Transformadas ortogonais e processamento de sinais não

estacionários

Transformações ortogonais

● Considere um sinal discreto x(n) com N amostras:

χ (k)=∑n=0

N−1

x (n)ϕ∗(k , n) ⇔ x (n)= 1N∑k=0

N−1

χ (k )ϕ(k , n)

Transformada direta, equação de análise,decomposição.

Transformada inversa, equação de síntese,reconstrução.

Mesmo número de pontos → não há redundância.

● Ortogonalidade das funções-base:

⟨ϕ(k ,n) ,ϕ(l , n)⟩= 1N∑n=0

N−1

ϕ(k ,n)ϕ∗( l , n)={1, l=k0, l≠k}

● Transformações ortogonais preservam a energia:

∑n=0

N−1

|x (n)|2= 1N∑n=0

N−1

|χ(n)|2

Exemplo: a ortogonalidade da DFT

ϕ(k , n)=ej 2πNk n

χ (k)=∑n= 0

N−1

x (n)e− j 2π

Nk n

⇔ x(n)= 1N∑k=0

N−1

χ(k )ej 2πNk n

⟨ϕ(k , n) ,ϕ(l , n)⟩= 1N∑n=0

N−1

ej 2πNk n

e− j 2π

Nln= 1N∑n=0

N−1

ej 2πN

(k−l)n={1, l=k

0, l≠k}

∑n=0

N−1

|x (n)|2= 1N∑n= 0

N−1

|χ(n)|2

Representação matricial de tranformações ortogonais

χ (k)=∑n= 0

N−1

x (n)ϕ∗(k ,n) ⇒ χ⃗ = Φ⃗H⋅ x⃗

x (n)= 1N∑k=0

N−1

χ (k )ϕ(k ,n) ⇒ x⃗ = Φ⃗⋅χ⃗ Síntese

Análise

Transposta Hermitiana Φ⃗H=Φ⃗∗T

x⃗ = Φ⃗⋅χ⃗ ⇒ χ⃗=Φ⃗−1⋅ x⃗=Φ⃗H⋅ x⃗ ⇒ Φ⃗−1=Φ⃗H

Exemplo: representação matricial da DFT

x⃗ = Φ⃗⋅χ⃗ [ x (0)x (1)⋮

x (N−1)]= 1N [ e

j 2πN⋅0⋅0

ej 2πN⋅1⋅0

⋯ ej 2πN⋅(N−1 )⋅0

ej 2 πN

⋅0⋅1ej 2πN⋅1⋅1

⋯ ej 2 πN

⋅(N−1)⋅1

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

ej

2πN⋅0⋅(N−1)

ej

2πN⋅1⋅(N−1)

⋯ ej

2πN⋅(N−1 )⋅(N−1)]⋅[ χ (0)

χ(1)⋮

χ(N−1)]

⋅[ χ (0)χ (1)⋮

χ (N−1)]

...

...[ x (0)x (1)⋮

x (N−1)]=

Exemplo: representação matricial da DFT

[ χ (0)χ(1)⋮

χ(N−1)]=[ e− j 2π

N⋅0⋅0

e− j 2π

N⋅0⋅1

⋯ e− j 2π

N⋅0⋅(N−1)

e− j 2π

N⋅1⋅0

e− j 2π

N⋅1⋅1

⋯ e− j 2π

N⋅1⋅(N−1)

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

e− j

2πN

⋅(N−1)⋅0e− j

2πN

⋅(N−1)⋅1⋯ e

− j2πN

⋅(N−1)⋅(N−1)]⋅[ x(0)x (1)⋮

x (N−1)]χ⃗ = Φ⃗H⋅ x⃗

[ χ (0)χ(1)⋮

χ(N−1)]= ⋅[ x(0)x (1)⋮

x (N−1)]⋮ ⋮

Outras transformadas ortogonais

● A transformada de Fourier possui algumas “desvantagens”:

– Se x(n) é real → coeficientes da DFT são complexos.– Dos N coeficientes, N/2 são conjugados complexos →

informação redundante.● Existem outras transformações ortogonais que:

– Oferecem resultados reais.– Não possuem redundância.– Oferecem características atrativas para determinadas

aplicações.

A transformada de cossenos discreta - DCT

● A DCT (e a DST) são baseadas em uma das 16 possível extensões simétricas ou anti-simétricas de um sinal.

● A DCT-2 é usada em vários padrões de compressão de imagens e vídeo → JPEG, MPEG, H.261.

χ DCT(k )=2∑n= 0

N−1

x (n)cos(π k (2n+1)2N ) ⇔

x (n)= 1N∑k=0

N−1

α(k )χDCT (k)cos(π k (2n+1)2N ),

α(k )={1/2, k=01, 1⩽k⩽N−1}

Φ⃗−1=Φ⃗H

Funções-base da DCT

N=32

Exemplo: representação matricial da DCTx⃗ = Φ⃗⋅χ⃗

χ⃗ = Φ⃗H⋅ x⃗

⋅[ χ (0)χ (1)⋮

χ (N−1)][ x (0)x (1)⋮

x (N−1)]=

[ χ (0)χ(1)⋮

χ(N−1)]= ⋅[ x(0)x (1)⋮

x (N−1)]

...

...

