfuerzos lo pueden fracturar y redu-cir a fragmentos si la presión de estancamiento p ve a= 1

22ρ (v es la velocidad del bólido y ρa es

la densidad del aire) supera la resistencia mecánica Yb del cuerpo. Por ejemplo si v = 17 km/s,pe ≈ 1 7. kbar al nivel del suelo. Por otra parte las propiedades mecánicas de los impactores nose conocen bien. Algunos de esos cuerpos (llamados “pilas de escombros”) son aglomerados depequeños fragmentos ligados muy débilmente por su atracción gravitatoria mutua y su resisten-cia mecánica es casi nula, pero otros son monolíticos y su resistencia puede ser de algunos kbar.Además muchos impactores son muy porosos, hecho que puede tener efectos importantes sobresu deformación y fragmentación. Aquí no vamos a entrar en detalles sobre este complicadoasunto y nos limitaremos a mencionar que se puede mostrar que la mayoría de los cuerposrocosos y cometarios de pequeño tamaño (dd100 m) se desintegran y disipan su energía en laatmósfera. Por otra parte objetos metálicos de pequeño tamaño pueden llegar al suelo enteros.Por lo tanto el lector debe ser prudente al usar nuestras estimaciones cuando se trata de objetos


128

con dd100 m. Pero para tamaños mayores se puede ignorar la ruptura cualquiera sea la resisten-cia mecánica del impactor, porque la escala temporal del proceso de fragmentación crece li-nealmente con d y para d > 100 m se hace mayor que el tiempo requerido para atravesar la at-mósfera. En esos casos se puede suponer que el bólido llega al suelo como un único cuerpo.Si no ocurre fragmentación podemos estimar el efecto de la atmósfera sobre el movimiento deun proyectil que llega con una velocidad muy grande (hipervelocidad) por medio del modelo debarredora de nieve que usamos anteriormente. Para ello tenemos que observar que la velocidadde agitación térmica de las moléculas del aire ( ≈ 0.3 km/s) es despreciable frente a la velocidaddel bólido. Todo ocurre en la práctica como si estuvieran inmóviles.

q

q

ha

(a)

(b)

Fig. 5.15. Ingreso de un bólido en la atmósfera: (a) geometría del problema, (b) modeloaproximado empleado para las estimaciones.

La densidad del aire es ρa ≈ × −1 2 10 3. g/cm3 al nivel del mar y disminuye con la altura, ademásen general la trayectoria del bólido es oblicua y se debe tomar en cuenta la curvatura de la Tierra(Fig. 5.15a). Pero como sólo nos interesa calcular órdenes de magnitud, supondremos que laatmósfera es una capa plana (Fig. 5.15b) de densidad uniforme ρa ≈ × −1 2 10 3. g/cm3 y de espe-sor h p ga a= ≈0 8 6/ .ρ km ( p0 1≈ bar es la presión13 atmosférica al nivel del suelo).Con un razonamiento parecido al que hicimos antes obtenemos que la fuerza de arrastre vale

F v da a= τρ 2 2 (5.81)

13 El bar es un unidad de presión (1 bar = 105 N/m2 ) que equivale aproximadamente a una atmósfera.


129

Aquí τ ≅ 1 2/ es un factor que toma en cuenta los detalles del flujo alrededor del impactor. Eltiempo que tarda el bólido en cruzar la atmósfera es del orden de h va / cosθ , luego la variaciónde su cantidad de movimiento por el impulso de Fa es ∆p h v h vda a a≈ − = −/ cos / cosθ τρ θ2 , demodo que la variación relativa de la cantidad de movimiento del impactor es

∆pp

h

da a

b= − = −

τρρ θ

εcos

(5.82)

