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Transformada z A TFTD de uma sequência é: Para convergir a série deve ser absolutamente somável. Infelizmente muitos sinais não podem ser tratados: A transformada z é uma generalização da TFTD que permite o tratamento desses sinais: Definição: [ ] () () () n n X z xn xnz =−∞ ≡Ζ = Os valores de z para os quais a soma converge definem a ROC – região de convergência.

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Transformada zA TFTD de uma sequência é:

Para convergir a série deve ser absolutamente somável. Infelizmente muitos sinais não podem ser tratados:

A transformada z é uma generalização da TFTD que permite o tratamento desses sinais:

Definição: [ ]( ) ( ) ( ) n

n

X z x n x n z∞

=−∞

≡ Ζ = ∑Os valores de z para os quais a soma converge definem a ROC – região de convergência.

Transformada z

A transformada z é a TFTD da sequência r-nx[n] e a ROC é determinada pelo intervalo de valores de r para os quais.

Observe que para a circunferência de módulo 1: |z|=1, a Tz é igual a TF

Transformada zMuitos sinais de interesse tem transformadas z que são funções racionais de z:Fatorando o num. e o den., temos de forma evidente que βksão zeros e αk são os pólos. Em geral a ROC é um anel α<|z|< β.Uma sequência de comprimento finito tem uma transformada z cuja região de convergência é o plano z inteiro, exceto possivelmente z=0 e z=∞. Se x[n]=0 para n<0 o ponto z=∞será incluído. Se x[n]=0 para n>0 o ponto z=0 será incluído

ExemploConsidere os seguintes sinais e calcule suas transformadas z:

[ ][ ] 1nx n a u n= − − −

[ ] [ ]1 1[ ]2 3

n n

x n u n u n⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[ ][ ] nx n a u n=

[ ] [ ]1 1[ ] 13 2

n n

x n u n u n⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

EXEMPLO 1

⎩⎨⎧

×

∞≤<⇒

>−

=

<−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⇒∞<<

=

+−

∞−

)( :)( de raízes)( :)( de raízes

então

)()()( Se :.

:

, )(

1 se ; 1

1

)(0

, )()( Seja

1

1

10

01

1

póloszAzeroszB

zAzBzXObs

zaRC

azaz

zzX

za

azza

zazXa

nuanx

xx

RR

n

nn

n

Re[z]

Im[z]

a

0

Diagrama depólos ( × ) ezeros ( o )

1RC

EXEMPLO 2

+−

<≤⇒

<−

=

<−

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=⇒∞<<

−−−=

∞∞−

∞−

∞−

∑∑∑

xx RR

nnn

nn

n

bzRC

bzbz

zzX

bz

zbzX

bz

bz

zb

zbzXb

nubnx

0 :

, )(

1 se ; 1

11)(

1

)(0

, )1()( Seja

2

2

12

01

1

1

2

2 Diagrama depólos ( × ) ezeros ( o )

Re[z]

Im[z]

b0

2RC

EXEMPLO 3

213

3

1

03

3

213

:

; )(

, ,

)(

)1()()(

)()()( Seja

RCRCRC

bzz

azzzX

bzbz

zazaz

z

zbzazX

nubnuanx

nxnxnx

nn

n

nn

nn

−+

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <

−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >

−=

−=⇒

−−−=

+=

∑∑−

∞−

−∞

=

Diagrama depólos ( × ) ezeros ( o )

Re[z]

Im[z]

b0

a

3RC

Outro exemploConsidere o sinal

,[ ]

0,

na 0 n N-1x n

caso contrário⎧ ≤ ≤

= ⎨⎩

PROPRIEDADES DA ROC

0

0

0

( ) 0 ( ).0, ( )

3. ( ) 0

x

1. A ROC é sempre limitada por uma circunferência.2. Se x n somente p/ n n : seqüência à direita ROC: de RSe n x n é também causal.

Se x n somente p/ n n : seqüência à esqu

−= <≥

= >

fora

0

).0, ( )

xerda (ROC: de RSe n x n é também anticausal.

+

≤dentro

Re[z]

Im[z]

Rx-

Re[z]

Im[z]

Rx+

à direitaseqüência à esquerdaseqüência

PROPRIEDADES DA RC

1 2

1 2

4. :

( ) 0, .

0 0 0

Para seqüências bilaterais ROC é anel, se existir.

5. Se x n p/ n n e n n : seqüência deduração finita ROC é o Se n , a ROC não inclui o limite z . Se n , z RC.

6. O

= < >

< →∞ > = ∉plano z inteiro

( )( )( )

s pólos RC.

B z7. pelo menos um pólo na fronteira da RC se X z .A z

8. A RC é sempre contínua.

∃ ≡

Exemplos de quatro ROCs de transformadas z com os mesmos pólos e zeros.

