Lista de Problemas EP - WordPress.comProblema 1 EP Matematicas I (a )Demuestre que cualquier recta l...

Lista de Problemas EP

Problema 1 EP Matematicas I

(a) Demuestre que cualquier recta l con pendiente m ∈ R−{0} y su transformacion mediante una traslacion T(h,k), es tambien

una recta l′ y ambas son paralelas.

(b) Demuestre que limn→∞Fn+1

Fn= Φ, donde (Fn) es la sucesion de Fibonacci y Φ es la proporcion aurea.

(c) Demuestre que limn→∞n√Fn = Φ, donde (Fn) es la sucesion de Fibonacci y Φ es la proporcion aurea.

(d) Demuestre que la transformacion rotacion horaria de 45◦ (definida en el problema (23)) preserva distancias, esto es, para

todo P,Q ∈ R2 se cumple que d(P,Q) = d(Rπ2

(P ), Rπ2

(Q)).

1


(a) Demuestre que:

∀a, b ∈ R,∀c, d > 0,

[E(c,d) ◦ T(a,b) = T

a

c,b

d

◦ E(c,d)

]

(b) Asuma al ingreso y costo total lineales. Demuestre que U(nq) = nU(q) + (n− 1)Cf , para todo n ∈ N.

(c) Asuma al ingreso y costo total lineales y q0 el nivel de produccion de equilibrio. Demuestre que U(3q0) = 2U(2q0).

(d) Demuestre que U(2q0) es el costo fijo.

(e) Demuestre la siguiente identidad:Cu

p+Cf

M0= 1.

2


Justifique la falsedad de la siguientes proposiciones.

(a) Si la pendiente de la oferta aumenta y su p-intercepto se mantiene constante, la cantidad de equilibrio aumenta.

(b)

∀a, b ∈ R,∀c, d > 0,[E(c,d) ◦ T(a,b) = T(a,b) ◦ E(c,d)

]

(c) Las ecuaciones de ingreso y costo de un productor estan dadas por I = pq y C = cf + cuq donde (q0,M0) es el punto de

equilibrio actual. Si el precio y costo fijo se mantienen constantes, y el costo por unidad se incrementa, entonces el nuevo

costo por producir q0 unidades es igual a M0.

(d) Si una recta corta en un solo punto a una parabola entonces es tangente a la parabola.

(e) En una hiperbola equilatera el producto de sus pendientes -1.

(f) E(−1,−1)(x, y) = (−x,−y).

(g) La sucesion (an) definida por an =2n2 − 16n+ 37

n2 − 8n+ 17no es acotada.

3



(a) En una empresa si el precio unitario aumenta entonces el nivel de produccion de equilibrio aumenta.

(b) Si el costo fijo es de 1000 soles y (100,1200) es el punto de equilibrio, entonces la utilidad esta dada por U(q) = 10q−2000.

(c) La recta l : 2x+ 3y = 5 puede ser transformada por una traslacion en la recta l : 3x+ 4y = 5.

(d) El excedente del consumidor siempre es mayor que el excedente del productor.

(e) “En general, la pendiente es lo mismo que la razon de cambio”.

(f) Si la recta l de ecuacion x+ y = k es tangente a la circunferencia de ecuacion x2 + y2 = 8 entonces k = 4.

4


En la figura adjunta: Demuestre que la ecuacion de la recta tangente l a la circunferencia C : x2 + y2 = r2 esta dada por

ax+ by = r2

l

P (a, b)

O

C : x2 + y2 = r2

x

y

5


En la figura adjunta:

� Determinar la ecuacion de la recta tangente l a la circunferencia de ecuacion C : x2 + y2 = 25 que pasa por el punto

A(−7,−1).

� Determine el punto de tangencia.

l

A(−7,−1) O

C : x2 + y2 = 25

x

y

6


Determine la ecuacion de la recta tangente l que pasa por el punto P = (4, 1) a la elipse E de ecuacion:

E :x2

18+y2

9= 1

7



Determine la ecuacion de la recta tangente l a la hiperbola H en el punto ( 12 , 2).

l

P ( 12 , 2)

O

H : xy = 1

x

y

8


Una empresa local tiene ecuaciones de ingreso (I), costo total (C) y utilidad (U) lineales. El punto de equilibrio es (q0, 1800)

y U(3q0) = 2400. Se sabe que cuando se producen 125 unidades se tiene una ganancia de 300 soles. Determine las ecuaciones

del ingreso, costo total y utilidad.

9


Pedro debe construir el grafico del costo, ingreso y utilidad de la empresa donde trabaja, la cual se encarga de la venta

de pasadores deportivos. Olvido trazar una de las rectas, por lo cual obtuvo el grafico mostrado. Si la empresa vende 100

pasadores mas, sus utilidades se incrementan en 8 soles.

