PDS-PARTE4 valner 1 - chasqueweb.ufrgs.brvalner.brusamarello/dsp/aula4.pdf · Transformada z Muitos...
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Transformada zA TFTD de uma sequência é:
Para convergir a série deve ser absolutamente somável. Infelizmente muitos sinais não podem ser tratados:
A transformada z é uma generalização da TFTD que permite o tratamento desses sinais:
Definição: [ ]( ) ( ) ( ) n
n
X z x n x n z∞
−
=−∞
≡ Ζ = ∑Os valores de z para os quais a soma converge definem a ROC – região de convergência.
Transformada z
A transformada z é a TFTD da sequência r-nx[n] e a ROC é determinada pelo intervalo de valores de r para os quais.
Observe que para a circunferência de módulo 1: |z|=1, a Tz é igual a TF
Transformada zMuitos sinais de interesse tem transformadas z que são funções racionais de z:Fatorando o num. e o den., temos de forma evidente que βksão zeros e αk são os pólos. Em geral a ROC é um anel α<|z|< β.Uma sequência de comprimento finito tem uma transformada z cuja região de convergência é o plano z inteiro, exceto possivelmente z=0 e z=∞. Se x[n]=0 para n<0 o ponto z=∞será incluído. Se x[n]=0 para n>0 o ponto z=0 será incluído
ExemploConsidere os seguintes sinais e calcule suas transformadas z:
[ ][ ] 1nx n a u n= − − −
[ ] [ ]1 1[ ]2 3
n n
x n u n u n⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
[ ][ ] nx n a u n=
[ ] [ ]1 1[ ] 13 2
n n
x n u n u n⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
EXEMPLO 1
⎩⎨⎧
×
≡
∞≤<⇒
>−
=
<−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=⇒∞<<
=
+−
−
∞
∞−
∑
∑
)( :)( de raízes)( :)( de raízes
então
)()()( Se :.
:
, )(
1 se ; 1
1
)(0
, )()( Seja
1
1
10
01
1
póloszAzeroszB
zAzBzXObs
zaRC
azaz
zzX
za
azza
zazXa
nuanx
xx
RR
n
nn
n
Re[z]
Im[z]
a
0
Diagrama depólos ( × ) ezeros ( o )
→
1RC
EXEMPLO 2
+−
<≤⇒
<−
=
<−
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−=⇒∞<<
−−−=
−
∞∞−
∞−
−
∞−
−
∑∑∑
∑
xx RR
nnn
nn
n
bzRC
bzbz
zzX
bz
zbzX
bz
bz
zb
zbzXb
nubnx
0 :
, )(
1 se ; 1
11)(
1
)(0
, )1()( Seja
2
2
12
01
1
1
2
2 Diagrama depólos ( × ) ezeros ( o )
→
Re[z]
Im[z]
b0
2RC
EXEMPLO 3
213
3
1
03
3
213
:
; )(
, ,
)(
)1()()(
)()()( Seja
RCRCRC
bzz
azzzX
bzbz
zazaz
z
zbzazX
nubnuanx
nxnxnx
nn
n
nn
nn
∩
−+
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <
−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >
−=
−=⇒
−−−=
+=
∑∑−
∞−
−∞
=
−
Diagrama depólos ( × ) ezeros ( o )
→
Re[z]
Im[z]
b0
a
3RC
PROPRIEDADES DA ROC
0
0
0
( ) 0 ( ).0, ( )
3. ( ) 0
x
1. A ROC é sempre limitada por uma circunferência.2. Se x n somente p/ n n : seqüência à direita ROC: de RSe n x n é também causal.
Se x n somente p/ n n : seqüência à esqu
−= <≥
= >
fora
0
).0, ( )
xerda (ROC: de RSe n x n é também anticausal.
+
≤dentro
Re[z]
Im[z]
Rx-
Re[z]
Im[z]
Rx+
à direitaseqüência à esquerdaseqüência
PROPRIEDADES DA RC
1 2
1 2
4. :
( ) 0, .
0 0 0
Para seqüências bilaterais ROC é anel, se existir.
5. Se x n p/ n n e n n : seqüência deduração finita ROC é o Se n , a ROC não inclui o limite z . Se n , z RC.
6. O
= < >
< →∞ > = ∉plano z inteiro
( )( )( )
s pólos RC.
B z7. pelo menos um pólo na fronteira da RC se X z .A z
8. A RC é sempre contínua.
∉
∃ ≡
Exemplos de quatro ROCs de transformadas z com os mesmos pólos e zeros.
