Trabajo Geo

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LaGeometra (dellatngeometra, y este delgriegogueometra, de gueo, tierra, y metra, medida) es una rama de lamatemticaque se ocupa del estudio de las propiedades de lasfigurasen el plano o elespacio, incluyendo: puntos,rectas,planos,politopos(que incluyenparalelas,perpendiculares,curvas, superficies,polgonos,poliedros, etc.).Es la base terica de lageometra descriptivao deldibujo tcnico. Tambin da fundamento a instrumentos como elcomps, elteodolito, elpantgrafoo elsistema de posicionamiento global(en especial cuando se la considera en combinacin con elanlisis matemticoy sobre todo con lasecuaciones diferenciales).Sus orgenes se remontan a la solucin de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicacin prctica enfsica aplicada,mecnica,arquitectura, geografa,cartografa,astronoma,nutica,topografa,balstica, etc. Y es til en la preparacin de diseos e incluso en la elaboracin deartesana.

Geometra de Espacio

La geometra del espacio (tambin llamada geometra espacial o geometra de los cuerpos slidos) es la rama de la geometra que se encarga del estudio de las figuras geomtricas voluminosas que ocupan un lugar en el espacio; estudia las propiedades y medidas de las figuras geomtricas en el espacio tridimensional o espacio eucldeo. Entre estas figuras, tambin llamadas slidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirmide, la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los slidos platnicos, convexos, y los slidos de Kepler-Poinsot, no convexos) y otros poliedros.La geometra del espacio ampla y refuerza las proposiciones de la geometra plana, y es la base fundamental de la trigonometra esfrica, la geometra analtica del espacio, la geometra descriptiva y otras ramas de las matemticas. Se usa ampliamente en matemticas, en ingeniera y en ciencias naturales.Geometra del espacio, rama de la geometra que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geomtricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, tambin llamadas slidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirmide, la esfera y el prisma. La geometra del espacio ampla y refuerza las proposiciones de la geometra plana, y es la base fundamental de la trigonometra esfrica, la geometra analtica del espacio, la geometra descriptiva y otras ramas de las matemticas. Se usa ampliamente en matemticas, en ingeniera y en ciencias naturals.

LA GEOMETRA PLANAEs la Rama de la geometra elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el tringulo o el crculo. Esta parte de la geometra tambin se conoce como geometra eucldea, en honor al matemtico griegoEuclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de geometra se mantuvo como texto autorizado de geometra hasta la aparicin de las llamadas Geometra no euclideasen el siglo XIX. Cmo son los ngulos.Agudos:Si su medida esta comprendida entre 0 y 90.Rectos: si su medida es 90.Obtusos: Si su medida esta comprendida entre 90 y 180.Llanos: Si su medida es 180.El Instrumento para medirlos y en qu consiste.El transportador en el cual consiste en un semicrculo dividido en unidades que van desde 0 hasta 180. Cada una de estas medidas es un grado (1) sexagesimal y todas las medidas que se tomen con este instrumento corresponden alsistema sexagesimal. Clases de ngulos en trmino de sus medidas y definir cada uno.ngulos Suplementarios:Dos ngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180.ngulos Rectos:Si los dos ngulos que forman un Par Lineal, tienen la misma medida, entonces cada uno de esos ngulos es recto.ngulos Complementarios:Dos ngulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90.ngulo Agudo:Es el ngulo cuya medida es un nmero mayor que 0 y menor que 90.ngulo Obtuso:Es el ngulo cuya medida es un numero mayor que 90 y menor que 180.

La Geometra Analtica

La geometra analtica figuras geomtricas mediante tcnicas bsicas del anlisis matemtico y del lgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histrico comienza con la geometra cartesiana, contina con la aparicin de la geometra diferencial de Carl Friedrich Gauss y ms tarde con el desarrollo de la geometra algebraica. Actualmente la geometra analtica tiene mltiples aplicaciones ms all de las matemticas y la ingeniera, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeacin de estrategias y logstica en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometra analtica son:

Dado la curva en un sistema de coordenadas, obtener su ecuacin.Dada la ecuacin indeterminada, polinomio, o funcin determinar en un sistema de coordenadas la grfica o curva algebraica de los puntos que verifican dicha ecuacin.