Luego, siempre y cuando no se fragmente, si el parámetro

ετρρ θ

= <<a a

b

h

d cos1 (5.83)

el bólido chocará con el suelo sin haber perdido una fracción importante de su cantidad de mo-vimiento. Se debe observar que ε es inversamente proporcional a d, de modo que los meteoroi-des grandes, para los cuales ε << 1 (por ejemplo ε ≈ 0 03. para nuestro bólido patrón) se frenanmuy poco en la atmósfera. También se puede ver que la energía cinética de bólidos con ε << 1es siempre mayor que varios megatones.Es sencillo estimar el efecto del aire sobre la trayectoria de un bólido grande. Puesto que conbuena aproximación v se mantiene constante, cruzará la atmósfera en un lapso del orden de

th

v Vaa

i= ≈

cos. ( )cosθ θ

0 3 s(5.84)

La desviación en radianes de la trayectoria del bólido respecto una recta debida a la aceleraciónde la gravedad es

gt

v Va

i

sen tanθ θ≈ −10 4

2 (5.85)

y claramente es despreciable excepto si θ π≈ / 2 .Si el bólido no pierde masa mientras cruza la atmósfera, usando la (5.82) resulta que llega alsuelo con la velocidad vi ( )1− ε y la energía cinética Ti ( )1 2− ε , de modo que la energía disipadaen la atmósfera es E Td i≈ 2ε . De acuerdo con este resultado nuestro bólido patrón al cruzar laatmósfera pierde el 6% de su energía cinética, esto es 16 megatones.No discutiremos aquí lo que ocurre con meteoroides pequeños (εt1). Todos ellos se destruyenpor completo, la mayoría en la alta atmósfera. Por otra parte veremos en breve que la pérdida demasa de los impactores de gran tamaño es despreciable.

Explosión y formación del cráter de impacto

Vimos que nuestro bólido patrón al chocar con el suelo se frena en 3 milisegundos, tiempo en elcual disipa una energía cinética equivalente a 254 megatones14 dentro de un volumen de~ 106 3m que contiene una masa 2 5 109mb ≈ × kg . Esta energía cinética se convierte en energíainterna de dicha masa y equivale en promedio a 225 MJ/kg, cantidad más que suficiente paravaporizar cualquier material (el calor latente de vaporización de las rocas es del orden de 8

14 Al cruzar la atmósfera disipó 16 megatones de los 270 que traía.


130

MJ/kg) y llevar el vapor a una temperatura del orden de 104 – 105 ˚K. Por lo tanto el bólido y lamasa del suelo que barrió se vaporizan de inmediato. La liberación casi instantánea de estaenorme cantidad de energía provoca una explosión centrada a una profundidad d, cuya magnituden nuestro ejemplo supera ampliamente la de las mayores bombas nucleares.En efecto, la presión del vapor que se produce se puede estimar por razones dimensionales comop T di* /≈ 3, lo que da

p Vb* ( ,Mbar) cgs≈ 10 2ρ (5.86)

Este es un valor enorme15, que supera por más de 3 órdenes de magnitud la resistencia mecánicade cualquier material. Como nada puede contener semejante presión, se produce una poderosaonda de choque que a medida que se expande alrededor del punto de impacto desmenuza y pul-veriza la corteza y lanza los fragmentos (llamados ejecta) hacia arriba y a los costados16. dejandouna cavidad aproximadamente semiesférica llamada cráter transitorio (Fig. 5.16a). Este procesode excavación continúa hasta que la onda de choque se atenúa al punto que ya no puede fracturarlas rocas de la corteza, luego de lo cual se propaga como una onda sísmica.

DD

(a) (b)

Fig. 5.16. Formación de un cráter de impacto: (a) la explosión desmenuza el suelo cercadel punto de impacto y lanza los fragmentos hacia arriba y a los costados dejando una ca-vidad transitoria (gris oscuro); (b) las paredes de la cavidad transitoria se derrumban, partede los fragmentos cae dentro de la misma y en sus alrededores y el cráter toma su formadefinitiva.