I

U

60

−6400

(m,n)

320600

ciento de unidades

S/. Soles

(a) Determine las ecuaciones de costo, ingreso y utilidad.

(b) Calcule m y n.

(c) Determine la cantidad en la cual la utilidad es el 100% del costo.

10


En una empresa los ingresos y costos son lineales y cambian mensualmente. Se sabe que el monto de equilibrio y la cantidad

de equilibrio en el n-esimo mes son respectivamente

Mn =2· 3n + 3·πn

πn

qn =√

4n2 + 8n− 2n

Ademas, los costos fijos en el n-esimo mes son

Cn =2 + 2n+ n2

1 + 2n+ 2n2

(a) Calcule el punto de equilibrio a largo plazo.

(b) Calcule el costo fijo a largo plazo.

(c) Calcule la ecuacion de la utilidad a largo plazo.

11


Los ingresos en soles de una empresa estan dados por

I = 2q2 − 8q + 20

donde q son las unidades producidas y vendidas. Supongamos que el costo es lineal.

(a) Si el costo unitario es de 4 soles por unidad y el costo fijo es de 4 soles, calcule los niveles de produccion en los que no hay

perdidas ni ganancias.

(b) Si el costo unitario se mantiene en 4 soles por unidad, determine el nuevo costo fijo para que exista solo un nivel de

produccion en donde no hay perdidas ni ganancias.

12


La cadena de librerıas V& W adquiere de la editorial LIWRU los libros “Calculo Diferencial para Economistas” a un costo

de 20 soles por unidad. Actualmente, la librerıa V& W vende cada libro a 25 soles teniendo una demanda semanal de 55

ejemplares. Ademas se estima que, por cada sol que se reduce el precio del libro se venden 5 libros mas por semana.

(a) Denotemos por p es el precio de venta (unitario) de cada libro y por q el numero de libros. Determine la ecuacion de la

demanda D (semanal) del libro.

(b) Determine la ecuacion utilidad U (semanal) en terminos de q (considere que el costo fijo es nulo).

(c) ¿Cuanto debe incrementar el precio de venta actual para obtener el maximo beneficio?

13


Se sabe que una empresa tiene una utilidad de dos mil soles cuando se producen ochocientas unidades. Ademas se sabe que

por cada aumento de cincuenta unidades en la produccion, la utilidad aumentara en doscientos soles.

(a) Asuma que la utilidad es lineal y determine su ecuacion.

(b) Si el monto de equilibrio es el doble del costo fijo, determine la ecuacion del costo total.

14


(a) Sean D : p = m1q + b1 y O : p = m2q + b2 las ecuaciones de la demanda y la oferta de cierto bien, donde las constantes

m1,m2, b1, b2 satisfacen m1 < 0, m2 > 0, b1 > b2 > 0. Demuestre que EP = EC si y solamente si m2 = −m1.

(b) La ecuacion de la oferta de cierto bien viene dada por p = a2q+ 2 (a > 0). Si la ecuacion de la demanda, es perpendicular

a la oferta, y pasa por el punto (0, b), donde b > 2. Calcule el valor de a para que el excedente del productor sea igual al

excedente del consumidor.

(c) En un mercado de oferta y demanda altamente inestable, la ecuacion de la oferta, que depende del tiempo, esta dada por

O : p = (3t2 − 4t+ 4)q + (9t+ 2) y la ecuacion de la demanda es D : p = − 83q + 24, donde t ∈ [0, 1].

(1) Determine la ecuacion de la oferta en el instante (tiempo) en que EP = EC.

(2) Determine el punto de equilibrio en el instante (tiempo) encontrado en el item anterior.

15


La oferta y la demanda de un bien son lineales y cambian cada dıa. La variable t representa el dıa, ası t = 1 representa el dıa

de hoy y t = 2 el dıa de manana. En el dıa t, cuando el precio unitario es de 2 soles por unidad, se ofertan 2−t/2 unidades

del bien. En cualquier dıa el productor esta dispuesto a vender 10 unidades del bien por un total de 60 soles. Por otro lado,

el p-intercepto de la demanda en el dıa t es de 23t2

t2−1 soles por unidad y en cualquier dıa si el precio unitario aumenta en 4

soles la demanda disminuye en 5 unidades. Calcule el precio del mercado a largo plazo (Sugerencia: determine primero las

ecuaciones de la oferta y la demanda a largo plazo).

16


El capitan de un navıo se encuentra en un mercado del caribe donde los productores de cana de azucar hacen sus ventas. El

capitan puede pagar 40 monedas de oro por 5 botellas de ron. El precio de equilibrio se establece en 7 monedas de oro por

botella. El excedente del capitan es de 10 monedas de oro.

(a) Encuentre la ecuacion de la demanda del capitan.