Lo novedoso de la geometra analtica es que representa las figuras geomtricas mediante frmulas del tipo f(x)=y, donde f es una funcin u otro tipo de expresin matemtica: las rectas se expresan como ecuaciones polinmicas de grado 1 (por ejemplo, 2x+6y=0), las circunferencias y el resto de cnicas como ecuaciones polinmicas de grado 2 (la circunferencia x^2 + y^2 = 4, la hiprbola xy = 1)

La Geometra DescriptivaEs un conjunto de tcnicas geomtricas que permite representar el espaciotridimensionalsobre unasuperficie bidimensional. Por tanto, mediante lectura adecuada posibilita resolver problemas espaciales en dos dimensiones de modo que se garantiza la reversibilidad del proceso.En la poca actual se reconocen dos modelos, en los cuales se les considera: 1) lenguaje de representacin y de sus aplicaciones; 2) tratado de geometra. Aunque no es exactamente lo mismo, su desarrollo ha estado relacionado con el de laGeometra proyectiva. Desde la antigedad, como lo demuestran dibujos encontrados en cuevas prehistricas, el hombre ha sentido siempre necesidad de representar grficamente su entorno, pero no es sino hasta el Renacimiento cuando se intenta ilustrar la profundidad.Los nuevos imperativos de representacin del arte y de la tcnica impulsan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geomtricas para obtener nuevos mtodos que les permitan proyectar fielmente la realidad. Aqu se enmarcan figuras como Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Leone Battista Alberti, Piero della Francesca y muchos ms.Al descubrir la perspectiva y la seccin, todos ellos crean la necesidad de implantar las bases formales en las que se asiente la nueva modalidad de Geometra que sta implica: la Geometra proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Grard Desargues en el siglo XVII. A esta nueva geometra tambin la estudiaron Blaise Pascal y Philippe de la Hire, pero debido al gran inters suscitado por la Geometra cartesiana (Geometra analtica) y sus mtodos, no alcanz tanta difusin.El posterior desarrollo de la tcnica requiri aplicar las teoras matemticas a la prctica, proceso que culmin en 1795 con la publicacin de la obra de Gaspard Monge Geometra descriptiva.

Proyeccin Ortogonal

es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyeccin (o a la recta de proyeccin), establecindose una relacin entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.

En el plano, la proyeccin ortogonal es aquella cuyas lneas proyectantes auxiliares son perpendiculares a la recta de proyeccin L.

As, dado un segmento AB, bastar proyectar los puntos "extremos" del segmento mediante lneas proyectantes auxiliares perpendiculares a L, para determinar la proyeccin sobre la recta L.

Una aplicacin de proyecciones ortogonales son los teoremas de las relaciones mtricas en el tringulo mediante las cuales se puede calcular la dimensin de los lados de un tringulo.

El concepto de proyeccin ortogonal se generaliza a espacios euclidianos de dimensin arbitraria, inclusive de dimensin infinita. Esta generalizacin juega un papel importante en muchas ramas de matemtica y fsica.

Proyeccin ortogonal de un punto

La proyeccin ortogonal de un puntoPen una rectaLes otro puntoAque se obtiene trazando una lnea auxiliar perpendicular aLdesde el puntoAtal que esta lnea pase porP. Lgicamente, si el puntoPpertenece a la rectaL, coinciden:P=A.

Proyeccin ortogonal de un segment

Caso general: si el segmento dadoABno es paralelo a la rectaL, la proyeccin ortogonal es un segmentoPQque se obtiene trazando lneas perpendiculares aLdesde los puntos extremos deAB. La magnitud de la proyeccin siempre es menor que la del segmento dado.

