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169 Capítulo VI Ondas Acústicas e Piezoeletricidade 6.1 INTRODUÇÃO No capítulo 5, referente ao efeito eletroóptico, estudou-se a propagação de ondas ópticas em meios cujas propriedades relevantes ( μ , ε ) eram independentes do tempo. No caso da interação acústico-óptica, a ser estudada no próximo capítulo, a permissividade é controlada por uma onda elástica, tornando-se uma função do tempo e do espaço [1]. A fim de desenvolver o modelo da interação acústico-óptica é importante se estudar, primeiramente, as propriedades da propagação de uma onda elástica no meio onde ocorre esta interação. As características da onda elástica, que são de interesse para acústico-óptica, são: polarização, velocidade de fase, comprimento de onda, freqüência, potência e impedância acústica [2]. Ondas de natureza mecânica podem se propagar com velocidade e polarização bem definidas, e em uma faixa de frequências bastante ampla entre dezenas de Hz a centenas de GHz. Essa velocidade de fase em um meio ilimitado é, tipicamente, inferior a 12 × 10 3 m/s. Portanto, a onda de natureza mecânica é eminentemente uma onda lenta quando comparada com uma onda eletromagnética propagando-se no mesmo meio. Em decorrência deste fato, em frequências de microondas significativamente baixas (alguns MHz), o comprimento de onda da onda acústica é de algumas dezenas de μm. Por exemplo, se num dado material a onda se propaga com velocidade de fase v p = 3000 m/s e com frequência f a = 10 MHz, então, o comprimento de onda será igual a Λ a = v p /f a = 300 μm. Por outro lado, se esta fosse uma onda eletromagnética com f =10 MHz e propagando-se no mesmo meio, seu comprimento de onda seria da ordem de λ ∼ c/f ~ 30 m. Uma vez constatado que Λ a é baixo, pode-se inferir que a maioria dos dispositivos à onda acústica exibe dimensões reduzidas.

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Capítulo VI Ondas Acústicas e Piezoeletricidade

6.1 INTRODUÇÃO

No capítulo 5, referente ao efeito eletroóptico, estudou-se a propagação de ondas ópticas

em meios cujas propriedades relevantes ( μ , ε ) eram independentes do tempo. No caso da

interação acústico-óptica, a ser estudada no próximo capítulo, a permissividade é controlada por

uma onda elástica, tornando-se uma função do tempo e do espaço [1]. A fim de desenvolver o

modelo da interação acústico-óptica é importante se estudar, primeiramente, as propriedades da

propagação de uma onda elástica no meio onde ocorre esta interação. As características da onda

elástica, que são de interesse para acústico-óptica, são: polarização, velocidade de fase,

comprimento de onda, freqüência, potência e impedância acústica [2].

Ondas de natureza mecânica podem se propagar com velocidade e polarização bem

definidas, e em uma faixa de frequências bastante ampla − entre dezenas de Hz a centenas de

GHz. Essa velocidade de fase em um meio ilimitado é, tipicamente, inferior a 12 × 103 m/s.

Portanto, a onda de natureza mecânica é eminentemente uma onda lenta quando comparada com

uma onda eletromagnética propagando-se no mesmo meio. Em decorrência deste fato, em

frequências de microondas significativamente baixas (alguns MHz), o comprimento de onda da

onda acústica é de algumas dezenas de μm. Por exemplo, se num dado material a onda se

propaga com velocidade de fase vp = 3000 m/s e com frequência fa = 10 MHz, então, o

comprimento de onda será igual a Λa = vp/fa = 300 μm. Por outro lado, se esta fosse uma onda

eletromagnética com f =10 MHz e propagando-se no mesmo meio, seu comprimento de onda

seria da ordem de λ ∼ c/f ~ 30 m. Uma vez constatado que Λa é baixo, pode-se inferir que a

maioria dos dispositivos à onda acústica exibe dimensões reduzidas.

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6.2 ONDAS ELÁSTICAS EM SÓLIDOS NÃO-PIEZOELÉTRICOS

Quer sejam ondas sonoras, ondas na superfície da água, ondas eletromagnéticas, etc.,

todas têm em comum o fato de constituir um distúrbio em movimento e de conduzir energia de

uma local para outro. Um erro comum no entendimento de ondas é supor que elas estão

associadas ao movimento do meio físico que as suportam, por exemplo, quando se interpreta

erroneamente que uma onda propagando-se na superfície da água também envolve o transporte

de água. Contudo, este não é o caso, sendo que a onda – o distúrbio − é quem se move através

da água.

Ao contrário das ondas eletromagnéticas, as ondas elásticas podem apresentar polarização

transversal ou longitudinal. Na onda transversal o distúrbio é perpendicular à direção de

propagação, como no caso da onda propagando-se numa corda, como mostrado na Fig.6.1.

Observa-se que o movimento da mão de quem provoca o distúrbio ocorre na direção vertical,

para cima e para baixo, porém, a onda se propaga na direção horizontal.

Figura 6.1 – Propagação de onda numa corda.

Ondas transversais também ocorrem quando se lança uma pedra na superfície de um lago,

como mostrado na Fig.6.2 a). As partículas de água oscilam, para cima e para baixo, em torno

das suas posições de equilíbrio. A oscilação de uma bóia, como mostrado na Fig.6.2 b), é similar

ao de uma massa fixada na extremidade de uma mola vertical.

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(a)

(b)

Figura 6.2 – Onda se propagando na superfície da água. a) O arremesso de uma pedra proporciona energia para gerar a onda. b) Movimento transversal de uma bóia.

No caso da onda longitudinal, o distúrbio ocorre paralelamente à direção de propagação

da onda, como na Fig.6.3 a), que ilustra uma onda propagando-se numa mola, ou, na Fig.6.3 b),

relativa a uma onda sonora.

(a)

(b)

Figura 6.3 – Ondas longitudinais. a) Onda numa mola. b) Onda sonora.

Como se observa na Fig.6.3 b), as partículas de ar não se deslocam com a onda sonora,

mas simplesmente oscilam quando esta as atravessam. As partículas de ar simplesmente oscilam,

para frente e para trás, em torno de suas posições de equilíbrio.

Considere-se a seguir um meio material arbitrário através do qual se propaga uma onda

elástica. Em geral, os meios considerados em dispositivos acústico-ópticos são sólidos ou

líquidos, com maior ênfase para os do primeiro tipo. Neste capítulo, é dada ênfase à distribuição

de forças de contato, isto é, forças que as partículas adjacentes a uma dada amostra elementar

geram sobre a amostra. Formalmente, a polarização da onda elástica refere-se à orientação do

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deslocamento das partículas, em torno da posição de equilíbrio, em relação à direção de

propagação. Se u denotar o deslocamento da partícula em relação a sua posição de equilíbrio,

tem-se:

a) Onda elástica longitudinal

Na onda elástica longitudinal as partículas oscilam (vibrações microscópicas) na mesma

direção de propagação da onda. Na Fig. 6.4 ilustra-se esse processo, onde aK

refere-se ao vetor

de onda da onda elástica e onde aKu // ou 1ˆ// xKu a

.

