Ficha 1 de Exercícios - ULisboa · ACED Análise Complexa e Equações Diferenciais Prof. Michael...

ACEDAnálise Complexa e Equações Diferenciais

Prof. Michael Paluch • 2o Semestre 2019/2020

Ficha 1 de Exercícios

1. Escreva cada número complexo na forma reiθ com 0 ≤ θ < 2π.

(i) i3, (ii) 1 − i, (iii)√

2(1 + i), (iv)√

3 − i, (v) 2 − 2√

3i.

2. Escreva cada número complexo na forma x + iy com x, y ∈ R:

(i) eπi/4, (ii) 5e−πi (iii) 2e3πi/2, (iv) e4πi/3, (v) e7πi/6.

3. Escreva cada número complexo na forma eiθ com −π < θ ≤ π.

(i) (1 − i)(−1 − i), (ii) (1 − i)−1, (iii) (√

3 − i)/(1 + i), (iv) (1 +√

3i)3.

4. Calcule, para n = 1, 2, 3, . . . ,

(i) in, (ii)(

1 − i1 + i

)n, (iii) (1 + i)n + (1 − i)n.

5. Determine∑n

k=0 eikθ e mostre

1 + 2n∑

k=1

cos kθ =sen(n + 1

2 )θ

sen 12 θ

para θ 6= 2mπ com m ∈ Z.

6. Determine todas as soluções das equações seguintes:

(i) 1 + z + · · ·+ z7 = 0,

(ii) (1 − z)6 = (1 + z)6,

(iii) 1 − z + z2 = 0,

(iv) 1 − z2 + z4 − z6 = 0.

7. A relação de ordem usual > de R verifica as propriedades seguintes:

(a) Se x 6= 0, então x > 0 ou −x > 0, mas não as mesmas.

(b) Se x, y > 0, então x + y > 0 e xy > 0.

Mostre que não existe uma relação > em C que verifica (a) e (b).

1




1. Esboce os seguintes subconjuntos de C dados por:

(i) z | |z + 2| = 6.

(ii) z | |z − 3i| = |z + i|.

(iii) z |∣∣ 1

z

∣∣ ≤ 2.

(iv) z | |z − 1 + i| ≥ |z − 1 − i|.

(v) z | |z + 1|+ |z − 1| = 2.

(vi) z | z2 + z2 = 1.

2. Encontre todas as soluções da equação z4 − 4z3 + 6z2 − 4z − 15 = 0.

3. Encontre a parte real e imaginária das funções

(i) f (z) = z + iz2.

(ii) f (z) = i − z3.

(iii) f (z) = z/z.

4. Para uma função f , seja Z( f ) = z ∈ C | f (z) = 0. Determine Z( f ) para as funções:

(i) (z4 − 1) sen(πz)

(ii) ch2 z

(iii) 1 + exp 2z

(iv) sen3 (z−1), para z ∈ C \ 0

(v) 1 − exp z2

(vi) 1 + exp z2

5. Esboce a imagem pela aplicação f do conjunto A indicado

(i) f (z) = z2, A =

z ∈ C | Arg(z) = 5π6

(ii) f (z) = (z − i)−1, A = z ∈ C | |z − i| = 2

(iii) f (z) = Log z, A =

z ∈ C | 2 < |z| < e, π4 < Arg z < 7π

4

, usando o ramo principal do

argumento na definição do logaritmo.

6. Encontre os limits

(i) limz→−i

z2 + 3iz − 2z + i

,

1

(ii) limz→0

sen zsh iz

.

7. Mostre que cada dos limite segiuntes não existe

(i) limz→0

zz

,

(ii) limz→0

z|z|

,

(iii) limz→0

Im zRe z

.

8. Seja f (z) = z/(1 + |z|).

(i) Mostre que f é contínua em C.

(ii) Mostre que f (z) = f (w) se e só se z = w.

(iii) Mostre que a imagem de f é o disco z | |z| < 1.

