Electromagnetismo II

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ING ELECTRONICA E INSTRUMENTACION ELECTROMAGNETISMO II QUINTO A

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  • ING ELECTRONICA E

    INSTRUMENTACION

    ELECTROMAGNETISMO II

    QUINTO A

  • 1. Demuestre que Exs = Aej(k0z+) es una solucin de la ecuacin vectorial de Helmholtz, ecuacin (30), para k 0= 0_0 y cualquier valor de y A. Exs = Aej(k0z+)

    =20+

    2

    = (0)20+

    = 0

    2

    2. Una onda plana uniforme de 100 MHz se propaga en un medio sin prdidas

    para el cual = 5 = 1. Encuentre: a) ; b) ;c) ;d) ;e) ;f)

    a) : =

    =

    3 108

    5= 1.34 108

    b) : =

    = (

    2 108

    1.34 108) = 4.691

    c) : = 2

    = 1.34

    d) = 0 =

    0

    1694.69 /

    e) =/ =377

    5= 169

    = (0) =

    0169

    4.69

    f) = (1

    2) {

    } = (0

    2

    337) /

    2

    3. Un campo H en el espacio libre est dado por H (x, t) = 10 cos (108t x) ay

    A/m.

    Encuentre: a) ; b) ; c) (x, t) en P (0.1, 0.2, 0.3) en t = 1 ns.

    a)

    : Ya que tenemos una onda plana uniforme, = /, donde identificamos

    = 1081. Thus

    =108

    3108= 0.33

  • b) : Sabemos =2

    = 18.9

    c) (, ) en P(0.1, 0.2, 0.3) en t=1 ns: Usamos (, ) = 0(, ) =

    (377)(10) cos(108 ) = 3.77 108 cos(108 ). El vector direccin

    de

    E ser , ya que es necesario que S=ExH, Donde S es - dirigido. En el punto

    dado, la coordenada correspondiente es = 0.1. Usando esto, junto con =

    109 , Finalmente obtenemos:

    (, ) = 3.77 103 cos[(108)(109) (0.33)(0.1)]

    = 3.77 103cos(6.7 102) = 3.76 103 /

    4. Dados E (z, t) = E 0ez sen (t z)ax y = || e

    j, encuentre: a) Es; b) Hs;

    c) S .

    a) Usando la identidad de Euler para el seno, nosotros podemos escribir el campo dado de la forma:

    Por lo tanto identificamos el factor de la forma:

    b) Con el viaje en la direccin positiva del eje z, y con Es a lo largo del eje

    positivo x, Hs asumimos a lo largo del eje positivo y, por lo tanto:

    c)

    5. Una onda plana uniforme de 150 MHz en el espacio libre est descrita por:

    = (4 + 10)(2 + ) /.

    a) Encuentre los valores numricos de , .

  • = 2

    = 2150106

    = 31081

    =2

    =2

    2

    =

    =

    3108

    1.5108= 2

    =2

    =2

    2=

    b) Encuentre (, ) = 1.5 , = 20 .

    (, ) = {}

    (, ) = {(4 + 10)(2 + )(( ) + ( )}

    (, ) = [8( ) 20 ( )] [10 ( )

    + 4( )]

    Con:

    = (3 108)(1.5 10 9) (0.20) = /4.

    (/4) = (/4) = 1/2

    ( = 20 , = 1.5 ) = 1

    2(12 + 14) = 8.5 9.9

    c) Qu es || ?

    || = . = [4(4 + 10)(4 10) + ()()(4 + 10)(4 10)]1 2

    || = 24.1/

    Entonces:

    || = 377(24.1) = 9.08 /

    6. Una onda plana polarizada linealmente en el espacio libre tiene un campo

    elctrico dado por (, ) = (25 30) ( 50) /. Encuentre:

    ) ; ) ; ) ; ){}

  • (, ) = (25 30) cos( 50) /

    )

    = 0

    =

    = 50

    = 50 3 108

    = 1.5 1010

    .

    )

    = (25 30) exp(50)

    .

    )

    = 1

    0(25 + 30)

    50

    )

    =1

    2{

    }

    =1

    20{(25 30) (25 30)}

    =1

    2(377)[(25)2 + (30)2]

    = 2.0

    2.