X3

X 2 aK

u

Partícula

a1 K//)t,x(u

X1

Figura 6.4 – Onda elástica longitudinal. b) Onda elástica transversal

No caso de onda transversal, as partículas oscilam na direção perpendicular à direção de

propagação da onda elástica. Nas Figs. 6.5a) e 6.5b) ilustram-se esse processo, nas quais 2ˆ// xu e

3ˆ// xu , respectivamente.

x3

x1

x2

2x̂//u

aK

Partícula

(a)

x3 x1

x2

3x̂//u

aK

Partícula

(b)

Figura 6.5 – Propagação de onda elástica transversal. a) Polarização na direção x2. b) Polarização na direção x3.

Antes de prosseguir com a análise, é importante definir algumas grandezas físicas

relevantes para a compreensão das ondas elásticas.

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6.2.1 Tensão Mecânica ou Stress ( N/m2 )

Com o auxílio da Fig.6.6, serão definidas as componentes do tensor denominado tensão

mecânica ou stress, Tij, cuja dimensão é de força por unidade de área, N/m2.

x1

x2

x3

ΔAj

iF

jx̂

Figura 6.6 – Grandezas para a definição de stress.

Na Fig. 6.6, a componente de força Fi , que atua na direção xi , é aplicada sobre a área do

elemento diferencial de volume, ΔAj, cuja normal está na direção xj. Desta forma, define-se a

componente de stress Tij como ( faceforçaT , ):

Tij = 0lim

→Δ jA

Δ j

i

AF (6.1)

ou seja, uma tensão mecânica aplicada sobre um elemento de área ( jAΔ ) cuja normal é jx̂ , e que é gerada por uma força ( iF ) que ocorre ao longo da direção ix̂ . No exemplo da Fig. 6.6, tem-se uma força de cisalhamento.

Pode-se demonstrar que Tij é um tensor de segunda ordem, e, quando o meio está em

equilíbrio de rotação, isto é, quando o torque externo é nulo, tem-se [3]: Tij = Tji (6.2)

ou seja, é simétrico. _____________________________________________________________________________ Exemplo 6.1: Mostrar que em equilíbrio de rotação ocorre T12=T21. Solução: A componente de stress T12 refere-se à força aplicada na direção x1, denominada

de 1FΔ , sobre a face cuja normal é x2, isto é, 2n̂ , como mostrado na Fig. 6.7. Portanto

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)( 31121 xxTF ΔΔ=Δ , sendo )( 31 xx ΔΔ a área em questão. Obviamente, esta é uma força de

cisalhamento. De forma análoga, pode-se considerar a componente de força aplicada na face cuja

normal é ( 2n̂− ), posicionada em x2=0 (não mostrada na figura).

ΔF1ΔF2 2n̂

1n̂ Δx1Δx2

Δx3

τ1

τ2

x1

x2

x3

Figura 6.7 – Elemento diferencial de volume em equilíbrio de rotação.

Por outro lado, T21 está relacionada à força aplicada na direção x2, denominada de 2FΔ ,

sobre a face cuja normal é x1, isto é, 1n̂ . Assim, )( 32212 xxTF ΔΔ=Δ é a força de cisalhamento

atuando sobre a área )( 32 xx ΔΔ . De forma análoga, pode-se considerar a componente de força

aplicada na face cuja normal é ( 1̂n− ), posicionada em x1=0 (não mostrada na figura).

Como, em equilíbrio de rotação, o torque resultante é nulo, então, o torque calculado em

torno do eixo x3 será tal que

132212311221 )()( xxxTxxxT ΔΔΔ=ΔΔΔ= ττ

(onde τ1 e τ2 são torques, Nm) o qual implica em que T12=T21 .

6.2.2 Deformação Mecânica ou Strain

A deformação mecânica ou strain é uma medida do deslocamento relativo de partículas

num meio material. Com isso, é uma grandeza adimensional (ou porcentual). A componente de

strain Skl é definida como [2]:

Skl =

∂∂+

∂∂

k

k

xu

xu

21 (6.3)

sendo que ku (k, = 1, 2, 3) referem-se às componentes do vetor deslocamento mecânico das

partículas, e xk e x estão associados às coordenadas cartesianas do sistema de referência.

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Além de ser uma grandeza adimensional, o strain é um tensor de segunda ordem

simétrico, no qual

Sk = S k (6.4)

a qual decorre de considerações termodinâmicas [1-3].

É possível demonstrar que, na situação k=, ocorre elongação do material, enquanto que,

para k≠, ocorre rotação ou torção do material. A título de ilustração, considerem-se os casos

onde k==1, e, onde k=1 e =2, relativos às componentes de strain S11 e S12, respectivamente:

S11=

∂∂+

∂∂

1

1

1

1

21

xu

xu =

1

1

xu

∂∂ (6.5 a)

S12=

∂∂+

∂∂

1

2

2

1

21

xu

xu (6.5 b)

Conforme esquematizado na Fig.6.8, para um elemento de área no plano x1x2 (fora de

escala, pois, na realidade, as deformações são microscópicas), o primeiro caso (k==1)

corresponde a uma variação das posições das partículas (em torno do ponto de equilíbrio) em

relação à coordenada x1. Na figura, Δu1 corresponde à deformação na direção x1, em um

elemento linear de comprimento Δx1. Conforme se verifica, houve elongação do corpo sólido.

Figura 6.8 – Componente de deformação longitudinal.

Por outro lado, na situação onde k=1 e =2, verifica-se a presença de forças de

cisalhamento e deformações conforme as mostradas nas Figs. 6.9a), b) e c).

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x1

Δx1

Δu2

x2

φ2

1

22 x

u∂∂=φ

(a)

x1

Δx2

Δu1

Δx1

φ1x2

2

11 x

u∂∂=φ

(b)

(c)

1,2

2,12,12,1 x

utg

ΔΔ

≅≅ φφ

∂∂+

∂∂=+=

1

2

2

12112 2

12 x

uxuS φφ

Figura 6.9 – Componentes de deformação por cisalhamento. a) Cisalhamento na direção x2. b) Cisalhamento na direção x1. c) Torção do corpo.

Na Fig. 6.9 a), por exemplo, observa-se que Δu2 varia (aumenta) de acordo com o

comprimento Δx1 do corpo. Observa-se, também, que 12 / xu ΔΔ corresponde aproximadamente

ao ângulo φ2 associado com deformação na direção x2. Por sua vez, 21 / xu ΔΔ (Fig. 6.9 b))

corresponde aproximadamente ao ângulo φ1 associado com a deformação na direção x1.

Finalmente, para ângulos φ1 e φ2 muito pequenos, define-se que S12 é aproximadamente igual à

média aritmética entre estes ângulos, ou seja, metade do ângulo total associado com a

deformação transversal que ocorre no plano x1x2.

6.2.3 Lei de Hooke Tensorial

Sabe-se, da física elementar, que a lei de Hooke estabelece a relação entre a força e a

elongação em um meio material. No presente estudo, considerar-se-á que os materiais

envolvidos possuam anisotropia mecânica arbitrária e, portanto, deve-se recorrer à lei de Hooke

na forma tensorial. Neste estudo preliminar, o efeito piezoelétrico será desconsiderado na lei de

Hooke, deixando-se para discuti-lo na seção 6.3. Na Fig. 6.10 ilustra-se uma haste delgada

submetida a uma força F e que sofre uma deformação Δ na direção longitudinal. Segundo a

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física elementar tem-se Δ= .kF , onde k é a constante elástica do material. Contudo, observa-se

que além da deformação devido à força de elongação, também ocorrem forças de cisalhamento

nas direções transversais, o que não é previsto nesta equação simples.

