Clase 2015 i electromagnetismo ii

Magnetismo en el vacio

Magnetita (Fe3O4), imán permanente.

Principios del siglo XIX Experimento de Oersted.

Campo magnético socio del campo eléctrico, Gauss, Henry,Faraday y otros.

Los campos eléctricos y magnéticos se encuentra relacionados,Maxwell y otros

Inducción magnética

Cargas en reposo producen Fe =1

4πε0

Carga en movimiento a velocidad constante produceFm =

r2 v×(

v1×rr

4π= 10−7 N.s2/C2.

Fm = qv×B

B = µ04π

qq1r2 v1× r

F = q(E+v×B)

Si v,v1 c los efectos magnéticos son despreciables respecto a

los efectos eléctricosFm

Fe≤ v

ccon c2 =

1ε0µ0

Fuerza y torque magnético

La fuerza magnética ejercida por un campo magnético B sobre unconductor de sección transversal S y con N número de portadorespor unidad de volumen es:

dF = NS|dl|qv×BdF = Nq|v|Sdl×BdF = Idl×B

Si el campo B es uniforme

F =∮

CIdl×B = 0.

El torque magnético que ejerce un campo B sobre un conductorque conduce una corriente I es

dτ = r×dF = Ir× (dl×B)5

El torque resultante sobre un circuito cerrado es

τ = I∮

Cr× (dl×B)

Si B es constante

τ = IS×B, m = IS

r×dl, m =12

Cr×dl

Problema: Una partícula cargada de masa m y carga q se mueveen un campo magnético uniforme de inducción magnética B = B0k.Demuestre que el movimiento más general que describe la partículaes una hélice, cuya sección transversal es una circunferencia de radioR = mv⊥/qB. (v⊥ es la componente de la velocidad v perpendiculara B).

Problema:Dado un campo magnético

B = B0(x+ y)k

calcular la fuerza y el torque magnético sobre el circuito rectangularde lados a y b, que conduce una corriente I.

Problema: Una partícula de carga q y masa m se deja con velocidadinicial nula en el origen de coordenadas, en presencia de un campogravitatorio que ejerce una fuerza −mgk y un campo magnéticouniforme B = B0 j. Formular las ecuaciones de movimiento de lapartícula y calcular las distintas componentes de la velocidad.

Ley de Biot-Savart

Ampere dedujo que la fuerza magnética entre dos conductores quetransportan corrientes I1 e I2 es

F2 =µ0

4πI1I2

dl2× [dl1× (r2− r1)]

|r2− r1|3

Teniendo en cuenta que F2 = I2∮

2 dl2×B(r2) se tiene

B(r2) =µ0

dl1× (r2− r1)

|r2− r1|3

dB(r2) =µ0

dl1× (r2− r1)

|r2− r1|3

Expresando en términos de la densidad de corriente

B(r2) =µ0

J(r1)× (r2− r1)

|r2− r1|3dv1

dB(r2) =µ0

J(r1)× (r2− r1)

|r2− r1|3dv1

B(r2) =µ0

K(r1)× (r2− r1)

|r2− r1|3dS1

Problema: Determinar el campo magnético generado por unconductor rectilíneo infinito que conduce una corriente I

ax= tan(π−θ) =− tanθ

Problema: Calcular la fuerza magnética por unidad de longitud quese ejercen dos conductores paralelos separados una distancia d y queconducen corrientes I1 e I2

Problema: Determinar el campo magnético generado por unaespira circular que conduce una corriente I

Problema: Calcular el campo magnético en el centro de unsolenoide

Problema: Calcular la fuerza magnética por unidad de longitudque ejerce el conductor plano de ancho W que conduce una corrientede densidad K = K0 j sobre el alambre conductor que conduce unacorriente I0.

Ley de Ampere

Para corrientes estacionarias ∇ ·J = 0, entonces

∇2×B(r2) =µ0

[∇2×

J(r1)× (r2− r1)

|r2− r1|3

∇×B(r2) = µ0J(r2)

B ·dl = µ0

∫SJ ·ndS

Verificar la ley de ampere utilizando una corriente lineal infinita.

Problema: Determinar el campo magnético en cada región delcable coaxial que conduce una corriente uniforme I entrante por laparte interior y saliente por la exterior.

Potencial vector magnético

Ley de Gauus ∇2 ·B(r2) = 0 entonces

B = ∇×A

es decir∇

2A =−µ0J

soluciónA(r2) =

|r2− r1|dv1

en puntos muy alejados

A(r) =µ0

m× rr3

Potencial escalar magnético

∇×B(r2) = µ0J(r2), si J = 0

entoncesB =−µ0∇ϕ

de acuerdo a ∇ ·B = 0 ϕ cumple con

∇2ϕ = 0

solución en puntos muy alejados

ϕ(r) =m · r4πr3

Problema: En la figura, sean las regiones 0 < z < 0.3 m y 0.7 <

z< 1.0 m barras conductoras que transportan densidades de corrienteuniformes de 10 A/m2 en direcciones opuestas. Encontrar B en (a)z =−0.2; (b) z = 0.2; (c) z = 0.4; (d) z = 0.75 y (e) z = 1.2 m.

Problema: Por un cilindro conductor de radio a muy largo circulauna corriente de densidad

J = J0ρ

Calcular el potencial vector magnético, considerando que el potencialvector de referencia es A(ρ = a) = 0

Solución: consideramos A = Az(ρ)z

∇2A =

−µ0J0

a si ρ ≤ a0 si ρ > a

Problemas

1. Un conductor lineal de la figura conduce corriente I constantes,si las partes rectas del conductor tienen longitud L y la partesemi-circular tiene radio R determine la fuerza magnética queejerce el campo magnético B = B0xy sobre el conductor.

2. Un conductor plano de ancho W que tiene la forma mostrada e lafigura conduce una corriente total constante I0, si las partes rectasdel conductor son semi-infinitas, determine el campo magnéticoproducido por el conductor en el origen de coordenadas.

(Sugerencia: utilice ley de Biot y Savart.)

3. Un conductor filamentario forma un triángulo equilátero cuyoslados son de longitud l y transporta una corriente I. Determinela intensidad del campo de inducción magnética en el centro deltriángulo.

4. Un cilindro conductor largo de radio R conduce a lo largo de sulongitud una corriente de densidad

J = J0

(1− r

donde r es la distancia radial de un punto del espacio a partir deleje del cilindro. Determine El campo magnético producido por lacorriente en puntos (a) r < R y (b) r > R.

(Sugerencia: Utilizar ley de Ampere)

5. Un protón cuya velocidad es de 107 m/s se lanza perpendicularmentea un campo uniforme de inducción magnética de 0.15 T. (a)¿Cuánto se desvía la trayectoria de la partícula de una línea rectadespués de que ha recorrido una distancia de 1 cm? (b) ¿Cuántotarda el protón en recorrer un arco de π/2?.

6. Dado el campo magnético B = B0ρ

Rz T (Tesla), donde R es unaconstante y 0 ≤ ρ ≤ R (ρ distancia radial a partir del eje z).Determine la fuerza y torque magnético total que ejerce B sobreuna espira de la figura, que conduce una corriente I en sentidoantihorario. Considere el radio del arco circular igual a R.

7. Un disco conductor delgado de radio interno a y radio externob, conduce una corriente superficial K uniforme, se dobla por lamitad que modo que una mitad del disco se encuentra en el planoxy y la otra mitad en el plano xz, si la dirección de la corrienteen la mitad que se encuentra sobre el plano xy es φ determine lainducción magnético B en un punto z0z (z0 > b) sobre el eje z.

8. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndrico26

macizo de radio R y el conductor exterior es cilíndrico huecocon radio interior R y radio exterior 2R. El conductor interiorconduce una corriente de densidad J0

(1− r

), con 0 ≤ r ≤ R y el

conductor exterior conduce una corriente de densidad uniforme.Si toda la corriente que ingresa por el conductor interior regresapor el conductor exterior, determine el potecial vector y el campode inducción magnética en (a) r < R, (b) R < r < 2R y (c) r > 2R.

