MOVIMIENTO DE ROTACION MOVIMIENTO DE ROTACION DE UN CUERPO RIGIDO. DE UN CUERPO RIGIDO. TRABAJO Y POTENCIA TRABAJO Y POTENCIA

ROTACIONALES.ROTACIONALES.

El trabajo mecánico lineal se define como el El trabajo mecánico lineal se define como el producto de un desplazamiento por la producto de un desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento.desplazamiento.

T = F x s.T = F x s. T = F s cos T = F s cos θθ..

Y las unidades del trabajo mecánico lineal son Y las unidades del trabajo mecánico lineal son N.m = Joule.N.m = Joule.

Ahora consideremos el trabajo realizado en el Ahora consideremos el trabajo realizado en el desplazamiento rotacional bajo la influencia de desplazamiento rotacional bajo la influencia de un momento de torsión resultante. Considere la un momento de torsión resultante. Considere la fuerza F que actúa al borde de una polea de fuerza F que actúa al borde de una polea de radio r, como muestra la figura siguiente:radio r, como muestra la figura siguiente:

F

F

θ s

t = 0

t = tr

TRABAJO Y POTENCIA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION.

El efecto de dicha fuerza es hacer girar la polea a través El efecto de dicha fuerza es hacer girar la polea a través de un ángulo θ, mientras el punto en el que se aplica la de un ángulo θ, mientras el punto en el que se aplica la fuerza se mueve una distancia s. La distancia del arco s, fuerza se mueve una distancia s. La distancia del arco s, se relaciona con θ, mediante la ecuación:se relaciona con θ, mediante la ecuación:

s = r θ. (1)s = r θ. (1)Así, el trabajo de la fuerza F es por definición:Así, el trabajo de la fuerza F es por definición:Trabajo = Fs = F r θ. (2)Trabajo = Fs = F r θ. (2)Pero Fr es el momento de torsión debido a la fuerza, por Pero Fr es el momento de torsión debido a la fuerza, por lo tanto el trabajo rotacional está dada por:lo tanto el trabajo rotacional está dada por:

Trabajo rotacional = τ θ. (3)Trabajo rotacional = τ θ. (3)

El ángulo θ, debe expresarse en radianes en cualquier El ángulo θ, debe expresarse en radianes en cualquier sistema de unidades de modo que el trabajo rotacional sistema de unidades de modo que el trabajo rotacional pueda expresarse en libra.ft o joules (N.m).pueda expresarse en libra.ft o joules (N.m).

La energía mecánica generalmente se transmite La energía mecánica generalmente se transmite en la forma de en la forma de trabajo rotacionaltrabajo rotacional. Cuando hablamos de . Cuando hablamos de la potencia de salida que desarrollan las máquinas, lo la potencia de salida que desarrollan las máquinas, lo que nos interesa saber es la rapidez con que se realiza que nos interesa saber es la rapidez con que se realiza el trabajo rotacional. Por lo tanto, la potencia rotacional el trabajo rotacional. Por lo tanto, la potencia rotacional puede determinarse dividiendo ambos lados de la puede determinarse dividiendo ambos lados de la ecuación (3), por el tiempo t requerido para que el ecuación (3), por el tiempo t requerido para que el momento de torsión τ lleve a cabo un desplazamiento θ:momento de torsión τ lleve a cabo un desplazamiento θ:

Potencia = Potencia = trabajotrabajo = = τ θτ θ tt t t

Puesto que θ/t representa la velocidad angular media ω, Puesto que θ/t representa la velocidad angular media ω, escribimos:escribimos:Potencia rotacional = τ ωPotencia rotacional = τ ω..P = Potencia rotacional en watts.P = Potencia rotacional en watts.τ= momento de torsión en N.m o Joulesτ= momento de torsión en N.m o Joulesωω.= velocidad angular en rad/seg.= velocidad angular en rad/seg

Observe la similitud entre esta relación y su análoga, P = F v Observe la similitud entre esta relación y su análoga, P = F v (fuerza por velocidad lineal). Ambas medidas son una potencia (fuerza por velocidad lineal). Ambas medidas son una potencia media.media.

PROBLEMAS DE TRABAJO Y PROBLEMAS DE TRABAJO Y POTENCIA ROTACIONALES.POTENCIA ROTACIONALES.

• 1.- Una rueda de 60 cm de radio tiene un 1.- Una rueda de 60 cm de radio tiene un momento de inercia de 5 kg.mmomento de inercia de 5 kg.m22. Se aplica una . Se aplica una fuerza constante de 60 Newtons al borde de fuerza constante de 60 Newtons al borde de ella. a) Suponiendo que parte del reposo, ¿qué ella. a) Suponiendo que parte del reposo, ¿qué trabajo realiza en 4 segundos?, b) ¿Qué trabajo realiza en 4 segundos?, b) ¿Qué potencia se desarrolla?potencia se desarrolla?

• Solución a): El trabajo es el producto del Solución a): El trabajo es el producto del momento de torsión por el desplazamiento momento de torsión por el desplazamiento angular. Primero calculamos el momento de angular. Primero calculamos el momento de torsión aplicado: τ = Fr = (60 N) (0.6 m) = 36 torsión aplicado: τ = Fr = (60 N) (0.6 m) = 36 N.m.N.m.