F F

Δ

Figura 6.10 – Deformação em uma haste delgada.

Será considerado na análise, que o meio material seja linear sob o ponto de vista elástico.

Nesta situação, a lei de Hooke tensorial, a qual estabelece que a relação entre os tensores stress e

strain (relação constitutiva), é dada por [4]:

Tij = cijkl Skl (6.6) onde cijkl [N/m2] é um tensor de quarta ordem correspondente as constantes elásticas de rigidez

(ou simplesmente constantes elásticas, ou ainda, stiffness) do meio material.

Em princípio, o tensor cijkl apresenta 34=81 elementos, contudo, como os tensores stress

e strain são simétricos, isto é, Tij = Tji e Sij = Sji , então

cijkl= cjikl= cijlk (6.7) e assim, o número de elementos de cijkl reduz-se a 36. Considerações de simetria cristalina

estabelecem quantos elementos serão nulos e qual a relação entre os remanescentes.

O tensor das constantes elásticas do material, em notação de índices reduzidos (11=1,

22=2, 33=3, 23=32=4, 13=31=5, 12=21=6), torna-se [2]:

ijklc = cmn , 6,...,2,1,e3,2,1,,, == nmlkji (6.8)

e, com isso, o tensor das constantes elásticas pode ser representado por uma matriz de ordem

6×6. No caso de meio sólido elasticamente isotrópico, [c] é tal que:

[ ]c =

000

12

12

11

ccc

000

12

11

12

ccc

000

11

12

12

ccc

00

000

44c

0

0000

44c

44

00000

c

=

6

5

4

3

2

1

44

44

44

111212

121112

121211

6

5

4

3

2

1

000000000000000000000000

SSSSSS

cc

cccccccccc

TTTTTT

(6.9)

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sendo ,111 TT = ,222 TT = ,333 TT = ,234 TT = ,135 TT = ,126 TT = ,111 SS = ,222 SS = ,333 SS =

,234 SS 2= ,135 SS 2= 126 SS 2= (ATENÇÃO!), e onde c44 = ( c11 – c12 )/2 [2].

Por exemplo, para sólidos isotrópicos como o quartzo fundido (densidade ρ =2,2×103

kg/m3), tem-se c11=78,5×109 N/m2, c12=16,1×109 N/m2 e c44=31,2×109 N/m2. Relativamente às

matrizes das constantes elásticas para meios com anisotropia mecânica como, por exemplo: Ge,

GaAs , PIn (simetria cúbica), CdS, ZnO (simetria hexagonal), quartzo cristalino, LiNbO3 e

LiTaO3 (simetria trigononal), sugere-se que o leitor consulte o livro do Yariv [1].

6.2.4 Lei de Newton Tensorial

Como se sabe, 11T corresponde à componente de stress na face cuja normal é 1x̂ , devido a

componente força aplicada segundo a direção xl. Esta componente é responsável por uma

elongação do corpo na direção x1. Um raciocínio semelhante se aplica às demais componentes do

tensor stress. Na Fig.6.11 ilustram-se as componentes de stress atuando sobre a face cuja normal

é 1x̂ . Pela figura, observa-se que T11 é uma componente de elongação, enquanto que T21 e T31

são duas componentes de cisalhamento. A componente T11 contribui para a força total F1

aplicada nesta face e apontada na direção x1. Na face oposta tem-se uma situação semelhante,

com uma força total na direção (−x1).

Figura 6.11 – Componentes de stress na face perpendicular a x1.

O balanço de forças na direção x1 estabelece que a diferença entre forças antagônicas é:

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( )32111 xxABCD

TF ΔΔ=Δ − ( )3211 xxEFGH

T ΔΔ (6.10)

Porém, aplicando-se a série de Taylor em torno de x1=0, obtém-se

( ) ( ) ...210 2

121

112

11

111111111 +Δ

∂∂+Δ

∂∂+==Δ= x

xTx

xTxTxxT (6.11)

sendo que apenas as duas primeiras parcelas são suficientes para o caso de um elemento

diferencial de volume em sólidos. Além disso, por inspeção da Fig.6.11, conclui-se que

( )111111 xxTABCD

T Δ== , (6.12 a)

)0( 11111 == xTEFGH

T (6.12 b)

as quais, substituídas em (6.10), e, com o auxílio de (6.11), conduzem a

1FΔ =1

11

xT

∂∂

321 xxx ΔΔΔ (6.13)

Procedendo-se de forma similar com relação às tensões nas outras faces, cujas normais

são 2x̂ e 3x̂ , determinam-se as demais parcelas de força segundo a direção 1x̂ (forças de

cisalhamento), e assim, a resultante da força total segundo 1x será

∂∂+

∂∂+

∂∂=Δ

3

13

2

12

1

111 x

TxT

xTF

total

V

xxxΔ

ΔΔΔ 321 (6.14)

Se VΔ for o elemento diferencial de volume, sua massa será obtida através de m = ρ VΔ ,

onde ρ é a densidade de massa [kg/m3]. Assim, aplicando-se a lei de Newton (força = massa ×

aceleração, sendo aceleração = 21

2 / tu ∂∂ ), vem:

∂∂+

∂∂+

∂∂=Δ

3

13

2

12

1

111 x

TxT

xTF

total

VΔ = ρ VΔ 21

2

tu

∂∂ (6.15)

a qual constitui a lei de Newton na forma pontual.

Pode-se mostrar que, para uma direção "i" arbitrária, (6.15) torna-se

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2

2

3

3

2

2

1

1

tu

xT

xT

xT iiii

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂ ρ (6.16)

ou então,

= ∂

∂=∂∂3

12

2

j

i

j

ij

tu

xT

ρ 2

2

tu

xT i

j

ij

∂∂=

∂∂

ρ , j=1,2,3 (6.17)

sendo j um índice repetido.

_________________________________________________________________________

Exemplo 6.2: Deslocamento longitudinal Considere-se uma onda elástica propagando-se em meio isotrópico na direção x1 e polarizada

nesta mesma direção, tal que o vetor deslocamento de partículas seja (notação de fasor girante):

=11

1

xKtjeUuaω

1x̂ = 111 ˆ),( xtxu (longitudinal!)

onde U1 é a amplitude, ωa é a frequência angular e K1 é a constante de fase da onda. As

componentes de strain são calculadas como

1111

111

111 ujK

xKtjeUjKxuS

a−=

−−=

∂∂=

ω

e 01223133322 ===== SSSSS (verificar isto!)