    7. La intensidad del campo magntico factorial de una onda plana uniforme

    de 400MHz que se propaga en un cierto material sin prdidas es (2

    5)25 / . Sabiendo que la amplitud mxima de E es 1500 / ,

    encuentre , , , , , (, , , ).

  • En primer lugar, a partir de la expresin factorial podemos identificar = 25 1 del argumento de la funcin exponencial.

    0 = || = = 22 + 52 = 29

    =00

    =1500

    29= 278.5

    =2

    =

    2

    25= 0.25 = 25

    =

    =

    2 400 106

    25= 1.01 108 /

    = 278.5 = 377

    = 0.546

    = 1.01 =

    = 8 108. 79

    = 4.01 = 2.19

    (, , , ) = {(2 5)25 }

    = 2 cos(2 400 106 25) + 5sin (2 400 106 25)

    = 2 cos(8 108 25) + 5 sin(8 108 25) /

    8. Permita que los campos (, ) = ( ) / y (, ) =. ( ) / representen una onda plana uniforme que se

    propaga a una velocidad de , / en un dielctrico perfecto. Encuentre:

    a) ; b) ; c) ; d) ; e)

    a) =

    =

    107

    1,4108= 0.224 1

    b) =2

    =

    2

    0.224= 28

    c) =||

    ||=

    1800

    3.8= 474

    d) = [

    0]

    2=

    (0.224)(3108)(474)

    (107)(377)= 2.69

  • e) = (0

    )

    2= 2.69 (

    377

    474)

    2= 1.7

    9. La regin 1, z < 0, y la regin 2, z > 0, son perfectos dielctricos ( = 0, ,, =

    0). Una onda plana uniforme que se propaga en la direccin de az tiene una

    frecuencia en radianes de 3 1010 rad/s. Sus longitudes de onda en las dos

    regiones son 1= 5 cm y 2 = 3 cm. Qu porcentaje de la energa incidente

    sobre la frontera es: a) reflejada; b) transmitida; c) cul es la razn de onda

    estacionaria de la regin 1?

    = =

    =

    2 107

    3 1084 9 = 0.4

    =2

    =

    2

    0.4= 5

    =

    =

    2 107

    0.4= 5 107 (

    )

    =

    = 0

    = 3774/9 = 251

    10. En un medio caracterizado por una impedancia intrnseca = ||, se propaga una onda plana polarizada linealmente con un campo magntico

    dado por = (0 + 0). Encuentre: a) ; b) (, ); c)

    (, );d)

    a) Exigir componentes ortogonales de para cada componente del

    encontramos

    = ||(0 0)

    b) (, ) = {} = ||(0 0)

    ( + )

    c) (, ) = {} = ||(0 + 0)

    ( )

    d) < >=1

    2{

    } =1

    2||[0

    2 + 02 ]2

  • 11. Una onda plana uniforme de 2GHz tiene una amplitud 0 = 1/ en

    (0,0,0, t=0) y se propaga en la direccin en un medio en el que =

    1.6(1011)/, = 3.0(1011)/, y =2.5 H/m. Encuentre : a) en

    P(0,0,1.8cm) en 0.2ns; b) en P en 2ns.

    a) Literal a

    =

    2[1 + (

    )

    2

    1]

    1 2

    = (22109)(2.5106)(3.01011)

    2[1 + (0.533)2 1]

    12

    = 28.1/

    =

    2[1 + (

    )

    2

    + 1]

    1 2

    = 112/

    (, ) = 1.428.1cos (4109 112)/

    Si t=0.2 y z=1.8

    (1.8, 0.2) = 0.74/

    b) Literal b

    =

    =

    1

    1 (/)

    = 2.5x106

    3.010111

    1 (0.533)

    = 263 + 65.7 = 27314

    =

    =

    (1.41031.428.1112)

    27114= 5.1628.1112114

    /

    (, ) = 5.1628.1cos (4109 112 14)

  • Si t=0.2ns y z=1.8cm(1.8cm, 0.2ns) = 3.0A/m

    12. La onda plana ES=300 e-jkx ay V/m se propaga en un material cuyo =2.25

    H/m, = 9pF/m y =7.8pF/m. Si w=64Mrad/s, encuentre:

    a)