2




1. Utilizando as condições de Cauchy-Riemann, verifique quais das funções seguintes sãodiferenciáveis pelo menos num ponto

(i) f (z) = z2z,

(ii) f (z) = cos(3z)− i,

(iii) f (z) = z Im z,

(iv) f (z) = |z|z,

(v) f (z) = Re z + Im z.

2. Quais das funções do exercício anterior são holomorfas pelo menos num ponto?

3. Mostre que a função f (x + iy) =√

|xy|, com x, y ∈ R, verifica as condições de Cauchy-Riemann na origem, mas não é diferenciável neste ponto.

4. Calcule as derivadas das seguintes funções:

(a) sen(z) + 3z2 − zez3,

(b) cos(z) + (2z + 1)z,

(c) tg(z),

(d) f (z) = az+bcz+d ,

(e) arcsen(z),

(f) log(z2 + (z − 3)−1).

5. Seja f ′(z) ≡ 0 num aberto conexo Ω. Mostre que f (z) ≡ (constante) em Ω.

6. Seja f : C→ C uma função holomorfa tal que se verifica uma das condições

(a) Re f (z) ≡ (constante),

(b) Im f (z) ≡ (constante),

(c) | f (z)| ≡ (constante).

Mostre que f (z) ≡ (constante).

7. Reconstrua a função holomorfa f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sabendo a parte real e umvalor f (z0).

(i) u(x, y) =x

x2 + y2 , f (π) = π−1.

1

(ii) u(x, y) = x2 − y2 + 2x, f (i) = 2i − 1.

(iii) u(x, y) = 2 sen x · ch y − x, f (0) = 0.

8. Calcule os integrais

(i)´

γ cos y dx − sen y dy, γ =(x, y) | y = −x, x ∈ [−2, 2]

;

(ii)´

γ(xy − y2) dx + x dy, γ =(x, y) | y = 2

√x, x ∈ [0, 1]

;

(iii)´

γ(x2 − 2xy) dx + (y2 − 2xy) dy, γ =(x, y) | y = x2, x ∈ [−1, 1]

;

(iv)´

γ(x2 + y2) dx + (x2 − y2) dy, γ =(x, y) | y = 1 − |x − 1|, x ∈ [0, 2]

.

9. Calcule o integral´

γ f (z) dz, onde

(i) f (z) = e|z|2 Re z, γ é o segmento de vértices 0 e 1 + i,

(ii) f (z) = z Im z2, γ =

z | |z| = 1, −π ≤ arg z ≤ 0

,

(iii) f (z) = zz, γ =

z | |z| = 1

.

10. Calcule o integralˆ

γ

1√z

dz, onde

(i) γ = z | |z| = 1, Im z ≥ 0, e escolha-se o ramo da função√

z que verifica√

1 = 1,

(ii) γ = z | |z| = 1, Re z ≥ 0, e escolha-se o ramo da função√

z que verifica√−i =

(1 − i)/√

2.

2




1. Para o caminho γ(t) = (cos t, 3 sen t), 0 ≤ t ≤ 4π, calcule Indγ(0).

2. Calcule

(i)ˆ

γ

z2

z − 1dz, onde γ é a circunferência do raio 2 centrado na origem.

(ii)ˆ

γ

ez

z2 dz, onde γ é a circunferência do raio 1 centrado na origem.

(iii)ˆ

γ

z2 − 1z2 + 1

dz, onde γ é a circunferência do raio 2 centrado na origem.

(iv)ˆ

γ

sen ez

zdz, onde γ é a circunferência do raio 1 centrado na origem.

3. Seja f uma função holomorfa numa região Ω e seja γ um caminho fechado em Ω. Paraz0 ∈ Ω \ γ calcule ˆ

γ

[f ′(z)

z − z0−

f (z)(z − z0)2

]dz.

4. Seja f (z) um função holomorfa em C. Mostre que se limz→∞ z−1 · f (z) = 0, então f é constante.

5. Mostre que´ π

0 ecos θ cos(sen θ) dθ = π. Sugestão: Considereˆ

γ

ez

zdz, onde γ é a circunfe-

rência do raio 1 centrado na origem.