9. Dado el campo magnético B = B0ρ

L z T (Tesla), donde L es unaconstante y 0 ≤ ρ ≤ L (ρ distancia radial a partir del eje z).Determine la fuerza y el torque magnético total que ejerce B sobrela espira triangular de la figura, que conduce una corriente I ensentido antihorario.

10. Sobre el cilindro semicircular dieléctrico de la figura seenrolla con un alambre de cobre esmaltado (haciendo espirassemicirculares de radio C), tal que el número de vueltas porunidad de longitud n = N/B sea constante. Si sobre la bobinaasí construida se aplica una corriente I0, determine el campomagnético que genera la bobina en un punto sobre la base delcilindro y a la mitad de la distancia A.

11. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndricohueco de radio R y exterior 2R y el conductor exterior es cilíndricohueco con radio interior 2R y radio exterior 3R. El conductorinterior conduce una corriente de densidad J0

(1− r

), con R ≤

r ≤ 2R y el conductor exterior conduce una corriente de densidaduniforme. Si toda la corriente que ingresa por el conductor interiorregresa por el conductor exterior, determine el potencial vector yel campo de inducción magnética en (a) R < r < 2R, (b) 2R < r <3R y (c) r > 3R.

12. Una partícula de masa m y carga negativa −q se mueve en unaregión con campo magnético uniforme B = B0y y campo eléctricoconstante E = E0z. Si la partícula en t = 0 se encontraba en elorigen de coordenadas con velocidad inicial v0x, determine laposición en función del tiempo y realice una gráfica aproximadade la trayectoria seguida por la partícula.

13. En una región con campo magnético B = A|x|z T (Tesla), dondeA es una constante se encuentra un anillo semicircular de radio Rque bordea la sección semicircular 0≤ r≤R, 0≤ φ ≤ π y z= 0. Sila corriente I en la espira circula en sentido antihorario, determineel torque magnético total que ejerce B sobre la espira.

14. Una cáscara esférica conductora de radio R centrada en el origentiene una corriente superficial de densidad K=K0|z|φ , si la regióndentro de la esfera es aire, determine el campo de inducciónmagnética en el centro de la cascara esférica.

15. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndricomacizo de radio R y el conductor exterior es cilíndrico huecocon radio interior R y radio exterior 2R. El conductor interiorconduce una corriente de densidad J0

(1− r

), con 0 ≤ r ≤ R y el

conductor exterior conduce una corriente uniforme cuya densidad

−JM, siendo JM la densidad de corriente media en el conductorinterior. Usando ley de Ampere determine el campo de inducciónmagnética en (a) r < R, (b) R < r < 2R y (c) r > 2R.

16. Una partícula de masa m y carga negativa −q se mueve en unaregión con campo magnético uniforme B = B0x y campo eléctricoconstante E = E0z. Si la partícula en t = 0 se encontraba en elorigen de coordenadas con velocidad inicial v0y, determine laposición en función del tiempo y realice una gráfica aproximadade la trayectoria seguida por la partícula.

17. En una región con campo magnético B = A|x|(x+ z) T (Tesla),donde A es una constante se encuentra un anillo circular de radioR que bordea la sección semicircular 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 3π/2 yz = 0. Si la corriente I en la espira circula en sentido antihorario,determine el torque magnético total que ejerce B sobre la espira.

18. Una cáscara esférica conductora de radio R centrada en el origentiene una corriente superficial de densidad K=K0|z|φ , si la regióndentro de la esfera es aire, determine el campo de inducciónmagnética en el punto Rz de la cáscara esférica.

19. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndricomacizo de radio R y el conductor exterior es cilíndrico huecocon radio interior R y radio exterior 2R. El conductor exteriorconduce una corriente de densidad J0

(2− r

), con R≤ r≤ 2R y el

conductor interior conduce una corriente uniforme cuya densidades −JM, siendo JM la densidad de corriente media en el conductorexterior. Usando ley de Ampere determine el campo de inducciónmagnética en (a) r < R, (b) R < r < 2R y (c) r > 2R.

Inducción electromagnética

Flujo magnético

Cantidad de líneas de campo magnético que pasan a través de unasuperficie.

Φ =∫

SB ·dS webers(Wb)

Ley de Gauss del magnetismo

En la naturaleza no existen monopolos magnéticos

∇ ·B = 0 o∮

SB ·ndS = 0

Inducción electromagnética

Propuesta por Faraday y Henry a principios del siglo XIX.

En electrostática tenemos ∇×E = 0 y ∇ ·D = ρ

Fuerza electromotriz∮

C E · dl = ε que es igual a cero para camposE y B estáticos.

Pero si el flujo magnético sobre un circuito cerrado varía con eltiempo entonces se encuentra que

ε =−dΦ

siendo Φ =∫

S B ·ndS el flujo magnético.∮C

E ·dl =− ddt

∫SB ·ndS

Utilizando el teorema de Stokes∫S∇×E ·ndS =−

∂B∂ t·ndS

Forma diferencial de la ley de Faraday

∇×E =−∂B∂ t

Ley de Lenz: La polaridad de la fem inducida es tal, que produceuna corriente, cuyo campo magnético se opone al cambio de flujomagnético externo aplicado.

Fem por movimiento: producida cuando una barra conductora semueve dentro de un campo magnético

La fuerza magnética produce la separación de cargas eléctricaspositivas y negativas sobre el conductos, hecho que induce un uncampo eléctrico de modo que la fuerza resultante sobre una carga del

conductor esF = q(E+v×B)

si v es perpendicular a B en el caso límite se obtiene E = vB, demodo que si B = cte la diferencia de potencial entre los extremos dela barra es

ε = ∆ϕ =−∫ b

aE ·dl = El = BLv

Se obtienen resultados similares si se considera la ley de Faradaysobre el circuito cerrado imaginario abcd, es decir

ε =−dΦ

dt= Blv.

En general si v no es perpendicular a B, pero B = cte

ε = B · l×v

Autoinducción

Representa la inducción electromagnética que produce un circuitosobre sí mismo.

Se encuentra que el flujo magnético sobre el circuito es proporcionala la corriente

dIdIdt

siendo la Autoinductancia

L =dΦ

dIes decir

ε =−LdIdt

Bobina toroidal

B =µ0NI

Φ1 =µ0NIA

l, Φ =

µ0N2IAl

, L =µ0N2A

Inductancia Mutua

Dado un sistema de n circuitos, el flujo sobre el i-ésimo circuito es

Φi = Φi1+Φi2+ . . .+Φii+ . . .+Φin =n

∑j=1

La fem inducida sobre el circuito i es

εi =−dΦi

dt=−

∑j=i

dΦi j

Si los cambios de flujo dependen de las corrientes

dΦi j

dt→ Mi j =

dΦi j

dI j, i 6= j

Embobinados toroidales

B =µ0N1I1

l, Φ11 =

µ0N21 I1Al

, Φ21 =µ0N1N2I1A

L1 =µ0N2

M21 =µ0N1N2A

B =µ0N2I2

l, Φ22 =

µ0N22 I2Al

, Φ12 =µ0N1N2I2A

L2 =µ0N2

M12 =µ0N1N2A

M12 = M21 M12 =√

L1L2, M12 = k√

L1L2, 0≤ k ≤ 1

k coeficiente de acoplamiento.

Inductancias en serie y paralelo

SerieV = (R1+R2)I +(L1+L2+2M)

Le f = L1+2k√

L1L2+L2

Paralelo

Le f =L1L2−M2

L1+L2−2M

Problemas

1. La ubicación de la barra deslizante de la figura está dada porx = 5t + 2t3 y la separación entre los dos rieles es de 20 cm. SeaB = 0.8x2z T. Encontrar la lectura del voltímetro en a) t = 0.4 s yb) x = 0.6 m

2. Un conductor metálico que tiene la forma de un segmento dealambre de longitud L se mueve en un campo magnético Bcon velocidad v. Partiendo de una consideración detallada de lafuerza de Lorentz sobre los electrones del alambre, demuestre quelos extremos de este se encuentran a la diferencia de potencial:B ·L×v.

