Exercícios dos Capítulos 10, 11 e 12

DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I

Exercícios dos Capítulos 10, 11 e 12


Capítulo 10:

10.1.1 Calcule o período das seguintes funções:

a)  4 cos (5t + 33º)

ω = 2π/T ⇒ T = 2π/5

b)  cos 2t + π4

!

"#

$

%&+3sen 2t +

π6

!

"#

$

%&

cos 2t + π4

!

"#

$

%&= cos 2t( )cos π

4

!

"#

$

%&− sen 2t( )sen π

4

!

"#

$

%&

sen 2t + π6

!

"#

$

%&= sen 2t( )cos π

6

!

"#

$

%&+ cos 2t( )sen π

6

!

"#

$

%&

cos 2t + π4

!

"#

$

%&+3sen 2t +

π6

!

"#

$

%&=

22+32

!

"##

$

%&&cos 2t( )+ 3 3

2−22

!

"##

$

%&&sen 2t( )


cos 2t + π4

!

"#

$

%&+3sen 2t +

π6

!

"#

$

%&=

2 +32

!

"##

$

%&&cos 2t( )+ 3 3 − 2

2

!

"##

$

%&&sen 2t( )

Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 cos ωt −θ( )"#

$%

θ = tan−1 BA

"

#$

%

&'

T = 2πω

=2π2= π


10.1.2 Calcule a amplitude e a fase das seguintes senóides:

a)

3cos 2t( )+ 4sen 2t( )


$%

θ = tan−1 BA

"

#$

%

&'

amplitude = 32 + 42 = 5

θ = tan−1 43"

#$%

&'= 53,1°


b)

4 3 −3( )cos 2t +30º( )+ 3 3 − 4( )cos 2t +60º( )

cos α +β( ) = cos α( )cos β( )− sen α( )sen β( )

4 3 −3( )cos 2t +30º( ) = 4 3 −3( )cos 30º( )cos 2t( )− 4 3 −3( )sen 30º( )sen 2t( )

= 4 3 −3( ) 32cos 2t( )− 4 3 −3( ) 12 sen 2t( )

= 6− 3 32

"

#$$

%

&''cos 2t( )− 2 3 − 3

2

"

#$

%

&'sen 2t( )

3 3 − 4( )cos 2t +60º( ) = 3 3 − 4( )cos 60º( )cos 2t( )− 3 3 − 4( )sen 60º( )sen 2t( )

= 3 3 − 4( ) 12 cos 2t( )− 3 3 − 4( ) 32sen 2t( )

=3 32

− 2"

#$$

%

&''cos 2t( )− 9

2− 2 3

"

#$

%

&'sen 2t( )


4 3 −3( )cos 2t +30º( )+ 3 3 − 4( )cos 2t +60º( ) = 6− 3 32

"

#$$

%

&''cos 2t( )− 2 3 − 3

2

"

#$

%

&'sen 2t( )+

+3 32

− 2"

#$$

%

&''cos 2t( )− 9

2− 2 3

"

#$

%

&'sen 2t( )

4 3 −3( )cos 2t +30º( )+ 3 3 − 4( )cos 2t +60º( ) = 4cos 2t( )−3sen 2t( )

amplitude = 42 + −3( )2= 5

θ = tan−1 −34

"

#$

%

&'= −36,87°


10.2.2 Calcule vf:

Tentativa de solução:

ig = Imcos ωt( ) A!" #$ C R

+ v -

C dvdt+1Rv = Im cos ωt( )

v f = Acos ωt( )+ Bsen ωt( )C ddtAcos ωt( )+ Bsen ωt( )!"

#$+1RAcos ωt( )+ Bsen ωt( )!"

#$= Im cos ωt( )

−CωAsen ωt( )+CωBcos ωt( )+ 1R Acos ωt( )+ 1R Bsen ωt( ) = Im cos ωt( )

−CωA+ 1RB = 0CωB+ 1

RA = Im


A =RIm

1+ω2C2R2

B =ωCR2Im1+ω2C2R2

v f =RIm

1+ω2C2R2cos ωt( )+ ωCR2Im

1+ω2C2R2sen ωt( )


$%

θ = tan−1 BA

"

#$

%

&'

v f =RIm

1+ω2C2R2cos ωt − tan−1 ωCR( )!

