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Determinación de la inclinación y la pendiente
·La inclinación se puede determinar por simple inspección cuando la pendiente de la recta
tiene algunos valores particulares.
Si la Inclinación es 45|: Se determina a partir de un
cuadrado
m= 1a
a y la inclinación es entonces: α=45
si la inclinación es de 135|. Entonces la pendiente m=-1
En la figura,
Para 30° . la pendiente es
m= 3
31
3
3*
3
1
3
a
a
la pendiente para 60° es entonces : 3
Se deduce también que la pendiente de 120° es: - 3
Resumen:
m=1=α=45º
m=-1, si α=135º
m= 33
1, si α=30º
m=- 33
1 , si α=150º
m= 3 si α=60º
m=- 3 , si α=120º
Obs:
1.- Lo valores de las pendientes para ángulos de múltiplos de 15| , se pueden determinar también
por simple inspección.
2.-Solo con estos valores se pueden determinar los parámetros de la pendiente y la inclinación por
simple inspección
Problemas de Aplicación:
1) si la pendiente de una recta es - 3 ¿Cuál es su inclinación?
R- 120º
2) si la pendiente de una recta es m=332
332
¿Cuál es la inclinación?
R- 45º
3) ¿Cuál es la inclinación de la bisectriz del primer y tercer cuadrante?
R- 45º
4) ¿Cuánto vale la pendiente de la bisectriz?
R- 1
5) ¿Cuánto vale la pendiente de la bisectriz del 2 y 4 cuadrante?
R- -1
6) En las figuras ¿Cuánto vale la pendiente de cada una de las rectas?
Calcule la inclinación y pendiente de la recta que pasa por los puntos.
1- P (1,4) Q (3,6) 2- P (-1,4) Q (-5,0)
3- P (1+√3,2) Q (1,1) 4- P (5, 3+2√3) Q (3,-3)
5- P (-7,1) Q (4, 1+11√3) 6- P (2,5) Q (-3,0)
7- P (2√2,-2√2) Q (3√2,-√2) 8- P (4-5√3,2) Q (4-2√3,-1)
9- P (1,3+4√3) Q (-5,3-2√3) 10- P (0,√3) Q (1,0)
11- P (-√3,0) Q (0,1) 12- P (0,4) Q (4√3,0)
Respuestas:
1- m=1 ℓ=45° 2- m=1 ℓ=45° 3- 4- m=√3 ℓ=60°
5- m=√3 ℓ=60° 6- m=1 ℓ=45° 7- m=1 ℓ=45° 8- m=√3 ℓ=60°
9- m=√3 ℓ=60° 10- m=√3 ℓ=120° 11- m=√3 ℓ=30° 12-m=⅓√3 ℓ=30°
En cada grafico determine la pendiente y la inclinación.
Respuestas:
1. m=1 ℓ=45° 2. m=⅓√3 ℓ=30° 3. m=1 ℓ=45° 4. m=0,65 ℓ=33°
5. m= ℓ= 6. m = ℓ=
Con calculadora científica:
1. P (2,3) Q (5,8) 2. P (-2,4) Q(3,7) 3. P (-2,1) Q (4,-9)
4. P (2,-3) Q(-1,7) 5. P ( 8,6) Q (-4,1)
Determinación de la ecuación de la recta:
Hay distintas métodos para determinar la ecuación de la recta.
1º caso:.
Se conoce la pendiente y un punto contenido en la recta.
Ej.1
1.- Escribir la ecuación de la recta cuya pendiente se
indica y que contiene el punto Po
M: 9 y Po: (6.4)
Y= mx + b
¿b?
Si P (6.4) Є L satisface
la ecuación
Po ( 6.4 ) Є L Y = 9x + b
4= 9 · 6 + b
4= 54 + b Forma general
b= -50
Y= 9x – 50
9x –y – 50 = 0
Ax + By + C = 0
3x + 4y +2= 0
Forma particular
Ejemplo 2:
m= -¾ y Po (-2.1)
Y= -3/4 + b
1= -3/4 · - 2 +b
1= 3/2 + b
B= 1 – 3/2
B= -1/2
Y= -3/4x – ½ F.P. /·4
4y = -3x – 2
Ejercicios:
1. m = ½ ; Po = (2.-3) 2. m = -3/5 ; Po = (-1.5) 3. m = 6 ; Po = (3.-2) 4. m = -4 ; Po = (4.-1/5) 5. m = 2/7 ; Po = (0.4) 6. m = ¾ ; Po = (1/2 . 1/3)
Respuestas:
1. F.P.: Y = 1 /2x + -4 F.G.:1x-8-2y = 0 2. F.P: Y = -3/5x + 22/5 F.G.: 3x + 5y – 22 = 0 3. F.P.: Y = 6x – 20 F.G.: 3x + 5y – 22 = 0 4. F.P.: Y = -4x + 79/5 F.G.: 20x + 5y – 79 =0 5. F.P.: Y = 2/7x + 4 F.G.: 2x – 7y + 28 = 0 6. F.P.: Y = 3/5x + 1/30 F.G.: 18x – 30y + 1 = 0
2º caso:
Dado la inclinación y un punto contenido en la recta.