3. Una varilla metálica de un metro de longitud gira en torno a uneje, que pasa por uno de sus extremos y que es perpendicular a lavarilla, con una velocidad angular de 12 rad/s. El plano de rotaciónde la varilla es perpendicular al campo magnético uniforme de 0.3T. ¿Cuál es la fem inducida por movimiento entre los extremos dela varilla?

4. Un cilindro conductor de radio R muy largo que coincide conel eje y conduce una corriente eléctrica de densidad J1(t) =

cosωt y y una espira triangular de vértices (R + b)x, (R +

b+ L)x y (R+ b)x+ Ly se encuentra en el plano xy y conduceuna corriente I2(t) en sentido antihorario. Determine: (a) lafem inducida por el alambre sobre la espira cuadrada y (b) lainductancia mutua entre el alambre y la espira.

5. Una espira cuadrada de lado 2a y resistencia R se mueve convelocidad constante v hacia la derecha como se muestra en lafigura, penetra en una región de anchura 2b donde hay un campomagnético B = B0xcosωtz perpendicular al plano del papel yhacia fuera. Calcular (a) El flujo en función de la posición x delcentro de la espira. (b) La fem y el sentido de la corriente inducida,justificando la respuesta en términos de la ley de Lenz

6. Para una corriente rectilínea y una espira rectangular. (a) Calcularel coeficiente de inducción mutua. (b) Supongamos ahora, que lacorriente rectilínea tiene una amplitud de 10 A y una frecuenciade 60 Hz, determinar la intensidad de la corriente inducida en laespira, si su resistencia es de 40 Ω. Dibújese sobre la espira elsentido de dicha corriente cada cuarto de periodo. Dibujar en unmismo gráfico, intensidad - tiempo, la intensidad en la corrienterectilínea y la intensidad en la espira. Razónese las respuestas.

Magnetismo en materiales

Dipolo magnético

A =µ0I4π

∮ dlr

en puntos muy alejados A =µ0m× r

1|r− r′|

r · r′

r3 +O(δ 2)

A =µ0Iπa2 senθ

4πr2 φ , m =12

Cr× dr = ISn

B = ∇×A =µ0m4πr3

(2cosθ r+ senθθ

Magnetización

Objetivo: efecto del campo magnético sobre los materiales.

La materia se compone de átomos, cada átomo tiene electrones quedescriben órbitas al rededor del núcleo y rotan en torno su propioeje (dipolos magnéticos). Estos dipolos magnéticos producen campomagnético.

Magnetización: momento dipolar magnético por unidad de volumen

M = lım∆V→0

1∆V ∑

mi es el momento dipolar magnético del i-ésimo átomo.

En el SI M se mide en Am−1

Magnetización uniforme: las corrientes magnéticas se distribuyenuniformemente en el material (se eliminan todas las corrientesatómicas), pero existe corriente superficial.

Magnetización no uniforme: la distribución de las corrientesatómicas varía en el espacio, generando corrientes de magnetizacióndentro del material (estas corrientes no implican movimiento decargas eléctricas libres).

Corriente de magnetización

El momento dipolar de un volumen ∆V es ∆m = M∆V , que a suvez se expresa como ∆m = ISn, entonces los momentos dipolares delos elementos de volumen de la figura son

Mx∆x∆y∆z = I′c∆y∆z,(

Mx+∂Mx

∂y∆y)

∆x∆y∆z = I′′c ∆y∆z

La corriente magnética paralela al eje z en la región entre los doselementos de volumen es

I′c− I′′c =−∂Mx

∂y∆x∆y

al considerar elementos de volumen de magnetización My y My+∆y setiene

(Ic) =∂My

∂x∆x∆y

La corriente total paralela al eje z es

Jz =∂My

∂x− ∂Mx

Considerando elementos de volúmenes similares se encuentra

Jx =∂Mz

∂y− ∂My

∂ z, Jy =

∂ z− ∂Mz

Entonces la corriente de magnetización JM se expresa como

JM = ∇×M

JM es una corriente ficticia que aparece en un material magnetizado.

Campo magnético producido por un material magnetizado

Considerando elementos de volumen con ∆m = M∆V el potencialvector A es

A(r) =µ0

M(r′)× (r− r′)|r− r′|3

dV ′

∇× (ϕF) = (∇ϕ)×F+ϕ∇×F,∫

V∇×FdV =

∮Sn×FdS′

A(r) =µ0

∇′×M|r− r′|

dV ′+µ0

M×n|r− r′|

entoncesJM = ∇×M, KM = M×n

es decir

A(r) =µ0

|r− r′|dV ′+

|r− r′|dS′

Calculando ahora el campo de inducción magnética

B(r) = ∇×A =µ0

JM× (r− r′)|r− r′|3

dV ′+µ0

KM× (r− r′)|r− r′|3

Por otro lado

B(r) = ∇×A =µ0

∇×[

M× r− r′

|r− r′|3dV ′]

∇×[

M× r− r′

|r− r′|3

]= M∇ ·

[r− r′

|r− r′|3

]− (M ·∇)

r− r′

|r− r′|3

∇ ·M = 0 entonces

B = BI(r)+BII(r)

BI =µ0

M∇ ·[

r− r′

|r− r′|3

]dV ′

BII =−µ0

(M ·∇)r− r′

|r− r′|3dV ′

BI =µ0

M4πδ (r− r′)dV ′ = µ0M(r)

BII =−µ0∇1

M · r− r′

|r− r′|3dV ′

BII =−µ0∇ϕ(r)

ϕ(r) =1

M · r− r′

|r− r′|3dV ′

B(r) =−µ0∇ϕ(r)+µ0M(r)

Potencial escalar y densidad de polo magnético

ϕ(r) =1

M · r− r′

|r− r′|3dV ′

M · r− r′

|r− r′|3= ∇

′ · M|r− r′|

− 1|r− r′|

∇′ ·M

entonces

ϕ(r) =1

ρMdV ′

|r− r′|+

σMdS′

|r− r′|

donde ρM y σM son la densidad de polo magnético dados por

ρM =−∇ ·M y σM = M ·n

el campo B es

B(r) =µ0

ρMr− r′

|r− r′|3dV ′+

σMr− r′

|r− r′|3dS′+µ0M(r)

Fuentes de campo magnético e intensidad magnética

Si existe corriente eléctrica, entonces el campo B en un mediomaterial es

B(r) =µ0

J× (r− r′)|r− r′|3

dV ′−µ0∇ϕ(r)+µ0M(r)

Considerando que la intensidad de campo magnético en el materiales H dado por

H(r) =1

J× (r− r′)|r− r′|3

dV ′−∇ϕ(r) A/m

tenemos

H =1µ0

B = µ0(H+M)

Ley de Gauss y Ampere

La ley de Gauss en medios materiales es expresado por

∇ ·B = 0,∮

SB ·ndS = 0

La ley de Ampere se escribe como

∇×B = µ0(J+JM)

teniendo en cuenta que JM = ∇×M

∇×(

B−M)= J

es decir

∇×H = JIntegrando a través de una superficie y utilizando el teorema deStokes tenemos

H ·dl =∫

SJ ·ndS

Medios magnéticos lineales

Son materiales en las cuales la magnetización es proporcional alcampo magnético H.

M = χmH

donde χm es una constante adimensional llamada susceptibilidadmagnética del material.

La susceptibilidad depende de las propiedades del material:estructura electrónica, atómica, densidad, temperatura, etc. Nodepende del campo aplicado.

En materiales isótropos, χm es una cantidad escalar. Esto implicaque la magnetización es paralela al campo aplicado.

En los materiales magnéticos anisótropos, la susceptibilidad es untensor

χxx χxy χxz

χyx χyy χyz

χzx χzy χzz

de forma que en estos materiales la magnetización no necesariamentees paralela al campo aplicado.

Permeabilidad magnética: En medios lineales el campo Btambién es proporcional al campo magnético H

B = µ0(H+M) = µ0(1+χm)H = µH

a la cantidad µ = µ0(1+χm) se denomina permeabilidad magnéticadel material y a la cantidad

µr = µ/µ0 = 1+χm

es la permeabilidad magnética relativa.