Si el segmentoPQy la rectaLson paralelos, la proyeccin ser:AB = PQ, que se obtiene de forma anloga.

Si el segmentoABtiene un punto comn con la rectaL, la proyeccin se obtiene de modo similar.

Si el segmentoABcorta a la rectaL, la proyeccin se obtiene de forma anloga.

Gaspard Monge

Matemtico francs fundador de la geometra descriptiva, y creador junto con Euler y Jean-Baptiste Meusnier de los primeros teoremas de geometra diferencial, nacido el 9 de mayo de 1746 en Beaune (Francia), donde su padre posea una mercera.Inicia sus estudios en Beaune, despus en el Collge de la Trinit de Lyon y ms tarde en la escuela del cuerpo de ingenieros militares de Mzires, cuyo alumnado era por lo general de origen noble; consigui ingresar en ella invitado por el segundo comandante de esta escuela que vi el plano de la villa de Beaune que Monge haba dibujado, pero, debido a su origen humilde, se le emplea como dibujante en el taller de la escuela. All imparte matemticas a los jvenes que se preparan para trabajos subalternos en el servicio de fortificaciones. Utilizando la biblioteca de la escuela se inicia en las matemticas superiores y resuelve el problema de la desenfilada, un problema clsico en las fortificaciones, mediante un mtodo grfico.En 1766, en la escuela de ingenieros, fue ayudante y, poco despus, profesor. All imparti clases de matemticas, fsica y topografa hasta 1784.Present diversas investigaciones a la Academia de Ciencias Francesa, y en 1772 fue nombrado correspondiente de la misma y en 1780 gemetra asociado.Se interes por la metalurgia del hierro, tanto por la fabricacin en s misma como por la teora metalrgica, y en 1785, junto con Berthollet y Vandermonde, public la primera teora de la fundicin del acero segn al doctrina de Lavoisier.En 1783, el ministro de Marina Pache, le nombra "examinador de guardias de pabelln, de guardias de la marina y aspirantes", y empieza a adoptar actitudes polticas cada vez ms radicales, hasta el punto que, cuando triunfa la Revolucin Francesa, al da siguiente, el 10 de agosto de 1789, es nombrado ministro de Marina, cargo en el que permanece ocho meses y en el que no tuvo demasiado xito; dimite el 8 de abril de 1793.

Monge vuelve a la Academia y a la docencia, pero cuando en 1793 la Conveccin decreta la movilizacin general, se involucra rpidamente en toda su organizacin; crea la fbrica de armas de Pars; trabaja en las oficinas del Comit de Salvacin Pblica, donde se interesa por la fabricacin de caones; es instructor de la Escuela de Armas, donde difunde mtodos de refino de salitre y de fabricacin de plvora y, finalmente, supervisa la construccin de una gran fbrica de plvora, que termina explotando causando mas de 1000 victimas, lo que provoca su renuncia.El proyecto de creacin de la futura Escuela Politcnica, le absorbe y entusiasma, y consigue imponer sus criterios sobre educacin cientfica: la nueva escuela sera enciclopdica y en ella impartiran docencia los mejores cientficos e ingenieros de la poca. Aparecen dos disciplinas de especial importancia para l, la geometra descriptiva y la nueva qumica de Lavoisier. En el proyecto docente incluye que los alumnos, adems de recibir lecciones magistrales, realicen prcticas de laboratorio y proyectos dirigidos. Este proyecto ve la luz a finales de 1794 y Monge imparte cursos de geometra descriptiva.Vuelve a la actividad poltica y acepta una misin en Italia donde conoce a Napolen Bonaparte; despus se une a una expedicin para Egipto y en El Cairo organiza el Instituto de Egipto. A su vuelta a Pars contina su actividad docente hasta 1809. Es nombrado senador y en 1808 Napolen le nombra conde de Pluse. Muere el 28 de julio de 1818.Obra cientfica