(b) Los productores ofertan 20 botellas a un precio mayor al que el capitan esta dispuesto a comprarlas. La diferencia en

estos precios por unidad es de 7 monedas de oro. ¿Cuanto debe subir el precio unitario para que los productores oferten

6 botellas adicionales?

(c) Calcule el excedente de los productores.

17


Si la recta l1 tiene ecuacion k2x + (k + 1)y + 3 = 0 y la recta l2 tiene ecuacion 3x − 2y − 11 = 0, ¿para que valores de k las

rectas son paralelas?

18


A continuacion se presenta la grafica en el plano cartesiano de una hiperbola H. Determine la ecuacion de la hiperbola H.

−1 3

−1

5

x

yH

19


Una de las asıntotas de la hiperbola H tiene ecuacion y = 2x, y la otra asıntota tiene y-intercepto 8.

(a) Determine la ecuacion de la hiperbola H, si ademas se sabe que pasa por el punto P = (3, 4 + 2√

5).

(b) Grafique la hiperbola H indicando vertices y centro, y sus asıntotas indicando interceptos.

20


Determine la ecuacion de la hiperbola que se presenta en la siguiente grafica:

6

4

(−3,−2)

x

y

21


Sea P : x2 − 10x− 8y + 9 = 0 la ecuacion de una parabola.

(a) Determine las transformaciones para obtener la nueva ecuacion de la parabola

P ′ : (y′) = (x′)2

(b) Calcule la ecuacion de la recta tangente a la parabola en el punto A =

(7,−3

2

)

22


Determine el centro, los vertices y las asıntotas de la hiperbola de ecuacion

H : xy = 1

23


Determine la ecuacion de la hiperbola que se presenta en la siguiente grafica.

−1

8

2 10x

y

24


En la siguiente figura se muestra cuatro triangulos.

(a) Describa las transformaciones que convierten al triangulo ABC en los triangulos: A′B′C ′, A′′B′′C ′′ y A′′′B′′′C ′′′.

(b) Determine la transformaciones.

−7 −4−3−2 1 3 4 5 7 8 17

−3

−1

1

2

3

4

7

y = x

A B

C

A′ B′

C ′

A′′B′′

C ′′

A′′′

C ′′′

B′′′

x

y

25


Demuestre que la reflexion P ′(x′, y′) del punto P (x, y) a traves de la recta l de ecuacion:

l : y = mx

esta dada por la transformacion Rm(x, y) = (x′, y′):

x′ =1−m2

1 +m2x+

2m

1 +m2y

y′ =2m

1 +m2x+

m2 − 1

1 +m2y

Mas generalmente la reflexion P ′(x′, y′) del punto P (x, y) a traves de la recta l de ecuacion:

l : y = mx+ b

esta dada por la transformacion R(m,b)(x, y) = (x′, y′):

x′ =1−m2

1 +m2x+

2m

1 +m2(y − b)

y′ =2m

1 +m2x+

m2 − 1

1 +m2(y − b) + b

26


Para la recta

l : y = 2x− 3

se realizan un numero finito de transformaciones, en el siguiente orden:

(a) Una traslacion vertical de dos unidades hacia arriba.

(b) Una reflexion horizontal.

(c) Una traslacion horizontal de una unidad a la izquierda.

(d) Una reflexion respecto de la recta

L : y = 3x

Determine la transformacion resultante y la ecuacion de la recta resultante.

27


A continuacion se muestran los graficos de dos parabolas.

(a) Determine las ecuaciones de las parabolas (A) y (B).

(b) Determine las transformaciones de coordenadas adecuadas que conviertan a la parabola (A) en la parabola (B).

2−1

A

B

x

y

28


Trasladar los ejes xy de modo que la ecuacion x3 + 3x2 + 2y+ 8 = 0 referida a los nuevos ejes no contenga terminos de segundo

grado, ni termino constante.

29


En cierto mercado donde se oferta y demanda un bien se sabe que, para cantidades no mayores a 4 unidades, por cada sol que

se incrementa el precio unitario se deja de consumir dos unidades y, para cantidades mayores a 4 unidades, por cada dos soles

que se incrementa el precio unitario se deja de consumir una unidad. Ademas, el consumidor esta dispuesto a gastar 14 soles

por 2 unidades y 20 soles por 5 unidades.

(a) Modele la relacion demanda.

(b) Si el excedente del consumidor es de 13 soles, determine la cantidad de equilibrio.

30


Sea l una recta de pendiente negativa y P = (a, b) ∈ IC. Se dice que l es “amiga” con P cuando l pasa por P y el area S entre

ella y los ejes coordenados es 2ab u2. Demuestre que la ecuacion doble-intercepto de la recta “amiga” al punto (a, b) es:

x

2a+

y

2b= 1

31


De la siguiente figura se tiene que A es el centro de la circunferencia (C) y B es el centro de la elipse (E).