⋮ ⋮

Exemplo em 1D

Exemplo em 2D: compressão simples

76.5 % dos coeficientes anulados

A ortogonalidade da DCT

⟨ϕ(k ,n) ,ϕ(l , n)⟩= 1N∑n=0

N−1

cos(π k (2n+1)2N )cos(π l (2n+1)

2N )={1, l=k=01 /2, l=k≠00, l≠k }

∑n=0

N−1

|x (n)|2= 12N

∑n=0

N−1

α(n)|χDCT (n)|2

ϕ(k , n)=cos(π k (2n+1)2N )=ϕ(k ,n)∗● Funções-base:

● Ortogonalidade:

● Preservação da energia:

χ DCT(k )=2∑n=0

N−1

x (n)cos(π k (2n+1)2N ) ⇔ x (n)= 1

N∑k=0

N−1

α(k )χDCT (k )cos(π k (2n+1)2N )

Não há redundância.

A transformada de Haar

● A transformada de Haar pode ser definida por:

χ Haar(k )=1

√2 j∑n=0

N−1

x (n)ψ(n−2 j k2 j ) ⇔ x(n)= 1

√2 j∑k=0

N−1

χHaar (k) ψ(n−2 j k2 j )

ψ(n)={1, n=0−1, n=10, 2⩽n⩽N−1}

Φ⃗−1=Φ⃗H

Funções-base de Haar

Exemplo em 1D: análise multiresolução

A ortogonalidade de Haar

⋮ ⋮

Na mesma escala: Em escalas diferentes:

⟨ϕ(k ,n) ,ϕ(l , n)⟩={1, l=k0, l≠k }

∑n=0

N−1

|x (n)|2= 1N∑n=0

N−1

|χHaar (n)|2

● Ortogonalidade:

● Preservação da energia:

Sinais não estacionários

● Sinais estacionários → parâmetros característicos não variam ao longo do tempo: amplitude, frequência e fase de cada componente espectral (também conhecidos como globalmente homogêneos).

● A transformada de Fourier é matematicamente ótima para processamento de sinais estacionários → representação mais esparsa possível. Ex.:

x (t)=0,8⋅cos(2 π10 t+ 2π7 )+0,3⋅cos(2π27 t+ 2π

15 )+2⋅cos(2π35 t+ 2π35 )+

+3,4⋅cos(2π77 t+ 2π44 )+2,9⋅cos(2 π107 t+ 2π

12 )+1,1⋅cos(2π144 t+ 2π2 )

Sinais não estacionários

● Problema → raramente as informações da “vida real” são estacionárias.

– Sinais de áudio, biomédicos, radar, imagens, etc.● Ex.:

x (t)=A cos(2π fofsn2)

Sinais não estacionários● Outro exemplo interessante:

A transformada breve de Fourier - STFT● STFT → “short-time Fourier transform”.

– Também conhecida como “windowed FT”.– Segmenta-se o sinal em um conjunto de partes

menores utilizando-se uma janela temporal apropriada.– Calcula-se a transformada de Fourier de cada parte

separadamente.– Considera-se que, em cada segmento, a informação é

“razoavelmente” estacionária.– Os segmentos podem se sobrepor ou não.

χ FT (ej ω)= ∑

n=−∞

∞

x (n)e− jω n χSTFT (ejω , n)= ∑

m=−∞

∞

x (n−m)w(m)e− jωm

Janela restritiva.

Exemplo● STFT, janela de Hamming com 128 amostras,

sobreposição de 120 amostras.

Espectrograma ou plano tempo-frequência.

Exemplo

Amostragem do plano tempo-frequência● Na prática, a STFT é calculada em valores discretos de

frequências:

– O número de amostras de frequências deve ser maior que o comprimento da janela

ω→n⋅Δω

w (n)

χSTFT (k ,n)=∑m=0

R−1

x (n−m)w(m)e− j 2π

Nkm, 0⩽k⩽N−1

R → Comprimento da janela

N →Número de amostras de frequência.

N⩾R

x (n−m)w (m)= 1N∑k= 0

N−1

χSTFT (k ,n)ej 2πNkm, 0⩽m⩽R−1

IDFT

x (n−m)= 1N w (m)∑k= 0

N−1

χSTFT (k ,n)ej 2πNkm

Amostragem do plano tempo-frequência● É possível também amostrar no tempo:

χSTFT (k ,γ L)=∑m=0

R−1

x (γ L−m)w(m)e− j 2π

Nkm, N⩾R⩾L

Resolução tempo-frequência

● A STFT pode ser entendida como:

χSTFT (k ,n)=∑m=0

R−1

x (n−m)w(m)e− j 2π

Nkm A DFT de um

sinal “janelado”.

χSTFT (k ,n)=∑m=0

R−1

x (n−m)w(m)e− j 2π

Nkm O produto interno entre

o sinal e uma janela modulada.

w (t)= 1√2π⋅σ

⋅e−t 2

2σ 2

● Ex.:

Resolução tempo-frequência

σ t⋅σω⩾12

Princípio da incerteza:

σ t→σω→

Variância no tempo

Variância na frequência

σ t⋅σω=12→ Gaussiana

Princípio da incerteza:É impossível determinar simultaneamente a posição e o momento de uma partícula.

Considerando a partícula como onda: é impossível determinar simultaneamente a localização temporal e a frequência instantânea de um sinal.

Ladrilhamento do plano tempo-frequência

Δ t

Δ ω

Exemplo: análise com diferentes janelas

Gaussian

Hamming Rectangular

Blackman

Exemplos: análises com diferentes passos de tempo.

Gaussian, L=1 Gaussian, L=8

Gaussian, L=16 Gaussian, L=32

Exemplo: reconstrução após algum processamento

Gaussian

Hamming

Rectangular

Blackman

● Reconstrucão após ¼ dos coeficientes zerados.