Materiales diamagnéticos: poseen susceptibilidad negativa con|χm| << 1 de modo que µ ≈ µ0. En estos materiales el campoaplicado se reduce debido a la magnetización.

Material 105χm Material 105χm

Bismuto -16.6 Mercurio -2.9Plata -2.6 Carbono (diamante) -2.1

Carbono (grafito) -1.6 Plomo -1.8Cloruro sódico -1.4 Cobre -1.0

Agua -0.91 CO2 -0.0012

Materiales paramagnéticos: tienen susceptibilidad positiva, quehace que la magnetización del material refuerce al campo externoaplicado, en general χm << 1, tal que µ ≈ µ0, sin embargo existencasos con χm alto.

Material 105χm Material 105χm

Gadolinio 48000 Óxido de hierro (FeO) 720Uranio 40 Platino 26

Tungsteno 6.8 Aluminio 2.2Lithium 1.4 Magnesio 1.2Sodio 0.72 Oxígeno gaseoso 0.19

Ferromagnetismo: Un material está dividido en dominios magnéticos,separados por superficies conocidas como paredes de Bloch. Encada uno de estos dominios, todos los momentos magnéticos estánalineados. La relación que tiene la magnetización M con el campoaplicado H es no lineal.

Condiciones de frontera

Las condiciones de contorno que deben verificar los campos B y Hen la superficie de separación entre dos medios se obtienen al utilizarla ley de Gauss del magnetismo y la ley de Ampere resultando

(B2−B1) ·n2 = 0, n2× (H2−H1) = K

Al utilizar la ley de Ampere se obtiene

H2 · l−H1 · l = K · lt

(H2−H1) · l = K · ltsiendo t un vector perpenicular a l = hl, ademas l = t× n2

lt · [n2× (H2−H1)] = K · lt

es decirn2× (H2−H1) = K

Problemas de frontera

En medios donde la corriente eléctrica es nula J = 0, la ley Amperese escribe como ∇×H = 0, que nos permite expresar H en la forma

H =−∇ϕ

en medios magnéticos lineales o uniformemente magnetizadostenemos ∇ ·M = 0, es decir en la ley de Gauss ∇ ·B = 0 tenemos

∇ · (µ0[−∇ϕ +M]) = 0

es decir

∇2ϕ = 0

Problema: Determinar el campo B generado por una esferamagnética de radio a magnetizada uniformemente con M = M0z

La solución de ϕ(r,θ) en r < a es

ϕ1(r,θ) =∞

∑n=0

(Anrn+Bnr−(n+1))Pn(θ)

pero lımr→0

r−(n+1) no está definido, Bn = 0,

ϕ1(r,θ) =∞

∑n=0

AnrnPn(θ)

En r > a tenemos

ϕ2(r,θ) =∞

∑n=0

(Cnrn+Dnr−(n+1))Pn(θ)

debido a que las funciones rn son divergentes, es decir lımr→∞

rn = ∞,

Cn = 0

ϕ2(r,θ) =∞

∑n=0

Dnr−(n+1)Pn(θ)

Para obtener An y Dn usamos las condiciones de frontera H2t = H1t yB2n = B1n

H1 =−∇ϕ1 =−13

M, H2 =−∇ϕ2 =13

r3(2cosθ r+ senθθ)

Problema: Esfera magnética en un campo magnético uniformeDeterminar el campo B generado por una esfera magnética depermeabilidad µ que se encuentra dentro de un campo de inducciónmagnética uniforme B = B0z

La solución de ϕ(r,θ) en r < a es

ϕ1(r,θ) =∞

∑n=0

(Anrn+Bnr−(n+1))Pn(θ)

pero lımr→0

r−(n+1) no está definido, Bn = 0,

ϕ1(r,θ) =∞

∑n=0

AnrnPn(θ)

En r > a tenemos

ϕ2(r,θ) =∞

∑n=0

(Cnrn+Dnr−(n+1))Pn(θ)

Si B = B0z, entonces en r→∞ ϕ2→−B0

µ0r cosθ , es decir C1 =−

así mismo como rn son funciones divergentes en r → ∞ entoncesCn = 0 para n 6= 1

ϕ2(r,θ) =−B0

µ0rP1(θ)+

∑n=0

Dnr−(n+1)Pn(θ)

Usando ahora las condiciones de frontera H2t = H1t y B2n = B1n

Problemas

1. Una esfera magnética de radio R tiene magnetización constanteM0z, determine el campo de inducción magnética B en el centrode la esfera.

2. Un imán cilíndrico de radio R y longitud L se define por medio de0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 2π y 0 ≤ z ≤ L, y tiene una magnetizacióndada por

M0(1− ρ

)z, si 0≤ ρ ≤ R,0≤ φ ≤ 2π,0≤ z≤ L

0 en cualquier otra región

Determine el campo de inducción magnética B en el origen decoordenadas.

3. Dados dos cilindros concéntricos muy largos determine elpotencial vector y la densidad de energia magnética en todo puntodel espacio, determine también la energía total magnética porunidad de longitud, teniendo en cuenta que el primer cilindro esconductor de radio R y conduce una corriente de densidad J = J0zy el segundo conductor es un cilindro magnético hueco de radiointerior R y radio exterior 2R con una magnetización M = M0

donde ρ es la distancia radial de un punto al eje del cilindro y M0

una constante. Considere que el campo de inducción magnética Bes cero en ρ = 0 y el potencial vector A es una función continuaen todo el espacio y toma el valor cero en ρ = 0.

4. Un magneto permanente en a forma de un cilindro de longitud L yradio R es orientada tal que su eje de simetría coincide con el ejez. El origen de coordenadas se encuentra en el centro del magneto.Si el cilindro tiene una magnetización constante M, (a) determineel potencial escalar en puntos sobre el eje z, dentro y fuera delmagneto. (d) use los resultados de la parte (a) para encontrar lainducción magnética Bz en puntos del eje de simetría.

5. Una esfera de material magnético de radio R es ubicado enel origen de coordenadas. La magnetización es dado por M =

(ax2 +b)i, donde a y b son constantes. Determine las densidadesy corrientes de magnetización.

Energía magnética

Para establecer un campo es necesario realizar un gasto de energía.

Si a un circuito eléctrico con resistencia R se aplica una fuente V ,que produce una fem inducida ε , entonces

V + ε = RI

el trabajo que realiza V para mover un incremento de carga dq= Idtes

V dq =V Idt = (RI− ε)Idt = RI2dt− εIdt

de la ley de Faraday εdt =−dΦ, luego

V dq = IdΦ+RI2dtsi no existen pérdidas por efecto Joule

dWb = IdΦ

El trabajo realizado por un agente externoa para alterar el campomagnético de un conjunto de circuitos es

dWb =n

∑i=1

IidΦi

Si los flujos dΦi varían con las corrientes I j

dΦi =n

∑j=1

dΦi j

dI jdI j =

∑j=1

Mi jdI j

Si las corrientes en cada circuito i varían linealmente desde cerohasta las corrientes finales Ii, es decir I′i = αiIi, dΦi = Φidα entonces

∫dWb =

∑i=1

I′iΦi =n

∑i=1

0αdα

∑i=1

∑j=1

Mi jIiI j

Para dos circuitos acoplados

L1I21 +MI1I2+

Para un solo circuito

Φ = LI, U =12

IΦ =12

LI2 =12

Densidad de energía magnética

Φi =∫

B ·ndS =∮

A ·dli

entoncesU =

12 ∑

iIiΦi =

12 ∑

IiA ·dli

sustituyendo Iidli→ JdV y ∑i∮

Ci→∫

V tenemos

J ·AdV

reemplazando ∇×H = J y teniendo en cuenta que ∇ · (A×H) =

H · (∇×A)− (∇×H) ·A se obtiene

∫V[H · (∇×A)−∇ · (A×H)]dV

usando el teorema de la divergencia

H · (∇×A)dV − 12

∫SA×H ·ndS

teniendo en cuenta que ninguno de los circuitos se extiende al infinitoy considerando que la superficie S tiende al infinito, entonces laintegral de superficie anterior es nula. Por tanto, la energía magnéticaen todo el espacio con B = ∇×A es

H ·BdV

definiendo la densidad de energía

H ·B , tal que U =∫

Para un medio lineal e isótropo

µH2 =12

Problema.- Un imán permanente tiene la forma de un cilindrocircular recto de longitud L. Si la magnetización M es uniforme ytiene la dirección del eje del cilindro, encontrar las densidades decorriente de magnetización JM y KM y determinar el campo B en unpunto sobre el eje del imán.