Sequência direita
Sequëncias bilaterais
Sequência esquerda
PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z
[ ]
( )[ ]
[ ] ( )
( )[ ] ( ))"fora"dentro""ou "dentro"fora"(" invertida RC :RC
; : toEspelhamen .4
por escalonado RC :RC ;)( : domínio no ntoEscaloname .3
0n se zou 0n se 0z exceto ,RC :RC );( : toDeslocamen .2
RCRC :RC );()()()( :eLinearidad .1
1
1
12
0
22112211
0
21
→→=−
=
<∞=>=
=−
+=+
−
−
−
x
x
n
x
n
xx
zXnxZ
azaXnxaZz
zXznnxZ
zXazXanxanxaZ∩
[ ] ( )
[ ]
[ ]
[ ] ( )21
21
RCRC :RC ;)()()( : Convolução 8.
invertidaRCRC :RC
;)(21)()( : çãoMultiplica .7
RC :RC
;)()( : domínio no çãoDiferencia .6
RC :RC ;)( :complexa Conjugação 5.
2121
12121
**
xx
xx
C
x
x
*
zXzXnxnxZ
dzXXj
nxnxZ
dzzdXznnxZz
zXnxZ
∩
∩=∗
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−=
=
−∫ υυυ
υπ
PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z
ExemploCalcule a transformada z de [ ] [ ]nx n na u n= −
( )
1
1 1
1
1
21 1
1[ ] ,1
1 1[ ] ,11[ ] ,
11[ ] ,
1 1
n
n
n
n
a u n |z|>aaz
1u n |z|>a a z a
a u n |z|<aa z
d a zna u n z |z|<adz a z a z
−
− −
−
−
− −
⇔−
⎛ ⎞ − ⇔⎜ ⎟ −⎝ ⎠
− ⇔−
− ⇔ − =− −
TABELA DE TRANSFORMADAS Z
( ) 1
)(
1
1 )1(
1
1 )(
1 1
1 )1(
1 1
1 )(
1 )(
21
1
1
1
1
1
azaz
aznuna
az -az
nua
az -az
nua
z-z
nu
z-z
nu
zn
n
-n
-n
-
-
>−
<−−−
>
<−−−
>
∀
−
−
δ
Seqüência Transformada RC
TABELA DE TRANSFORMADAS Z
( )( )
( )
( )
( ) azzaaz-
senaznunsena
azzaaz-
-aznuna
zzz-
senznunsen
zzz-
-znun
azaz
aznuna
n
n
n
>+
>+
>+
>+
<−
−−−
−−
−
−−
−
−−
−
−−
−
−
−
cos21
)(
cos21
cos1 )(cos
1 cos21
)(
1 cos21
cos1 )(cos
1
)1(
220
10
1
0
220
10
1
0
20
10
1
0
20
10
1
0
21
1
ωωω
ωωω
ωωω
ωωω
Seqüência Transformada RC
Teorema do valor inicial
Se x[n] for igual a zero para n<0, x[0] pode ser encontrado a partir de X[z]:
[ ] lim [ ]z
x 0 X z→∞
=
INVERSÃO DA TRANSFORMADA Z
)( )(ou 1
)(
:parciais frações em Expansão .2
1
~~~)(
:própria racional forma na )(Expressar .1
, 1
)(
racional) função umaser precisa ZdaTransforma (aparciais frações em Expansão :prático Método
1
011
se polinomial parte
0
própria racional parte
11
)1(1
110
11
110
NMpz
RzXzCzp
RzX
zCzazazbzbbzX
zX
RzRzazazbzbbzX
N
m m
m
NM
NM
k
kk
N
k k
k
NM
NM
k
kkN
N
NN
xxNN
MM
<−
=+−
=
+++++++
=
<<++++++
=
∑∑∑
∑
=
≥
−
=
−
=−
≥
−
=
−−−
−−−
−
+−−−
−−
Frações parciaisA aplicação da técnica de Frações parciais consiste em sintetizar a função racional em uma soma de funções, cuja transformada seja conhecida e tabelada. Ex.:
( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
[ ]
01
1 11 1, [ ]
1 1[ ] [ ] [ ]n n
z Az BzX zz a z b z a z b
Az z b Bz z azz a z b z a z b
A Bz A B z Ab BaAb Baz a z b
z zb a a bA B X z
b a a b z a z b
z zX z X n b a u na b z a z b a b
= = +− − − −
− + −= =
− − − −
+ =+ − + ⎧⇒ ⎨ + =− − ⎩
− −= = ⇒ = +− − − −
⎛ ⎞= − + ⇒ = −⎜ ⎟⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠
Série de potênciasA expressão que define a transformada z é uma série de Laurent e os valores da sequência x[n] são os coeficientes de z-n. Portanto se a transformada z é dada como uma série de potências na forma:
1 0 1[ ] [ ] ... [ 1] [0] [1] ..n
nX z x n z x z x z x z
∞− −
=−∞
= = + − + + +∑Pode-se determinar qualquer valor particular da sequência achando-se o coeficiente da potência apropriada de z.