A continuación, determinamos la aceleración angular α a A continuación, determinamos la aceleración angular α a partir de la segunda Ley de Newton del movimiento partir de la segunda Ley de Newton del movimiento rotacional:rotacional:αα = = ττ/I = 36 N.m/5 kg.m/I = 36 N.m/5 kg.m22. = 7.2 rad/seg. = 7.2 rad/seg22..Ahora se puede calcular el desplazamiento angular Ahora se puede calcular el desplazamiento angular θ.θ.θθ = = ωωot +1/2 ot +1/2 ααtt22. . θθ = ½ (7.2 rad/seg = ½ (7.2 rad/seg22) (4 seg)) (4 seg)22= 57.6 rad.= 57.6 rad.por lo tanto el trabajo rotacional es:por lo tanto el trabajo rotacional es:Trabajo = Trabajo = τ θ = 36 N.m x 57.6 rad = τ θ = 36 N.m x 57.6 rad = 2070 Joules2070 Joules..Solución (b). La potencia media es:Solución (b). La potencia media es:P = trabajo/t = 2070 J/4 seg = P = trabajo/t = 2070 J/4 seg = 518 Watts518 Watts..

2.- Una cuerda enrollada en un disco de 3 kg y 2.- Una cuerda enrollada en un disco de 3 kg y 20 cm de diámetro recibe una fuerza de tracción 20 cm de diámetro recibe una fuerza de tracción de 40 Newtons que la desplaza una distancia de 40 Newtons que la desplaza una distancia lineal de 5 metros. ¿Cuál es el trabajo lineal lineal de 5 metros. ¿Cuál es el trabajo lineal realizado por la fuerza de 40 N? ¿Cuál es el realizado por la fuerza de 40 N? ¿Cuál es el trabajo rotacional realizado por el disco?trabajo rotacional realizado por el disco?

T lineal = F x d = 40 N x 5 m = 200 N. m = T lineal = F x d = 40 N x 5 m = 200 N. m = 200 200 JoulesJoules..Trabajo rotacional = Trabajo = Trabajo rotacional = Trabajo = τ θ = 40 N x 5 m τ θ = 40 N x 5 m = 200 N.m = = 200 N.m = 200 joules200 joules..

3.- Un motor de 1200 Watts impulsa durante 8 segundos 3.- Un motor de 1200 Watts impulsa durante 8 segundos una rueda cuyo momento de inercia es de 2 kg.muna rueda cuyo momento de inercia es de 2 kg.m22. . Suponiendo que la rueda estaba inicialmente en reposo, Suponiendo que la rueda estaba inicialmente en reposo, ¿qué rapidez angular promedio llegó a adquirir?¿qué rapidez angular promedio llegó a adquirir?

Potencia rotacional = Trabajo/tiempo. despejando el Potencia rotacional = Trabajo/tiempo. despejando el trabajo tenemos: Trabajo = Potencia x tiempo = 1200 trabajo tenemos: Trabajo = Potencia x tiempo = 1200 Joules/seg x 8 seg = 9600 Joules.Joules/seg x 8 seg = 9600 Joules.aceleración angular = α=aceleración angular = α= τ /I = 9600 N.m/2 kg.mτ /I = 9600 N.m/2 kg.m22. = . = 4800 rad/seg4800 rad/seg22..α = ω /t. despejando ω = α t = 4800 rad/segα = ω /t. despejando ω = α t = 4800 rad/seg22 x 8 seg = x 8 seg = 38400 rad/seg38400 rad/seg..

4.- Un motor de 600 Watts impulsa una 4.- Un motor de 600 Watts impulsa una polea con una velocidad angular promedio polea con una velocidad angular promedio de 20 rad/seg. ¿Cuál es el momento de de 20 rad/seg. ¿Cuál es el momento de torsión así obtenido?torsión así obtenido?

Potencia = τ ω. despejando τ = Potencia/ Potencia = τ ω. despejando τ = Potencia/ ω = 600 N.m/seg/20 rad/seg = ω = 600 N.m/seg/20 rad/seg = 30 N.m30 N.m..

5.- Una máquina funciona a 1800 rev/min y 5.- Una máquina funciona a 1800 rev/min y desarrolla una potencia de 200 H. P. ¿Qué desarrolla una potencia de 200 H. P. ¿Qué momento de torsión desarrolla?momento de torsión desarrolla?

Conversión de unidades: 2 π rad/rev x 1800 Conversión de unidades: 2 π rad/rev x 1800 rev/min x 1 min/60 seg = 2 x 3.14 x 1800 / 60 = rev/min x 1 min/60 seg = 2 x 3.14 x 1800 / 60 = 188.4 rad/seg.188.4 rad/seg.Conversión de unidades de potencia 200 H.P. x Conversión de unidades de potencia 200 H.P. x 746 Watts/1 H.P. = 149200 Watts.746 Watts/1 H.P. = 149200 Watts.Potencia = τ ω. despejando τ = Potencia/ ω = Potencia = τ ω. despejando τ = Potencia/ ω = 149200 N.m/seg/188.4 rad/seg = 149200 N.m/seg/188.4 rad/seg = 792 N.m792 N.m..