    =

    2[1 + (

    )

    2

    1]

    12

    = (64 106)(2.25 106)(9 1012)

    2[1 + 0.8672 1]

    12

    = 0.116 /

    b)

    =

    2[1 + (

    )

    2

    + 1]

    12

    = 0.311 /

    c) Vp

    =

    = (64 106)/(0.311)

    = 2.06 108 /

    d)

    =2

    = (2)/(0.311)

    = 20.2

    e)

    =

    1

    1 (

    )

  • 13. Una onda plana uniforme que se propaga en la direccin tiene =0.2 + 1.51y = 450 + 650. Si = 300 , encuentre , , para el medio.

    =

    1

    1 ( )= 400 + 60

    = 1 (/) = 0.2 + 1.5

    =

    1

    1 + (

    )2

    = (450 + 60)(450 60) = 2.06 105

    ()() = 2 1 + (

    )

    2

    = (0.2 + 1.5)(0.2 1.5) = 2.29

    ()()

    = 2()2(1 + ( )2) =

    2.29

    2.06 105= 1.11 105

    = 3 108

    ()2 =1.11 105

    (3 108)2(1 + ( )2)=

    1.23 1022

    (1 + ( )2)

    2

    2=

    1 + ( )2

    1 + ( )2=

    (0.2)2

    (1.5)2

    / = 0.271

    ()2 =1.23 1022

    (1 + (0.271)2)=> = 1.07 1011 /

    = 0.271 => = 2.90 1012 /

    =

    1

    1 + (

    )2

    = 2.06 105 => = 2.28 106 /

    14. Un cierto material no magntico tiene como constantes = 2 y

    = 4

    104 a = 1.5 /. Encuentre la distancia a la que una onda plana

    uniforme pueda propagarse a travs de este material antes de que: a) sea

  • atenuada 1 Np; b) el nivel de su potencia se reduzca a la mitad; c) la fase se

    corra 360.

    a) = (4 104)(2)(8.854 1012) = 7.1 1015

    .

    Entonces,

  • = 00

    2[1 + (

    )

    2

    + 1]

    1/2

    Con los valores dados de y

    , est claro que = 00 = /, y que:

    =2

    =

    2

    =

    31010

    1010= 3.

    Tambin es claro que = 0

    b) En este caso /

    < < 1, y as = / = 2.131

    Por lo tanto = 2 / = 2,95 cm. Entonces:

    =

    2

    =

    2

    00

    =

    2

    =

    21010

    23108 (9.00104)

    1.04

    = 9.24102 /

    c) Utilizando las frmulas anteriores, obtenemos:

    =21010 2.5

    (3 1010)2[1 + (

    7.2

    2.5)

    2

    + 1]

    1/2

    = 4.71 1

    Y entonces = 2 / = 1.33 cm. Luego:

    =21010 2.5

    (3 108)2[1 + (

    7.2

    2.5)

    2

    1]

    12

    = 335 /

    16. El factor de potencia de un capacitor est definido como el coseno del ngulo de fase de la impedancia y su es , donde R es la resistencia en paralelo. Suponga un capacitor ideal de placas paralelas que tiene un dielctrico caracterizado por , y . Encuentre el factor de potencia y en trminos de la tangente de prdidas.

  • = (

    1)

    1 + (1

    )

    = 1

    1 + ()2

    = 1

    1 + 2

    =

    =

    =

    =

    1

    = cos[(tan1 )]

    =1

    1 + 2

    17. Una onda plana uniforme que se propaga en la direccin en un dielctrico que tiene una conductividad finita tiene los valores = +

    y = . + . Si || =

    en = , encuentre:

    a) () = 0 = 60

    Deje = 250 + j30 y = 0.2 + 21 para una onda uniforme plana que se propaga en la direccin en un dielctrico que tiene alguna conductividad finita. Si || = 400 / en = 0, encontrar:

    < > en = 0 y = 60 : Asuma la x-polarizacin para el campo elctrico.