Desarrolla una original concepcin de las matemticas, que jams separa de la invencin tcnica, de hecho, su geometra descriptiva es un procedimiento de dibujo tcnico. Adems y como consecuencia de toda su labor docente y como puede apreciarse en sus obras "Gomtrie descriptive", 1799 y "Application de lanalyse a la gomtrie", 1807, es un convencido de que los mtodos de dibujo deben ser el lenguaje universal de las ciencias mecnicas. Acua el trmino geometra descriptiva que parece por primera vez en septiembre de 1793.Sin embargo, Monge no empleaba figuras en su geometra, sino que intentaba explicarla mediante la representacin mental, apoyndose en la concepcin original de las figuras en el espacio segn su forma de generarse, y en su experiencia en la prctica tcnica. Esto lo generalizaba para cualquier familia de superficies, a las que defina por su forma de generacin; as por ejemplo considera:1- familia de las superficies regladas: engendradas por el movimiento de una recta en el espacio, como son:. Superficies alabeadas: como los conoides, cuyas superficies son engendradas por el desplazamiento de una recta a lo largo de otra recta y de una curva cualquiera que no est contenida en el mismo plano.. El plano: superficie engendrada por el desplazamiento de una recta paralelamente a s misma a lo largo de otra recta concurrente.2- familia de superficies de revolucin: engendradas por la rotacin de una curva cualquiera alrededor de un eje.3- familia de las envolventes de superficies dependientes de un parmetro: engendradas por las caractersticas de las envueltas, es decir, por las curvas de interseccin de las envueltas con una envuelta infinitamente prxima.El estudio de las envolventes lleva a Monge a importantes conclusiones relativas a la teora de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, al asociar estas ecuaciones con una familia de superficies. Monge parte de los estudios relativos a las curvas de doble curvatura de Clairaut, y en una memoria enviada a la Academia de Ciencias Francesa en 1771 define la recta polar de un punto como la interseccin de un plano normal a la curva en ese punto con un plano normal infinitamente prximo a l; el centro de la curvatura ser por tanto el pie de la perpendicular trazada desde el punto a su recta polar. A continuacin construye la envolvente de los planos normales a la curva, obteniendo una superficie desarrollable que denomina superficie polar. Demuestra que una curva en el espacio admite infinidad de evolutas, que constituyen una familia de lneas geodsicas sobre la superficie polar.En 1775, cuando Euler ya ha encontrado analticamente las condiciones que debe verificar una superficie para que sea desarrollable, enva otra memoria a la Academia en la que describe la ecuacin en derivadas parciales de las superficies desarrollables, muestra la diferencia entre stas y las superficies alabeadas y demuestra que las desarrollables son equivalentes a las superficies engendradas por el movimiento de una recta constantemente tangente a una curva alabeada dada.En 1776 presenta una nueva memoria sobre desmontes y terraplenes donde realiza una aplicacin de las superficies desarrollables al estudiar las lneas de curvatura de las superficies, estudio iniciado ya por Euler en 1760, con el denominado teorema de Euler. En 1774, orienta a su discpulo Meusnier en el estudio de este teorema quien le complete relacionando la expresin de la curvatura de una seccin oblicua a la de una seccin normal, relacin hoy conocida como teorema de Meusnier.Monge sigue trabajando y elabora su teora de las lneas de curvatura, basada en que las lneas de curvatura son curvas sobre la superficie, tangentes en cada uno de sus puntos a una de las direcciones principales; de esta manera, estas curvas forman sobre la superficie dos familias de curvas ortogonales correspondientes a las curvaturas mxima y mnima; demuestra que las normales a la superficie a lo largo de las lneas de curvatura engendran dos familias de desarrollables ortogonales. Posteriormente emple esta teora para resolver el problema de los desmontes y terraplenes.