√3

4

A

B

C

E

x

y

(a) Determine las ecuaciones de la circunferencia y elipse.

(b) Sean T una transformacion de coordenadas tal que

T (C) = E

determine explıcitamente T (x, y) = (x′, y′) y expresela como una composicion de transformaciones conocidas.

32


Sean q0,M0 y Cf la cantidad de equilibrio, el monto de equilibrio y el costo fijo, respectivamente.

(a) Determine el precio unitario y el costo unitario en terminos de q0,M0 y Cf .

(b) Considere que varıa el costo total manteniendose Cf y que el precio unitario es el calculado en la parte anterior. Determine

todos los posibles valores del costo unitario C∗u, en terminos de q0,M0 y Cf , de forma que la nueva cantidad de equilibrio

q∗0 sea mayor o igual a 2q0.

33


Grafique en un solo plano la parabola de ecuacion:

P : y = (x− 1)2

y su reflexion con respecto a la recta de ecuacion:

l : y = x+ 1

34


(a) Determine el circuncentro y el circunradio del triangulo ABC donde A = (8, 2), B = (3, 7) y (−1, 5).

(b) Considere el conjunto de puntos E con la siguiente propiedad: P ∈ E si y solo si d(P, (−1, 0)) + d(P, (1, 0)) = 4. Demuestre

que E es una elipse e indique la ecuacion de esta.

35


Definimos las conicas C1 y C2 mediante las ecuaciones

C1 :(y − 3)2

16+

(x− 2)2

36= 1

C2 : y2 − 6y + 3x = 0

(a) Interprete algebraicamente los puntos donde las graficas de las conicas se intersectan.

(b) Determine los puntos de interseccion.

(c) Grafique las conicas y asıntotas identificando los puntos de interseccion de las conicas.

36


Denotemos O : p = m1q + b1 , D : p = m2q + b2 las ecuaciones de la Oferta y Demanda (m1 > 0,m2 < 0, 0 < b1 < b2).

Demuestre las siguientes propiedades:

(a) qe =b2 − b1m1 −m2

, pe =m1b2 − b1m2

m1 −m2.

(b) EC =qe(b2 − pe)

2= −1

2m2q

2e

(c) EP =qe(pe − b1)

2=

1

2m1q

2e

(d) EP = EC si y solamente si m2 = −m1.

(e) Si EP = EC entonces pe =b1 + b2

2

37




(a) Determine la ecuacion de la demanda en terminos de EC y (qe, pe).

D : p = −2EC

q2eq +

(pe +

2EC

qe

)

(b) Determine la ecuacion de la demanda en terminos de EC, m2 y pe .

(c) Asuma que m2 = −m1. Determine la ecuacion de la oferta y de la demanda en terminos de E y (qe, pe).

(d) Asuma que (0, 0) ∈ O. Determine la ecuacion de la oferta y de la demanda en terminos de E y (qe, pe).

(e) Cuando el gobierno cobra, junto al productor, un impuesto de I unidades monetarias por unidad vendida, la oferta se

traslada verticalmente I unidades y la demanda permanece estable. Demuestre que el nuevo punto de equilibrio (q∗e , p∗e)

esta dado por:

q∗e = qe −q2e

2(EP + EC)I , p∗e = pe +

EC

EP + ECI

38

Sugerencias EP


(a) Demuestre que cualquier recta l con pendiente m ∈ R−{0} y su transformacion mediante una traslacion T(h,k), es tambien

una recta l′ y ambas son paralelas.

(b) Demuestre que limn→∞Fn+1

Fn= Φ, donde (Fn) es la sucesion de Fibonacci y Φ es la proporcion aurea.

(c) Demuestre que limn→∞n√Fn = Φ, donde (Fn) es la sucesion de Fibonacci y Φ es la proporcion aurea.

(d) Demuestre que la transformacion rotacion horaria de 45◦ (definida en el problema (23)) preserva distancias, esto es, para

todo P,Q ∈ R2 se cumple que d(P,Q) = d(Rπ2

(P ), Rπ2

(Q)).

. (a) � Denotemos la recta l : y = mx+ b

� Como T(h,k)(x, y) = (x′, y′) entonces x′ = x− h, y′ = y − k.

� Despejando: x = x′ + h, y = y′ + k

� La transformacion de la recta l es:

l′ : (y′ + k) = m(x′ + h) + b

l′ : y′ = mx′ + (b+mh− k)

� Cambiamos las etiquetas x′ por x y y′ por y

l′ : y = mx+ (b+mh− k)

� Por lo tanto la transformacion l′ es una recta y paralela a l.