Problema.- Encontrar la distribución de las corrientes de magnetizacióncorrespondientes a una esfera con magnetización uniforme M.Determine el campo de inducción magnética B. Puede utilizar dichainformación para diseñar un devanado, que produzca un campomagnético uniforme dentro de la región esférica.

Problema.- Una esfera magnética de permeabilidad magnética µ

constante y radio R, centrada en el origen tiene una magnetizaciónuniforme M = M0z donde M0 es una constante. Determinar ladensidad de energía y la energía magnética total almacenada en elcampo magnético.

∇2ϕ∗ = 0, H =−∇ϕ

∗, ϕ∗(r,θ) =

∑n=0

(Anrn+Bnr−(n+1)

)Pn(cosθ)

B·H, U =12

∫B ·HdV, P0 = 1, P1 = cosθ , P2 =

12(3cos2

θ−1)

Problema.- Dado una cáscara esférica de radio interior R1 y radioexterior R2, uniformemente magnetizada en la dirección del eje z.Encontrar le energía magnética almacenada.

Problema.- Un elipsoide con ejes principales de longitudes 2a, 2ay 2b, es magnetizada uniformemente en la dirección paralela al eje2b. La magnetización del elipsoide es M0z encontrar la densidad depolos magnéticos.

Problemas

1. Si M =M0

a(−yx + xy) en un cubo de arista a. Suponiendo k0

constante y el medio tiene permeabilidad constante 5µ0 calculela energía magnética almacenada dentro del cubo.

Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuacionesque describen por completo los fenómenos electromagnéticos.La gran contribución de James Clerk Maxwell fue sintetizar lascontribuciones de Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros,introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento,y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo campo:el campo electromagnético.

1. Ley de Gauss de la Electrostática∮SD · ndS =

∫ρdV, ∇ ·D = ρ

2. Ley de Gauss del magnetismo∮SB · ndS = 0, ∇ ·B = 0

3. Ley de Ampere general∮C

H ·dl =∫

∂D∂ t

)· ndS, ∇×H = J+

∂D∂ t

4. Ley de Inducción electromagnética de Faraday∮C

E ·dl =− dd t

∫SB · ndS, ∇×E =− ∂

∂ tB

Generalización de la ley de Ampere

Al considerar la ley de Ampere a través del área S1 tenemos∮C

H ·dl =∫

J · ndS = I

Por otro lado si usamos el área S2 encontramos∮C

H ·dl =∫

J · ndS = 0

Maxwell corrige la incoherencia con la corriente de desplazamiento.

De la ley de Ampere ∇×H = J tenemos ∇ ·J = 0

Pero la conservación de carga exige ∇ ·J+ ∂ρ

∂ t= 0

Para resolver la incoherencia en ∇ · J usamos ∇ · D = ρ quereemplazado en la ecuación de continuidad produce

∇ ·[

J+∂D∂ t

si agregamos∂D∂ t

a J en la ley de Ampere la inconsistenciadesaparece

∇×H = J+∂D∂ t

Energía electromagnética

De las ecuaciones de Maxwell

∇ · (E×H) =−H · ∂B∂ t−E · ∂D

∂ t−E ·J

∇ · (E×H) =− ∂

∂ t12(H ·B+E ·D)−E ·J

Considerando el vector Poynting S = E×H y la densidad de

energía electromagnética u =12(H ·B+E ·D)

∇ ·S+∂u∂ t

=−J ·E

en medios no conductores

∇ ·S+∂u∂ t

Ecuación de onda para E en medios no conductores

∇× (∇×E) =− ∂

∂ t(∇×B)

Sustituyendo ∇×B de acuerdo a la ley de Ampere y aplicandoidentidad del rotacional tenemos:

∇(∇ ·E)−∇2E =− ∂

∂ tµ(J+ ε0

∂E∂ t

En medios no conductores J y ρ son ceros

−∇2E =−µε

∂ 2E∂ t2

Igualando a cero y teniendo que µε =1v2, siendo v la velocidad de

la luz, tenemos

∇2E− 1

∂ 2E∂ t2 = 0

Ecuación de onda para H en el vacío

∇× (∇×H) = ∇× (J+ ε∂E∂ t

Teniendo que J es también cero, nos queda:

∇(∇ ·H)−∇2H = ε

∂ t(∇×E)

Sustituyendo ∇×E de acuerdo a la ley de Faraday e igualando acero, tenemos la ecuación de onda para H es

∇2H− 1

∂ 2H∂ t2 = 0

Onda Electromagnética.- Perturbación (oscilación) de camposeléctricos y magnéticos que no necesitan un medio para propagarse,en el vacío se propaga a c= 3×108 m/s. Transmite energía y cantidadde movimiento.

Problema.- Compruebe si los campos siguientes son camposelectromagnéticos genuinos; es decir si satisfacen las ecuaciones deMaxwell. Suponga que existen en regiones sin carga.

A = 40sen(ωt +10x)z

B =10ρ

cos(ωt−2ρ)φ

2 cotφρ +cosφ

)40sen(ωt)

senθ sen(ωt−5r)θ

Potenciales electromagnéticos

Como ∇ ·B = 0 entonces

B = ∇×A

en la ley de Faraday ∇×[

E+∂A∂ t

]= 0 entonces

E =−∇ϕ− ∂A∂ t

en la ley de Ampere con B = µH y D = εE tenemos

∇×∇×A = µJ+ εµ∂

(−∇ϕ− ∂A

∇(∇ ·A)−∇2A = µJ− εµ∇

(∂ϕ

)− εµ

∂ 2A∂ t2

−∇2A+∇

(∇ ·A+ εµ

)+ εµ

∂ 2A∂ t2 = µJ

Considerando la condición de Lorentz ∇ ·A+ εµ∂ϕ

∂ t= 0

∇2A− εµ

∂ 2A∂ t2 =−µJ

en la ley de Gauss ε∇ ·(−∇ϕ− ∂A

)= ρ , con ∇ ·A =−εµ

∇2ϕ− εµ

∂ 2ϕ

∂ t2 =−ρ

Las soluciones formales de las ecuaciones de Poisson para lospotenciales electromagnéticos A y ϕ son:

J(r′, t ′)|r− r′|

dV ′ ϕ =1

ρ(r′, t ′)|r− r′|

dV ′

siendo t ′ = t−|r− r′|/c el tiempo de retardo.

Indice de refracción.- se define como la razón de la velocidad cde propagación de la luz en el vacío a la velocidad v de la luz en elmedio:

√εµ

ε0µ0

Ondas monocromáticas

OEM con una sola frecuencia cuyo campo eléctrico es

E(r, t) = E(r)e− jωt, H(r, t) = H(r)e− jωt

Las ecuaciones de Maxwell son(

∂ t→− jω

)∇ ·D = ρ

∇ ·B = 0∇×E = jωB∇×H = J− jωD

Ecua. de onda espacial de E en un medio no conductor

∇2E+ω

2εµE = 0

Si la OEM se propaga en la dirección de eje z

d2E(z)dz2 + k2E(z) = 0

con k = ω√

εµ =ω

vnúmero de onda. Luego

E(z) = E0e± jkz , → E(z, t) = E0e− j(ωt±kz)

cuando se realizan las mediciones experimentales la OEM es

E(z, t) = E0 cos(ωt± kz) , E(z, t) = E0 cosω

(t± z

Ondas planas monocromáticas

En un medio no conductor la Ec. de onda para E es ∇2−εµ∂E∂ t

= 0,cuya solución se expresa como

E(r, t) = E0e− j(ωt−k·r)

donde k = ku = nω

cu es el vector de propagación, u un vector

unitario en la dirección de propagación. Además el frente de onda(planos) en un instante de tiempo t es dado por ωt−k ·r = constante.