Desta forma, a lei de Newton conduz a (para i=1, direção 1x̂ ):

21

2

3

13

2

12

1

11

tu

xT

xT

xT

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂

ρ

Por outro lado, da lei de Hooke (6.6) [ou (6.9)], deduz-se que

111112161315231433132212111111 222 ScScScScScScScT =+++++=

e onde 3322 ,TT não interessam no momento. Além disso, 0231312 === TTT , e assim, obtém-se

12)(

12

21

211)( ueUj

tu

axKtj

aa ρωωρρ ω −==

∂∂ −

Substituindo-se as informações acima na expressão de ...)/( 111 +∂∂ xT , obtém-se

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12

12

21

2

12

11112

111

1111111

1111

111

1

1111

1

11

||||

))((

uutuuKcuKc

xKtjeUjKjKcxKtjeUjK

xc

xSc

xT

aa

aa

ρωρωρ

ωω

−=−=∂∂

=−=−=

−−−=

−−

∂∂=

∂∂

=∂∂

( ) ( ) 0|| 12

112

112

112

1 =−=− ucKucK aa ρωρω Para que esta equação possua solução não trivial ( )01 ≠u , o termo entre parênteses deve ser

nulo. Daí, obtém-se

ρω 11

1

cK

v aL ==

correspondente à velocidade de fase da onda longitudinal (não confundir com velocidade de

partículas).

Exemplo 6.3: Onda transversal Seguindo um procedimento similar ao do exemplo anterior, agora para uma onda transversal

212

2 x̂xKtjeUu

a

pode-se mostrar que a velocidade de fase será

ρω

21211

2

ccK

v aT

−==

(deixa-se a cargo do leitor, como exercício, a tarefa de demonstrar esta equação). _________________________________________________________________________

Comparando-se as expressões resultantes para as velocidades das ondas longitudinal e

transversal, observe-se que vT < vL para um mesmo material e mesma direção de propagação.

Na Tabela 6.1 apresentam-se alguns valores de velocidades de ondas elásticas

longitudinais e transversais. Deve ser lembrado que em meios líquidos invíscidos (sem

viscosidade) só existe a possibilidade de propagação de ondas longitudinais, uma vez que não

suportam forças de cisalhamento.

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Tabela 6.1 – Propriedades mecânicas de materiais.

Material λ(μm) n ρ (g/cm3) vL (km/s) vT (km/s) Quartzo-fundido 0,63 1,46 2,2 5,95 3,76 H20 0,63 1,33 1,0 1,5 - LiNbO3 , longitudinal 0,63 2,2 (ne) 4,7 6,57 [11-20] - LiNbO3 360Y - - 4,7 7,36 - LiNbO3 Y-cut - - 4,44 LiNbO3 X-cut - - 4,8 LiTaO3 , longitudinal 0,63 2,18 (ne) 7,54 6,19 [0 0 1] -

6.2.5 Relações de Similaridade

Nesta seção discute-se a similaridade entre a onda acústica e a onda eletromagnética.

Considere-se o caso unidimensional, de uma onda acústica longitudinal que se propaga na

direção x2, conforme mostrado na Fig. 6.12.

x1

x2

x3

0

Ka

Figura 6.12 – Onda acústica plana, ilimitada e longitudinal.

As seguintes relações devem ser obedecidas (em apenas uma dimensão):

tuva ∂

∂= 2 22

2

tu

tva

∂∂

=∂

∂ (6.18 d)

2

22 x

uS∂∂= (6.18 b)

2ScT = (6.18 c)

2

2

22

2

2

22

2

2

22

2

22

2

2

)/(t

cTtS

xu

txT

tu

tv

xT a

∂∂=

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂=∂

∂=∂∂ ρρρρρ (6.18 a)

onde c, a constante elástica do meio, não deve ser confundida com a velocidade da luz no vácuo.

Uma relação similar pode ser obtida para a velocidade de partículas, va . Assim,

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183

02

2

22

2

=∂∂−

∂∂

tT

cxT ρ (6.19 a)

02

2

22

2

=∂∂−

∂∂

tv

cxv aa ρ (6.19 a)

O leitor deve comparar as equações de onda (6.19 a-b) com as equações de Helmholtz do

eletromagnetismo, em termos de campos (E, H) ou de potenciais (tensão V, corrente I) [5]:

02

2

22

2

=∂∂−

∂∂

tE

xE με ou 02

2

22

2

=∂∂−

∂∂

tVLC

xV (6.20 a)

02

2

22

2

=∂

∂−∂∂

tH

xH με ou 02

2

22

2

=∂∂−

∂∂

tILC

xI (6.20 a)

Isto evidencia que as grandezas mecânicas T e va satisfazem equações formalmente equivalentes

àquelas obedecidas pelas grandezas eletromagnéticas (E, H) [ou (V, I), no caso de linha de

transmissão – LT, sendo V=V(x2,t) e I=I(x2,t) as ondas de tensão e de corrente, respectivamente].

Além disso, observa-se uma analogia entre μ (ou L) com ρ, e, entre ε (ou C) com 1/c. Esta

analogia, contudo, não é completa pois uma onda eletromagnética não pode ser longitudinal.

Por similaridade com a impedância intrínseca (2.62), ou seja, η=E/H (em caso de

campos), ou impedância característica, Z0=V/I (em caso de LT) [5], dos casos eletromagnéticos,

pode-se definir uma relação matemática equivalente denominada de impedância acústica:

aa v

TZ −= (6.21)

onde tuva ∂∂= / é a velocidade das partículas e cuja unidade é [kg/m2s ou rayls]. A necessidade

do sinal algébrico (−) deve ficar mais evidente a partir do exemplo a seguir.

_____________________________________________________________________________

Exemplo 6.4: Considere-se uma onda acústica longitudinal dada por (fasor girante)

222 ˆ)](exp[ xxKtjUu aa −= ω

onde ρω // 11cKv aaL == e que se propaga num meio isotrópico.

a) Calcular a impedância acústica Za.

b) Determinar a expressão do comprimento de onda acústico Λa.

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184

Solução: a) A única componente de stress não nula é

22222222222222222 )](exp[/ uKjcxKtjUKjcxucScT aaaa −=−−=∂∂== ω

(surgiu um sinal negativo no stress). Por outro lado, a velocidade das partículas é dada por:

2222 )](exp[ ujxKtjUjt

uv aaaaa ωωω =−=∂

∂=

Assim, sendo ρω //1/1/ 11cvK Laa == para 2211 cc = , calcula-se a impedância acústica (6.21):

La

a

aa vccc

ccK

vTZ ρρρ

ρω=====−= 112222

2222

22

/1

onde ρ/11cvL = é a velocidade da onda transversal. Note-se que, se não fosse usado o sinal (−)

em (6.21), Za resultaria negativa, o que não é possível (por definição).

O leitor deve comparar o resultado acima com aquele do caso elétrico no qual η=μ.vp (ou

então, pLvZ =0 , para o caso de LT), onde vp é a velocidade de fase da onda eletromagnética [5].

b) Para o cálculo do comprimento de onda, calcula-se primeiramente a velocidade de fase da

onda acústica, a partir da fase instantânea total do campo acústico (frente de onda)

2xKt aai −= ωφ = constante. Derivando esta relação em relação ao tempo, tem-se

a

aLpaa Kt

xvvt

xK ωω =∂

∂===∂

∂− 22 0

Por sua vez, derivando a fase instantânea em relação a x2 :

22

2

2

0)( xKKx

xKtx aia

aai Δ−=Δ−=∂−∂=

∂∂ φωφ

O comprimento de onda acústico (Λa) é definido como o espaço associado a uma diferença de

fase instantânea igual a 2π rad (ou então, −2π rad, indiferentemente):

a

La

Lapaaaaa f

vvfvK

K =Λ===ΛΛ−=−/2

2/

222π

πω

πππ

uma relação similar ao obtido no caso eletromagnético ( fvp /=λ ). ___________________________________________________________________________

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185

Na Tabela 6.2 apresentam-se alguns valores de impedâncias acústicas para meios normalmente usados em dispositivos acústico-ópticos.