(b) Por la formula de Binet (PD2):

Fn =Φn −Ψn

√5

, (n ≥ 0)

limn→∞

Fn+1

Fn= lim

n→∞

Φn+1 −Ψn+1

√5

Φn −Ψn

√5

= limn→∞

Φn+1 −Ψn+1

Φn −Ψn

= limn→∞

Φ−Ψ ·(

Ψ

Φ

)n

1−(

Ψ

Φ

)n

= limn→∞

Φ−Ψ · 01− 0

= Φ

(c) Por la formula de Binet (PD2):

Fn =Φn −Ψn

√5

, (n ≥ 0)

limn→∞

n√Fn = lim

n→∞n

√Φn −Ψn

√5

= limn→∞

n√

Φn −Ψn

n√√

5

=Φ

1(Φ > Ψ)

= Φ40


(a) Demuestre que:

∀a, b ∈ R,∀c, d > 0,

[E(c,d) ◦ T(a,b) = T

a

c,b

d

◦ E(c,d)

]

(b) Asuma al ingreso y costo total lineales. Demuestre que U(nq) = nU(q) + (n− 1)Cf , para todo n ∈ N.

(c) Asuma al ingreso y costo total lineales y q0 el nivel de produccion de equilibrio. Demuestre que U(3q0) = 2U(2q0).

(d) Demuestre que U(2q0) es el costo fijo.

(e) Demuestre la siguiente identidad:Cu

p+Cf

M0= 1.

. (a) ∀a, b ∈ R,∀c, d > 0,

� E(c,d) ◦ T(a,b)(x, y) = E(c,d)(x− a, y − b) =

(x− ac

,y − bd

)

� Ta

c,b

d

◦ E(c,d)(x, y) = T

a

c,b

d

(cc,y

d

)=

(x

c− a

c,y

d− b

d

)=

(x− ac

,y − bd

)

� Por lo tanto

∀a, b ∈ R,∀c, d > 0,

[E(c,d) ◦ T(a,b) = T

a

c,b

d

◦ E(c,d)

]

(b) Para todo n ∈ N,

U(q) = (p− Cu)q − Cf

U(nq) = (p− Cu)(nq)− Cf

Reemplazando en:

U(nq)− nU(q) = ((p− Cu)(nq)− Cf )− n((p− Cu)q − Cf ) = (n− 1)Cf

Por lo tanto

U(nq) = nU(q) + (n− 1)Cf .

(c) Aplique la propiedad U(nq) = nU(q) + (n− 1)Cf para n = 3, q = q0, y observe que U(q0) = 0.

(d) Aplique la propiedad U(nq) = nU(q) + (n− 1)Cf para n = 2, q = q0, y observe que U(q0) = 0.

(e) � Dado que (q0,M0) ∈ I entonces p =M0

q0

� En el equilibrio (p− Cu)q0 = Cf

� Igualando q0 obtenemos queCu

p+Cf

M0= 1.

(f) Notemos que (0,−Cf ), (q0, 0) ∈ U .

41



(a) Si la pendiente de la oferta aumenta y su p-intercepto se mantiene constante, la cantidad de equilibrio aumenta.

(b)

∀a, b ∈ R,∀c, d > 0,[E(c,d) ◦ T(a,b) = T(a,b) ◦ E(c,d)

]

(c) Las ecuaciones de ingreso y costo de un productor estan dadas por I = pq y C = cf + cuq donde (q0,M0) es el punto de

equilibrio actual. Si el precio y costo fijo se mantienen constantes, y el costo por unidad se incrementa, entonces el nuevo

costo por producir q0 unidades es igual a M0.

(d) Si una recta corta en un solo punto a una parabola entonces es tangente a la parabola.

(e) En una hiperbola equilatera el producto de sus pendientes -1.

(f) E(−1,−1)(x, y) = (−x,−y).

(g) La sucesion (an) definida por an =2n2 − 16n+ 37

n2 − 8n+ 17no es acotada.

. (a) Mediante una grafica se observa que la oferta gira en sentido anti-horario. Por lo tanto la cantidad de equilibrio disminuye.

qe

pe

p′e

q′e

OO′

Dq

p

(b) Contraejemplo:(E(2,2) ◦ T(1,1)

)(1, 1) 6=

(T(1,1) ◦ E(2,2)

)(1, 1) (compruebe).

(c) Mediante una grafica se observa que el Costo gira en sentido anti-horario. Por lo tanto el nuevo costo por producir q0

unidades es mayor a M0.

q0

M0

C′

C

I

q

soles

(d) Contraejemplo: el eje focal de la parabola.

(e) Contraejemplo: xy = 1 (hiperbola equilatera rotada 45◦).

(f) Por definicion de re-escalamiento h y k son positivos.

(g) Dado que la sucesion (an) es convergente entonces es acotada.

