5. TRABAJO Y ENERGÍA - Instituto de Física del de...

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  • 5. Trabajo y energa

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    5. TRABAJO Y ENERGA

    El concepto de energa es de enorme importancia en la Fsica y sus alcances exceden el contextode la Mecnica Newtoniana. En efecto la energa junto con la cantidad de movimiento juegan unrol primario en las Teoras Fundamentales que mencionamos en el Captulo 1, bsicamente por-que estas magnitudes se conservan (es decir se mantienen constantes) en todas las interaccionesbsicas de la naturaleza. Pero aqu nosotros estamos desarrollando una teora macroscpica en lacual como ya vimos aparecen fuerzas no fundamentales como el rozamiento, el arrastre, etc.Estas fuerzas se relacionan de una forma muy complicada con las interacciones fundamentales yde resultas de ello en nuestra descripcin de los fenmenos la energa nos aparece bajo diferen-tes aspectos, aunque a nivel microscpico se trata siempre de la misma cosa. Uno de esos as-pectos es la energa mecnica que trataremos aqu. El lector debe recordar lo que se acaba dedecir, y ms adelante volveremos sobre esta cuestin.En el contexto de la Mecnica Newtoniana el concepto de energa es muy til ya que en deter-minados casos ayuda a simplificar la solucin de problemas. Se debe notar que la Segunda Leyestablece una ecuacin diferencial del segundo orden en el tiempo, que se debe integrar paraconocer el movimiento de los cuerpos. Veremos que bajo ciertas condiciones la energa mec-nica de un sistema se conserva (es decir no se transforma en otra clase de energa). Cuando estoocurre podemos escribir de inmediato una integral primera de las ecuaciones de Newton, lo cuales un paso adelante muy importante hacia la solucin del problema.

    Trabajo mecnico

    Para presentar la nocin de energa mecnica conviene introducir el trabajo mecnico y eso es loque haremos ahora. Este concepto deriva de la nocin del esfuerzo que es necesario realizar paradesplazar objetos. Es intuitivo que el esfuerzo est relacionado con la fuerza que se ejerce, peroes algo distinto. Cuando levanto un cajn y lo coloco en una estantera tengo que ejercer unafuerza igual a su peso, pero el esfuerzo es mayor cuanto ms alto es el estante donde lo ubico. Sidesplazo un mueble de un lugar a otro la fuerza a ejercer es siempre la misma (la necesaria paravencer el rozamiento) pero el esfuerzo es tanto mayor cuanto ms lejos lo llevo. Adems el es-fuerzo depende de la direccin del desplazamiento en relacin a la fuerza: el esfuerzo necesariopara transportar una valija depende de si el desplazamiento es horizontal, en subida, o en bajada.Estas observaciones cotidianas indican que el esfuerzo depende de la magnitud de la fuerza, dela magnitud del desplazamiento y del ngulo entre el desplazamiento y la fuerza. Basados enestos hechos definimos el trabajo mecnico de modo de respetar la nocin intuitiva de esfuerzo,aunque con la precisin y rigor que corresponde a una magnitud fsica.Sea A un punto material sobre el que acta la fuerza F y que sufre un desplazamiento infinite-simal dr (Fig. 5.1a). Definiremos el trabajo mecnico de F en el desplazamiento dr como

    dW d Fdr= =F r cos (5.1)

    De la definicin resulta que W es un escalar y que su magnitud y signo dependen del nguloentre F y dr. Si /2(desplazamiento en contra de la fuerza) el trabajo es negativo. Si = /2 el trabajo es nulo. Eltrabajo de una fuerza en un desplazamiento finito del mvil entre una posicin 1 y una posicin2 segn la trayectoria T (Fig. 5.1b) se define como

  • 5. Trabajo y energa

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    W dW dT1 21

    2

    1

    2

    , , = = F r (5.2)

    donde la integral se calcula a lo largo de T.

    (a) (b)

    A

    F

    dra

    A

    F

    dr

    1

    2T

    T'

    Fig. 5.1. El trabajo depende (a) del ngulo entre fuerza y desplazamiento y (b) de la tra-yectoria del mvil.

    En general el trabajo depende del camino seguido para ir de 1 a 2, luego si T y T son dos tra-yectorias diferentes que van ambas de 1 a 2 se tendr que

    W WT T1 2 1 2, , , , (5.3)

    Si T se recorre en el sentido inverso, es decir de 2 a 1, se tiene

    W WT T2 1 1 2, , , ,= (5.4)

    De la definicin resulta que las dimensiones de trabajo son

    [ ] [ ][ ] [ ]W F m t= = l l2 2 (5.5)

    La unidad de trabajo del sistema MKS es el Joule (1 1 1J N kg= =m m /s2 2 ) y en el sistema cgses el erg (1 1 1erg = =dy cm g cm /s2 2). La equivalencia entre ambas unidades es 1 J 107= erg .Se usa tambin como unidad de trabajo el kgf m (1 kgf m 9.81 J 9.81 10 e7= = K K rg).

    Fuerza conservativa

    Consideremos el trabajo del peso P z= mg en un desplazamiento vertical d dzr z= (Fig. 5.2a).Se tendr dW d mgdz= = P r y entonces

    W mgdz mg z zz

    z

    12 2 1

    1

    2

    = = ( ) (5.6)

    En un desplazamiento cualquiera (Fig. 5.2b) d dx dy dzr x y z= + + pero dW d mgdz= = P rcomo antes, luego

    W mg z z12 2 1= ( ) (5.7)

  • 5. Trabajo y energa

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    z

    dr

    P

    2

    1

    (a) (b)

    z

    dr

    P

    2

    1

    Fig. 5.2. El trabajo del peso en un desplazamiento vertical (a) y en un desplazamientocualquiera (b) depende solamente de la diferencia de altura entre los extremos de la tra-yectoria.