    Entonces:

    *

    *

    4001 1< S > Re{E } Re 400

    2 2

    z

    s

    j z z j z

    s ye e e eH an

    *

    2 2 4 2(0.2)1 1< S > (400) Re 8.0 Re2 250 30

    110z zz ze a e a

    n j

    2(0.2)

    2< S > 315 z z

    We a

    m

    Evaluando en 0z

    Obtenemos

  • 2 0 315 zW

    S z am

    Y en z = 60 cm

    2(0.2)(0.6)

    z,av 2P (z = 0.6)=315 248z z

    We a a

    m

    b) La disipacin de potencia hmica promedio en watts por metro cbico en = 60 3

    El promedio ohmic impulsa la disipacin en vatios por metro cbico en la = 60 : En este punto un defecto se hace evidente en la declaracin de problema, desde la solucin de esta parte de dos modos diferentes da los resultados que no son los mismos. Me manifestar: En el primer mtodo, usamos el teorema de Poynting en la forma de punto (la primera ecuacin en lo alto de p. 366), que modificamos para el caso de campos medios de tiempo para leer

    S J E

    Donde la parte derecha es la disipacin de potencia media por volumen. Note que la parte derecha adicional llama en el teorema de Poynting que describe cambios de la energa almacenada en los campos ambos ser el cero en el estado estable. Aplicamos nuestra ecuacin al resultado de parte a:

    2(0.2)315 zd

    J E S edz

    2(0.2) (0.4)(315)e zJ E S

    2(0.2)

    3 126e zJ

    mE

    WS

    En = 60 , esto se convierte en 3

    99.1W

    mJ E . En el segundo mtodo, se

    resuelve para la conductividad y evaluamos 2 J E E usamos.

    1 /jk j j

    Y

    1

    1 /n

    j

    Tomamos la proporcin

    1 /jk

    j j jw wn

    Indefinido encontramos

  • 30.2 2Re Re 1.74x10250 30

    jk j S

    n j m

    Ahora encontramos el poder disoluto por volumen

    2

    2 3 0.211.74 10 4002

    zE x e

    En la = 60 , esto evala como 109 /3. Uno puede mostrar que la consistencia entre los dos mtodos requiere esto

    *Re

    2

    jk

    n

    Esta relacin no sostiene la utilizacin de los nmeros como dado en la declaracin de problema y el valor de s encontrada encima. Note que en el Problema 12.13, donde todos los valores son calculados, la relacin realmente sostiene y resultados constantes son obtenidos usando ambos mtodos.

    18. Dado una onda plana uniforme de 100MHz en un medio del que se sabe que es un buen dielctrico. El campo elctrico fasorial es =40.520 /. Determine: a)n; b) ; c) S; d) la potencia en watts que incide en una superficie rectangular que mide 20*30 m en z=10m.

    = 20 , = 0.5 , 2 108, = 3 108 /

    = (

    )

    =

    20(3 108)

    2 108= (9.55)2 = 91.3

    = 0 = 8.1 10

    10 /

    = 0.5 =

    2

    =2(0.5)

    2 108

    =

    108

    2(377)91.3 = 4 1011/

    a)

    =

    [1 +

    1

    2(

    )] =

    377

    91.3(1 + . 025) = (39.5 + 0.99)

    b)

    =

    = 4

    (39.5 + 0.99)0.520 = 0.101

    0.5200.025 /

  • c) Utilizando el resultado del apartado b) se obtiene:

    =1

    2{ } =

    (0.101)4

    22(0.5) cos(0.025) = 0.202

    /2

    f) La potencia en watts que es incidente en una superficie rectangular de 20m*30m en z=10m.

    A 10 m la densidad de energa es

    = 0.20210 = 9.2 106 /2.