H(r, t) = H0e− j(ωt−k·r)

En las ecuaciones de Maxwell con∂

∂ t= − jω y ∇ = jk, D = εE,

B = µH tenemos

k ·D = 0 → k ·E = 0

k ·B = 0 → k ·H = 0

k×E = ωB → H =k×Eωµ

k×H =−ωD → E =−k×Hωε

Problema.- El campo eléctrico de una onda plana en un mediono conductor es dado por E(r, t) = E0e− j(ωt−k·r), determine el vectorPoynting S promedio y la Intensidad de flujo de energía quetransporta la OEM, definida como el módulo del valor medio de S(potencia media por unidad de área).

Problema.- El campo eléctrico en el vacío es dado por

E = 50cos(108t +βx)yV/m

(a) Halle la dirección de la propagación de la onda, (b) Calcule β y eltiempo que tarda en recorrer una distancia de λ/2, (c) Trace la ondaen t = 0, T/4 y T/2, (d) Halle el campo magnético y (e) la intensidadde energía.

Problema.- La componente del campo magnético de una ondaplana en un dieléctrico sin pérdidas es

H = 30sen(2π×108t−5x)z

(a) Si µr = 1 halle εr, (b) Calcula la longitud de onda y la velocidadde onda. (c) Determine la impedancia de la onda. (d) Halle el campoeléctrico y (e) halle el vector Poynting Promedio.

Problema.- Una onda plana uniforme que viaja en el un mediodieléctrico de permitividad eléctrica ε = 1.5ε0 en la dirección del ejez positivo tiene asociado un campo magnético de amplitud H0 = 1/π

A/m, dirigido en la dirección dada por el vector x+ y. La frecuenciade la onda es de 100 MHz, determine (a) el vector de propagación(b) los campos eléctrico y magnético, (c) el vector Poynting y (d) laintensidad de energía transmitida.

Polarización de OEM

Si el campo eléctrico es de la forma: E = E0 · e− j(ωt−k·r), cuandola onda viaja en la dirección del eje z la amplitud de la onda, E0, sedescompone como suma de dos vectores

E0 = E0x · e jθ1x+E0y · e jθ2 · y

La polarización depende de la diferencia θ1 − θ2 y según elresultado se tendrá:

Polarización lineal.- si la diferencia es 0 o un múltiplo entero(positivo o negativo) de π .

Polarización circular.- si la diferencia es un múltiplo entero impar(positivo o negativo) de π

2 . En este caso se cumple, además, queE0x = E0y.

En el resto de casos se producirá polarización elíptica.

En el caso de polarización elíptica, el sentido de giro de lapolarización de la onda depende de la diferencia θ1−θ2

Si θ1−θ2 < 0 se trata de polarización elíptica levógira ó helicidadnegativa.

Si θ1−θ2 > 0 se trata de polarización elíptica dextrógira ó helicidadpositiva.

Ondas en medios disipativos

En un medio disipativo la OEM pierde potencia al propagarse acausa de una conducción deficiente. Es decir es un medio en el queσ 6= 0, donde consideramos ρ = 0 de modo que las ecuaciones deMaxwell en el dominio de las frecuencias con E(r, t) = E(r)e− jωt,D = εE y B = µH es

∇ ·E = 0∇ ·H = 0

∇×E = jωµH∇×H = (σ − jωε)E

Ecuación de onda para E

∇×∇×E = jωµ∇×H

∇(∇ ·E)−∇2E = jωµ(σ − jωε)E

∇2E+ γ

2E = 0con γ2 = jωµ(σ − jωε).

Así mismo para H tenemos ∇2H+ γ2H = 0.

Considerando que γ = α + jβ y reemplazando en γ2 se tiene

α2+ j2αβ −β

2 = jωµσ +ω2µε

α2−β

2 = ω2µε 2αβ = ωµσ

resolviendo

α = ω

√√√√µε

[√1+[

]2−1

β = ω

√√√√µε

[√1+[

Si la OEM viaja a lo largo del eje z entonces E = E(z)d2

dz2E− γ2E = 0 → E(z) = E0e±γz

E(z, t) = E0e−αz cos(ωt−β z)

Profundidad pelicular δ =1α

, impedancia η =

√jωµ

σ + jωε.

En un buen conductor σ ωε es decir σ ' ∞, ε = ε0 y µ = µ0µr,entonces

α = β =

√ωµσ

2, η =

√ωµ

de modo que E se adelanta a H en 45°.

Reflexión y refracción de OEM

Cuando una OEM que se propaga en un medio de característicasµ1, ε1 pasa a otro medio con µ2 y ε2 el campo eléctrico E y el campomagnético H deben verificar las condiciones de frontera

n2× (E2−E1) = 0, (D2−D1) ·n2 = σ

n2× (H2−H1) = K, (B2−B1) ·n2 = 0

Ei = E0ie− j(ωit−ki·r), Er = E0re− j(ωrt−kr·r), Et = E0te− j(ωtt−kt ·r)

La condición n2× (E2−E1) = 0 exige123

[E0ie− j(ωit−ki·r)+E0re− j(ωrt−kr·r)

]tangente

=[E0te− j(ωtt−kt ·r)

]tangente

Donde la frecuencia ωi de la onda incidente se conserva, es decirωi = ωr = ωt = ω . Así mismo si las fases de todas las OEM en lafrontera son iguales entonces

k1 senθi = k1 senθr = k2 senθt

k1 = ki = kr =n1ω

c, k2 =

centonces

θi = θr , n1 senθi = n2 senθt

Incidencia normal en medios no conductores

Sea el medio 1 de incidencia z < 0 y el medio 2 de refracción z > 0,en incidencia normal la OEM viaja en la dirección paralela al eje z

Ei = E0ixe− j(ωt−k1z), Er = E0rxe− j(ωt+k1z), Et = E0t xe− j(ωt−k2z)

µ1 = µ2 = µ0, k1 = ω√

ε1µ1, k2 = ω√

ε2µ2

Los coeficientes de reflexión r y de transmisión t son:

r =E0r

n1−n2

n1+n2; t =

La Reflectancia R que es definido como la fracción del flujo deenergía incidente que es reflejada es

R =〈Sr〉〈Si〉

(n1−n2

La Transmitancia T que representa el flujo de energía incidente quees transmitida es

T =〈St〉〈Si〉

Incidencia oblicua entre medios no conductores (polarizaciónparalela)

medio de incidencia 1 (z < 0) y medio de refracción 2 (z > 0),plano de incidencia y = 0.

Ei = E0ie− j(ωt−ki·r), Er = E0re− j(ωt−kr·r), Et = E0te− j(ωt−kt ·r)

E0i = E0i(icosθi− k senθi), E0r = E0r(icosθr + k senθr)

E0t = E0t(icosθt− k senθt)

r =E0r

ε1 senθi cosθt− ε2 senθt cosθi

ε2 senθt cosθi+ ε1 senθi cosθt

t =E0t

2ε1 senθi cosθt

ε2 senθt cosθi+ ε1 senθi cosθt

R =〈Sr〉n〈Si〉n

, T =〈St〉n〈Si〉n

Incidencia oblicua entre medios no conductores (polarizaciónperpendicular)

Reflexión en un plano conductor (incidencia normal)

Sea la onda incidente y reflejada en un medio no disipativo

Ei = E0ixe− j(ωt−k1z), Er = E0rxe− j(ωt+k1z)

y la onda refractada en el medio conductor

Et = E0t xe− j(ωt−γ2z)

γ2 = α2+ jβ2 =√

ω2ε2µ2+ jωg2µ2

α2 =∓ω√

ε2µ2

[12∓ 1

√1+(g2/ω2ε2)

, β =ωqµ2

1− (γ2/ωµ2)√

µ1/ε1

1+(γ2/ωµ2)√

µ1/ε1

21+(γ2/ωµ2)

√µ1/ε1

Reflexión total interna.- Ocurre cuando n1 > n2

senθc =n2

n1, θc = ángulo crítico

Guías de Onda

Medio dieléctrico que permite transmitir energía electromagnéticade un punto a otro. Se utiliza generalmente a altas frecuencias(frecuencias ópticas), en las que las líneas de transmisión no soneficientes.