Tabela 6.2 – Propriedades acústicas de materiais. Material Direção de

propagação ρ [Kg/m3] vL [m/s] Za ×10-6 [kg/m2.s]

Quartzo X 2650 5740 15,2 LiNbO3 Z 4640 7330 34 LiNbO3 470 de Y 4640 6300 47

Quartzo fundido isotrópico 2200 5970 13,1 Acetona (300C) líquido 791 1158 0,916

Ar (200C) gás 1,21 340 411,4x10-6

Uma relação adicional, obtida por similaridade com o vetor de Poynting eletromagnético

( 2/*HES = , em módulo), refere-se ao vetor de Poynting acústico, Π [W/m2], cuja amplitude

é definida (na forma escalar) como:

*

21

avT−=Π (6.22)

onde tuva ∂∂= / é a velocidade das partículas. A necessidade do sinal algébrico (−) se deve à

similaridade com o caso eletromagnético (verificar isto!). Devido ao complexo conjugado em

(6.22), o valor de Π resulta sempre real, como deve ser o valor médio de uma dada grandeza.

No caso geral, considerando-se a natureza tensorial do stress T, as componentes do vetor

de Poynting acústico são obtidas por [2]:

*

21

jiji vT−=Π (6.23)

associado a um somatório no índice repetido j.

Por sua vez, a potência acústica Pa pode ser determinada multiplicando-se Π pela área,

A, através da qual ocorre o fluxo de energia. No domínio físico, Pa é calculada como:

AvTAP aa 21=Π= (6.24)

em módulo (para resultar em valor positivo).

Recordando-se que a velocidade de partículas da onda acústica é va, é calculada por

pa vStz

zu

tuv =

∂∂

∂∂=

∂∂= (6.25)

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186

onde S é a componente de strain efetivo, associado ao stress efetivo ScT = , conclui-se que

(6.24) torna-se

AvSAvSScAvTAP Lpaa32

21

21

21 ρ===Π= (6.26)

onde (6.25) e ρ/2 cvL = foram usados.

Portanto, o vetor de Poynting acústico tem amplitude

32

21

La

a vSAP

S ρ===Π (6.27)

6.3 EFEITO PIEZOELÉTRICO

O efeito piezoelétrico linear é uma propriedade exibida por certos materiais, que se

manifesta através de uma polarização elétrica (geração de dipolos elétricos) quando o mesmo é

submetido a uma distribuição de tensão mecânica, ou inversamente, na forma de deformação

mecânica, quando é submetido a uma distribuição de campo elétrico. A partir de modelos

unidimensionais pode-se mostrar que o efeito piezoelétrico decorre da interação de forças de

Coulomb com forças de natureza elástica (restauradoras). Somente as classes cristalinas que não

exibem centro de simetria apresentam o efeito piezoelétrico [3].

Na Fig.6.13 ilustra-se o efeito piezoelétrico em cristais de quartzo (SiO2), cuja estrutura

atômica é constituída por uma hélice que se estende ao longo da direção Z (perpendicular à

página), com dois átomos de oxigênio (cargas negativas) e um de silício (carga positiva).

(a)

+

++

_ _

_

Y

X

(b)

+

++

_ _

_

____

++++

(c)

+

++

_ _

_

++++

____

(d) Figura 6.13 – Efeito piezoelétrico no quartzo para forças aplicadas na direção X. a) Estrutura

molecular. b) Estado natural. c) Efeito da compressão. d) Efeito da tração.

No plano XY os átomos formam um hexágono que, no estado natural, isto é, na ausência

de stress, tem carga total nula. Com isso, nenhum campo elétrico externo está presente. Por outro

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187

lado, aplicando-se uma força de compressão/tração na direção X do cristal, desfaz-se o balanço

de cargas e a célula torna-se polarizada, gerando-se cargas elétricas externas nas faces dos

eletrodos mostrados na figura. O mesmo ocorre para forças aplicadas na direção Y, porém, nada

ocorre para forças aplicadas na direção Z.

Este modelo também pode ser utilizado para explicar o efeito piezoelétrico inverso, no

qual ocorre deformação do cristal quando campos elétricos externos são aplicados nas direções X

ou Y. Neste texto, ênfase especial é dedicada ao efeito inverso, para geração de ondas acústicas

em substratos transparentes. A magnitude dessa deformação é proporcional à intensidade do

campo elétrico aplicado.

As relações constitutivas em materiais piezoelétricos relacionam grandezas elétricas (E e

D) e mecânicas (S e T). É usual escolher T e D como grandezas independentes, e assim, denota-

se que T=T(S,E) e D=D(S,E). Quando o interesse é no efeito piezoelétrico linear, tais relações

podem ser deduzidas a partir da série de Taylor para duas variáveis:

EETS

STT

SE tetanconstetancons == ∂∂+

∂∂= (6.28 a)

EEDS

SDD

SE constanteconstante == ∂∂+

∂∂= (6.28 b)

Estas relações podem ser escritas de forma mais compacta se forem definidos os

seguintes coeficientes:

constante=∂∂=

E

E

STc (6.29 a)

constante=∂∂=

E

E

SDe (6.29 b)

constante=∂∂=

S

S

ETe (6.29 c)

constante=∂∂=

S

S

EDε (6.29 d)

Contudo, através de considerações termodinâmicas, é possível mostrar que eE = − eS = e, e

assim, conclui-se que [2]:

kijkklEijklij EeScT −= (6.30 a )

jSijjkijki ESeD ε+= (6.30 b )

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188

onde Eijklc refere-se às constantes elásticas com campo elétrico constante ou nulo, S

ijε corresponde

à permissividade com deformação constante ou nula e ijke é o tensor piezoelétrico.

O tensor piezoelétrico ijke é de terceira ordem, e assim, somente materiais não centro-

simétricos exibem tal efeito. Para um dado material piezoelétrico, somente algumas das 27

componentes deste tensor são não nulas. Logo, apenas campos elétricos aplicados segundo

orientações específicas excitam tensões mecânicas, e vice-versa.

Matrizes de coeficientes piezoelétricos para vários tipos de cristais encontram-se listadas

no livro do Yariv [1]. Por exemplo, para o LiNbO3 tem-se (em notação de índices reduzidos):

=

000000

0000

][

22

15

15

33

3122

3122

ee

eeeeee

e (6.31)

onde e15=3,7 C/m2, e31=0,2 C/m2, e22=2,5 C/m2 e e33=1,3 C/m2.

Para excitar ondas elásticas em dispositivos do tipo volumétrico (bulk) utilizam-se

transdutores planares, na forma de placas delgadas de material pizoelétrico, conforme

esquematizado na Fig.6.14, as quais são em seguida coladas no substrato. Cavidade de O nda Estática

Filme metálicoLâm ina de material

pizoelétrico

R F

Rede/Casamento

E

Figura 6.14 – Transdutor piezelétrico thickness.