42



(a) En una empresa si el precio unitario aumenta entonces el nivel de produccion de equilibrio aumenta.

(b) Si el costo fijo es de 1000 soles y (100,1200) es el punto de equilibrio, entonces la utilidad esta dada por U(q) = 10q−2000.

(c) La recta l : 2x+ 3y = 5 puede ser transformada por una traslacion en la recta l : 3x+ 4y = 5.

(d) El excedente del consumidor siempre es mayor que el excedente del productor.

(e) “En general, la pendiente es lo mismo que la razon de cambio”.

(f) Si la recta l de ecuacion x+ y = k es tangente a la circunferencia de ecuacion x2 + y2 = 8 entonces k = 4.

. (a) Mediante una grafica se observa que el Ingreso gira en sentido anti-horario. Por lo tanto el nivel de produccion de equilibrio

disminuye.

q0

M ′0

M0

q′0

C

I ′

I

q

soles

(b) De la ecuacion de la utilidad observamos que Cf = 2000.

(c) Aplicar el ıtem (a) del problema (1).

(d) Contraejemplo: O : p = q + 1 , D : p = 5− q (aplicar el problema (15))

2

1

3

5

O

Dq

p

(e) Cuando la pendiente es vertical la razon de cambio no existe y por lo tanto en general no son lo mismo.

(f) Sustituyendo y = k − x en x2 + y2 = 8 y por condicion de tangencia el discriminante ∆ = 0, entonces k ∈ {−4, 4}.

43


En la figura adjunta: Demuestre que la ecuacion de la recta tangente l a la circunferencia C : x2 + y2 = r2 esta dada por

ax+ by = r2

l

P (a, b)

O

C : x2 + y2 = r2

x

y

. � Como (a, b) ∈ C

a2 + b2 = r2 (1)

l

P (a, b)

O

C : x2 + y2 = r2

x

y

� De la grafica: pend(l) · pend(O,P ) = −1

pend(l) = −ab

(2)

� La ecuacion punto-pendiente de la recta l es:

l : y − b = −ab

(x− a)

� De (1)

l : ax+ by = r2

Observacion: Si (a, b) = (0, r) entonces l : 0x+ ry = r2.

44



� Determinar la ecuacion de la recta tangente l a la circunferencia de ecuacion C : x2 + y2 = 25 que pasa por el punto

A(−7,−1).

� Determine el punto de tangencia.

l

A(−7,−1) O

C : x2 + y2 = 25

x

y

. � Denotemos

l

A(−7,−1)

B(a, b)

O

C : x2 + y2 = 25

x

y

� Como (a, b) ∈ C

a2 + b2 = 25 (3)

� De la grafica: pend(A,B) · pend(O,B) = −1

7a+ b = −25 (4)

� De las ecuaciones (1) y (2) tenemos que (a, b) = (−4, 3).

� Por lo tanto la ecuacion de la recta tangente es 4x− 3y + 25 = 0.

45


Determine la ecuacion de la recta tangente l que pasa por el punto P = (4, 1) a la elipse E de ecuacion:

E :x2

18+y2

9= 1

. � Mediante una re-escalamiento transformemos la elipse a una circunferencia, re-escribiendo

E :

(x

3√

2

)2

+(y

3

)2= 1

� Apliquemos el siguiente re-escalamiento

x′ =x

3√

2

y′ =y

3

(α)

� Entonces

E ′ : x′2 + y′2 = 1 y P ′ =

(4

3√

2,

1

3

)

� Aplicando el problema (5) la ecuacion de la recta tangente en el sistema de coordenadas x′y′ es

l′ :4

3√

2x′ +

1

3y′ = 1

� Aplicando (α) obtenemos la ecuacion de la recta tangente l en el sistema de coordenadas original xy:

l : 2x+ y − 9 = 0.

46



Determine la ecuacion de la recta tangente l a la hiperbola H en el punto ( 12 , 2).

l

P ( 12 , 2)

O

H : xy = 1

x

y

. � Denotemos por m la pendiente de la recta l.

� La ecuacion punto-pendiente de la recta l es

y − 2 = m

(x− 1

2

)

� Reemplazando en la ecuacion de la hiperbola obtenemos la ecuacion cuadratica

x

(2 +m

(x− 1

2

))= 1⇔ mx2 +

(2− m

2

)x− 1 = 0 (α)

� Dado que la recta l es tangente a la hiperbola entonces se interceptan en un solo punto. Luego la ecuacion cuadratica

(α) debe tener solucion unica, esto es, su discriminante deber ser cero

∆ = 0⇔(

2− m

2

)2− 4m(−1) = 0⇔ 1

4(m+ 4)2 ⇔ m = −4

� Por lo tanto la ecuacion punto-pendiente de la recta l es

y − 2 = −4

(x− 1

2

)

47


Una empresa local tiene ecuaciones de ingreso (I), costo total (C) y utilidad (U) lineales. El punto de equilibrio es (q0, 1800)

y U(3q0) = 2400. Se sabe que cuando se producen 125 unidades se tiene una ganancia de 300 soles. Determine las ecuaciones

del ingreso, costo total y utilidad.