"#$


10.3.3 Calcule vf substituindo a fonte de corrente do exercício anterior por:

Tentativa de solução:

i1 = Imejωt A!" #$ C R

+ v1 -

Cdv1dt

+1Rv1 = Ime

jωt

v1 = Ae jωt

CjωAe jωt + 1RAe jωt = Ime

jωt

jωC + 1R

!

"#

$

%&Ae jωt = Ime

jωt A =Im

jωC + 1R

!

"#

$

%&

=RIm

ω2C2R2 +1exp − j tan−1 ωCR( )(

)*+


v1 =RIm

ω2C2R2 +1exp j ωt − tan−1 ωCR( )"

#$%

v = Re v1{ }=RIm

ω2C2R2 +1cos ωt − tan−1 ωCR( )"

#$%


Calcule vf usando fasores:

Solução tentativa:


+ v1 -

i1 = Imejωt = Ie jωt ⇒ I = Im∠0°

Cdv1dt

+1Rv1 = Ime

jωt

jωCVe jωt + 1RVe jωt = Ie jωt

v1 =Ve jωt

jωCV+ 1RV = I V = I

1R+ jωC

=Im

1R!

"#

$

%&

2

+ω2C2∠− tan−1 ωCR( )


v = Re v1{ }=RIm

1+ω2C2R2cos ωt − tan−1 ωCR( )"

#$%


Calcule a impedância do circuito:

Z = V/I = R + jX

Lembrete:


+ v1 -

ZR = R

ZL = jωL =ωL∠90°

ZC =1jωC

= − j 1ωC

=1ωC

∠−90°

Z = R / /ZC =RZCR+ZC

=− j RωC

R− j 1ωC

=R

ω2C2R2 +1− j ωCR2

ω2C2R2 +1


Z = Rω2C2R2 +1

− j ωCR2

ω2C2R2 +1

=R

ω2C2R2 +1∠− tan−1 ωCR#$ %&


10.19 Use fasores, impedância e divisão de tensão para calcular v.

20 Ω

+ -

34cos 4t( ) V!" #$ 0,02 F 10 Ω

+ v -

20 Ω

+ -

34∠0º -12,5j 10 Ω

+ V -


20 Ω

+ -

º034∠ 6,1 – 4,9j = 7,81∠-38,66º + V -

divisão de tensão:

V = 6,1− 4,9 j20+6,1− 4,9 j

⋅34 = 207,4−166,6 j26,1− 4,9 j

=266,03∠−38,77º26,56∠−10,63º

=10∠− 28,1º

v =10cos 4t − 28,1º( ) V"# $%


Capítulo 11:

11.1.1 Calcule a resposta forçada vf usando a análise nodal:

10 Ω

+ -

10cos3t V!" #$1/30 F +

v -

sen3t A!" #$

− j 1ωC

= − j 303= − j10 Ω


10 Ω

+ -

10∠0°+ V -

1∠−90°− j10 Ω

V −1010

+V

− j10=1∠−90°

v f =10cos 3t −90°( ) =10sen 3t( )

V 110

+1

− j10!

"#

$

%&−1= − j V 1+ j1( ) =10− j10V 1

10+ j 110

!

"#

$

%&=1− j

V = 10 2∠− 45°2∠45°

=10∠−90°V = 10− j101+ j1

V


11.5 Calcule a tensão v em regime permanente, usando análise nodal.

v

Ω 4

-

+

F1218cos(4t) [A]

3cos(4t) [V]

7sen(4t) [A]

+

Ω 4

-


V4+V −3∠0º−3 j

= 8∠0º + 7∠−90º V4+V −3−3 j

= 8 − 7 j

−3 j + 4( )V −12 = −96 j −84 V = −96 j −72−3 j + 4

=120∠233,13º5∠−36,87º

= 24∠270º

v = 24cos 4t + 270º( ) = 24cos 4t −90º( ) = 24sen 4t( ) V"# $%

V

Ω 4

-

+

j3−8∠0º

3∠0º

7 ∠-90º

+

Ω 4

V V - 3∠0º

-


11.13 Calcule a tensão v em regime permanente.

+ -

2 Ω 1/2 H

4cos (4t) [V] 2 Ω

1 H

F81

2 Ω

F41

1/2 H

+ v -


+ - 4∠0º

2 + 4j

-2j

2 + 2j

2j

V V2

V 12+ 4 j

+1−2 j

+1

2+ 2 j"

