Electromagnetismo y ondas

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Campo el´ ectrico Luis Enrique Paniagua Guerra 26/09/2014 1 En la figura 1, dos cargas puntuales fijas q 1 = +1.0x10 -6 C y q 2 = +3.0x10 -6 C est´ an separadas por una distancia d = 10cm. Grafique su campo el´ ectrico neto E(x) como funci´ on de x para valores positivo y negativo de x, tomando E como positivo cuando el vector ~ E apunte a la derecha y negativo cuando ~ E apunte a la izquierda. Figure 1: Problema 1 y 2 E = q 4πε 0 r 2 (1) Table 1: Campo el´ ectico E(x) x(cm) ~ Ex 1 (x)(N/C) ~ Ex 2 (x)(N/C) ~ Ex(x)(N/C) -10 -0.899x10 6 -0.674x10 6 -1.573x10 6 -9 -1.11x10 6 -0.746x10 6 -1.856x10 6 -8 -1.404x10 6 -0.832x10 6 -2.236x10 6 -7 -1.834x10 6 -0.933x10 6 -2.767x10 6 -6 -2.497x10 6 -1.053x10 6 -3.55x10 6 -5 -3.595x10 6 -1.198x10 6 -4.793x10 6 1

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Problemas de la UDA Electromagnetismo y Ondas, resueltos, del tema de campos eléctricos producidos por cargas puntuales, obtenidos del libro de Física, Serway.

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Campo electricoLuisEnriquePaniaguaGuerra26/09/20141 Enla gura 1, dos cargas puntuales jas q1=+1.0x106Cyq2=+3.0x106Cestanseparadasporunadistanciad=10cm. GraquesucampoelectriconetoE(x)comofunciondexparavalorespositivoynegativodex,tomandoEcomopositivocuandoel vector

Eapuntealaderechaynegativocuando

Eapuntealaizquierda.Figure1: Problema1y2E=q40r2(1)Table1: CampoelecticoE(x)x(cm)

Ex1(x)(N/C)

Ex2(x)(N/C)

Ex(x)(N/C)10 0.899x1060.674x1061.573x1069 1.11x1060.746x1061.856x1068 1.404x1060.832x1062.236x1067 1.834x1060.933x1062.767x1066 2.497x1061.053x1063.55x1065 3.595x1061.198x1064.793x10614 5.617x1061.375x1066.992x1063 9.986x1061.595x10611.581x1062 22.468x1061.872x10624.34x1061 89.876x1062.228x10692.104x1060 2.696x1061 89.876x1063.329x10686.547x1062 22.468x1064.213x10618.255x1063 9.986x1065.503x1064.483x1064 5.617x1067.49x1061.873x1065 3.595x10610.785x1067.19x1066 2.497x10616.852x10614.355x1067 1.834x10629.959x10628.125x1068 1.404x10667.407x10666.003x1069 1.11x106269.627x106268.517x10610 0.899x106 11 0.743x106269.627x106270.37x10612 0.624x10667.407x10668.031x10613 0.531x10629.959x10630.49x10614 0.459x10616.852x10617.311x10615 0.399x10610.785x10611.184x10616 0.351x1067.49x1067.841x10617 0.311x1065.503x1065.814x10618 0.277x1064.213x1064.49x10619 0.249x1063.329x1063.578x10620 0.225x1062.696x1062.921x1062Figure2: CampoelectriconetoE(x)Figure3: CampoelectriconetoE(x)3Figure4: CampoelectriconetoE(x)2 Enlagura1, doscargaspuntualesjasq1= 5q yq2=+2q estanseparadasporunadistanciad. Localiceel punto(opuntos)dondeel campoelectriconetodebidoalasdoscargasseacero. b)Traceenformacualitativalaslneasdelcampoelectriconeto.a)Elcampoelectriconetoescerocercadelacargamaspequea,ycomolascargastienesignoopuestopodemosdeducirqueel campoeectriconetonoesceroentrelasdoscargas, porloqueel campoelectriconetoconvalorcerosedebeencontraraladerechadelacargaq2.A la derecha de la carga q2, el campo electrico generado por q1, E1 es negativoendirecciondelejex,yelcampoelectricogeneradoporq2,E2espositivo,porloqueexisteunpuntoalolargodel ejexcuyacoordenadaxrespondealasiguienteecuacioncuandoelcampoelectriconetoescero:q140(x)2+q240(x d)2= 0 (2)2q40(x d)2=5q40(x)2(3)2x2= 5x210xd + 5d2(4)3x210xd + 5d2= 0 (5)(x 5 +103d)(x 5 103d) = 0 (6)x1= 2.7208d (7)x2= 0.6126d (8)El puntocuyacoordenadaesx2seencuentraalaizquierdadelacargaq2porloqueestevalordexquedadescartado. Elpuntodondeelcampoelectrico4netoesceroalolargodelejexescuandox = 2.7208d.b)Figure5: LineasdelCampoElectricoNeto3 Cualessonlamagnitudydirecciondelcampoelectricoenelcentrodelcuadradodelagura6siq= 1.0x108Cya = 5.0cm?Figure6: Problema3Los vectores de los campos electricos producidos por las cargas que se encuen-tran en las esquinas del cuadrado, se dirigen hacia el centro con una inclinacionde45. Ladistanciadecadacargaalcentrodelcuadradoes:r =