Neste arranjo, um gerador de RF alimenta o transdutor piezoelétrico, via rede de

casamento de impedâncias, a fim de evitar reflexões de potência de volta para a fonte. Quando a

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189

frequência do gerador for igual à frequência de ressonância do transdutor, amplitudes elevadas

de vibração mecânica serão estabelecidas.

Os transdutores piezoelétricos operam no modo de vibração “thickness”, nas quais as

dimensões das faces (L e H) são muito superiores à da espessura (t). As lâminas de material

piezoelétrico podem ser cerâmicas, como no caso de PZT (Titanato Zirconato de Chumbo,

Pb[Zr(x)Ti(1-x)]O3), para operação sob frequências baixas (entre DC e algumas centenas de kHz).

Contudo, para operação em rádio-frequência (RF), as lâminas devem ser muito delgadas, e

tornam-se quebradiças no caso de PZT. Nestas situações, devem ser utilizadas lâminas cristalinas

obtidas através de polimento, como lâminas de quartzo ou de LiNbO3. Lâminas com t da ordem

de poucas dezenas de μm são típicas, sendo adequadas para operar com frequências acústicas

que vão desde dezenas de MHz até GHz.

As lâminas piezoelétricas são projetadas para excitar tanto ondas elásticas longitudinais

quanto transversais, dependendo da forma que são cortadas durante o processo de fabricação. Por

exemplo, para excitar ondas longitudinais com LiNbO3, elas devem ser orientadas conforme a

Fig.6.15 a), onde a lâmina é classificada como X-cut, enquanto que, para excitar ondas

transversais, são orientadas conforme a Fig.6.15 b), com lâmina 360 Y rotated.

(a)

(b)

Figura 6.15 - Cortes de cristal piezoelétrico. a) Para ondas transversais (X cut). b) Para excitar ondas elásticas longitudinais (360 Y rotated ).

___________________________________________________________________________ Exemplo 6.5: Considerando-se a propagação de uma onda acústica longitudinal em material

piezoelétrico sem cargas elétricas e com campo elétrico aplicado na direção de propagação

acústica, obter sua velocidade.

Solução: Seja zzKtjUu a ˆ)](exp[0 −= ω a onda acústica longitudinal propagando-se na

direção z (ou x3). Como o meio não possui carga elétrica, 0=∇ • D

, e assim, ocorre

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190

0/ 33 =∂∂ xD , onde 3333 / xueED S ∂∂+= ε , obtida usando-se (6.30 b) ( 3333333 , eeeS === εε ).

Derivando-se D3 em relação à x3

23 3 3

23 3 3

0SD E uex x x

ε∂ ∂ ∂= + =∂ ∂ ∂

∂∂

∂∂−=

∂∂

3

3

33

3

xu

xe

xE

e daí, uKezKtjUKexE

aSaaS2

02

3

3 )](exp[ε

ωε

=−=∂∂

Por outro lado, a partir da definição de stress (6.24 a) para onda longitudinal:

3033

33 )](exp[ EezKtjKUjcEe

xu

cT aaEE −−−=−

∂∂

= ω

Derivando-se T3 em relação a x3 e aplicando-se a lei de Newton (6.17):

23

2

3

30

2

3

3 )](exp[tu

xEezKtjUKc

xT

aaE

∂∂=

∂∂−−−=

∂∂ ρω ujuKeeuKc aSa

E 222 )( ωρε

=−−

Substituindo-se u3 e procedendo-se a simplificações, obtém-se

2

22

aS

E

Kec ρωε

=+

Como a velocidade de fase de uma onda plana é dada por aL Kv /ω= , conclui-se que

2/12

1

+= SE

E

L cecvερ

_____________________________________________________________________________

O resultado do exemplo anterior permite escrever a velocidade da onda acústica

longitudinal em meio piezoelétrico em termos do constante de acoplamento eletromecânico k,

como

2/12 ]1[ kcvE

L +=ρ

(6.32)

onde

SEcekε

22 = [ adimensional ] (6.33)

válido para materiais piezoelétricos.

Se o meio for isotrópico, e = 0, 1133 cc E = k = 0 ρ11cvL = , como esperado.

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191

6.3.1 Transdutores piezoelétricos

Uma forma de se excitar ondas acústicas numa célula Bragg volumétrica é através de

transdutores piezoelétricos, como o mostrado na Fig.6.16 a). Sob o ponto de vista circuital, os

transdutores são semelhantes a trechos de linhas de transmissão curto-circuitadas, atuando como

cavidades ressonantes. O transdutor piezoelétrico pode ser analisado como um dispositivo de três

acessos, como mostrado na Fig.6.16 b): os acessos (1) e (2) são acessos acústicos, enquanto o

acesso (3) é um acesso elétrico. Considera-se que os eletrodos metálicos sejam delgados o

suficiente (filme fino) para se comportarem acusticamente como um curto-circuito. Além disso,

supõe-se que a impedância acústica da camada de colagem seja aproximadamente igual à do

substrato.

eletrodos delgados

materialpiezoelétrico

camada decolagem

sinal deRF

ondaacústica

substrato

(a)

lâminapiezoelétrica

meio (a) meio (b)

Za, va Zb, vb

acesso (1) acesso (2)

acesso (3) (b)

Figura 6.16 – Excitação de ondas elásticas num substrato. a) Na célula Bragg, b) Representação por linha de transmissão.

Esquematicamente, o transdutor pode ser comparado ao dispositivo de três acessos

mostrado na Fig.6.17 a), dado em termos de grandezas elétricas.

ZI1 I2

I3

V1 V2

V3

(a)

z=0 z=Lvz(1) vz

(2)

F1 F2

I3 V3

secção=A

T3(z=L)T3(z=0)

Vz(z=L)Vz(z=0)

acesso (1) acesso (2)

acesso (3)

(b)

Figura 6.17 – Dispositivo de três acessos. a) Para circuito elétrico. b) Para circuito eletromecânico.

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192

No projeto de um transdutor é comum empregar-se a força mecânica em vez da tensão

mecânica. Utilizando-se uma analogia entre força mecânica e tensão elétrica, e, entre velocidade

de partículas e corrente elétrica, pode-se desenhar o arranjo da Fig.6.17 b). Inicialmente,

considera-se o caso de onda acústica longitudinal (só existe S33).

Comparando-se as Figs. 6.17 a) e b), e recorrendo-se à mesma orientação para a

velocidade nos acessos, obtém-se que as velocidades nos acessos (1) e (2) são: )0(1 == zvv z e

)(2 Lzvv z =−= . As forças mecânicas nas faces z=0 e z=L são F1 e F2, respectivamente. As

orientações das velocidades v1 e v2 são tais que as potências nos acessos (1) e (2) estejam

fluindo para dentro do transdutor. Assim )1(

1 TAF = (6.34 a) )2(

2 TAF = (6.34 b) onde

)0(3)1( =−= zTT (6.34 c)

)(3)2( LzTT =−= (6.34 d)

Os sinais negativos em (6.34 a-b) decorrem do fato que T3 é definido positivo quando a

força tem o mesmo sentido do vetor unitário normal à superfície. Neste texto, serão utilizadas as

notações T33, T3 e Tz indistintamente, o mesmo sendo válido para as demais grandezas. A notação

de fasor girante é empregada.