Si = 120º ^ P (2,-1) -1= -√3 · 2 + b
M = - 3 ^ P (2,-1) b = 2√3 – 1
Y = - 3 + b
-1= 3.2+b
b=2 3 − 1
Por lo tanto la ecuación es: y= 3 x+2 3 , que escrita en la forma general: : 3 x-y +2 3=0
Inclinación m
45º 1
135º -1
30º 1/3 √3
60º √3
120º - √3
150º -1/3 √3
Ejercicios de aplicación:
Escriba la ecuación de la recta dada la inclinación y el punto contenido en ella.(grafique)
1. Y = 300º ; P = (1 , √3) 2. Y = 45º ; P = (√3,0) 3. Y = 150º ; P = (1,-2) 4. Y = 210º ; P = (1, 1) 5. Y= 330º ; P = (-√3, 2) 6. Y = 240º ; P = (0, 4)
Ecuación Canónica de la recta.
Tag φ = 12 yy = y
12 xx x
1y
2y
y
x1x 2x
12 yy
12 xx
1P
2P
o
Tag φ = m
12
12
yx
yy
=
1
m
Si 2P =(x,y)
1P = ),( 00 yx
10
0 m
xx
yy
)( 00 xxmyy Ecuación Canónica.
Considere los puntos:
P(4,5) Q(10,1)
1) ecuación de la recta que contiene los puntos P y Q.
Forma Canónica:
P(4,5) Q(10,1)
3
2
6
4
104
15
m
02332
82153
3/3
8
3
25
)4(3
25
)5,4(,3
20
yx
xy
xy
xy
Pm
Comprobación:
02332..
3
23
3
201
3
20
103
2
3
2
)1,10(;3
2
yxGF
b
b
by
by
bxy
Qm
Distancia entre dos puntos en 2
Pitágoras:
dAB= 22 )())( yx
Ejemplo de aplicación
4
4
1
5
10
P
Q
d
6
52
1636
d
d
52
1636
)4(6
)51()410(
)1,10(
)5,4(
22
22
PQ
PQ
PQ
PQ
Q
P
Dado: A(-2,3) D(6,3) C(4,6) B(1,-5)
1) Calcule el perímetro del cuadrilátero. 2) Determine la ecuación de las diagonales del cuadrilátero.
Método: Gráfico.
85
2564
58 22
BD
BD
BD
13
94
32 22
CD
CD
CD
45
936
36 22
CA
CA
CA
73
964
38 22
AB
AB
AB
12
3A
6
D
4
6 C
5
8
5
85
13
2
3
6
3 45
3
738
Perímetro:
u2,28
7,66,34,95,8
45138973
Método: Analítico: (después de graficar, se definen los trazos).
BDd
b
ACc
a
)3,6(
)5,1(
)6,4(
)3,2(
ABb
a
CDd
c
)5,1(
)3,2(
)3,6(
)6,4(
73649)8()3(
1394)3()2(
896425)8()5(
45936)3()6(
22
22
22
22
AB
CD
BD
AC
Punto medio de un trazo en 2 .
1xxm
1yym 1
12 xx
12 yy 2
),(
2
22
2
1
2
1
21
21
112
12
1
12
1
yxm
xx
m
xxx
xxx
xxxx
yy
yy
xx
xx
m
m
m
m
m
m
P
Q
1x 2x
1y
2y
mmy
mx
qmpm
),( xm yxm
1yym
12 yy
12 xx 1xxm
P
Q
m
Ejemplo de aplicación.
Ejercicios de aplicación:
1.- Determine el punto medio de cada trazo cuyas coordenadas extremas se indican:
1.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 1.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)
1.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 1.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)
1.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 1.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)
2.- Escriba la ecuación de la recta que contiene los puntos P y Q :
2.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 2.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)
2.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 2.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)
2.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 2.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)
3.- Escriba la ecuación de la simetral al trazo PQ :
3.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 3.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)
3.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 3.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)
3.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 3.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)
m
7
5
5
3
1 9
)5,5(m
4.-Determine la medida del trazo PQ
4.1.-P=(-2,6) y Q=(-6,-10) 4.2.- P=(-2,-3) y Q=(-6,-13)
4.3.- P=(4,6) y Q=(-2,-8) 4.4.- P=(-5,6) y Q=(-3,-12)
4.5.- P=(-2,-6) y Q=(-6,10) 4.6.- P=(-2,6) y Q=(-6,-3)
5.-Calcule el perímetro de cada uno de los polígonos que se indican:
5.1.- A(2,3), B(-3,-6) y C(4,7) 5.2.- A(2,6), B(-1,-10) y C(3,5)
5.3.- A(-2,3), B(3,-6) y C(4,7) 5.4.- A(-5.5), B(-3,-6) C(2,7) y D(8,2)
5.5.- A(2,6), B(-2,6) C(4,-3) y D(9,3)
6.- Determine el área de cada uno de los polígonos cuyos vértices se indican:
6.1.- A(2,3), B(-3,-6) y C(4,7) 6.2.- A(2,6), B(-1,-10) y C(3,5)
6.3.- A(-2,3), B(3,-6) y C(4,7) 6.4.- A(-5.5), B(-3,-6) C(2,7) y D(8,2)
6.5.- A(2,6), B(-2,6) C(4,-3) y D(9,3)