. � Notemos la siguiente propiedad: Si n ∈ N, entonces

U(nq) = nU(q) + (n− 1)Cf

� En particular para n = 3 y q = q0,

U(3q0) = 3U(q0) + 2Cf

� En el equilibrio U(q0) = 0 entonces Cf = 1200.

� Como

U = (p− Cu)q − Cf (1)

300 = (p− Cu)· 125− 1200

entonces

p− Cu = 12 (2)

Reemplazando en (1)

U = 12q − 1200

� En el equilibrio U(q0) = 0 entonces q0 = 100.

� Como (q0,M0) ∈ I entonces (I = pq)

p =M0

q0=

1800

100= 18

� Reemplazando en (2), Cu = 6.

� Por lo tanto

I = 18q

C = 6q + 1200

U = 12q − 1200

48


Pedro debe construir el grafico del costo, ingreso y utilidad de la empresa donde trabaja, la cual se encarga de la venta

de pasadores deportivos. Olvido trazar una de las rectas, por lo cual obtuvo el grafico mostrado. Si la empresa vende 100

pasadores mas, sus utilidades se incrementan en 8 soles.

I

U

60

−6400

(m,n)

320600

ciento de unidades

S/. Soles

(a) Determine las ecuaciones de costo, ingreso y utilidad.

(b) Calcule m y n.

(c) Determine la cantidad en la cual la utilidad es el 100% del costo.

. � Del enunciado tenemos que la pendiente de la utilidad es

pendU =∆U

∆q= p− Cu =

+8

+1= 8

� Luego la ecuacion de la utilidad es

U = (p− Cu)q − Cf

U = 8q − Cf

� De la grafica notamos que U(60) = 0, entonces Cf = 480

U = 8q − 480 (1)

� De la grafica (60, 600) ∈ I entonces

I = pq

600 = p · 60

p = 10

I = 10q (2)

� C = I − U = 2q + 480

� De (1): Para U = 320 tenemos que q = 100

� De (2): Para q = 100 tenemos que I = 1000, entonces

(m,n) = (100, 1000)

� Resolver U(q) = C(q)49


En una empresa los ingresos y costos son lineales y cambian mensualmente. Se sabe que el monto de equilibrio y la cantidad

de equilibrio en el n-esimo mes son respectivamente

Mn =2· 3n + 3·πn

πn

qn =√

4n2 + 8n− 2n

Ademas, los costos fijos en el n-esimo mes son

Cn =2 + 2n+ n2

1 + 2n+ 2n2

(a) Calcule el punto de equilibrio a largo plazo.

(b) Calcule el costo fijo a largo plazo.

(c) Calcule la ecuacion de la utilidad a largo plazo.

. (a) Denotemos el punto de equilibrio a largo plazo por (q0,M0), entonces

q0 = limn→∞

qn = limn→∞

√4n2 + 8n− 2n = lim

n→∞

(√4n2 + 8n− 2n

)(√4n2 + 8n+ 2n√4n2 + 8n+ 2n

)

= limn→∞

8n√4n2 + 8n+ 2n

= limn→∞

8√4 + 8

n + 2=

8√4 + 0 + 2

= 2

M0 = limn→∞

Mn = limn→∞

2· 3n + 3·πn

πn= lim

n→∞2 ·(

3

π

)n

+ 3

= 2 · 0 + 3 = 3

(∣∣∣∣3

π

∣∣∣∣ < 1

)

(b) Denotemos el costo fijo a largo plazo por Cf , entonces

Cf = limn→∞

Cn = limn→∞

2 + 2n+ n2

1 + 2n+ 2n2

= limn→∞

2n2 + 2

n + 11n2 + 2

n + 2

=0 + 0 + 1

0 + 0 + 2=

1

2

(c) Dado que (0,−Cf ), (q0, 0) ∈ U (a largo plazo) entonces la ecuacion doble-intercepto de la utilidad es

q

q0+

U

−Cf= 1

q

2+

U

− 12

= 1

50


Los ingresos en soles de una empresa estan dados por

I = 2q2 − 8q + 20

donde q son las unidades producidas y vendidas. Supongamos que el costo es lineal.

(a) Si el costo unitario es de 4 soles por unidad y el costo fijo es de 4 soles, calcule los niveles de produccion en los que no hay

perdidas ni ganancias.

(b) Si el costo unitario se mantiene en 4 soles por unidad, determine el nuevo costo fijo para que exista solo un nivel de

produccion en donde no hay perdidas ni ganancias.

