Transformada Imagem-Floresta (IFT)pmiranda/mac6903_2s12/aulas/aula3.pdf · Transformada...

Transformada Imagem-Floresta(IFT)

Prof. Dr. Paulo A. V. de Miranda

pmiranda@vision.ime.usp.br

Instituto de Matematica e Estatıstica (IME),

Universidade de Sao Paulo (USP)

P.A.V. Miranda, aula 3 – p. 1

Caminhos no grafo

Um caminho π no grafo G = (DI ,A) é uma sequênciade pixels distintos 〈p1, p2, . . . , pn〉, onde (pi, pi+1) ∈ A,i = 1, 2, . . . , n− 1.

O pixel p1 é a origem org(π) do caminho, e pn é odestino dst(π).

O caminho π é dito trivial se π = 〈p1〉.

Seja π um caminho que termina em um pixel p e(p, q) ∈ A, então π · 〈p, q〉 é dito o caminho resultante daconcatenação de π e 〈p, q〉 com as duas instâncias de pse fundindo em uma.

Um pixel q é dito conexo a um pixel p se existir umcaminho de p a q em G = (DI ,A).

Funções de conexidade

Uma função de conexidade f(π) associa um valorescalar a qualquer caminho no grafo G = (DI ,A), combase em propriedades da imagem ao longo destecaminho.

Em segmentação, por exemplo, propriedades locais daimagem (vetor de atributos) e globais do objetodesejado (textura, cor e forma) podem ser exploradasno cálculo de f(π) para indicar a força de conexidadeentre seus nós terminais através do caminho π.

As funções de conexidade são especificadas por uma regrade inicialização e uma regra de extensão de caminho.

fmax(〈t〉) = H(t)

fmax(πs · 〈s, t〉) = max{fmax(πs), w(s, t)} (1)

fsum(〈t〉) = H(t)

fsum(πs · 〈s, t〉) = fsum(πs) + w(s, t) (2)

feuc(〈t〉) =

0 if t ∈ S

+∞ caso contrário

feuc(πs · 〈s, t〉) = ‖t−R(s)‖2 (3)

onde H(t) é um valor inicial, R(s) = org(πs), w(s, t) é umpeso de arco (w(s, t) ≥ 0 em fsum), e S ⊂ DI é um conjuntode sementes.

As funções fmax e fsum são casos particulares de funçõesfmi monotonicamente incrementais.

fmi(〈t〉) = H(t),

fmi(πs · 〈s, t〉) = fmi(πs)⊙ (s, t), (4)

onde ⊙ : V ×A → V é uma operação binária entre o valorde um caminho e um arco que satisfaz as condições:

(M1) a ≥ b ⇒ a⊙ (s, t) ≥ b⊙ (s, t),

(M2) a⊙ (s, t) ≥ a,

para a, b ∈ V e quaisquer arcos (s, t) ∈ A. Umacaracterística essencial deste modelo de função é que ⊙depende apenas do valor de πs, e não de qualquer outrapropriedade deste caminho.

Caminho Ótimo

Um caminho πt é ótimo se f(πt) ≤ f(τt) para qualqueroutro caminho τt, independentemente de sua raiz.

Para cada nó t ∈ DI , temos um valor único V (t) quearmazena o valor de um caminho ótimo com términoem t:

V (t) = min∀πtin(DI ,A)

{f(πt)}. (5)

Transformada Imagem-Floresta

A transformada imagem-floresta (IFT - Image ForestingTransform) reduz problemas de processamento de imagembaseados em conexidade ao cálculo:

de uma floresta de caminhos ótimos no grafoderivado da imagem,

seguido de um pós-processamento simples deatributos da floresta resultante.

Motivação

Unificação: Vários operadores de imagem sãoderivados de um algoritmo geral. Isto favorece

implementações baseadas em hardware,compreender a relação entre alguns operadores deimagem,possíveis extensões

Motivação

Eficiência: A maioria dos operadores de imagempodem ser implementados em tempo linear eotimizações adicionais são possíveis com cálculodiferencial,e paralelo,e para algumas aplicaçõesespecíficas.

Simplicidade: Os operadores de imagem são reduzidosa escolha de poucos parâmetros no algoritmo da IFT eum processamento local de sua saída.

Quais problemas podem ser resolvidos?

Transformadas de distância e operadores relacionados:Euclidean distance transform,multiscaleskeletonization,fractal dimensions,shape filtering,shapesaliences,shape description,geodesic paths, etc.

Filtragem e segmentação de imagens:Morphological reconstructions, and imagesegmentation based on watershed transforms,live wire,riverbed, growcut by cellular automaton,andfuzzy-connected components.

Reconhecimento de padrões:Data clustering,and supervised pattern classification.

Floresta de espalhamento

Um mapa de predecessores é um função P que atribuipara cada nó t em DI algum outro nó adjacente em DI ,ou uma marca distintiva nil /∈ DI — caso em que t édito ser uma raiz do mapa.

Uma floresta de espalhamento “é” um mapa depredecessores que não contém ciclos — isto é, um queleva cada pixel para nil em um número finito deiterações.

Para qualquer pixel t ∈ DI , uma floresta deespalhamento P define um caminho πt recursivamentecomo 〈t〉 se P (t) = nil, e πs · 〈s, t〉 se P (t) = s 6= nil.

Floresta de espalhamento

(b) (c)

O predecessor P (t) de cada nó t leva a um nó raiz R(t)e P (R(t)) = nil.

Um caminho πt é trivial quando πt = 〈t〉 (i.e., P (t) = nil).

Transformada Imagem-Floresta

A IFT essencialmente generaliza o algoritmo de Dijkstrapara funções de conexidade, onde para qualquer nóq ∈ DI , existe um caminho ótimo πq que é ou trivial, ou tema forma πp · 〈p, q〉 onde:

(C1) f(πp) ≤ f(πq),

(C2) πp é ótimo, e

(C3) para qualquer caminho ótimo τp,f(τp · 〈p, q〉) = f(πq).

Note que estas condições são aplicadas apenas acaminhos ótimos.

Algoritmo da IFT

Algoritmo 1 – ALGORITMO GERAL DA IFT

ENTRADA: Imagem I = (DI , ~I), adjacência A, e função de conexidade f .

SAÍDA: Imagens P = (DI , P ) de predecessores, e V = (DI , V ) de conexidade.

AUXILIARES: Fila de prioridade Q, variável tmp, e vetor de estado inicialmente zerado.

1. Para Cada t ∈ DI , Faça P (t)← nil e V (t)← f(〈t〉). Se V (t) 6= +∞, Então insira t em Q.

2. Enquanto Q 6= ∅, Faça

3. Remova um pixel s de Q cujo valor V (s) seja minimo.

4. estado(s)← 1.

5. Para Cada t ∈ A(s), tal que estado(t) = 0, Faça

6. tmp← f(πs · 〈s, t〉).

7. Se tmp < V (t), Então

8. Se V (t) 6= +∞, Então remova t de Q.

9. P (t)← s, V (t)← tmp, e insira t em Q. P.A.V. Miranda, aula 3 – p. 14

Propagação dos caminhos

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222211111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111118888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222228888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999992222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888882222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888881111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999990000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

7777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777771111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222220000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000008888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888

222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222225555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000