Como os eletrodos curto-circuitam o campo elétrico tangencial, tem-se que Ex=Ey=0 na

superfície externa ao metal. Assim, só existe componente Ez e, consequentemente, Dz,

correspondente a componente de deslocamento elétrico segundo o eixo Z na região de material

piezoelétrico. Se Jc for a densidade de corrente nas placas condutoras do transdutor, então, a

corrente elétrica no acesso (3) será AJI c=3 . Porém, da equação da continuidade (2.11) [4]:

cz J

tD =∂

∂ (6.35)

O material piezoelétrico sob consideração é dielétrico, de forma que

ADjAt

DI zz ω=

∂∂=3

AjIDz ω

3= (6.36)

Porém, no meio piezoelétrico, aplica-se (6.30 b) [onde só existem D3, E3 e S33], ou seja

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193

zzs

z SeED .+= ε (6.37)

para 3333 , eeS == εε , e:

zv

jjv

zzuS zzz

z ∂∂=

∂∂=

∂∂=

ωω1)( (6.38)

Com isso,

][1zv

jeDE z

zsz ∂∂−=

ωε (6.39)

Substituindo-se Ez e Sz na relação constitutiva para stress, expressão (6.30 a) (só interessa T33),

resulta:

zvec

jDeeEScT z

sE

zszzzE

zz ∂∂++−=−= )(1 2

εωε (6.40)

para cE = cE3333 = cE

33.

A seguir, são introduzidos os novos parâmetros

seh

ε= (6.41 a)

)1()1( 222

kcc

ececc ESE

Es

ED +=+=+=εε

(6.41 b) [recorrendo-se a (6.33)] e assim, a partir de (6.38) e (6.40) obtém-se

zzD

zz

D

z DhScDhzv

jcT .−=−

∂∂

(6.42)

e, usando (6.36):

AjIh

zv

jcT z

D

z ωω3−

∂∂

= (6.43)

A aplicação da lei de Newton (6.17) conduz a

∂∂

∂∂=

∂∂

tu

txT 3

3

33 ρ zz vj

zT ωρ=

∂∂ (6.44)

Porém, de (6.42)

zDh

zSc

zT zzDz

∂∂−

∂∂=

∂∂

zSc

zT zDz

∂∂

=∂

∂ (ver a seguir) (6.45)

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194

uma vez que, para um meio piezoelétrico sem cargas livres, ocorre 0=∇ • D

(atenção, não se

trata dos eletrodos do transdutor, mas do meio piezoelétrico) e, portanto, 0/ =∂∂ zDz . Assim,

comparando-se (6.44) e (6.45), conclui-se que zDz vj

czS ωρ1=∂

∂ . Substituindo-se este resultado

na derivada de S33 no tempo e recorrendo-se a definição de strain, zuS ∂∂= /333 , vem

zv

tu

zzu

tSj

tS z

z ∂∂

=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂==

∂∂ 3333 ω z

z Sjzv ω=

∂∂

zSj

zv zz

∂∂=

∂∂ ω2

2

)1(2

2

zDz vj

cj

zv ωρω=

∂∂ z

L

zzD

z vvz

vvcz

v2

2

2

22

2

2

0 ωρω +∂∂

=+∂∂ (6.46)

onde vL é a velocidade da onda longitudinal [ver Exemplo 6.5: ρ

)1( 2kcvE

L+=

ρ

Dc= ].

A velocidade das partículas vz deve satisfazer a equação de onda (6.46), e assim, pode ser

expressa da seguinte forma

)]cos()(sen[)( zNzMjzv aaz ββω += (6.47)

sendo M e N são constantes a serem determinadas em função das condições de contorno em z=0

e z=L, e onde βa é a constante de fase, com valor

La v/ωβ = (6.48)

Para z=0 tem-se v1=vz (z=0) [ver Fig. 6.17b)], e assim, Njv ω=1 . Por outro lado, para

z=L tem-se v2=−vz(z=L), e assim, )]cos()(sen[2 LNLMjv aa ββω +−= . Portanto,

)cos()(sen 12 LvLMjv aa ββω −−= (6.49)

Manipulando-se a equação (6.49), chega-se a

)(cot)sec(cos 12 LgvLvMj aa ββω −−= (6.50)

a qual permite relacionar v1 com v2.

Partindo-se de (6.43) e recorrendo-se a expressão que foi postulada para vz em (6.47),

tem-se (após algumas manipulações algébricas):

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195

ωω

βω

jMj

cAj

IhzT aDz +−== 3)0( (6.51 a)

ωββω

βω

jLNLMj

cAj

IhLzT aaaD

z )](sen)cos([)( 3 −+−== (6.51 b)

Eliminando-se M e N em detrimento de v1 e v2, através do uso de (6.50), obtém-se

)](cot)sec(cos[)()0( 12

2/13 LgvLv

jc

AjIh

zT aa

D

z ββρω

+−−== (6.52 a)

)](cot)sec(cos[)()( 21

2/13 LgvLv

jc

AjIhLzT aa

D

z ββρω

+−−== (6.52 b)

A tensão elétrica V3, entre os eletrodos, é dada por

=L

zdzEV03 (6.53)

na qual, substituindo-se Ez dado em (6.39), usando-se (6.47) e levando-se em consideração as

expressões de v1 e v2, obtém-se

210

321

0

33 )( vhjvhj

CI

jvvj

eCj

IV s ωωωωεω

−−−=++= (6.54)

usando (6.41a), e

LAC

sε=0 (6.55)

é a capacitância do transdutor não submetido à stress (sem efeito “mocional”).

Em forma matricial, os resultados (6.34 a-b), (6.52) e (6.54) podem ser sintetizados como

−=

3

2

1

0

00

00

3

2

1

1//

/)(cot~)sec(cos~/)sec(cos~)(cot~

Ivv

Chh

hLgZLZhLZLgZ

jVFF

aa

aa

ωωω

ωββωββ

(6.56)

onde 00~ ZAcAZ D == ρ (6.57 a)

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196

e DL cvZ ρρ ==0 (6.57 b)

sendo Z0 a impedância acústica do transdutor (ver Z0 do Exemplo 6.4, para meio isotrópico, e

ρ)1( 2kcv

E

L+=

ρ

Dc= ] do Exemplo 6.5).

6.3.2 Modelo Equivalente de Mason

Através da análise do sistema de equações (6.56), Mason (1948) propôs a representação

circuital mostrada na Fig.6.18, onde a relação de transformação é N=h C0. Estimula-se o leitor a

conferir esta equivalência. Para isto, a relação cotg(x) = cossec(x) − tg(x/2) pode ser útil.

Figura 6.18 – Circuito equivalente de Mason

No caso de material não-piezoelétrico o coeficiente piezoelétrico é nulo, ie, e=0, e então,

h=0, ou seja, N=0. Com isso, o secundário do transformador é aterrado e o transdutor torna-se

indiferente a V3 e I3. Tal dispositivo constitui uma simples linha de retardo acústica [6].