    Entonces la potencia incidente en el rea dada es:

    = 9.2 106 (20) (30) = 5.35

    19. Dos cilindros perfectamente conductores de radios 8 y 20 mm son coaxiales. La regin entre los cilindros est llena de un dielctrico perfecto para el que = 109/4 F/m y r = 1. Si el valor de en la regin es de (500/) cos (t 4z)a V/m, encuentre:

    a) , en coordenadas cilndricas, con la ayuda de las ecuaciones de Maxwell;

    b) H (, z, t);

    c) S(, z, t);

    d) la potencia promedio que pasa a travs de la seccin transversal 8 < < 20 mm,

    0 < < 2.

    a)

    =

    =200

    ( 4) =

    = 200

    ( 4) =

    200

    ( 4)

    =

    =2000

    (4107) ( 4) /

    =

    +1

    ()

    =

    = 8000

    (4107) ( 4) =

    = 8000

    (4107) ( 4) =

    8000

    (4107)2( 4) /2

    =

    =8000

    (1016)2( 4) /

  • 8000

    (1016)2=

    500

    = = 4108 /

    b)

    (, , ) =2000

    (4107)( 4) =

    4

    cos (4108 4) /

    c)

    P (, , z) = 500

    (4108 4)

    4

    cos (4108 4)

    =2x103

    22(4108 4) /

    2

    d)

    = 1 103

    2

    .002

    .008

    = 2103 ln (20

    8) = 5.7

    2

    0

    20. Si = 60

    2 / y =

    42 / en el espacio libre,

    encuentre la potencia promedio que pasa hacia fuera a traves de la superficie

    = 106, 0 < .012)

    22. Las dimensiones interiores y exteriores de una lnea de transmisin coaxial de cobre son 2 y 7 mm, respectivamente. Ambos conductores tienen un grosor mucho mayor que . El dielctrico no tiene prdidas y la frecuencia

  • de operacin es de 400 MHz. Calcule la resistencia por metro de largo del: a) conductor interior; a) conductor exterior; c) la lnea de transmisin.

    a) conductor interior

    =1

    =

    1

    (4 108)(4 107)(5.8 107)= 3.3 10 6m = 3.3m

    =1

    2=

    1

    2(2 10 3)(5.8 107)(3.3 10 6)= 0.42 ohms/m

    a) conductor exterior

    =

    b =

    2

    7 0.42

    ohms

    m= 0.12 ohms/m

    b) la lnea de transmisin.

    R = Rin + Rout = 0.54 ohms/m.

    23. Un conductor tubular hueco est construido de latn y tiene una

    conductividad de 1.2 107/. Los radios interior y exterior son de 9 y

    10mm, respectivamente. Calcule la resistencia por metro de longitud a una

    frecuencia de:

    a) cd

    () =

    =

    1

    (1.2 107)(0.012 0.0092)= 1.4 103/

    b) 20MHz

    (20) = [0]1 2

    = [(20 106)(4 107)(1.2 107)]1 2

    (20) = 3.25 105

  • (20) =

    =

    1

    2=

    1

    (1.2 107)(2 0.1)(3.25 105)

    (20) = 4.1 103/

    c) 2GHz

    (2) = [0]1 2 = [(2 109)(4 107)(1.2 107)]1 2

    (20) = 3.25 106

    (2) =

    =

    1

    2=

    1

    (1.2 107)(2 0.1)(3.25 106)

    (20) = 4.1 102/

    24. La mayora de los hornos de microondas trabaja a 2.45 Ghz. Suponga que = 1.2 106 / y = 500 para el acero inoxidable del interior del horno y encuentre la profundidad de penetracin. b) En la superficie del conductor, = 50 0 /; grafique una curva de la amplitud de versus el ngulo de a medida que le campo se propaga a travs del acero inoxidable.

    a)

    =1

    =

    1

    (2.25 109)(4 107)(1.2 106)= 9.28 106

    = 9.8

    b)

    El tamao de conductividad es alto y usamos la formula = = = 1 .

    Tambien asuminos que la direccion entre el conductor es z, el campo dependiente de la profundidad se escribe como

    () = 50 = 50

    = 50( 9.28 )( 9.28 )

    Donde: ( 9.28 ) es la amplitud

    ( 9.28 ) es el ngulo

  • . Donde = 9.28 ; la amplitud de partida es de 50

    25. Un buen conductor tiene forma plana y transporta una onda plana

    uniforme que tiene una longitud de onda de 0.3 mm y una velocidad de 3

    108/. Suponiendo que el conductor no es magntico, determine su

    frecuencia y conductividad.