Sequência direita

Sequëncias bilaterais

Sequência esquerda

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z

[ ]

( )[ ]

[ ] ( )

( )[ ] ( ))"fora"dentro""ou "dentro"fora"(" invertida RC :RC

; : toEspelhamen .4

por escalonado RC :RC ;)( : domínio no ntoEscaloname .3

0n se zou 0n se 0z exceto ,RC :RC );( : toDeslocamen .2

RCRC :RC );()()()( :eLinearidad .1

1

1

12

0

22112211

0

21

→→=−

=

<∞=>=

=−

+=+

x

x

n

x

n

xx

zXnxZ

azaXnxaZz

zXznnxZ

zXazXanxanxaZ∩

[ ] ( )

[ ]

[ ]

[ ] ( )21

21

RCRC :RC ;)()()( : Convolução 8.

invertidaRCRC :RC

;)(21)()( : çãoMultiplica .7

RC :RC

;)()( : domínio no çãoDiferencia .6

RC :RC ;)( :complexa Conjugação 5.

2121

12121

**

xx

xx

C

x

x

*

zXzXnxnxZ

dzXXj

nxnxZ

dzzdXznnxZz

zXnxZ

∩=∗

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=

=

−∫ υυυ

υπ

PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z

ExemploCalcule a transformada z de [ ] [ ]nx n na u n= −

( )

1

1 1

1

1

21 1

1[ ] ,1

1 1[ ] ,11[ ] ,

11[ ] ,

1 1

n

n

n

n

a u n |z|>aaz

1u n |z|>a a z a

a u n |z|<aa z

d a zna u n z |z|<adz a z a z

− −

− −

⇔−

⎛ ⎞ − ⇔⎜ ⎟ −⎝ ⎠

− ⇔−

− ⇔ − =− −

TABELA DE TRANSFORMADAS Z

( ) 1

)(

1

1 )1(

1

1 )(

1 1

1 )1(

1 1

1 )(

1 )(

21

1

1

1

1

1

azaz

aznuna

az -az

nua

az -az

nua

z-z

nu

z-z

nu

zn

n

-n

-n

-

-

>−

<−−−

>

<−−−

>

δ

Seqüência Transformada RC

TABELA DE TRANSFORMADAS Z

( )( )

( )

( )

( ) azzaaz-

senaznunsena

azzaaz-

-aznuna

zzz-

senznunsen

zzz-

-znun

azaz

aznuna

n

n

n

>+

>+

>+

>+

<−

−−−

−−

−−

−−

−−

cos21

)(

cos21

cos1 )(cos

1 cos21

)(

1 cos21

cos1 )(cos

1

)1(

220

10

1

0

220

10

1

0

20

10

1

0

20

10

1

0

21

1

ωωω

ωωω

ωωω

ωωω

Seqüência Transformada RC

Teorema do valor inicial

Se x[n] for igual a zero para n<0, x[0] pode ser encontrado a partir de X[z]:

