TA 733 A – Operações Unitárias II Aula 11 Exercícios Efeitos Espaciais Sólido Semi-Infinito.

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TA 733 A – Operações Unitárias II

Aula 11

Exercícios

Efeitos EspaciaisSólido Semi-Infinito

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Exercício 1 (5.53)Uma longa barra de plástico de 30mm de diâmetro (k=0,3W/m.K e ρcp=1040 kJ/m3.K) é uniformemente aquecida em um forno como preparação de uma operação de prensagem. Para melhores resultados a temperatura na barra não deve ser menor que 200°C. Para qual temperatura uniforme a barra deve ser aquecida no forno, se, no pior caso, a barra permanece sobre um transportador por 3 minutos enquanto exposta a um resfriamento por convecção com o ar ambiente a 25°C e com um coeficiente de convecção de 8 W/m2K.?

Barra de plástico,

Condição do pior caso

Ar Ambiente

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Exercício 1 (5.53)Barra de plástico,

Condição do pior caso

Ar Ambiente

2,03,0

)2/015,0(8)2/( 0

k

rhBi

Como Bi>0,1 não podemos usar o método da capacitância concentrada

Vamos utilizar as soluções aproximadas para um cilindro infinito.

2308,0015,0

603

101040

3,0

4,03,0

015,08

2320

20

0

r

t

c

k

r

tFo

k

hrBi

p

)Foexp()(),( 2

1*

101*

rJCTT

TtrT

i

Vamos trabalhar com uma equação desse tipo

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Exercício 1 (5.53)

0932,1

8516,0

1

1

C

Tabela 5.1

)Foexp()(),( 2

1*

01010*

rJCTT

TtrT

i

)Foexp()(),( 2

1*

101*

rJCTT

TtrT

i

Barra de plástico,

Condição do pior caso

Ar Ambiente

Na superfície r0*=1 8263,0)8516,0()1( 010 JJ Tabela B.4

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Exercício 1 (5.53)Barra de plástico,

Condição do pior caso

Ar Ambiente

CT

T

i

i

254

)2308,08516,0exp(8263,00932,125

25200 2

Neste tempo de 3 minutos a diferença de temperatuta entre o centro e a superfície da barra é:

C237)t,0(T

8263,025)t,0(T

25200

T)t,0(T

T)t,r(T)r(J 0*

010*0

*

)Foexp()(),( 2

1*

01010*

rJCTT

TtrT

i

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Exercício 2 (5.61)Esferas de rolamento de axo inoxidável (AISI 304) uniformemente aquecidas até 850°C são temperadas pelo resfriamento em um banho de óleo mantido a 40°C. O diâmetro da esfera é de 20mm e o coeficiente de convecção associado com o banho de óleo é de 1000 W/m2K.a) Se o resfriamento ocorre até 100°C, quanto tempo a esfera deverá ser mantida no banho? Qual será a temperatura no centro ao término do período de resfriamento?b)Se 10000 esferas são resfriadas por hora, qual a taxa em que a energia deve ser removida pelo sistema de resfriamento do banho de óleo a fim de que a sua temperatura seja de 40°C?

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Exercício 2 (5.61)

k=22,2 W/m.Kcp=579 J/kg.Kρ=7900 kg/m3

α=4,85x10-6 m2/s

Tabela A.1: AISI 304 t=500°C

15,02,22

)3/010,0(1000)3/( 0

k

rhBi

Bi é pouco maior que 0,1; assim o método da capacitância concentrada até poderia ser utilizado para uma primeira aproximação, entretanto, um resultado mais preciso pode ser encontrado considerando os efeitos espaciais.

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Exercício 2 (5.61)

ESFERA

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Exercício 2 (5.61)

ESFERA

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Exercício 2 (5.61)

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Exercício 2 (5.61)

1

22,201,01000

2,22

0

0

1

r

r

hr

kBi

k=22,2 W/m.K

80,0)(

),(

0

0 t

tr

Ver gráfico adiante

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Exercício 2 (5.61)

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074,040850

40100),(),( 00

TT

TtrTtr

ii

Exercício 2 (5.61)

093,080,0

074,0

/),(

/),(

00

00

tr

tr i

i

sFor

t

Fot

Bi

i

411085,4

201,0

2

22,2

093,0/

6

220

*

1

0

Ver gráfico adiante

α=4,85x10-6 m2/s

CT

T

TT

TT

ii

115

40850

40093,0

0

000

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Exercício 2 (5.61)

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Exercício 2 (5.61)

st

TT

TT

h

Dc

hA

Vct ii

s

68,3940100

40850ln

10006

57902,07900

ln6

ln

Utilizando o método da capacitância concentrada e considerando a temperatura da esfera uniforme igual a 100°C.

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Exercício 2 (5.61)

b)Se 10000 esferas são resfriadas por hora, qual a taxa em que a energia deve ser removida pelo sistema de resfriamento do banho de óleo a fim de que a sua temperatura seja de 40°C?

JQ

TTVcQ

Q

Q

FoBi

ip

43

0

0

22

1044,1)40850()02,0(6

579790093,0

)(

93,0

41,02)22.2/1(

kWhoraQq 403600/1044.1101/10 444

45,0Bi

Ver gráfico adiante

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Exercício 2 (5.61)

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Exercício 3 (5.78)

Um procedimento para determinação experimental da condutividade térmica de um material sólido envolve a fixação de um termopar em uma placa fina do sólido e a medição da resposta para uma mudança prescrita na temperatura de uma de suas superfícies. Considere um arranjo para o qual o termopar é fixado a 10mm da superfície que é subtamente conduzida à temperatura de 100°C pela exposição à água em ebulição. Se a temperatura inicial da placa era 30°C e o termopar mede uma temperatura de 65°C, dois minutos após a superfície ser conduzida a 100°C, qual é sua condutividade térmica?

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Exercício 3 (5.78)

-Exemplo típico de um sólido semi-infinito, pois o sólido é caracterizado por apenas uma superfície identificável.

-Qual condição de contorno utilizar?

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Exercício 3 (5.78)

SOLUÇÕES ANALÍTICAS:

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Exercício 3 (5.78)

s/m10156,9

)120.(2

01,0477,0w

5,0)w(erf

5,0)120.(2

01,0erf

10030

10065

t2

xerf

TT

T)t,x(T

27

2/1

2/1

si

s

Tabela B.2

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Exercício 3 (5.78)

mkWk

k

ck

/41,1

700220010156,9 7