2(a/2)2=

2(2.5cm)2= 3.5355cm (9)Para obtener el vector del campo electrico neto descomponemos los vectoresdecadacampoelectricoensus componentes. Seaq1lacargadelaesquinasuperiorizquierda,q2lacargadelaesquinainferiorizquierda,q3lacargadelaesquinainferiorderechayq4lacargadelaesquinasuperiorderecha, consusrespectivoscamposelectricos

E1, E2, E3y E4:Ex= Ex1 + Ex2 + Ex3 + Ex4(10)5Ex1=2(1x108)80(3.5355x102)2= 50.8422x103N/C (11)Ex2= 2(1x108)80(3.5355x102)2= 50.8422x103N/C (12)Ex3= 2(1x108)40(3.5355x102)2= 101.6845x103N/C (13)Ex4=2(1x108)40(3.5355x102)2= 101.6845x103N/C (14)Ex= 0 (15)Deigualmanera:Ey= Ey1 + Ey2 + Ey3 + Ey4(16)Ey1= 2(1x108)80(3.5355x102)2= 50.8422x103N/C (17)Ey2= 2(1x108)80(3.5355x102)2= 50.8422x103N/C (18)Ey3=2(1x108)40(3.5355x102)2= 101.6845x103N/C (19)Ey4=2(1x108)40(3.5355x102)2= 101.6845x103N/C (20)Ey= 101.6845x103N/C (21)Debidoalasimetradelascargasel campoelectriconetoenel centrodelcuadradoes0

E= 0 + 101.6845x103N/C (22)4 UnadelgadabarranoconductoradelongitudnitaLtieneunacargaqdistribuidademanerauniformeentodasulongitud. Demuestreque:E=q20y(L2+ 4y2)1/2(23)dalamagnitudEdel campoelectricoenel puntoPsobreel bisectorperpen-diculardelabarra(gura7)6Figure7: Problema4Figure8: DiagramadelProblema4Ladistanciadelacargaalabarraestadadoporlaexpresion:r =

x2+ y2(24)Altenerunadistribucionlinealdecargauniformepodemosdecirque: =qL=dqdl(25)El diferencial de longitud dlpodemos sustituirlo por un dx. De esta manerapodemosdenirnuestrodiferencialdecargacomo:dq=qdxL(26)Otro punto importante es que por simetra la componente del campo electricoenxes0,porloquesoloquedaresolvernuestroproblemaparalacomponenteeny,yparaellosabemosque:Ey= Ecos (27)cos =y(x2+ y2)1/2(28)7Ey= Ey(x2+ y2)1/2(29)Paralaresoluciondel problemaesnecesariodenirnuestrodiferencial decampoelectrico:dE=dq40(x2+ y2)(30)dE=qdx40L(x2+ y2)(31)Puesto que solo buscamos la componente en y, nuestro diferencial pasa a serundEy,yparaello:dEy= dEy(x2+ y2)1/2(32)dEy=qydx40L(x2+ y2)3/2(33)Ey=qy40L

L/2L/2dx(x2+ y2)3/2(34)Utilizamossustituciontrigonometricapararesolverlaintegral:x = ytan (35)dx = ysec2d (36)

x2+ y2= ysec (37)Ey=qy40L

arctan(L/2y)arctan(L/2y)ysec2dy3sec3(38)Ey=q40yL

arctan(L/2y)arctan(L/2y)cosd (39)Ey=q40yLsinarctan(L/2y)arctan(L/2y)(40)Ey=q40yLx(x2+ y2)1/2L/2L/2(41)Ey=q40yL(L/2(L2/4 + y2)1/2 L/2(L2/4 + y2)1/2) (42)Ey=q40yL(L1/2(L2+ 4y2)1/2) (43)Ey=q20y(L2+ 4y2)1/2(44)8