La Transformada de Fourier y sus Propiedades

Transformada de Fourier1

Transformada de Fourier2

f t =1

2 π∫−∞

∞

F ω e jω td ω

F ω =∫−∞

∞

f t e− jω td t

Integral de Fourier y Transformada de Fourier

2

Notación Operacional

3

Series de Fourier. 4

Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t) siguiente

Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es

-p/2 0 p/2

1f(t)

t

f t ={0 t<

−p2

1− p

2<t<

p2

0p2

<t }

Series de Fourier. 5

Integrando

Usando la fórmula de Euler

.

5

Espectro Continuo de Magnitud (o Amplitud) y Fase

6

Ejercicio Nº1:

Usando Matlab calcular la transformada de Fourier del siguiente pulso rectangular y graficar su transformada.

7

Implementación con Matlab del cálculo de la Transformada de Fourier correspondiente a un Pulso Rectangular de duración y amplitud igual a uno.

8

Implementación con Matlab del cálculo del Espectro de Magnitud correspondiente a un Pulso Rectangular de duración y amplitud igual a uno

>> ezplot(abs(X), -30,30)

9

10

Espectro de Magnitud y Fase del Pulso Rectangular

11

Algunas propiedades de la Transformada de Fourier

•Linealidad•Desplazamiento en el Dominio t.•Cambio de escala en el Dominio t.•Multiplicación por una exponencial Compleja. ( o desplazamiento en el dominio ω).• Convolución en el dominio t.• Convolución en el dominio ω.• Simetría (o Dualidad).

12

Propiedad de Linealidad

Transformada de Fourier

13

Desplazamiento en el Dominio t

14

Ejercicios Propuestos:

1)Si f(t) se traslada en el dominio t, ¿qué sucede con su espectro de magnitud? ¿ ¿qué sucede con su espectro de fase? 2)Calcule la Transformada de Fourier del siguiente pulso rectangular y su espectro continuo de amplitud.

15

Respuesta del ejercicio 2

16

Cambio de escala en el Dominio t

Se puede demostrar que esta propiedad es válida para a<0

17

Ejercicio: 1)Dado el pulso rectangular P2(t), grafique el pulso P2(2t). 2)Calcule la transformada de Fourier de ambos pulsos

18

Respuesta

19

Multiplicación por una exponencial Compleja. ( o desplazamiento en el dominio ω)

20

Ejercicio: Dada la función f(t) con transformada F(ω),calcular la transformada de Fourier de: a) f(t) cos(ω0t)b) f(t) sen(ω0t)

21

Respuesta (a)

22

Respuesta (b)

23

Ejercicio: Dado el pulso P(t) de duración 0.50 seg:1)Calcular la transformada de Fourier de: f (t)= P(t)cos(ω0t),con ω0=60 (rad/seg).2) Graficar f(t) y su transformada

24

Respuesta

25

Convolución en el dominio t

26

27

Convolución en el dominio ω

28Transformada de Fourier

Propiedad de Simetría

29

Energía asociada a una señal

30

Teorema de Parseval De la deducción anterior resulta