Podemos estimar el tamaño del cráter transitorio comparando la energía Ti de la explosión conla energía Ec necesaria para fragmentar los materiales del suelo y con la energía potencial gra-vitatoria Eg que hay que suministrar a los fragmentos para que salgan del cráter. El orden demagnitud de Ec resulta de multiplicar el volumen de una semiesfera de diámetro D por la cargade ruptura Y del material del suelo. Resulta entonces (redondeando π ≈ 3) que

E YDc ≈3 4/ (5.87)

15 1Mbar = 106 bar = 1011 N/m2.16 Los fragmentos expulsados tienen toda clase de tamaños, desde partículas de polvo hasta grandes bloques de roca

y salen disparados en trayectorias balísticas con enormes velocidades. Algunos de ellos, cuya velocidad supera la

velocidad de escape, se alejan permanentemente y quedan en órbita alrededor del Sol. Otros vuelven a caer, algunos

muy lejos del punto del impacto, otros más cerca. Los mayores pueden a su vez dar lugar a impactos secundarios

con formación de cráteres.


131

El valor de Y para la corteza terrestre oscila entre 0.2 y 0.4 kbar; de ahora en más haremos loscálculos con Y = 0 3. kbar . Por otra parte Eg se puede estimar como el peso de la masa contenidaen una semiesfera de diámetro D , multiplicado por su profundidad media que es 3 16D / .Redondeando como antes el factor numérico resulta

E gDg s≈ ρ 4 20/ (5.88)

La relación entre Ec y Eg está dada por

E

E

Y

gD

h

Dc

g s≈ =

5 5ρ

*(5.89)

donde el parámetro

hY

gs* .≡ ≈

ρ1 2 km (5.90)

es la altura para la cual la energía potencial gravitatoria es igual a la energía de cohesión.Si D h<< ≈5 6* km tendremos E Ec g>> , e igualando Ti y Ec obtenemos la ley de escala

D T Yi~ ( / ) /4 1 3 (5.91)

Para Y = 0 3. kbar resulta

D Ti( ) . [ ( )] /km Mton≈ 0 81 1 3 (5.92)

Sustituyendo en (5.87) el valor de Ti dado por la (5.72) se obtiene

D

dVb≈ 39 2 3ρ ,

/cgs

1/3 (5.93)

Si en cambio D h>> ≈5 6* km tendremos E Eg c>> y domina la gravedad; la correspondienteley de escala se obtiene igualando Ti y Eg y es

D T gi s~ ( / ) /20 1 4ρ (5.94)

de donde se obtiene

D Ti s( ) . [ ( ) / ],/km Mton cgs≈ 1 74 1 4ρ (5.95)

Sustituyendo el valor de Ti resulta

D

dd Vb≈ −138 1 4 1 2

m s1/4]/ /[ /ρ ρ (5.96)

Para impactos sobre la Tierra la transición entre las leyes de escala debidas a la cohesión y a lagravedad ocurre para energías de impacto de unos 400 megatones (Fig. 5.17).


132

D ~ Ti1/4

D ~ Ti1/3

lnTi

lnD

6 km

400 Mton

domina g

domina Y

Fig. 5.17. Si la energía Ti del impactor es menor que unos 400 Mton el tamaño del cráterde impacto está determinado por la cohesión del suelo y D Ti~ /1 3 ; en cambio cuando Tisupera los 400 Mton el tamaño está determinado por la gravedad y D Ti~ /1 4 .

Se debe mencionar que las leyes de escala que hemos obtenido se refieren al cráter transitorio,que no coincide ni en su forma ni en su tamaño con la estructura de impacto que queda. Estaúltima (Fig. 5.16b) está determinada por varios procesos que dependen de la magnitud del im-pacto e incluyen el derrumbe de las paredes del cráter transitorio, el rellenado parcial de la cavi-dad por la caída de fragmentos, la formación eventual de un pico central o de relieves en formade anillos y la efusión de magma.Una de las consecuencias de las explosiones que producen los cráteres de impacto es que el bó-lido se destruye por completo. Las tremendas aceleraciones durante el frenado implican esfuer-zos que ningún material resiste. Es un hecho que en los grandes cráteres de impacto no se en-cuentran nunca fragmentos grandes del proyectil. También se debe mencionar que la mayorparte del material expulsado del cráter está frío, pues la masa que se calienta y vaporiza es unafracción muy pequeña del total afectado por el fenómeno. En efecto, como D d>> la masa ex-pulsada (del orden de ρcD

3) es mucho mayor que la masa vaporizada (del orden de ρbd3).