    Hemos obtenido as un importante resultado:

    El trabajo del peso no depende del camino seguido para ir de 1 a 2 y slo depende de la di-ferencia de altura entre dichos puntos.

    Se dice que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza en un desplazamiento entre dospuntos cualesquiera 1 y 2 tiene el mismo valor cualquiera sea el camino seguido para ir de 1 a 2.Es decir, si 1 y 2 son dos puntos cualesquiera y C, C son dos trayectorias cualesquiera que vande 1 a 2 (Fig. 5.3a), F ser conservativa si

    W W WC C1 2 1 2 1 2, , , , ,= = (5.8)

    De acuerdo con esta definicin y con el resultado anterior el peso es una fuerza conservativa.Consideremos un camino C que parte de 1 y vuelve a 1 (Fig. 5.3b) y sea WC el trabajo realizadopor la fuerza conservativa F en el desplazamiento C. Por definicin:

    W dCC

    = F r (5.9)

    Sea ahora 2 un punto cualquiera de C que la divide en dos partes: C que va de 1 a 2 y C queva de 2 a 1. Claramente:

    W W W W WC C C C C= + = = 1 2 2 1 1 2 1 2 0, , , , , , , , (5.10)

    porque W WC C2 1 1 2, , , , = y W WC C1 2 1 2, , , , = por ser F conservativa.Luego si F es una fuerza conservativa y C un camino cerrado cualquiera se cumple

    F r =dC

    0 (5.11)

    Con un razonamiento anlogo se puede demostrar la propiedad inversa: si F es tal que su trabajoa lo largo de cualquier camino cerrado es nulo, entonces es conservativa.

  • 5. Trabajo y energa

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    (a) (b)

    A

    F

    dr

    1

    2C

    C' 1

    2

    C

    C'

    C''

    A

    F

    dr

    Fig. 5.3. Si la fuerza es conservativa el trabajo en un desplazamiento de 1 a 2 (a) no de-pende del camino seguido y es nulo (b) en un desplazamiento que vuelve al punto inicial.

    Campo de fuerza

    El peso es un caso particular de una clase importante de fuerzas: aquellas que dependen de laposicin. Otro ejemplo de esta clase es la fuerza electrosttica entre dos cargas. En las proximi-dades de la superficie de la Tierra P z= mg donde z es la direccin de la vertical del lugar(positiva hacia arriba). A medida que nos alejamos de la superficie terrestre g disminuye al au-mentar z, y a distancias r grandes del centro de la Tierra1

    g g r g rr

    rTT= =

    ( ) ( )2

    (5.12)

    donde rT 6400 km es el radio terrestre y g rT( ) 980gal . Por lo tanto

    P r=

    mg rr

    rTT( )

    2

    (5.13)

    En casos como este, cuando en cada punto del espacio podemos definir un valor de la fuerza, sedice que estamos en presencia de un campo de fuerza. Si adems la fuerza es conservativa sedice que el campo correspondiente es conservativo. Cuando adems de la posicin la fuerza de-pende de otras magnitudes (por ejemplo de la velocidad del cuerpo) no se puede hablar decampo de fuerza. Por ese motivo las fuerzas de rozamiento no son un campo.El concepto de campo es muy importante en la Fsica y ms adelante volveremos sobre l. Por elmomento bastar con esta somera introduccin.

    Energa cintica

    La energa es la magnitud que da la medida de la capacidad de un sistema para producir trabajo.Hay distintas clases de energa, que se distinguen por la forma como se manifiesta y las fuerzas e interacciones que la originan.

    1 Esta frmula es aproximada ya que la Tierra no es una esfera perfecta.

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    Es as que se habla de energa mecnica, trmica, elctrica, qumica, nuclear, etc. Nos ocupare-mos ahora de la energa mecnica, que es la energa que poseen los cuerpos en virtud de su mo-vimiento y de su posicin.Para detener un mvil que se desplaza con cierta velocidad es preciso aplicarle una fuerza que lofrene. Dicha fuerza realiza un trabajo negativo, es decir, el mvil entrega trabajo al sistema queejerce la fuerza2. Luego el mvil por el hecho de moverse posee energa. En otras palabras:

    Por virtud de su inercia todo cuerpo en movimiento posee energa, que denominamosenerga cintica.

    F1

    2

    mv

    v1

    v2

    Fig. 5.4. El Teorema de la fuerza viva: la variacin de la energa cintica del mvil es igualal trabajo de la fuerza que acta sobre l.

    La energa cintica se relaciona con el esfuerzo necesario para cambiar el estado de movimientode un objeto. Dicho esfuerzo se origina en la inercia del cuerpo. Es sencillo calcular la energacintica del mvil. Sea una masa m animada de una velocidad v, sobre la cual acta la fuerza F.En el intervalo dt el desplazamiento del mvil es d dtr v= y la fuerza realiza un trabajo

    dW d dt= = F r F v (5.14)

    Por la Segunda Ley F v= md dt/ , luego

    dW m d md v= =v v 122( ) (5.15)

    Por lo tanto el trabajo de la fuerz