    =

    =

    3 105

    3 104109 = 1

    =

    2=

    1

    =4

    2=

    4

    (9 108)(109)(4 107)= 1.1 105 /

    26. Las dimensiones de una cierta lnea de transmisin coaxial son a = 0,8 mm y b = 4 mm. El grosor del conductor es de 0,6 mm, y todos los conductores tienen = 1,6 107 S / m.

    a) Calcule R, la resistencia por unidad de longitud, con una frecuencia de

    funcionamiento de 2,4 GHz.

    b) Utilice la informacin de Secciones. 6,4 y 9,10 para encontrar C y L, la

    capacitancia y la inductancia por unidad de longitud, respectivamente.

    El cable coaxial es llena de aire.

    c) Encuentra y si + j =( + )

    SOLUCIN:

    a)

    =1

    =

    1

    (2.4 108)(4 107)(1.6 107)= 2.57 106 = 2.57

  • =1

    2=

    1

    2(0.8 103)(1.6 107)(2.57 106)= 4.84 /

    =

    =

    0.8

    4(4.84) = 0.97 /

    = + = 5.81 /.

    b)

    =20

    ln (/)=

    2(8.854 1012)

    ln (4/.8)= 3.46 1011 /

    =02

    ln (

    ) =

    4 107

    2 ln (4/.8) = 3.22 107 /

    c)

    = {( + )} =

    2[1 + (

    )

    2

    1]

    1/2

    = {( + )} =

    2[1 + (

    )

    2

    + 1]

    1/2

    Reemplazando valores de los literales anteriores:

    = 3.0 102 /

    = 50.3 /

    27. La superficie plana = forma una interface de latn y tefln. Utilice los datos disponibles en el apndice C para evaluar las relaciones siguientes

    para una onda plana uniforme que tiene una = /; (a)/

    ; (b) /; (c) /;

    a) Desde el apndice C encontramos = = .0003 para el tefln, haciendo

    al material un buen dielctrico. Tambin para el tefln = 2.1. Para el la-

    tn = 1.5 107 /, siendo el latn un buen conductor en la frecuencia

  • de la emisora. Para un buen dielctrico (Tefln) nosotros usaremos aproxi-

    maciones.

    =

    2

    = (

    ) (

    1

    2) =

    1

    2(

    )

    = [1 +1

    8(

    )] = =

    Para el latn (buen conductor) tenemos

    = = = (1

    2) (4 1010)(4 107)(1.5 107)

    = 6.14 4 105 1

    Ahora

    =1 2 (

    ) ( )

    =

    (1 2 )(.0003)(4 1010 / 3 108)2.1

    6.14 105

    = 4.7 108

    b)

    =(2/)

    (2/)=

    =

    =

    (3 108)(6.14 105)

    (4 1010)2.1

    = 3.2 103

    c)

    =

    (/)

    (/)=

    = 3.2 103

    28. Una onda plana uniforme en el espacio libre tiene el vector de campo

    elctrico dado por = 10 + 15

    /. a) Describa la polarizacin de la onda; b) encuentre ;c) determine la densidad de potenciapromedio en la onda en /.

    a) Puesto que los dos componentes tienen una diferencia de fase fijo (en este caso cero) con respecto al tiempo y la posicin, la onda tiene polarizacin lineal , con el vector de campo en el plano yz a un ngulo:

    1(10/15)= 33.7 al eje y

  • b) Con la propagacin en frente de X, se tendra:

    =10

    377 +

    15

    77

    = 26.5 + 39.8

    /

    c)

    =1

    2{ } =

    1

    2[(10)2

    377 +

    (15)2

    377] = 0.43 /

    2

    29. Considere una onda con polarizacin circular izquierda en el espacio

    libre que se propaga en la direccin Z hacia delante. El campo elctrico lo da

    la ecuacin (100).

    a). Determine el fasor de campo magntico, Hs.

    (100) = 0( + )

    ,

    ,

    =00

    ( )

    b). Determine una expresin para la densidad de potencia promedio en la onda en

    W/m2 a travs de la aplicacin directa de (77).

    , =1

    2(

    )

    , =1

    2 (0( + )

    00

    ( )+)

    , =0

    2

    0 /

    2

    0 .