6. Determine uma função harmónica conjugada para as seguintes funções:

(i) u(x, y) = xy3 − x3y + 2x + 1,

(ii) u(x, y) = − log(√

x2 + y2)+ 2y.

1




1. Determine se a sucessão convege e no caso que é convergente calcule o limite:

(i) zn = (−1)n +i

n + 1;

(ii) zn =n!nn in.

2. Considere a sucessão fn(z) = zn.

(i) Mostre que fn converge uniformemente em cada disco fechado Br(0), com r < 1.

(ii) Determine se é uniformemente convergente no disco fechado B1(0).

3. Estude a convergência das séries

(i)∞∑

n=1

cos in2n ,

(ii)∞∑

n=1

e2ni

n√

n,

(iii)∞∑

n=1

(1 + i)n

2n/2 cos in,

(iv)∞∑

n=1

ch(iπ/n)nlog n .

4. Mostre que a sucessão de funções fn(z) converge uniformemente no conjunto Ω:

(i) fn(z) = e−nz2, Ω = [1,+∞[ ⊂ R;

(ii) fn(z) = z2n, Ω = z | |z| < ρ, 0 < ρ < 1;

(iii) fn(z) =√

n sen(z/n3/2), Ω = z | |z| < ρ, 0 < ρ;

(iv) fn(z) =nz2

n + z, Ω = z | |z| < ρ, 0 < ρ;

(v) fn(z) = e−(z−n)2, Ω = z | |z| < 1;

(vi) fn(z) =nz

1 + n3z2 , Ω = [1,+∞[ ⊂ R.

5. Estude a convergência e a convergência uniforme da sucessões de função fn(z) no con-junto Ω:

1

(i) fn(z) =cos√

nz√n + 2z

, Ω = [0,+∞[ ⊂ R;

(ii) fn(z) = sen(ne−nz), Ω = [1,+∞[ ⊂ R;

(iii) fn(z) =log nz

nz2 , Ω = [1,+∞[ ⊂ R;

(iv) fn(z) =4n√

nz3 + 4n2z

, Ω = [δ,+∞[ ⊂ R, δ > 0;

(v) fn(z) = zn + z2n − 2z3n, Ω = [0, 1] ⊂ R;

(vi) fn(z) = nz(1 − z)n, Ω = [0, 1] ⊂ R.

6. Usando o teste de Weierstrass mostre que a série converge uniformente no conjunto Ω:

(i)∞∑

n=1

zn

n2 , Ω = [−1, 1] ⊂ R;

(ii)∞∑

n=1

1(n + z)2 , Ω = z | Re z ≥ 1;

(iii)∞∑

n=1

z2

1 + n3/2z2 , Ω = R;

(iv)∞∑

n=1

n3e−n2z, Ω = [δ,+∞[, onde δ > 0.

2




1. Encontre o raio de convergência das série de potências

(i)∞∑

n=1

einzn,

(ii)∞∑

n=1

ch(

in

)zn,

(iii)∞∑

n=1

zn

(in)n ,

(iv)∞∑

n=1

(n + 1

2n + 3

)nzn,

(v)∞∑

n=1

1n!

(nze

)n.

2. Determine a série de Taylor na viainhança do ponto z0 e o raio de convergência:

(i) e−z2, z0 = 0;

(ii)z2

(1 + z)2 , z0 = 0;

(iii)1

(1 − z3)2 , z0 = 0;

(iv) sen(z2/3

), z0 = 0;

(v) (1 + z)e−z, z0 = 0;

(vi)5z − 4z + 2

, z0 = 0;

(vii)1

z2 − 2z − 3, z0 = 0;

(viii)1

z2 − 5z + 6, z0 = 1;

3. Determine o conjunto de convergência da série

(i)∞∑

n=1

1(1 − i)nzn ,

1

(ii)∞∑

n=1

en(iz)−n,

(iii)∞∑

n=1

3n + 1(z + 2i)n .

4. Determine a soma da série

(i)∞∑

n=1

zn

n,

(ii)∞∑

n=1

nzn+1.