Campos en una guía de onda

Dada una guía de onda con eje paralelo al eje z, de modo que

E(r, t) = ξ (x,y)e− j(ωt−kgz), H(r, t) = ℵ(x,y)e− j(ωt−kgz)

ξ (x,y) = ξx(x,y)x+ξy(x,y)y+ξz(x,y)zℵ(x,y) = ℵx(x,y)x+ℵy(x,y)y+ℵz(x,y)z

k0 =nω

λ0número de onda en el medio dieléctrico

kg =2π

λgconstante de propagación de la guía de onda

λg longitud de onda de la guía de onda.

Entonces las ecuaciones de Maxwell se reescriben como:

∇ ·E = 0 =⇒ ∂ξx

∂ξy

∂y+ jkgξz = 0

∇ ·H = 0 =⇒ ∂ℵx

∂ℵy

∂y+ jkgℵz = 0

∇×E =−µ∂H∂ t

∂ξz

∂y− jkgξy = jωµℵx

jkgξx−∂ξz

∂x= jωµℵy

∂ξy

∂x− ∂ξx

∂y= jωµℵz

∇×H = ε∂E∂ t

∂ℵz

∂y− jkgℵy =− jωεξx

jkgℵx−∂ℵz

∂x=− jωεξy

∂ℵy

∂x− ∂ℵx

∂y=− jωεξz

De las ocho ecuaciones resultantes de las ecuaciones de Maxwelldespejamos ξx, ξy, ℵx y ℵy en función de ξz y ℵz

ξx =j

∂ξz

∂x+ωµ

∂ℵz

)ξy =

∂ξz

∂y−ωµ

∂ℵz

)ℵx =

(−ωε

∂ξz

∂y+ kg

∂ℵz

ℵy =j

∂ξz

∂x+ kg

∂ℵz

)∂ 2ξz

∂x2 +∂ 2ξz

∂y2 + k2cξz = 0

∂ 2ℵz

∂x2 +∂ 2ℵz

∂y2 + k2cℵz = 0

k2c = k2

0− k2g ⇒ kg =

0− k2c

Los modos de propagación permitidos se obtienen cuando kg es real,si kg es imaginario entonces las OEM que se propagan a través de laguía de onda sufren atenuación.

Modo de propagación transversal eléctrico TE

El campo eléctrico no tiene componente en el eje z

ξz = 0 y ℵz 6= 0

∂ 2ℵz

∂x2 +∂ 2ℵz

∂y2 + k2cℵz = 0

Modo de propagación transversal magnético TM

El campo magnético no tiene componente en el eje z

ξz 6= 0 y ℵz = 0

∂ 2ξz

∂x2 +∂ 2ξz

∂y2 + k2cξz = 0

Modo transversal electromagnético TEM

ξz = 0 y ℵz = 0

Guías de Onda Slab

Propagación por reflexión múltiple → genera modos diferentes aTEM |ku|= |kd|= k = ω

√µε

ξx =j

∂ξz

∂x, ξy =−

∂ℵz

ℵx =j

∂ℵz

∂x, ℵy =

∂ξz

∂x∂ 2ξz

∂x2 + k2cξz = 0,

∂ 2ℵz

∂x2 + k2cℵz = 0

Modos TE y TM en guias de onda SLAB con paredesconductoras

Modo TE ξz = 0 y ℵz 6= 0

∂ 2ℵz

∂x2 + k2cℵz = 0 solución ℵz(x) = Acoskcx+Bsenkcx

ξy =−j

k2cωµ

∂ℵz

kc(Asenkcx−Bcoskcx)

Usando las condiciones de frontera ξy(0) = 0 tenemos B = 0 y siξy(a) = 0 entonces

senkca = 0 kc =mπ

a, m = 0,1,2, . . .

√(nω

)2−(mπ

ξy =jωµ

kcAsenkcx Ey(r, t) =

kcAsenkcxe− j(ωt−kgz)

ℵx =jkg

∂ℵz

kcAsenkcx

ℵy =jωε

∂ξz

∂x= 0

ℵz(x) = Acoskcx

Modo TM ξz 6= 0 y ℵz = 0

∂ 2ξz

∂x2 + k2cξz = 0 solución ξz(x) = Acoskcx+Bsenkcx

Usando las condiciones de frontera ξz(0) = 0 tenemos A = 0 y siξz(a) = 0 entonces

senkca = 0 kc =nπ

a, m = 0,1,2, . . .

√(nω

)2−(mπ

ξz = Bsenkcx ξx =jkg

kcBcoskcx ξy = 0

ℵy =jωε

∂ξz

kcBcoskcx

Guías de onda rectangulares

∂ 2ψ

∂x2 +∂ 2ψ

∂y2 + k2cψ = 0, ψ(x,y) = X(x)Y (y)

d2Xdx2 =−1

Yd2Ydy2 − k2

c = k21

d2Xdx2 + k2

1X = 0,d2Ydy2 + k2

2Y = 0, k2c = k2

1 + k22

ψ(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(C senk2y+Dcosk2y)

Modo TE ξz = 0 y ℵz 6= 0

ℵz(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(C senk2y+Dcosk2y)

ξx =jωµ

∂ℵz

jωµk2

(Asenk1x+Bcosk1x)(C cosk2y−Dsenk2y)

ξy =−jωµ

∂ℵz

∂x=− jωµk1

(Acosk1x−Bsenk1x)(C senk2y+Dcosk2y)

considerando que las componentes tangenciales del campo eléctricoson nulos en las fronteras

ξx(x,0) = 0 ⇒ C = 0

ξy(0,y) = 0 ⇒ A = 0143

ℵz(x,y) = BDcos(k1x)cos(k2y)

ξx =−jωµk2

BDcos(k1x)sen(k2y)

ξy =jωµk1

BDsen(k1x)cos(k2y)

ξx(x,b) = 0 ⇒ k1 =mπ

bm = 0,1,2,3, . . .

ξy(a,y) = 0 ⇒ k2 =pπ

ap = 0,1,2,3, . . .

Condición para modos de propagación permitidos

√(nω

)2−π2

ξx =−jωµ

)H0 cos

sen(pπ

ξy =jωµ

)H0 sen

cos(pπ

ξz = 0

ℵz(x,y) = H0 cos(mπ

cos(pπ

ℵx =−jkg

)H0 sen

cos(pπ

ℵy =−jkg

)H0 cos

sen(pπ

Modo TE10

Modo TM ξz 6= 0 y ℵz = 0

ξz(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(C senk2y+Dcosk2y)

considerando que ξz es cero en las fronteras

ξz(0,y) = 0 ⇒ B = 0

ξz(x,0) = 0 ⇒ D = 0

ξz(x,y) = AC sen(k1x)sen(k2y)

ξz(a,y) = 0 ⇒ k1 =mπ

am = 0,1,2,3, . . .

ξy(x,b) = 0 ⇒ k2 =pπ

bp = 0,1,2,3, . . .

ξx =jkg

∂ξz

∂x, ξy =

∂ξz

ℵx =−jωε

∂ξz

∂y, ℵy =

∂ξz

Condición para modos de propagación permitidos

√(nω

)2−π2

Componentes de los campos eléctrico y magnético

ξx =jkg

)cos(mπ

sen(pπ

ξy =jkg

)sen(mπ

cos(pπ

)ξz = E0 sen

sen(pπ

ℵx =−jωε

)sen(mπ

cos(pπ

)ℵy =

)cos(mπ

sen(pπ

)ℵz = 0

Modo TM10

Problema.- Una guía de ondas rectangular con vacío en su interiortiene a = 8 cm y b = 6 cm. Si dentro de la guía se propaga unaonda cuya frecuencia es ν = 4× 109 Hz, ¿cuales son los modospermitidos?

Problema.- Considerar una guía de onda de sección cuadrada.¿Qué condiciones debe satisfacer el lado a para que sea posible quese propague un modo T E10 pero no uno T E11, T M11 o cualquiera deorden superior?

