Transformada de fourier ( ft )

TRANSFORMADA DE FOURIER (FT)

Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Transformada de Fourier

Série de Fourier Análise espectral de sinais periódicos Conteúdo espectral

Freqüências múltiplas de kω (ou 2πkf)

Como analisar conteúdo espectral para sinais aperiódicos?


Série de Fourier “no limite” Análise desejada

Avaliação de sistema usando sinais aperiódicos


Série de Fourier “no limite” Análise atual

Avaliação de sistema usando sinais periódicos


Série de Fourier “no limite” Aproximação viável

Criar sinal periódico a partir de trecho a periódico


Série de Fourier “no limite” Qual o efeito da aproximação nas séries de

Fourier?)t(

w

trect)t(x

0T

)t(

w

trect)t(x )T5( 0


Série de Fourier “no limite” Análise de pulso retangular (w=1)

2

ksinc

2

1]k[X

10

ksinc

10

1]k[X


Série de Fourier “no limite” Análise de pulso retangular (w=1)

corrigida

2

ksinc

2

12]k[XT0

10

ksinc

10

1)25(]k[X)T5( 0


Série de Fourier “no limite” Análise do pulso retangular

T0 f0

Maior resolução da SF “Estica” a SF lateralmente + “Amassa” a SF

Manutenção da “área” da envoltória da SF

Análise do pulso retangular corrigida T0 f0

Maior resolução da SF Envoltória da SF inalterada

Note: abscissa passou de k para (kf0)


Definição Pares de transformadas para freqüência

em radiano

ou

de)j(X2

1)j(XFT)t(x

dte)t(x)t(xFT)j(X

tj1

tj

)j(X)t(x FT


Definição Pares de transformadas para freqüência

em Hz

ou

dfe)f2j(X)f2j(XFT)t(x

dte)t(x)t(xFT)f2j(X

ft2j1

ft2j

)f2j(X)t(x FT


Definição Ortogonalidade de e-jΩt

Projeções de x(t) no espaço e+jΩt X(jΩ) Projeções de X(jΩ) no espaço e-jΩt x(t)

)(2dte

)t(2de

tj

tj


Análise de alguns resultados Efeito de amplificação e deslocamento

temporal Sinal pulso unitário x(t) = rect(t) X(jΩ) = ?



temporal Sinal pulso unitário

Ω= 2πF=1



temporal Sinal pulso unitário


Transformada Generalizada Situações de falha de convergência da

integração Exemplos:

x(t) = A x(t) = u(t) x(t) = sen(2πf0t) ou x(t) = cos(2πf0t) x(t) = sgn(t)

Uso de fator de convergência e-σ|t|, σ zero


Transformada Generalizada Uso de fator de convergência

e-σ|t|, σ zero

j

1)()t(u)t(x

j

2)tsgn()t(x

)()(j)j(X)t(sen)t(x

)()()j(X)tcos()t(x

)(2)j(X1)t(x

FT

FT

00FT

0

00FT

0

FT


Transformada Generalizada Existe freqüência negativa? Explique cos(Ω0t) 0.5 {δ(Ω + Ω0) + δ(Ω -

Ω0)}


Computação numérica No Matlab/Octave/Scilab

X(jkΩ) = Ta fftshift(fft(x[n], NFFT)) onde x[n] = x(nTa) x[n] é amostragem de x(t) Ta = (1/fa) = período de amostragem de x[n]

Corresponde ao valor da FT na freqüência kΩ -NFFT/(2Ta) ≤ f k ≤ +NFFT/(2Ta)

Em coordenadas discretas: 1 ≤ k ≤ NFFT


Propriedades Linearidade

)j(bY)j(aX)j(Z)t(by)t(ax)t(z

)j(Y)t(y

)j(X)t(x

FT

FT

FT


Propriedades Deslocamento tempo

Deslocamento em freqüência

0tjFT0

FT

e)j(X)j(Y)tt(x)t(y

)j(X)t(x

))(j(X)j(Ye)t(x)t(y

)j(X)t(x

0FTtj

FT

0


Propriedades Deslocamento no tempo

Alteração linear da fase de todas as componentes espectrais do sinal

Deslocamento em freqüência Usada em modulação para sistemas de

comunicação Rádio AM


Propriedades Escala no tempo

Escala em freqüência

)ajX(a1)j(Y)at(x)t(y

)j(X)t(xFT

FT

))a(j(X)j(Y)atx(a1)t(y

)j(X)t(xFT

FT


Propriedades Escala no tempo e em freqüência

Compressão em um domínio gera expansão no outro


Propriedades Escala no tempo e em freqüência

Princípio de incerteza Conceito de localidade de energia


Propriedades Conjugado

Qual o efeito para x(t) ∈ R?

)j(X)j(Y)t(x)t(y

)j(X)t(xFT

FT


Propriedades Conjugado

Exemplos


Propriedades Modulação

Convolução

)j(X)j(Y)j(Z)t(y)t(x)t(z

)j(Y)t(y

)j(X)t(x

FT

FT

FT

)j(X)j(Y)j(Z)t(y)t(x)t(z FT


Propriedades Modulação e Convolução

Dualidade Sistemas

Convolução no tempo resposta ao impulso Modulação em freqüência resposta em

freqüência


Propriedades Diferenciação

Integração

)f2j()0(X2

1

f2j

)f2j(X)f2j(Y

)()0(Xj

)j(X)j(Y

d)(x)t(y FTt

)j(Xj)j(Ydt

)t(dx)t(y

)j(X)t(x

FT

FT


Propriedades Integração

Como conseqüência da definição da FT

df)f2j(X2

1

d)j(X)0(x

dt)t(x)0(X


Propriedades Dualidade

Útil em cálculos

)(x2)j(Y)jt(X)t(y

)(x2)j(Y)jt(X)t(y

)j(X)t(x

FT

FT

FT


Propriedades Dualidade

)2sinc()t(rect FT )2(rect)tsinc( FT


Propriedades Sinais periódicos

Naturalmente não são absolutamente integráveis

São decompostos em séries de Fourier

k

t)f2k(j

k

t)k(j aa e]k[Xe]k[X)t(x

ka

FS

ka

FS

)kffδ(]k[X)f2j(X)t(x

)kδ(]k[X2)j(X)t(x


Propriedades Teorema de Parseval

Lembre-se: energia total de x(t) pode ser calculada em qualquer domínio

d)j(X2

1

df)f(Xdt)t(x

2

22

)j(X)t(x FT


Propriedades Teorema de Parseval

Densidade espectral de energia/potência Densidade de energia/potência espectral Power Spectral Density (PSD)

|X(f)|2 ou |X(jΩ)|2

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