5. Mostre que

(i) (a + bz)−1 =∞∑

n=0

(−1)n bn

an+1 zn, |z| < |a/b|, ab 6= 0;

(ii) (z2 + a2)−1 =∞∑

n=0

(−1)n z2n

a2(n+1), |z| < |a|, a 6= 0;

(iii) (a2 + z2)−1/2 =1a+

∞∑n=1

(−1)n (2n − 1)!!a2n+1(2n)!!

z2n, |z| < |a|, a > 0 em que (2n)!! = 2 · 4 ·

· · · · (2n) e (2n − 1)!! = 1 · 3 · · · · · (2n − 1);

(iv) (a2 + z2)1/2 = a +z2

2a+

∞∑n=2

(−1)n−1 (2n − 3)!!a2n−1(2n)!!

z2n, |z| < |a|, a > 0.

6. Determine a série de Laurent da função f (z) na vizinhança do ponto z0

(i) f (z) =sen z

z2 , z0 = 0;

(ii) f (z) = z3e1/z, z0 = 0;

(iii) f (z) =1 − cos z

z2 , z0 = 0;

(iv) f (z) =sen zz − 2

, z0 = 2.

7. Determine a série de Laurent da função f (z) no conjunto Ω

(i) f (z) =1

(z − 2)(z − 3),

a) Ω = z | 2 < |z| < 3,

b) Ω = z | 3 < |z| < +∞;

8. f (z) =1

z2 + 1, Ω = z | 0 < |z − i| < 2;

9. f (z) = z3 cos[

1z − 2

], Ω = z | 0 < |z − 2| < +∞;

2

10. f (z) = log[(z + 1)2

z2 + 4

], Ω = z | 2 < |z|.

11. Classifique a singularidade da função f (z) no ponto z0 para:

(i) f (z) =1

z − sen z, z0 = 0;

(ii) f (z) =sen z

e−z + z − 1, z0 = 0;

(iii) f (z) =1 + cos z

z − π, z0 = π;

(iv) f (z) =sh z

z, z0 = 0;

(v) f (z) =z2 − 1

z6 + 2z5 + z4 , z0 = 0;

(vi) f (z) =z2 − 1

z6 + 2z5 + z4 , z0 = −1;

12. Classifique todas as singularidades da função f (z) para:

(i) f (z) =1

1 − sen z,

(ii) f (z) = cos(z−1),

(iii) f (z) =1

e−z − 1+ z−2.

13. Classifique a singlaridade da função f (z) no ponto z =∞(i) f (z) =

z + 1z4 ,

(ii) f (z) = cos (1/z),

(iii) f (z) = z3e1/z,

3




1. Calcule os resíduos

(i) Resz=0zn−1

senn z, n = 1, 2, . . . ;

(ii) Resz=0ez − 1 − z

(1 − cos 2z) sen z;

(iii) Resz=0zn−2

shn z, n = 2, 3, . . . .

2. Calcule os resíduos da função f (z) em todos os pontos singulares

(i) f (z) =tg z

z2 − πz/4,

(ii) f (z) = z3e1/z,

(iii) f (z) =ch z

(z2 + 1)(z − 3),

(iv) f (z) =eπz

z − i,

(v) f (z) =e1/z

z + 1.


(i)‰|z|=1

ez

z2 − 6zdz;

(ii)‰|z|=2

sen izz2 − 4z + 3

dz;

(iii)‰|z|=1

tg zze1/(z+2)

dz;

(iv)‰|z|=2

cos izz3 dz;

(v)‰

γ

z(z − 1)2(z + 2)

dz, γ = z = x + iy | x2/3 + y2/3 = 32/3;

(vi)‰

γ

cos(z/2)z2 − 4

dz, γ = z = x + iy | x2/9 + y2/4 = 1;

1

(vii)‰

γ

e2z

z3 − 1dz, γ = z = x + iy | x2 + y2 − 2x = 0.


(i)‰|z|=1

cos zz3 dz,

(ii)‰|z|=2

z sh z(z2 − 1)2 dz,

(iii)‰|z−2|=3

ch eiπz

z3 − 4z2 dz,

(iv)‰|z|=1/2

cos(

πz+1

)z3 dz.