Problema.- Para un modo T E10 en una guía rectangular: (a)encontrar 〈u〉, (b) encontrar 〈S〉 (c) encontrar los promedios conrespecto al espacio 〈〈u〉〉 y 〈〈S〉〉, integrando los resultados anteriorespara los promedios con respecto al tiempo sobre la sección de la guía.

Problema.- Encontrar la superposición de una onda T Emn y unaonda T Mmn en una guía rectangular, que hace que E sea transversala la dirección y, es decir Ey = 0 mientras que todas las demáscomponentes de E y de H son diferentes de cero.

Guías de onda circulares

Dada una guía de onda circular con eje paralelo al eje z, de modoque

E(r, t) = ξ (r,φ)e− j(ωt−kgz), H(r, t) = ℵ(r,φ)e− j(ωt−kgz)

ξ (r,φ) = ξr(r,φ)r+ξφ(r,φ)φ +ξz(r,φ)zℵ(r,φ) = ℵr(r,φ)r+ℵφ(r,φ)φ +ℵz(r,φ)z

∇ ·E = 0 =⇒ 1r

∂ (rξr)

∂ r+

∂ξφ

∂φ+ jkgξz = 0

∇ ·H = 0 =⇒ 1r

∂ (rℵr)

∂ r+

∂ℵφ

∂φ+ jkgℵz = 0

∇×E =−µ∂H∂ t

∂ξz

∂φ− jkgξφ = jωµℵr

jkgξr−∂ξz

∂ r= jωµℵφ

∂ (rξφ)

∂ r− 1

r∂ξr

∂φ= jωµℵz

∇×H = ε∂E∂ t

∂ℵz

∂φ− jkgℵφ =− jωεξr

jkgℵr−∂ℵz

∂ r=− jωεξφ

∂ (rℵφ)

∂ r− 1

r∂ℵr

∂φ=− jωεξz

De las ocho ecuaciones resultantes de las ecuaciones de Maxwelldespejamos ξr, ξφ , ℵr y ℵφ en función de ξz y ℵz

ξr =j

∂ξz

∂ r+

r∂ℵz

)ξφ =

r∂ξz

∂φ−ωµ

∂ℵz

)ℵr =

(−ωε

r∂ξz

∂φ+ kg

∂ℵz

)ℵφ =

∂ξz

∂ r+

r∂ℵz

(r∂ξz

∂ 2ξz

∂φ 2 + k2cξz = 0

(r∂ℵz

∂ 2ℵz

∂φ 2 + k2cℵz = 0

k2c = k2

0− k2g ⇒ kg =

0− k2c

Los modos de propagación permitidos se obtienen cuando kg es real,si kg es imaginario entonces las OEM que se propagan a través de laguía de onda sufren atenuación.

Modo de propagación transversal eléctrico TE

El campo eléctrico no tiene componente en el eje z

ξz = 0 y ℵz 6= 01r

(r∂ℵz

∂ 2ℵz

∂φ 2 + k2cℵz = 0

Modo de propagación transversal magnético TM

El campo magnético no tiene componente en el eje z

ξz 6= 0 y ℵz = 01r

(r∂ξz

∂ 2ξz

∂φ 2 + k2cξz = 0

Modo transversal electromagnético TEM

ξz = 0 y ℵz = 0

(r∂ψ

∂ 2ψ

∂φ 2 + k2cψ = 0

Por separación de variables ψ(r,φ)=R(r)Φ(φ), entonces reemplazando

y multiplicado porr2

RΦse tiene

(rdRdr

)+(kcr)2 =− 1

dφ 2 = m2

dφ 2 +m2Φ = 0, Φ(φ) = cos(mφ),sen(mφ),e− jmφ ,e+ jmφ

Considerando que Φ(φ) = Φ(φ +2π) tenemos

sen(m(φ +2π))= sen(mφ)cos(2mπ)+cos(mφ)sen(2mπ)= sen(mφ)158

cos(2mπ) = 1, 2mπ = 0,2π,4π, . . .

por tanto m es un número entero.

Por otro lado R(r) verifica la ecuación de Bessel de orden m

(rdRdr

)+[(kcr)2−m2]= 0

Solución R(r) = Jm(kcr),Nm(kcr), es decir

R(r) =CnJm(kcr)+DnNm(kcr)

Jm(kcr) es la función de Bessel de orden m del primer tipo.

Nm(kcr) es la función de Bessel de orden m del segundo tipo.

Jm(x) =∞

∑k=0

(−1)k

k!Γ(k+m+1)

Nα(x) =Jα(x)cos(απ)− J−α(x)

sin(απ), ∀α /∈ Z

Nm(x) = lımα→m

Nα(x), ∀m ∈ Z

Para una guía de onda circular de radio a, tenemos que en r < a elcampo debe ser finito, pero en r = 0, tenemos que

lımr→0

Nm(r) no existe

entonces

ψ(r,φ) = Jm(kcr) [Am sen(mφ)+Bm cos(mφ)]

ademas

Am sen(mφ)+Bm cos(mφ) =√

A2+B2 cos(

mφ + tan−1(

ψ(r,φ) = ψ0Jm(kcr)cos(mφ)

Modos transversal eléctrico TEmp (ξz = 0 y ℵz 6= 0)

m número de ciclos de λ en dirección φ en 2π radianes.

p número de ceros del campo ξφ en dirección radial, excluyendo elorigen.

ℵz = H0Jm(kcr)cos(mφ)

condiciones de borde ξφ(a,φ) = 0 campo eléctrico tangencial nuloy ℵr(a,φ) = 0 campo magnético radial.

ξr =jωµ

∂ℵz

∂φξφ =− jωµ

∂ℵz

ℵr =jkg

∂ℵz

∂ rℵφ =

∂ℵz

Si ξφ(a,φ) = 0 entonces

∂ℵz

∣∣∣∣r=a

es decirJ′m(kca) = 0

Los valores permitidos de kc se determinan a partir de los ceros deJ′m(kca) = 0

Modos transversal magnético TMmp (ξz 6= 0 y ℵz = 0)

ξz = E0Jm(kcr)cos(mφ)

condiciones de borde ξz(a,φ) = 0 entonces

Jm(kca) = 0

Los valores permitidos de kc se determinan a partir de los ceros deJm(kca) = 0

k J0(x) J1(x) J2(x) J3(x) J4(x) J5(x)1 2.4048 3.8317 5.1356 6.3802 7.5883 8.77152 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610 11.0647 12.33863 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152 14.3725 15.70024 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235 17.6160 18.98015 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094 20.8269 22.2178

k J′0(x) J′1(x) J′2(x) J′3(x) J′4(x) J′5(x)1 3.8317 1.8412 3.0542 4.2012 5.3175 6.41562 7.0156 5.3314 6.7061 8.0152 9.2824 10.51993 10.1735 8.5363 9.9695 11.3459 12.6819 13.98724 13.3237 11.7060 13.1704 14.5858 15.9641 17.31285 16.4706 14.8636 16.3475 17.7887 19.1960 20.5755

Cavidades Resonantes

Región (volumen) totalmente encerrado por paredes perfectamenteconductoras

ψ(r, t) = ψ0(r)e− jωt∇

2ψ0+ k2

0ψ0 = 0

ψ0(r) = X(x)Y (y)Z(z)

X(x) = A1 senk1x+B1 cosk1x

Y (y) = A2 senk2x+B2 cosk2x

Z(z) = A3 senk3x+B3 cosk3x

k20 = k2

1 + k22 + k2

haciendo que las componentes tangentes a las superficies son nulastenemos:

k1 =mπ

a, k2 =

b, k3 =

Ex = (A′1 senk1x+B′1 cosk1x)senk2ysenk3ze− jωt

Ey = senk1x(A′2 senk2y+B′2 cosk2y)senk3ze− jωt

Ez = senk1xsenk2y(A′3 senk3z+B′3 cosk3z)e− jωt

Ecuación de posibles frecuencias de oscilación en la cavidad

)2= π

Si cualquiera de los enteros m, n o p son ceros todas lascomponentes de E son ceros.

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