Para o caso particular mostrado na Fig.6.19, nas quais o transdutor encontra-se entre o

vácuo (F1=0) e um meio com impedância acústica Z2, onde 222~ vZF −= , mostra-se que a

impedância elétrica Z3 é dada por

+−

−++−

−+==)cos()(

))cos(1.(2

)cos()(

)(sen)/()(

11

0

2

0

2

02

0

2

03

3

3

LZZjLsen

L

LZZjLsen

LZZjLC

kCj

ZIV

aa

a

aa

a

a

T

ββ

β

ββ

ββωω

(6.58)

onde 2

22

1 kkkT +

= (6.59)

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197

é o fator de acoplamento eletromecânico.

Z2

V3I3

vácuoZ1=0

(a)

F2= -Z2V2

Vg

~

F1= 0

rede deCasamento

(X)

Rg

(b)

Figura 6.19 – Excitação de onda acústica num substrato. a) Estrutura física acústicas. b) Circuito equivalente e grandezas eletromecânicas.

Exemplo 6.6: Considere-se o caso de onda longitudinal propagando-se num substrato de

LiNbO3 em corte-X, excitada por um transdutor do mesmo material, porém, em 360 Y-rotated.

Desenhar a resposta em frequência do transdutor piezoelétrico

Solução: Neste caso o substrato e o transdutor estão bem casados (mesmo material),

constituindo um arranjo bastante utilizado em dispositivos acústico-ópticos. Para o transdutor

ocorre ρ= 4,6x103 kg/m3 e vL=7,4x103 m/s, o que conduz à seguinte impedância acústica (ver

Exemplo 6.4): LvZ ρ=0 =3,4x107 kg/(m2s) (ou Ns/m3 = rayls). Além disso, εr=40 e k2=0,25.

Figura 6.20 – Resposta em frequência do transdutor piezoelétrico.

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Para o substrato ocorre ρ= 4,6x103 kg/m3 e vp=6,6x103 m/s (velocidade de fase), o que

conduz a pvZ ρ=2 =3x107 kg/(m2s).

Para um transdutor com espessura L=1,7 μm e área A=1mm × 1mm, tal que C0=6x10−13 F

desenhou-se, na Fig.6.20, os gráficos das partes real e imaginária de Z3 em Ω.

Conforme se observa, para esta geometria de transdutor, a ressonância ocorre em 2,7

GHz, a qual deve corresponder a frequência de operação da célula Bragg a ele associado.

Observa-se, também, a oscilação em terceira harmônica do dispositivo. Dentro de sua banda de

operação, a reatância do transdutor permanece capacitiva, como é característico de estruturas

onde Z2 /Z0 ≅ 1 [6].

_____________________________________________________________________________

6.3.3 Eficiência de transdução

A equação (6.58) evidencia que, sob o ponto de vista acesso elétrico (3), o transdutor

pode ser modelado por um circuito RLC série, como mostrado na Fig.6.21, onde Rg é a

resistência interna do gerador de RF.

~vg

Rg

C0

Ra(ω)

Xa(ω)

I3

V3

Figura 6.21 – Circuito ressonante RLC série equivalente do transdutor.

Com isso, pode-se escrever que

)(10

3 ωω aZ

CjZ += (6.60)

onde

)()()( ωωω aaa jXRZ += (6.61)

corresponde à impedância mocional do transdutor. Quando um transdutor é terminado por uma

carga acústica casada Z2=Z0, e tem Z1=0 (air-backed), deseja-se que toda a potência elétrica de

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199

entrada apareça como potência acústica na carga acústica, a qual é a única carga resistiva

presente. Na frequência central ω=ω0 o transdutor exibe uma reatância mocional nula. Contudo,

se kT<<1, a resistência Ra0=Ra (calculada em ω0) é muito menor que 1/ωC0, e assim, o transdutor

tende a apresentar uma carga altamente reativa para a fonte de entrada. Isto justifica o

comportamento ressonante revelado na Fig.6.20.

Para um transdutor carregado e operando na frequência central ω0, ocorre uma

ressonância paralela se L=Λ/2, ou seja, quando βaL = π. Substituindo esta condição em (6.58),

obtém-se a resistência mocional

2

0

00

2

04

ZZ

CkR T

a πω= (6.62)

A máxima potência média disponível, fornecida pelo gerador de RF mostrado no circuito

da Fig.6.21, ocorre quando este é terminado com carga Zg, e vale:

g

gin R

VP

8

2

= (6.63)

A potência média entregue ao transdutor, corresponde àquela desenvolvida através de Ra,

isto é

2

230IRP a

L = (6.64)

Assim, calculando-se a eficiência ηT, a razão entre PL e Pin, resulta

200

20

0

)/1()(4

CRRRR

PP

ag

ag

in

LT ω

η++

== (6.65)

Diferenciando ηT em relação a Rg e igualando-se o resultado a zero, pode-se obter o valor

de ηT máximo:

200

20

0max,

)/1(2

CRRR

aoa

aT

ωη

++= (6.66)

Quando Ra0<<(1/ωC0)2, tal qual com 12 <<Tk , então ηT tem máximo com 000 /1 CRa ω≈ , cujo

valor é 000, 2 CRaMAXT ωη ≈ .

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200

_______________________________________________________________________

Exemplo 6.7: Transdutor de ZnO em safira

Considere-se um transdutor de ZnO com espessura L=3,1 μm operando em 1 GHz, com subtrato

de safira. Para onda longitudinal tem-se 0~Z =(36x106×A) kg/m2-s e 2

~Z =(44,3x106×A) kg/m2-s,

onde A é a área do transdutor. Se a transdutor é projetado para ter uma impedância reativa de 50

Ω tal que proporcione uma melhor eficiência com um gerador de 50 Ω, sua capacitância deve ser

de C0=3,2 pF. Com uma permissividade εS=8,8 ε0, a área do transdutor é A=0,13 mm2. Dado

kT=0,28, calcula-se Ra0=4 Ω, e daí, ηT=0,16.

________________________________________________________________________

A fim de melhorar ηT, pode-se recorrer a uma indutância série externa, X, para sintonizar

o circuito, tal que

20

2 )/1()(4

CXXRRRR

PP

aag

ag

in

LT ω

η−+++

== (6.67)

numa frequência arbitrária ω. A função dessa reatância X é cancelar o efeito de 1/ωC0, na

frequência central ω0. Para maiores informações sobre transdutores piezoelétricos e suas

aplicações, sugere-se consultar as referências [2] e [6].

6.4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Yariv, A. & Yeh, P., Optical Waves in Crystals, New York, John Wiley & Sons, 1984.

[2] Kino, G., Acoustic Waves: Devices, Imaging and Analog Signal Processing, Englewood

Cliffs, New Jersey, Prentice Hall, Inc., 1987.

[3] Nelson, D.F., Electric, Optic, and Acoustic Interaction in Dielectrics, John Wiley & Sons,

1979.

[4] Dieulesant, E. & Royer, D., Elastic Waves in Solids, New York, John Wiley & Sons,

1980.

[5] Collin, R.E., Foundations for Microwave Engineering, 2nd. edition, Wiley-IEEE Press,

2000, 994p.

[6] Rosenbaum, J.F., Bulk Acoustic Wave Theory and Devices, Artech House, 1988.