5. Usando o resíduo em z =∞, calcule os integrais

(i)‰|z|=2

11 + z12 dz,

(ii)‰|z|=2

1000z + 21 + z1224 dz.


(i)ˆ ∞

0

x2 + 1x4 + 1

dx;

(ii)ˆ +∞−∞

1(x2 + 1)3 dx;

(iii)ˆ ∞

0

x sen axx2 + 1

dx, a > 0;

(iv)ˆ 2π

0

11 − 2p cos x + p2 dx, 0 < p < 1;

7. Seja f (z) uma função analítica em todo o plano complexo e suponha que existem M ∈ R en ∈ N tais que | f (z)| ≤ M(1 + |z|n) para cada z ∈ C. Mostre que f (z) é um polinómio degrau menor ou igual a n.

2




1. Mostre que para A > 0 a função

y(t) =

0 t ≤ A,(t2 − A)3 t > A

(1)

é uma solução de classe C1 do problema de valor inicial

dydt

= 6t 3√

y2

y(0) = 0 ,

diferente da solução y(t) = 0, ∀t ∈ R. Explique porque é que isto não contradiz o teoremade Picard.

2. Mostre que o problema de valor inicial

dydt

= y1/2

y(0) = 0,

tem infinitas soluções de forma

y(t) =

0 t < a[

t − a2

]2

t ≥ a(2)

com a > 0, e explique porque esse facto não contradiz o Teorema de Picard.

3. Considere a equação diferencial

(1 − t)ydydt

= 1 − y2

(i) Mostre que para cada constante K a equação 1 = y2 + K(1 − t)2 determina umasolução implícita.

(ii) Justifique que existe uma solução única definida num intervalo aberto de 1/2 queverifica y(1/2) = 2, e determine o intervalo máximo de unicidade dessa solução.

(iii) Mostre que o PVI admite um número infinito de soluções definidas em R.

1

(iv) Diga, justificando, porque não há contradição ao Teorema de Picard.

2




1. Em resolve cada problema para t > 0 e estude cada solução como t→ o+.

(i) ty ′ + 2y = t2 − t + 1, y(1) = 1/2.

(ii) ty ′ + y = et, y(1) = 1.

(iii) y ′ + (cotg t)y = 2 csc t, y(π/2) = 1.

(iv) ty ′ + 2y = sen t, y(π) = π−1.

2. Em cada problema resolve o sistema de equações:

(i)

x ′1 = x1 + x2

x ′2 = 4x1 − 2x2

(ii)

x ′1 = x1 + x2 + 2et

x ′2 = 4x1 + x2 − et

(iii)

x ′1 = 2x1 − 5x2 − sen 2t, x1(0) = 0x ′2 = x1 − 2x2 + t, x2(0) = 1

3. (i) Determine a solução do sistema linear

x ′ = x − yy ′ = 2x − y

que satisfaz a condição inicial x(0) = 1, y(0) = 0.

(ii) Considerando agora o sistema

x ′ = x − yy ′ = 2x − yz ′ = y − (sen t)z

utilize a alínea anterior para determinar a solução que verifica a condição inicialx(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = 1.

1

4. Em cada problema expressar a solução geral do sistema de equações em termos de funçõesreais.

(i) x ′ =(

3 −24 −1

)x

(ii) x ′ =

1 0 02 1 −23 2 1

x

(iii) x ′ =

1 1 12 1 −10 −1 1

x

(iv) x ′ =(

2 −51 −2

)x +

(− cos t

sen t

)(v) x ′ =

(2 −51 −2

)x +

(− cos t

sen t

)

2




1. Para cada problema determine a solução geral.

a) y ′ + y/x = sen x, x > 0.

b) x2y ′ + 3xy = (sen x) /x, x < 0.

c) y ′ + (tg x) y = x sen 2x, −π/2 < x < π/2.

d) xy ′ + 2y = ex, x > 0.