[ ] lim [ ]z

x 0 X z→∞

=

INVERSÃO DA TRANSFORMADA Z

)( )(ou 1

)(

:parciais frações em Expansão .2

1

~~~)(

:própria racional forma na )(Expressar .1

, 1

)(

racional) função umaser precisa ZdaTransforma (aparciais frações em Expansão :prático Método

1

011

se polinomial parte

0

própria racional parte

11

)1(1

110

11

110

NMpz

RzXzCzp

RzX

zCzazazbzbbzX

zX

RzRzazazbzbbzX

N

m m

m

NM

NM

k

kk

N

k k

k

NM

NM

k

kkN

N

NN

xxNN

MM

<−

=+−

=

+++++++

=

<<++++++

=

∑∑∑

=

=

=−

=

−−−

−−−

+−−−

−−

Frações parciaisA aplicação da técnica de Frações parciais consiste em sintetizar a função racional em uma soma de funções, cuja transformada seja conhecida e tabelada. Ex.:

( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

[ ]

01

1 11 1, [ ]

1 1[ ] [ ] [ ]n n

z Az BzX zz a z b z a z b

Az z b Bz z azz a z b z a z b

A Bz A B z Ab BaAb Baz a z b

z zb a a bA B X z

b a a b z a z b

z zX z X n b a u na b z a z b a b

= = +− − − −

− + −= =

− − − −

+ =+ − + ⎧⇒ ⎨ + =− − ⎩

− −= = ⇒ = +− − − −

⎛ ⎞= − + ⇒ = −⎜ ⎟⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠

Série de potênciasA expressão que define a transformada z é uma série de Laurent e os valores da sequência x[n] são os coeficientes de z-n. Portanto se a transformada z é dada como uma série de potências na forma:

1 0 1[ ] [ ] ... [ 1] [0] [1] ..n

nX z x n z x z x z x z

∞− −

=−∞

= = + − + + +∑Pode-se determinar qualquer valor particular da sequência achando-se o coeficiente da potência apropriada de z.

1[ ] log(1 ) |X z az |z aa expansão em séries de potências:

−= + >

Função de Transferência3 formas de calcular a H[z] em função da h[n]

[ ] [ ] [ 1]

[ ] [ ] ( )

[ ] [ ]* [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ( )

[ ]( ) ( ) [ ]

n

kn

n k n k n

k k

nn

a partir da h[n]y n x n ay n

zh n a u n H zz a

a partir da convolução y n h n x ny n h k x n k

se fizermos x[n]=zy n h k z z h k z z H z

y nH z z H z y nz

− −

= + −

= ⇒ =−=

= −

= = =

= ⇒ =

∑ ∑

Função de Transferência3 formas de calcular a H[z] em função da h[n]

1( ) ( ) ( )

( ) (

n n n

-1

Determine H(z) para y[n]=x[n]+ay[n-1]zz H z z az H z H z

z aa partir da equação de diferenças substituindo x[n] porX(z) e y[n] por Y(z):Determine H(z) para y[n]=x[n]+ay[n-1]

Y(z)=X(z)+az Y z H

−= + ⇒ =−

⇒( )) Y z zz

X(z) z a= =

REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO Z

[ ]

xhy

hhn

RCRCRCzXzHzY

zYzHzX

RzRznhnhZzH

∩==

→→

<<=≡ ∑∞

∞−+−

: )()()(

)( )( )(

; )()()(

:Sistema de Função

FUNÇÃO DE SISTEMA A PARTIR DA REPRESENTAÇÃO POR EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )∏

∑∑

∑∑

=

=−−−

−−

=

=

=

=

==

−=

+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

=

=+

=≡

=+

−=−+

N

kk

M

ll

MN

NNNN

MM

MM

N

k

kk

M

l

ll

M

l

ll

N

k

kk

M

ll

N

kk

pz

zzzb

azazzbb

bzbzzb

zH

zAzB

za

zb

zXzYzH

zXzbzYzazY

lnxbknyany

1

101

1

00

11

0

1

0

01

01

1

)()()(

FUNÇÃO DE SISTEMA ERESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

( )( )

( )

( )

( ) [ ] [ ] ( ) ( )...) (

11

21

210

1

1)(0

)(ou 0

princípioemLINEARNÃO

kj

N

kl

jM

lLINEARCONSTANTE

j

Njjj

Mjjj

j

N

kk

j

M

ll

j

MNjj

pezeMNeH

pepepe

zezezebeH

pe

zeebeH

==

=

=−

−∠−−∠+−+=∠

−−−

−−−=

−=

∑∑

ωωω

ωωω

ωωωω

ω

ω

ωω

ωπ

Módulo de uma Função Transferência

Fase de uma Função Transferência

As singularidades (pólos e zeros) tem tanto mais influência quanto mais próximos de z =ejw . A influência aumenta com a proximidade à |z| = 1

Fase Mínima:Todos os zeros estão contidos em |z| = 1. Ser um sistema de fase mínima significa que a fase do sistema está contida entre -π e π.

Sistema Passa-Tudo:Os zeros são colocados de tal forma que seus raios têm o inverso do raio dos pólos. Cada par de pólo e zero possui o mesmo ângulo (θ).

Sistema Só pólos: Nestes sistemas a presença de zeros pode ocorrer com "n" zeros na origem.

Fase Linear:Os zeros são colocados aos pares de forma que um zero tem o inverso do raio do outro zero. Os pólos são colocados na origem. Cada par de zeros possui o mesmo ângulo (θ).

Sistema em Cascata: Quando agrupamos sistemas em cascata os root-loci de cada sistema são sobrepostos.Sistema Causal: O número de pólos é maior ou igual ao número de zeros.

IMPLEMENTAÇÃO NO MATLAB

[H,w]=freqz(b,a,N)

ou

[H,w]=freqz(b,a,N,´whole´)

ou

H=freqz(b,a,w)

ou

freqz(b,a,...)

ESTABILIDADE E CAUSALIDADETeorema 1 (já visto) : Um sistema LIT é estável se e somente se a sua resposta impulsiva é absolutamente somável.

Teorema 2 : Um sistema LIT é estável se e somente se a circunferência unitária está contida na região de convergência (RC) da função de sistema H(z).

Teorema 3 : Um sistema LIT estável é também causalse e somente se a função de sistema H(z) tem todos os seus pólos no interior da circunferência unitária.

ExemplosCalcule a transformada z das seguintes seqüências.

Calcule a resposta ao impulso do seguinte sistema.