Uno de los más conocidos cráteres de impacto es el Meteor Crater de Arizona, cuyo diámetro esde 1.22 km, la explosión que lo produjo ocurrió hace 50000 años y liberó entre 20 y 40 megato-nes. En un artículo de R. Grieve (Terrestrial Impact Structures, Ann. Rev. Earth Planet. Sci. 15,245-270, 1987) figura una lista de 116 cráteres de impacto conocidos, cuyos diámetros estáncomprendidos entre 0.01 km y 140 km. Un lista más reciente17 incluye 171 cráteres de impacto,el mayor de los cuales (Vredefort, Sudáfrica) tiene 300 km de diámetro y corresponde aTi ≈ ×6 108 megatones. Cuesta imaginar la pavorosa catástrofe ocasionada por ese impacto,piense el lector que la explosión fue 60000 veces más poderosa que lo que sería la explosiónsimultánea de todo el arsenal nuclear mundial, que asciende a unos 104 megatones. Para producirun cráter de 100 km de diámetro hace falta (si v1 30= km/s) un bólido de unos 3 km de diáme-tro. El volumen excavado es del orden de 104 km3. Parte de esta enorme cantidad de material vaa parar a la atmósfera en forma de polvo. Es obvio que el cataclismo resultante provoca impor-tantes consecuencias sobre el clima y las condiciones de vida en la Tierra. Si el bólido en lugarde caer en el suelo cayera en el agua las consecuencias también serían catastróficas. Afortuna-damente para nosotros esos eventos son muy raros (Fig. 5.18).

17 Ver www.unb.ca/passc/ImpactDatabase/ .


133

1

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10 –2

–4

–6

–8

–10

–12

2

4

6

8

10 10 10 1 10 10 10 10 10–6 –4 –2 2 4 6 8 10

Diámetro del impactor (metros)

Impactores de 1 µm observados por el

Space Shuttle, cada 30 µs

Estrellas fugaces ; 1 mm, cada 30 s

Meteoritos1 m, cada año

Meteor Crater (Arizona)100 m, cada 10.000 años

Sudbury, Ontario10 km, cada 100 Ma

Inte

rval

o m

edio

de

tiem

po

(añ

os)

entr

e im

pac

tos

sob

rela

Tie

rra

Fig. 5.18. Intervalo medio entre impactos en la Tierra de objetos de diferente tamaño.Obsérvese que la probabilidad de los impactos disminuye con el tamaño del impactor. Estose debe a que los bólidos grandes son mucho menos abundantes que los pequeños.

Disipación de energía durante el frenamiento en el aire

La física del ingreso de meteoroides en la atmósfera es sumamente compleja. Afortunadamente,para meteoroides de gran tamaño (ε << 1) se pueden hacer estimaciones sencillas porque esoscuerpos cruzan la atmósfera con una velocidad prácticamente constante y disipan una pequeñafracción de su energía cinética18. La potencia disipada durante el frenamiento de un bólido queatraviesa el aire es enorme, así como son enormes las fuerzas y aceleraciones en juego. Al niveldel suelo el arrastre aerodinámico vale

F v d V da a i m= ≈ ×τρ τ2 2 9 2 21 1 10. ( )N (5.97)

18 Se debe notar, sin embargo, que la disipación de muchos megatones en la atmósfera puede por sí misma dar lugar

a efectos catastróficos.


134

y la potencia disipada se puede estimar como

P F v d v d Va i a i= = ≅ρ τ2 3 332 m2 TW)( (5.98)