#$

%

&'−

42+ 4 j

−V22+ 2 j

= 0

V25

2− 4 j+12 j

+1

2+ 2 j"

#$

%

&'−

V2+ 2 j

−42 j

= 0

542 j−


V−2 j( ) 2+ 2 j( )+ 2+ 4 j( ) 2+ 2 j( )+ 2+ 4 j( ) −2 j( )

24+8 j

"

#$$

%

&''−V2

2+ 4 j( ) −2 j( )24+8 j

=−8 j 2+ 2 j( )24+8 j

V 8+ 4 j( )+V2 −8+ 4 j( ) =16−16 j

V220 j − 20+12− 4 j +8+ 4 j

16+16 j"

#$

%

&'−V

8+ 4 j16+16 j

−48−16 j16+16 j

= 0

V −8− 4 j( )+V2 20 j( ) = 48−16 j

Δ =8+ 4 j −8+ 4 j−8− 4 j 20 j

#

$%%

&

'((= −160+160 j = 226,27∠135º

Δ1 =16−16 j −8+ 4 j48−16 j 20 j

#

$%%

&

'((= 640 = 640∠0º

V = 640∠0º226,27∠135º

= 2,828∠−135º v = 2 2 cos 4t −135º( ) V"# $%


Capítulo 12:

12.1.4 Calcule a potência média absorvida pelo capacitor, os dois resistores e a

fonte.

Impedância de entrada:

Potência média:

3 Ω

+ -

6cos t( ) V!" #$ 1/2 F 6 Ω

Z = Z∠θ = VI

P =VmIm2cos θ( ) P = 1

2Im2 Re Z( )


3 Ω

+ -

6∠0° -j 2 Ω 6 Ω

Z = 3+6 − j2( )6− j2

= 3+ − j63− j

=9− j93− j

= 3,6− j1,8

Z = 3,6− j1,8 = 4,02∠− 26,56°

I = VZ=

6∠0°4,02∠− 26,56°

=1,5∠26,56°

P =VmIm

2cos θ( ) = − 6 ⋅1,5

2cos −26,56°( ) = −4,02 W

Potência média fornecida pela fonte:


Potência média no resistor de 3 Ω:

P =RIm

2

2=

3⋅ 1,5( )2

2= 3,37 W

Potência média no resistor de 6 Ω:

P = 4,02−3,37 = 0,65 W

Potência média no capacitor:

P = 0 W


12.4.2 Calcule o fator de potência.

a) Carga = associação em série de R = 10 Ω e L = 10 mH, com frequência = 60 Hz.

Z = R+ jωL

=10+ j2π60 ⋅10 ⋅10−3

=10+ j3,77

Z =10+ j3,77 =10,69∠20,66°

f p = cos20,66° = 0,9357 atrasado( )



b) Carga capacitiva que consome 25 A (eficazes) e 5 kW em 230 V (eficazes)

f p =P

Veficaz Ieficaz= cosθ

f p =5⋅103

230 ⋅25= 0,87 adiantado( )



c) Carga formada pela associação em paralelo de uma carga de 5 kW com

fator de potência de 0,9 (adiantado) e uma carga de 10 kW com fator de

potência de 0,95 (atrasado).

carga 1:

carga 2:

f p1 = cosθ1 ⇒ θ1 = −cos−1 f p1( ) = −cos−1 0,9( ) = −25,84°

S1 = P1+ jQ1

Q1 = P1 tanθ1 = 5⋅103 tan −25,84°( ) = −2421,6 vars

f p2 = cosθ2 ⇒ θ2 = cos−1 f p2( ) = cos−1 0,95( ) =18,19°

S2 = P2 + jQ2

Q2 = P2 tanθ2 =10 ⋅103 tan 18,19°( ) = 3286,8 vars

Re

Im

P

Q S

θ


ST = P1+ P2( )+ j Q1+Q2( ) =15⋅103 + j865,4

Potência complexa total:

Cargas associadas:

θ = tan−1Q1+Q2P1+ P2

"

#$$

%

&''= tan

−1 865,415⋅103"

#$

%

&' = 3,30°

f p = cosθ = cos3,30° = 0,998 atrasado( )


12.1 Um ciclo de corrente periódica é dado por:

i = 10 A 0 ≤ t < 1 ms

i = 0 1 ≤ t < 4 ms.

Se a corrente flui em um resistor de 20 Ω, calcule a potência média.

