15. Exercícios. - s3-eu-west-1.· Prof. José Amaral ALGA A15 - 1 13-11-2008 bibliografia principal

download 15. Exercícios. - s3-eu-west-1.· Prof. José Amaral ALGA A15 - 1 13-11-2008 bibliografia principal

of 16

  • date post

    12-Jan-2019
  • Category

    Documents

  • view

    213
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of 15. Exercícios. - s3-eu-west-1.· Prof. José Amaral ALGA A15 - 1 13-11-2008 bibliografia principal

Prof. Jos Amaral ALGA A15 - 1 13-11-2008

15. Exerccios.

DEMONSTRAR QUE UMA TRANSFORMAO LINEAR.

15.1. Se A uma matriz real nm e nu , a aplicao : n mT tal que

Auuw == )(T

uma transformao linear dado que, , n u v , , ,

)()(

)()()()()()(

vu

AvAuvAuAvuAvu

TT

T

+=

+=+=+=+

Por exemplo, sendo

=

32

01A ,

=

2

1u ,

=

0

3v , 1= e 4= , temos

1 0 1 3( ) ( ) ( 1) 4

2 3 2 0

1 0 1 12 1 0 11

2 3 2 0 2 3 2

11

16

1 0 1 1 0 3( ) ( ) ( 1) 4

2 3 2 2 3 0

(

T

T T

+ = + = +

= + =

=

+ = + = +

=

u v A u v

u v Au Av

1 3 1 121) 4

8 6 8 24

11

16

+ = +

=

T P I C O S

Exerccios.

AULA 15 Note bem: a leitura destes apontamentos no

dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira

Chama-se a ateno para a importncia do

trabalho pessoal a realizar pelo aluno resolvendo os problemas apresentados na bibliografia, sem

consulta prvia das solues propostas, anlise comparativa entre as suas resposta e a respostas

propostas, e posterior exposio junto do docente de todas as dvidas associadas.

E X E R C C I O S A L G E B R A L I N E A R

Prof. Jos Amaral ALGA A15 - 2 13-11-2008

15.2. Recorrendo definio averigue se linear a transformao

3 3: ; ( , , ) ( ,2 , )T T x y z xy y x z = +

Uma funo :T E E uma transformao linear se:

1. )()( uu TT =

2. )()()( vuvu TTT +=+

Para o caso presente temos

( ) ( ( , , ))

( ,2 , )

( ,2 , )

( )

( ,2 , )

T T x y z

x y y x z

xy y x z

T

xy y x z

=

= +

= +

= +

u

u

Logo T no uma transformao linear.

15.3. Recorrendo definio averigue se linear a transformao

2: ; ( )T T x x = .

Uma funo :T E E uma transformao linear se:

1. )()( uu TT =

2. )()()( vuvu TTT +=+

Para o caso presente temos

2

2 2

( ) ( )

( )

( )

T x

x

T

T

=

=

=

u

u

u

Logo T no uma transformao linear.

15.4. Recorrendo definio averigue se linear a transformao

3

1 2 0

: ; ( , , )

3 1 2

T T x y z x y z

=

.

Uma funo :T E E uma transformao linear se:

1. )()( uu TT =

2. )()()( vuvu TTT +=+

Para o caso presente temos

E X E R C C I O S A L G E B R A L I N E A R

Prof. Jos Amaral ALGA A15 - 3 13-11-2008

( ) ( ( , , ))

1 2 0

3 1 2

1 2 0

3 1 2

( )

T T x y z

x y z

x y z

T

=

=

=

=

u

u

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

( ) (( , , ) ( , , ))

(( , , ))

1 2 0

3 1 2

1 2 0 1 2 0

3 1 2 3 1 2

(( , , )) (( , , ))

( ) ( )

T T x y z x y z

T x x y y z z

x x y y z z

x y z x y z

T x y z T x y z

T T

+ = +

= + + +

= + + +

= +

= +

= +

u v

u v

Logo T uma transformao linear.

15.5. Recorrendo definio averigue se linear a transformao

2,2 2: ; ( , )x y

T T x x y wz w

= + +

.

Uma funo :T E E uma transformao linear se:

1. )()( uu TT =

2. )()()( vuvu TTT +=+

Para o caso presente temos

( )

( , )

( , ( ))

( , )

( )

x yT T

z w

x yT

z w

x x y w

x x y w

x x y w

T

=

=

= + +

= + +

= + +

=

u

u

E X E R C C I O S A L G E B R A L I N E A R

Prof. Jos Amaral ALGA A15 - 4 13-11-2008

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

( )

( ,( ) ( ) ( ))

( ,( ) ( ))

( , ) ( , )

( ) ( )

x y x yT T

z w z w

x x y yT

z z w w

x x x x y y w w

x x x y w x y w

x x y w x x y w

T T

+ = +

+ + = + +

= + + + + + +

= + + + + + +

= + + + + +

= +

u v

u v

Logo T uma transformao linear.