En comparación la potencia eléctrica instalada en nuestro país asciende a unos 0.01 TW.La energía disipada durante el ingreso se transfiere a la atmósfera por medio de tres procesos: (a)delante del bólido se desarrolla una onda de choque y el aire que la cruza se calienta adiabática-mente; (b) la superficie del bólido se calienta al absorber la radiación que emite al aire que secalentó al cruzar la onda de choque, lo que produce la fusión y evaporación de material; (c) elmaterial perdido por el bólido entrega finalmente su energía a la atmósfera.Estimaremos primero la pérdida de masa de un meteoroide de gran tamaño. La onda de choquefuerte que se desarrolla delante del mismo disocia las moléculas del aire y las ioniza. Estos pro-cesos consumen la mayor parte de la energía disipada y por este motivo la temperatura del gasque atravesó la onda de choque se estabiliza. En estas condiciones se puede mostrar19 que inde-pendientemente de vi , la radiación emitida por el gas caliente corresponde a una temperatura Tque depende de la mezcla de gases que intervienen en el proceso. Para el aire T ≈ 20000˚K. Estaradiación determina el calentamiento del bólido de modo que la potencia que éste absorbe nodepende de su velocidad20. La potencia absorbida por el impactor es entonces

P d c Ta a= 6 2 4σ (5.99)

donde ca ≤ 1 es el coeficiente de absorción y σ = ×0.567 10 W/m ˚K–7 2 4 es la constante deStefan-Boltzmann. La potencia absorbida calienta la superficie, que se funde y se vaporiza por locual la temperatura superficial del bólido no puede superar la temperatura de ebullición del ma-terial. Por lo tanto el flujo de masa que se evapora es

F P d Lm a= / 6 2 (5.100)

donde L ( = 2, 8 y 5 MJ/kg para hielo, rocas e hierro, respectivamente) es el calor latente de va-porización. De (5.99) y (5.100) resulta que F c T Lm a= σ 4 / . La masa evaporada al atravesar laatmósfera es ∆m d F t P t Lb m a a a= =6 2 / y la fracción de masa perdida por el impactor es

∆mm

c T h

L v d

c

LVb

b

a a

b i

a= ≈6 2 274σρ θ τ

εcos

.(5.101)

De aquí se ve que ∆m mb b/ es inversamente proporcional a d. Para nuestro bólido patrón resulta(suponiendo ca = 1) que ∆m mb b/ .≈ 0 027. Estos resultados justifican nuestra hipótesis anteriorde que cuando se trata de bólidos de gran tamaño se puede ignorar la pérdida de masa.También se puede mostrar que el calor no penetra de modo apreciable al interior del impactor.En efecto, por medio de consideraciones dimensionales se encuentra que la profundidad a la quepenetra el calor en el tiempo ta es δ ρ≈ ( / ) /Kt Ca b

1 2 , donde K es la conductividad térmica y Cel calor específico del medio. Introduciendo valores razonables para estos parámetros (K ≈ 20

19 La demostración excede el nivel de este texto y por eso no la damos.20 Este régimen no se da para los meteoroides pequeños, que disipan la mayor parte de su energía cinética en la alta

atmósfera.


135

J/m s ˚K , C ≈ 440 J/kg) obtenemos δ ≈ 3 mm. Esta estimación muestra que independientementede d el interior del bólido permanece frío mientras sus capas superficiales se evaporan. Se puedetambién observar que

P

P

c T

v

c

Va a

a i

a= ≈ × −61 7 10

4

33

3σ

τρ τ. (5.102)

de modo que en este régimen el bólido absorbe una fracción muy pequeña de la energía disipadamientras cruza la atmósfera.Vamos ahora a discutir brevemente posibilidad de que el bólido se fragmente. La presión que seejerce sobre el mismo debido al frenado vale

p F d v Va a i= = ≈/ (2 2 26τρ kbar) (5.103)

y la magnitud de la aceleración es

aF

m

v

d

V

dga

b

a

b

i= = ≈ ×τρρ

24

22 10

m(5.104)

Si Y es la resistencia mecánica del impactor, la condición para que se fracture es

τρa iv V Y2 26≈ >(kbar) (5.105)

