Redes de computadoresPropiedades de la transformada de Fourier

Universidad de Santiago de Chile

11 de abril de 2018

Repaso rapido

I Es posible obtener la serie de Fourier para senales no perodicashaciendo T →∞

I En ese caso el espectro de frecuencias |F (ω)| se vuelve continuo

I Luego se define la transformada y antitransformada de Fourier como

F (ω) = =(f (t)) =

∫ ∞−∞

f (t)e−jωtdt (1)

f (t) = =−1(F (ω)) =1

2π

∫ ∞−∞

F (w)e jωtdω (2)

Funcion impulso I

I Definamos la funcion impulso δ(t), como la derivada de la funcionescalon unitario no ideal ua(t) cuando a→∞

δ(t) = lıma→0

d

dtua(t) (3)

= lıma→0

1

a[u(t)− u(t − a)] (4)

Funcion impulso II

I Mas formalmente, la funcion δ(t) cumple que

∫ ∞−∞

δ(t)dt = 1 (5)

δ(t) = 0, t 6= 0 (6)

I Senales que generan impulsos

Funcion impulso III

I Senales que generan impulsos

Transformadas que incluyen impulso I

I Transformada de la funcion impulso δ(t)

=(δ(t)) =

∫ ∞−∞

δ(t)e−jωtdt (7)

= e−j0 = 1 (8)

Transformadas que incluyen impulso III Transformada de la funcion constante f (t) = A. Una forma de

calcular la transformada es definir la funcion constate como un pulsorectangular de ancho τ con τ →∞, lo cual es un resultadoconocido, luego:

= [A] = lımτ→∞

AτSa(ωτ

2) (9)

= 2πA lımτ→∞

τ

2πSa(

ωτ

2) (10)

Lo anterior calza con la definicion de impulso, generado a partir dela funcion sampling, por lo tanto

= [A] = 2πAδ(ω) (11)

Transformadas que incluyen impulso III

I Calculemos la transformada de la funcion signo, definida como

sgn(t) =

{1 t > 0

−1 t < 0

O bien

sgn(t) = 2u(t)− 1 (12)

sgn(t) = lıma→0

[e−atu(t)− eatu(−t)

](13)

Transformadas que incluyen impulso IV

Obtenemos la transformada calculando

= [sign(t)] = lıma→0

[∫ ∞0

e−ate−jωtdt −∫ 0

−∞eate−jωtdt

](14)

= lıma→0

[−2jω

a2 + ω2

](15)

=2

jω(16)

I Transformada de la funcion escalon unitario u(t), definida como

u(t) = 1/2 [1 + sgn(t)] (17)

Por lo tanto su transformada es

=(u(t)) = 1/2{= [1] + = [sgn(t)]} (18)

= πδ(ω) +1

jω(19)

Transformadas que incluyen impulso V

I Senales sinusoidales cos(ω0t) y sin(ω0t). Es posible calcular latransformada para un intervalo (−τ/2, τ/2) y luego hacer τ →∞

Transformadas que incluyen impulso VI

=(cos(ω0t)) = lımτ→∞

∫ τ/2

−τ/2cos(ω0t)e−jωtdt (20)

= lımτ→∞

1/2

∫ τ/2

−τ/2(e−jω0t + e−jω0t)e−jωtdt (21)

= lımτ→∞

1/2

∫ τ/2

−τ/2(e−j(ω−ω0)t + e−j(ω+ω0)t)dt (22)

= lımτ→∞

τ

2Sa

[τ(ω − ω0)

2

]+τ

2Sa

[τ(ω + ω0)

2

](23)

= π [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] (24)

Transformadas que incluyen impulso VII

I La transformada de un tren de impulsosδT (t) =

∑∞n=−∞ δ(t − nT ) se puede obtener usando su serie de

Fourier

∞∑n=−∞

δ(t − nT ) =∞∑

n=−∞Fne

jnω0t (25)

Fn =1

T

∫ T/2

−T/2δ(t)e−jnω0t =

1

T(26)

Tomando la transformada de Fourier

=(δT (t)) =1

T

∞∑n=−∞

=(e jnω0t) (27)

=2π

T

∞∑n=−∞

δ(ω − nω0) (28)

Transformadas que incluyen impulso VIII

I En general la transformada de funciones periodicas quedadefinida como

=(f (t)) = =∞∑

n=−∞Fne

jnω0t (29)

=∞∑

n=−∞Fn=(e jnω0t) (30)

= 2π∞∑

n=−∞Fnδ(ω − nω0) (31)

Tabla de transformadas utiles I

Tabla de transformadas utiles II

Propiedades de la transformada de Fourier I

I Dualidad tiempo-frecuencia

f (t)↔ F (ω) (32)

F (t)↔ 2πf (−ω) (33)

I LinealidadHereda esta propiedad de la integral

=a1f1(t) + a2f2(t) = a1F1(ω) + a2F2(ω) (34)

Propiedades de la transformada de Fourier II

I Propiedad escalarComprimir una senal en el tiempo produce un espectro mas ancho

f (t)↔ F (ω) (35)

f (at)↔ 1

|a|F (ω

a) (36)

Propiedades de la transformada de Fourier IIII Desplazamiento en el tiempo

La amplitud del espectro no cambia, pero sı la fase en −ωt0

f (t)↔ F (ω) (37)

f (t − t0)↔ F (ω)e jωt0 (38)

I Desplazamiento en la frecuenciaO modulacion, desplaza el espectro de frecuencias en ω0

f (t)↔ F (ω) (39)

f (t)e jω0t ↔ F (ω − ω0) (40)

Propiedades de la transformada de Fourier IV

I Derivada

f (t)↔ F (ω) (41)

df

dt↔ jωF (ω) (42)

dnf

dtn↔ (jω)nF (ω) (43)

I Integral

f (t)↔ F (ω) (44)∫ t

τ=−∞f (τ)dτ ↔ 1

jωF (ω) + πF (0)δ(ω) (45)

Propiedades de la transformada de Fourier VI Convolucion

Se define la Convolucion como

f1(t) ∗ f2(t) =

∫ ∞−∞

f1(τ)f2(t − τ)dτ ∀t (46)

Convolucion en el tiempo

f1(t) ∗ f2(t)↔ F1(ω)F2(ω) (47)

Convolucion en la frecuencia

f1(t)f2(t)↔ 1

2πF1(ω) ∗ F2(ω) (48)

Resumen propiedades I

Referencias

1. Lathi B.P., Introduccion a la Teorıa y Sistemas de Comunicacion,Cap. 1