DETERMINAR O NCLEO E A IMAGEM DE UMA TL

15.6. Dada a transformao linear 3 3:T definida por

( , , ) (2 2 , , 3 2 )T x y z x y z x y y z= +

Determine o ncleo e a imagem de T . Determine uma base e a dimenso destes subespaos. Verifique o teorema envolvendo a nulidade e a caracterstica de .T

O Nuc( )T o conjunto de solues do sistema homogneo 0=Ax , sendo

A a matriz da transformao T relativa a quaisquer bases escolhidas em 3

.

Considerando as bases cannicas temos

1

2

3

( , , ) (2 2 , , 3 2 )

2 2

3 2

2 1 2

1 1 0

0 3 2

T x y z x y z x y y z

w x y z

w x y

w y z

x

y

z

= +

+ =

=

A transformao tem, relativamente s bases cannicas, a matriz

2 1 2

1 1 0

0 3 2

=

A

Logo, sendo Nuc( )T o conjunto de solues do sistema homogneo 0=Ax , temos

2 1 2 0 1 0 2 3 0

1 1 0 0 0 1 2 3 0

0 3 2 0 0 0 0 0

O sistema simplesmente indeterminado, com z livre, 2 3x z= e 2 3y z= , logo

com soluo geral

E X E R C C I O S A L G E B R A L I N E A R

Prof. Jos Amaral ALGA A15 - 5 13-11-2008

2 3 2

2 3 2 ,3

3

x z

zy z z

z z

= =

Fica assim determinado Nuc( )T e uma sua base:

{ }Nuc( ) ((2,2, 3)) (2,2,3) :T L k k= =

{ }(2,2,3) uma base de Nuc( )T

dim(Nuc( )) 1T =

Im( )T o espao gerado pelos vectores que constituem as colunas de A ,

sendo A a matriz da transformao T relativa a quaisquer bases

escolhidas em 3 .

Dado que, como vimos, a transformao tem, relativamente s bases cannicas, a matriz

2 1 2

1 1 0

0 3 2

=

A

para determinar Im( )T basta deduzir o espao gerado pelas colunas de A . Temos

2 1 0 1 0 1

1 1 3 0 1 2

2 0 2 0 0 0

Fica assim determinado Im( )T e uma sua base:

{ }

{ }

{ }

1 2 1 2

3

Im( ) ((1, 0,1),(0,1, 2))

(1,0,1) (1,0,1) : ,

( , , 2 ) : , ,

( , , ) : 2

T L

k k k k

x y x y x y z

x y z z x y

=

= +

=

= =

{ }(1,0,1),(0,1, 2) uma base de Im( )T

dim(Im( )) 2T =

Podemos verificar que

3dim( ) 3 dim(Nuc( )) dim(Im( )) 1 2T T= = + = +

15.7. Dada a transformao linear 2 3:T definida por

( , ) ( , ,2 2 )T x y x y y x x y=

Determine o ncleo e a imagem de T . Determine uma base e a dimenso destes subespaos. Verifique o teorema envolvendo a nulidade e a caracterstica de .T

E X E R C C I O S A L G E B R A L I N E A R

Prof. Jos Amaral ALGA A15 - 6 13-11-2008

O Nuc( )T o conjunto de solues do sistema homogneo 0=Ax , sendo

A a matriz da transformao T relativa a quaisquer bases escolhidas em 3

.

Considerando as bases cannicas temos

1

2

3

( , ) ( , ,2 2 )

2 2

1 1

1 1

2 2

T x y x y y x x y

w x y

w y x

w x y

x

y

=

=

=

A transformao tem, relativamente s bases cannicas, a matriz

1 1

1 1

2 2

=

A

Logo, sendo Nuc( )T o conjunto de solues do sistema homogneo 0=Ax , temos

1 1 0 1 1 0

1 1 0 0 0 0

2 2 0 0 0 0

O sistema simplesmente indeterminado, com y livre e x y= , logo com soluo

geral

1,

1

x yy y

y y

= =

Fica assim determinado Nuc( )T e uma sua base:

{ }Nuc( ) ((1,1)) (1,1) :T L k k= =

{ }(1,1) uma base de Nuc( )T

dim(Nuc( )) 1T =

Im( )T o espao gerado pelos vectores que constituem as colunas de A ,

sendo A a matriz da transformao T relativa a quaisquer bases

escolhidas em 3 .

Dado que, como vimos, a transformao tem, relativamente s bases cannicas, a matriz

1 1

1 1

2 2

=

A

para determinar Im( )T basta deduzir o espao gerado pelas colunas de A . Temos

E X E R C C I O S A L G E