    30. El campo elctrico de una onda plana uniforme en el espacio libre est

    dado porEs= 100(az+ jax)50. Determine: a) f; b) Hs; c) S . d) Describa la

    polarizacin de la onda.

  • a) f: Desde el campo dado, identificamos = 50 =

    c (en el espacio libre),

    De modo que f =

    2=

    50c

    2= 2.39 Ghz

    b) : Cada uno de las dos componentes de debe emparejar con un vector de

    campo magntico, de tal manera que el producto cruz del campo elctrico con el

    campo magntico da un vector en la direccin y positiva.

    La magnitud total es la magnitud del campo elctrico dividido por el espacio libre

    impedancia intrnseca. As

    =10

    377( )

    50

    c)

    < 1

    2{

    } =50

    377[( ) ( )] =

    100

    377 = 0.27

    2

    d) Describir la polarizacin de la onda: Esto puede ser visto por escribir el campo

    elctrico en

    Forma instantnea real y, a continuacin, evaluar el resultado en = 0:

    (0, ) = 10[cos() sin ()]

    En = 0, el campo es enteramente por s sola z, y luego adquiere una creciente

    negativa como componente aumenta. Por consiguiente, el campo gira en

    sentido horario en el plano = 0 cuando mirando hacia atrs hacia el plano de

    positivo. Dado que la onda se propaga en el sentido positivo direccin y tiene la

    misma amplitud y , identificamos la polarizacin circular izquierda.

    31. Una onda plana uniforme polarizada linealmente que se propaga en la

    direccin z hacia delante, ingresa en un material anisotrpico sin prdidas,

    en el que la constante dielctrica que las ondas polarizadas encuentran a lo

    largo de () difiere de las ondas polarizadas que se ven a lo largo de

    (). Suponga = . , = . y el campo elctrico de la onda a la

    entrada est polarizado a 45 con respecto a los ejes x y y positivos. a)

    Determine, en trminos de la longitud de onda en el espacio libre, , la

  • longitud ms corta del material tal que la onda, a medida que aparece en la

    salida, est polarizada circularmente. b) La onda de salida estar polarizada

    a la derecha o a la izquierda?

    a) Como el campo elctrico de la onda a la entrada est polarizado a 45, las componentes x y y son de igual magnitud, y la polarizacin circular resultar si la diferencia de fase entre las componentes es /2.

    = /2

    =

    2( )=

    2( )

    =(58.3)

    2= 58.3

    4= 14.6

    b) Con el dielctrico constante mayor para ondas x-polarizadas, la componente x retrasar la componente y en el tiempo en la salida. El campo puede ser descrito por = 0( ), que es la polarizacin circular a la izquierda.

    32. Suponga que la longitud del medio del problema 12.31 es del doble de la

    que que se determina en el. Describa la polarizacion de la onda de salida en

    este caso.

    (0) = 0( + )

    () = 0[ +

    ]

    () = 0[ +

    ()]

    ( ) =

    : ( > )

    () = 0[ ]

    90

    33. Dada una onda para la cual = 15 + 18 / en un

    medio caracterizado por una impedancia intrnseca compleja, :

    a) Encuentre .

  • =1

    [18 + 15 ]

    b) Determine la densidad de potencia promedio en /2.

    , =1

    2{

    }

    , =1

    2 {

    (15)2

    +

    (18)2

    }

    , = 275 {1

    } /2

    34. Dada la onda general polarizada elpticamente de la ecuacin (93)

    a) Demuestre, utilizando mtodos similares a los del ejemplo 12.7, que una onda

    polarizada linealmente resulta de sobreponer el campo dado y un campo con

    fase corrida de la forma:

    en donde es una constante.

    Sumando los dos campos da

    , = [(1 + ) + (

    + )]

    = [02 (

    2 +

    2 ) + [0

    2 (

    2 +

    2 ) ]

    Simplificando:

    , = 2[0 cos (

    2) + 0cos ( /2)]

    2

    Que eta polarizada linealmente

  • b) Encuentre en trminos de tal que la onda resultante est polarizada

    linealmente a lo largo del eje x.

    Al inspeccionar la parte resultado, logramos un componente cero y cuando

    2 =

    o mltiplos impares de