2. Para cada problema determine a solução e indique o intervalo em que a solução é válida

a) xy ′ + 2y = x2 − x + 1, y(1) = 1/2.

b) xy ′ + y = ex, y(1) = 1.

c) xy ′ + 2y = sen x, y(π) = 1/π.

3. Determine a solução do problema de valor inicial

3t2 + 4ty + (2y + 2t2)y ′ = 0, y(0) = 1

e esclareça qual é o seu intervalo máximo de existência.

4. Resolve os problemas seguintes.

(i) y ′ =t3 − 2y

t

(ii) y ′ =2t + y

3 + 3y2 − t, y(0) = 0

(iii) ty ′ − y =√

ty

(iv) t2y + ty − y + (t2y − 2t2)y ′ = 0

(v) y ′ = −3t2y + y2

2t3 + 3ty, y(1) = −2

5. Considere a equação diferencial

yt+(

y3 − log t) dy

dt= 0 (3)

(i) Verifique que a equação (0.3) tem um factor integrante da forma µ = µ(y) e determine-o.

1

(ii) Prove que as soluções de (0.3) são dadas implicitamente por Φ(t, y) = C, onde C éuma constante arbitrária e

Φ(t, y) =12

y2 +1y

log t

(iii) Determine a solução de (0.3) que satisfaz a condição inicial y(1) =√

2.

6. Considere a equação diferencialdydt

= −y

4y2 + 2t

(i) Mostre que esta equação tem um factor integrante µ = µ(y).

(ii) Determine a solução que satisfaz a condição inicial y(1) = 1.

(iii) Determine o intervalo máximo de existência da solução que calculou na alínea ante-rior.

7. Considere a equação diferencial ordinária

xt− sen(t) + x ′ = 0 (4)

(i) Mostre que a equação (0.4) não é exacta.

(ii) Determine condições tais que uma equação na forma

M(t, x) + N(t, x)x ′ = 0

admite um factor integrante que é uma função de t, isto é, da forma µ(t), para umacerta função real de variável real µ, e escreva uma equação diferencial ordinária satis-feita por µ.

(iii) Determine a solução da equação (0.4) que satisfaz a condição inicial x(π) = 1, eindique o intervalo máximo de definição da solução.

8. Considere a equação diferencial ordinária(4x2y + 3xy2 + 2y3

)+(

2x3 + 3x2y + 4xy2) dy

dx= 0 (5)

(i) Mostre que (0.5) tem um factor integrante do tipo µ = µ(xy).

(ii) Mostre que a solução de (0.5) com condição inicial y(−1) = 1 é dada implicitamentepela expressão x4y2 + x3y3 + x2y4 = 1.

9. Mostre que o seguinte problema de valor inicial:

dydt

=1

3y2 + 3√(t + 1)2

y(0) = 1 ,

tem uma única solução y(t), definida para t ∈ [0,+∞[, e calcule limt→+∞ y(t) .

2

Sugestão: Não tente resolver a equação diferencial. Considere a função u(t) definida pordudt

=1

3u2

u(0) = 1 .

Uma vez determinada a função u(t), mostre que

dydt

>1

3 (u(t))2 + 3√(t + 1)2

,

e integre esta relação entre 0 e t.

10. Sendo y a solução do PVI dydt

= y2(2 + sen(et + y))

y(0) = 1 .

mostre que y(t) está definida para t no intervalo [0, T[ com T < 1.

3




1. Considere a equaçãoy(3) − 4y(2) + 5y ′ = 0

a) Determine a sua solução geral.

b) Determine para que condições iniciais em t = 0 é que os problemas de valor inicialcorrespondentes têm soluções convergentes quando t→∞.

2. Seja k > 0. Para que valores de c ∈ R é que a equação

y ′′ − 2cy ′ + y = 0

admite uma solução satisfazendo y(0) = y(2kπ) = 0, que não seja identicamente nula?