1[ ] log(1 ) |X z az |z aa expansão em séries de potências:
−= + >
Função de Transferência3 formas de calcular a H[z] em função da h[n]
[ ] [ ] [ 1]
[ ] [ ] ( )
[ ] [ ]* [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] ( )
[ ]( ) ( ) [ ]
n
kn
n k n k n
k k
nn
a partir da h[n]y n x n ay n
zh n a u n H zz a
a partir da convolução y n h n x ny n h k x n k
se fizermos x[n]=zy n h k z z h k z z H z
y nH z z H z y nz
− −
= + −
= ⇒ =−=
= −
= = =
= ⇒ =
∑
∑ ∑
Função de Transferência3 formas de calcular a H[z] em função da h[n]
1( ) ( ) ( )
( ) (
n n n
-1
Determine H(z) para y[n]=x[n]+ay[n-1]zz H z z az H z H z
z aa partir da equação de diferenças substituindo x[n] porX(z) e y[n] por Y(z):Determine H(z) para y[n]=x[n]+ay[n-1]
Y(z)=X(z)+az Y z H
−= + ⇒ =−
⇒( )) Y z zz
X(z) z a= =
−
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO Z
[ ]
xhy
hhn
RCRCRCzXzHzY
zYzHzX
RzRznhnhZzH
∩==
→→
<<=≡ ∑∞
∞−+−
−
: )()()(
)( )( )(
; )()()(
:Sistema de Função
FUNÇÃO DE SISTEMA A PARTIR DA REPRESENTAÇÃO POR EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )∏
∏
∑
∑
∑∑
∑∑
=
=−−−
−−
=
−
=
−
=
−
=
−
==
−
−=
+++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
=
=+
=≡
=+
−=−+
N
kk
M
ll
MN
NNNN
MM
MM
N
k
kk
M
l
ll
M
l
ll
N
k
kk
M
ll
N
kk
pz
zzzb
azazzbb
bzbzzb
zH
zAzB
za
zb
zXzYzH
zXzbzYzazY
lnxbknyany
1
101
1
00
11
0
1
0
01
01
1
)()()(
FUNÇÃO DE SISTEMA ERESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
( )( )
( )
( )
( ) [ ] [ ] ( ) ( )...) (
11
21
210
1
1)(0
)(ou 0
princípioemLINEARNÃO
kj
N
kl
jM
lLINEARCONSTANTE
j
Njjj
Mjjj
j
N
kk
j
M
ll
j
MNjj
pezeMNeH
pepepe
zezezebeH
pe
zeebeH
−
==
=
=−
−∠−−∠+−+=∠
−−−
−−−=
−
−=
∑∑
∏
∏
ωωω
ωωω
ωωωω
ω
ω
ωω
ωπ
Módulo de uma Função Transferência
Fase de uma Função Transferência
As singularidades (pólos e zeros) tem tanto mais influência quanto mais próximos de z =ejw . A influência aumenta com a proximidade à |z| = 1
Fase Mínima:Todos os zeros estão contidos em |z| = 1. Ser um sistema de fase mínima significa que a fase do sistema está contida entre -π e π.
Sistema Passa-Tudo:Os zeros são colocados de tal forma que seus raios têm o inverso do raio dos pólos. Cada par de pólo e zero possui o mesmo ângulo (θ).
Sistema Só pólos: Nestes sistemas a presença de zeros pode ocorrer com "n" zeros na origem.
Fase Linear:Os zeros são colocados aos pares de forma que um zero tem o inverso do raio do outro zero. Os pólos são colocados na origem. Cada par de zeros possui o mesmo ângulo (θ).
Sistema em Cascata: Quando agrupamos sistemas em cascata os root-loci de cada sistema são sobrepostos.Sistema Causal: O número de pólos é maior ou igual ao número de zeros.
IMPLEMENTAÇÃO NO MATLAB
[H,w]=freqz(b,a,N)
ou
[H,w]=freqz(b,a,N,´whole´)
ou
H=freqz(b,a,w)
ou
freqz(b,a,...)
ESTABILIDADE E CAUSALIDADETeorema 1 (já visto) : Um sistema LIT é estável se e somente se a sua resposta impulsiva é absolutamente somável.
Teorema 2 : Um sistema LIT é estável se e somente se a circunferência unitária está contida na região de convergência (RC) da função de sistema H(z).
Teorema 3 : Um sistema LIT estável é também causalse e somente se a função de sistema H(z) tem todos os seus pólos no interior da circunferência unitária.