La condición (5.105) no depende del tamaño del objeto y se cumple siempre si Y ≈ 0 3. kbar quees un valor razonable para un objeto de tamaño grande, pero si V es apreciablemente menor que1 no se cumple para un bloque de hierro o un monolito, cuya carga de ruptura es mucho mayor.Por eso los meteoritos que se ven en los museos llegaron al suelo sin romperse.Hay que observar, sin embargo, que la (5.105) es una condición necesaria, pero no suficientepara que el bólido se fragmente ya que se debe tomar en cuenta el tiempo necesario para que seproduzca la fractura y el tipo de deformación que ocurre. La presión (5.101) debida al frenadoactúa sobre la cara anterior del bólido y tiende a comprimirlo en sentido antero-posterior y ha-cerlo más chato y más ancho. Haciendo una aproximación muy grosera podemos suponer que lamitad anterior del bólido (cuya masa es mb / 2) es acelerada por una fuerza pd2 hacia la mitadposterior. Podemos definir entonces una escala temporal de compresión tc como el tiempo nece-sario para que la mitad anterior se desplaze en d / 2 hasta superponerse a la mitad posterior. Deesto resulta que

td

vci

b

a=

ρτρ2

1 2/

(5.106)

de modo que tc es proporcional a d. Comparando tc con ta obtenemos

t

t

d

h

dc

a a

b

ab=

≈cos

( )cos [ ( )]

//θ

ρτρ

θ ρ2 290

1 21 2m

cgs (5.107)


136

De todo lo dicho podemos sacar las siguientes conclusiones para meteoroides de gran tamaño( ε << 1):(a) Los bólidos de cualquier clase con d t 300 m tienen t tc a> y llegan al suelo como un únicocuerpo.(b) Los cuerpos con d d 100 m tienen t tc ad . Si son cometas o asteroides rocosos se fracturarány sufrirán importantes deformaciones. Sin embargo no es fácil prever si se fragmentarán en elaire o si llegarán al suelo, pues esto depende del tipo de deformación que sufran. Se ha sugeridoque el aplastamiento y consiguiente ensanchamiento del impactor, al reducir su espesor y por lotanto su poder de penetración (dado por el producto de la densidad por el espesor), hacen que laaceleración de frenado aumente catastróficamente y el bólido disipe toda su energía cinética enla atmósfera dando lugar a una explosión en el aire21. Pero se debe observar que para que el pro-ceso que se acaba de describir ocurra es necesario que la densidad del bólido se mantenga cons-tante a fin que se ensanche a medida que se aplasta. No está claro que esto ocurra cuando el bó-lido es poroso (y muchos lo son) pues en este caso se puede aplastar compactándose y sin ensan-charse, con lo cual su poder de penetración no varía y tampoco varía la aceleración de frenado.

Conclusiones

En esta somera discusión de la física del impacto de bólidos hemos tocado solamente algunosaspectos del fenómeno y muchos más no han sido siquiera mencionados. Por ejemplo, no hemosdicho nada acerca de las perturbaciones atmosféricas ocasionadas por el ingreso de un cuerpo degran tamaño que se desplaza a hipervelocidad, no hemos comentado los efectos sísmicos delimpacto, ni de la recaída de los ejecta de diferentes tamaños, ni tampoco las particularidades deun impacto oceánico, un tema muy importante dado que 2/3 de la superficie de nuestro planetaestán bajo el agua. El tema es demasiado vasto para tratarlo exhaustivamente aquí22.Sin embargo nuestra discusión, pese a ser incompleta, muestra al lector dos aspectos que quere-mos subrayar. Uno es la riqueza y variedad de fenómenos involucrados en la disipación y redis-tribución de la energía cinética del impactor y en sus sucesivas transformaciones en otras formasde energía, que conforman una cascada de enorme complejidad. El segundo es la utilidad deformular modelos simples, que aunque groseros, permiten que el lector capte los aspectos másimportantes de algunos de estos procesos y estime el orden de magnitud de sus efectos.

21 Tal cosa parece haber ocurrido con el objeto que cayó en Tunguska (Siberia) en 1908, que no llegó al suelo pero

produjo una explosión de 15 megatones. Se supone que se trató de un objeto rocoso cuyas dimensiones eran de unos

40 m.22 Una presentación de nivel divulgativo del tema se encuentra en el artículo Impactos catastróficos y extinciones, J.

Gratton, Ciencia e Investigación 46, nº 2, 61-79, 1993.

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