3. Considere a equaçãoy(4) + 2y(3) + y(2) = t + cos t (6)

a) Determine a solução geral da equação homogénea correspondente a (0.6).

b) Determine uma solução particular de (0.6).

c) Determine a solução de (0.6) que verifica a condição inicial

y(0) = y ′(0) = y(2)(0) = y(3)(0) = 0

4. Determine a solução da equação linear:

y(3) − 2y(2) + y ′ − 2y = b(t)

que verifica as condições iniciais

y(0) = y ′(0) = 0 , y(2)(0) = 1

quando:

a) b(t) = 0, ∀t ∈ R.

b) b(t) = t, ∀t ∈ R.

c) b(t) = et, ∀t ∈ R.

1

5. Mostre que y1(t) =sen t

té uma solução da equação diferencial

td2ydt2 + 2

dydt

+ ty = 0 (7)

e use redução de ordem para determinar a solução geral de (0.7).

6. Considere a equação diferencialt2y ′′ + ty ′ − y = t (8)

Mostre que y1(t) = t e y2(t) = t−1 são soluções linearmente independentes de equaçãohomogénea associada, e determine a solução geral de (0.8) .

2




1. Determine a transformada de Laplace das funções seguintes:

(i) f (t) = t,

(ii) f (t) = tet,

(iii) f (t) = sen 3t,

(iv) f (t) = t + 12 e−t,

(v) f (t) = 2 sen t − cos t,

(vi) f (t) = cos3 t,

(vii) f (t) = t2 cos t,

(viii) f (t) = t3 + e−t,

(ix) e2t sen t.

2. Encontre a função original f (t) se a sua transformada de Laplace F(s) é :

(i) F(s) =2e−s

s3 ,

(ii) F(s) =e−2s

s2 ,

(iii) F(s) =e−2s

s − 1,

(iv) F(s) =e−3s

s + 3,

(v) F(s) =1

s2 + 4s + 5,

(vi) F(s) =s

(s + 1)2 ,

(vii) F(s) =1

s3 + 2s2 + s,

(viii) F(s) =2s3 + s2 + 2s + 2

s5 + 2s4 + 2s3 ,

(ix) F(s) =s + 2

(s + 1)(s − 2)(s2 + 4),

(x) F(s) =s

s3 + 1,

1

(xi) F(s) =3s2

(s3 − 1)2 .

3. Calcule as transformadas de Laplace e as regiões de convergência das funções definidasem t ≥ 0 pelas expressões seguintes:

(i) f (t) = cosh(at) (ii) f (t) = t sen(at)

(iii) f (t) = eat cos(bt) (iv) f (t) =sen(t)

t, (t > 0)

4. Calcule a inversa da Transformada de Laplace de

(a) (s2 − 1)−2 (b) 6(s4 + 10s2 + 9)−1

(c)s + 1

s2 + s − 6(d)

1(s + 1)4

5. Utilizando a Transformada de Laplace resolva os seguintes problemas de valor inicial:

a) y ′′ − y ′ − 6y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = −1

b) y ′′ + ω2y = cos(2t), ω2 6= 0, y(0) = 1, y ′(0) = 0

c) y ′′ + 2y ′ + 2y = h(t), y(0) = 0, y ′(0) = 1 sendo

h(t) =

1 se π ≤ t < 2π0 se 0 ≤ t < π e t ≥ 2π

6. Designa-se por δ a função de Dirac com suporte na origem. Utilizando a transformada deLaplace resolva os seguintes problemas de valor inicial:

a) y ′′ + 2y ′ + 2y = δ(t − π), y(0) = 1, y ′(0) = 0

b) y ′′ + y = δ(t − π)− δ(t − 2π), y(0) = 0, y ′(0) = 0

c) y ′′ + y = δ(t − π) + cos t, y(0) = 0, y ′(0) = 1

7. Calcule a série de Fourier da função f : [−1, 1]→ R definida por

f (x) =

−1 se −1 6 x 6 0,+1 se 0 < x 6 1.

8. Determine a série de Fourier da função g(x) = L − |x|, no intervalo [−L, L]. Utilizando asérie obtida num ponto adequado, aproveite para mostrar que

+∞∑n=1

1(2n − 1)2 = 1 +

132 +

152 + · · · = π2

8.