P = 1T

Ri2 t( )0

T∫ dt = 1

4.10−320 ⋅102

0

10−3

∫ dt + 14.10−3

20 ⋅0210−34.10−3

∫ dt

=20 ⋅1004.10−3

t0

10−3

= 500 W$% &'


12.9 Calcule a potência média entregue ao resistor R = 0,4 Ω.

0,25 F

+ - 1 Ω

1/2 H

3 cos (2t) [A] 6 cos (2t) [V] 0,4 Ω

1 H

ZR = R

ZL = jωL =ωL∠90°

ZC =1jωC

= − j 1ωC

=1ωC

∠−90°


1−1 j

+12 j

+11

"

#$

%

&'V1 −

1−1 j

V2 −12 j6 = 0

-2j

+ - 1 Ω 0,4 Ω

2j 1j

!03∠!06∠

V1 V2 -1j

1−1 j

+10,4

"

#$

%

&'V2 −

1−1 j

V1 = 3

−1+ 2 j( )V1 + 2V2 = 6

V1 + −1+ 52j

"

#$

%

&'V2 = 3 j


V1 = 3 j + 1−52j

"

#$

%

&'V2

−1+ 2 j( )V1 + 2V2 = 6

V1 + −1+ 52j

"

#$

%

&'V2 = 3 j

−1+ 2 j( ) 3 j + 1− 52 j"

#$

%

&'V2

(

)*

+

,-+ 2V2 = 6

−3 j − 1− 52j

"

#$

%

&'V2 −6+ 2 j +5( )V2 + 2V2 = 6

−1+ 52j + 2 j +5+ 2

"

#$

%

&'V2 =12+3 j

6+ 92j

"

#$

%

&'V2 =12+3 j

V2 =12+3 j

6+ 92j

"

#$

%

&'

=12,37∠14,04º7,5∠36,87º

=1,65∠− 22,83º P = 12⋅V2m

2

R=

12⋅1,652

0,4= 3,4 W"# $%


−1+ 2 j( )V1 + 2V2 = 6

V1 + −1+ 52j

"

#$

%

&'V2 = 3 j

(

)**

+**

Outra maneira de obter V2:

Δ =−1+ 2 j 2

1 −1+ 52j= −6− 9

2j

Δ2 =−1+ 2 j 61 3 j

= −12−3 j

V2 =−12−3 j

−6− 92j=12,37∠194,04°7,5∠216,87°

=1,65∠− 22,83° P = 12⋅V2m

2

R=

12⋅1,652

0,4= 3,4 W"# $%


12.27 Calcule o fator de potência visto pelos terminais da fonte e a reatância

necessária a ser conectada em paralelo com a fonte para que o fator de

potência seja igual a unidade.

1/32 F

+ - 12 Ω

1/2 H

10 cos (8t) [V] 4 Ω

1/2 H

-4j Ω

+ - 12 Ω

4j Ω

10 ∠0º 4 Ω

4j Ω


+ - 12 Ω 10 ∠0º 4 Ω

4j Ω

+ - 10 ∠0º 3 + 4j Ω

Z = 3+ 4 j = 5∠53,13º

f p = cos 53,13º( ) = 0,6 atrasado

FP = 1 ⇒ θ = 0º ⇒ carga puramente resistiva.

X1 =R2 + X 2

R tan cos−1 FP( )"#

$% − X

=32 + 42

3tan 0º( )− 4=

25−4

= −6,25 Ω"# $%

X1 = −1ωC

= −6,25⇒C = 50 F


12.35 Calcule a potência ativa, a potência reativa e a potência complexa

entregue pela fonte.

- 2j Ω + -

6 Ω

10∠0º 2 Ω

2j Ω

Zeq = 6+ 2 j +2 ⋅ −2 j( )2− 2 j

= 7+ j = 7,07∠8,13º

1/4 F + -

6 Ω

2 Ω

1 H

10 2 cos 2t( ) V!" #$


Ief =VefZeq

=10

7,07∠8,13º=1,414∠−8,13º Ief

* =1,414∠8,13º

S =Vef Ief* =10 ⋅1,414∠8,13º=14,14∠8,13º VA#$ %&

P =14,14cos 8,13º( ) =14 W!" #$

Q =14,14sen 8,13º( ) = 2 vars!" #$

S =14+ 2 j VA!" #$

Exercícios dos Capítulos 10, 11 e 12

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