9. Determine a série de Fourier da função h(x) = x2, no intervalo x ∈ [−L, L]. Utilizando a

2

série obtida num ponto adequado, aproveite para mostrar que

+∞∑n=1

1n2 = 1 +

122 +

132 + · · · = π2

6.

10. Calcule a série de Fourier da onda sinusoidal rectificada, isto é, de

f (x) =

sen x se sen x > 00 se sen x 6 0

11. Desenvolva a função definida no intervalo [0, 1] por f (x) = 1 numa série de senos e indiquepara que valores converge (pontualmente) a série obtida.

12. Considere a função f : [0, 1]→ R definida por f (x) = x. Determine:

(i) a série de Fourier associada a f ;

(ii) a série de senos associada a f ;

(iii) a série de cosenos associada a f .

3




1. Determine os valores de λ para os quais os seguintes problemas de valores fronteira têmsoluções não triviais:

a) y′′ − 2y′ + (1 + λ)y = 0; y (0) = 0, y (1) = 0.

b) y′′ + λy = 0; y (0) = y (2π) , y′ (0) = y′ (2π) .

2. Determine uma solução do problema

∂u∂t

= 1, 71∂2u∂x2

u(x, 0) = sen(πx/2) + 3 sen(5πx/2), 0 < x < 2u(0, t) = u(2, t) = 0.

3. Determine uma solução do problema

∂u∂t

= 1, 14∂2u∂x2

u(x, 0) =

10x, 0 < x < 510(10 − x), 5 ≤ x < 10

∂u∂x

(0, t) =∂u∂x

(10, t) = 0.

4. Resolve

∂2u∂t2 = c2 ∂2u

∂x2

u(x, 0) = cos(x)− 1∂u∂t

(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2π

u(0, t) = 0 u(2π, t) = 0.

5. Resolve o problema de Dirichlet

∂2u∂x2 +

∂2u∂y2 = 0 0 < x < a, 0 < y < b

u(x, 0) = 0 u(x, b) = 0u(a, y) = 0 u(0, y) = f (y).

1

6. Resolve o problema de Dirichlet

∂2u∂x2 +

∂2u∂y2 = 0, 0 ≤ x2 + y2 < a2

u(a cos θ, a sen θ) = A cos θ, 0 ≤ θ ≤ 2π.

7. a) Recorrendo ao método de separação de variáveis, determine as soluções para t > 0 epara x ∈ [0, 1] de

∂u∂t

=∂2u∂x2 + u se x ∈]0, 1[

u(0, t) = 0 se t > 0u(1, t) = sen 1 se t > 0

b) Determine a solução que satisfaz a condição inicial

u(x, 0) = 3 sen(2πx)− 7 sen(4πx) + sen (x) .

8. Determine a solução dos seguinte problema de valor inicial e condição na fronteira:

ut = α2uxx, x ∈ (0, π), com

u(0, t) = u(π, t) = 0u(x, 0) = sen(x)− 2 sen(5x).

9. Determine a solução dos seguinte problema de valor inicial e condição na fronteira:

ut = uxx − u, x ∈ (0, L), com

ux(0, t) = ux(L, t) = 0u(x, 0) = cos(3πx/L).

10. a) Determine a solução u(x, y) da equação de Laplace em o retângulo 0 < x < a, 0 <y < b, que também satisfaz a condição na fronteira

u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, 0 < y < bu(x, 0) = 0, u(x, b) = g(x), 0 ≤ x ≤ a.

b) Determine a solução se g(x) é dada por

g(x) =

x, 0 ≤ x ≤ a/2a − x a/2 ≤ x ≤ a.

11. Determine a solução u(x, y) da equação de Laplace em o retângulo 0 < x < a, 0 < y < b,que também satisfaz a condição na fronteira

u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, 0 < y < bu(x, 0) = h(x), u(x, b) = 0, 0 ≤ x ≤ a.

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Ficha 1 de Exercícios - ULisboa · ACED Análise Complexa e Equações Diferenciais Prof. Michael...

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