. (a) Del enunciado el costo total es C = 4q + Cf = 4q + 4

I(q) = C(q)⇔ 2q2 − 8q + 20 = 4q + 4

⇔ 2(q − 2)(q − 4) = 0

⇔ q ∈ {2, 4}

Por lo tanto los niveles de produccion en los que no hay perdidas ni ganancias son dos unidades o cuatro unidades.

(b) Del enunciado el costo total es C = 4q +Kf

I(q) = C(q)⇔ 2q2 − 8q + 20 = 4q +Kf

⇔ 2q2 − 12q + (20−Kf ) = 0 (α)

Para que exista solo un nivel de produccion en donde no hay perdidas ni ganancias la ecuacion cuadratica (α) debe poseer

solucion unica, esto es, su discriminante debe ser ∆ = 0

∆ = 0⇔ (−12)2 − 4(2)(20−Kf )

⇔ 8Kf − 16 = 0

⇔ Kf = 2

Por lo tanto el nuevo costo fijo para que exista solo un nivel de produccion en donde no hay perdidas ni ganancias debe

ser 2 soles.

51


La cadena de librerıas V& W adquiere de la editorial LIWRU los libros “Calculo Diferencial para Economistas” a un costo

de 20 soles por unidad. Actualmente, la librerıa V& W vende cada libro a 25 soles teniendo una demanda semanal de 55

ejemplares. Ademas se estima que, por cada sol que se reduce el precio del libro se venden 5 libros mas por semana.

(a) Denotemos por p es el precio de venta (unitario) de cada libro y por q el numero de libros. Determine la ecuacion de la

demanda D (semanal) del libro.

(b) Determine la ecuacion utilidad U (semanal) en terminos de q (considere que el costo fijo es nulo).

(c) ¿Cuanto debe incrementar el precio de venta actual para obtener el maximo beneficio?

. (a) Del enunciado (55, 25) ∈ D y la pendiente de la demanda D es

pendD =∆p

∆q=−1

+5

entonces la ecuacion punto-pendiente de la demanda D es

p− 25 = −1

5(q − 55)

(b) El ingreso, el costo total y la utilidad estan dadas por

I = pq =(

36− q

5

)q

C = Cuq = 20q

U = I − C = 16q − q2

5

(c) Observamos que la utilidad U representa una parabola. Apliquemos el proceso de completacion de cuadrados

U − 320 = −1

5(q − 40)2

Entonces la utilidad maxima (semanal) es 320 soles, para un nivel de produccion de 40 libros, luego reemplazando en

la ecuacion de la demanda tenemos que el precio de venta es 28 soles. Por lo tanto la cadena de librerıas V& W debe

incrementar el precio del libro en 28− 25 = 3 soles para obtener el maximo beneficio.

52


Se sabe que una empresa tiene una utilidad de dos mil soles cuando se producen ochocientas unidades. Ademas se sabe que

por cada aumento de cincuenta unidades en la produccion, la utilidad aumentara en doscientos soles.

(a) Asuma que la utilidad es lineal y determine su ecuacion.

(b) Si el monto de equilibrio es el doble del costo fijo, determine la ecuacion del costo total.

. � Del enunciado

(800, 2000) ∈ U

p− Cu =∆U

∆q=

+200

+50= 4

� Entonces la ecuacion punto-pendiente de la utilidad es

U − 2000 = 4(q − 8000)⇔ U = 4q − 30000

Cf = 30000

� Del enunciado

M0 = 2Cf = 60000

� En el equilibrio U(q0) = 0 entonces q0 = 7500

� Como (q0,M0) ∈ I entonces p =M0

q0= 8

� Dado que p− Cu = 4 entonces Cu = 4

� Por lo tanto la ecuacion del costo total es

C = 4q + 30000.

53


(a) Sean D : p = m1q + b1 y O : p = m2q + b2 las ecuaciones de la demanda y la oferta de cierto bien, donde las constantes

m1,m2, b1, b2 satisfacen m1 < 0, m2 > 0, b1 > b2 > 0. Demuestre que EP = EC si y solamente si m2 = −m1.

(b) La ecuacion de la oferta de cierto bien viene dada por p = a2q+ 2 (a > 0). Si la ecuacion de la demanda, es perpendicular

a la oferta, y pasa por el punto (0, b), donde b > 2. Calcule el valor de a para que el excedente del productor sea igual al

excedente del consumidor.

(c) En un mercado de oferta y demanda altamente inestable, la ecuacion de la oferta, que depende del tiempo, esta dada por

O : p = (3t2 − 4t+ 4)q + (9t+ 2) y la ecuacion de la demanda es D : p = − 83q + 24, donde t ∈ [0, 1].

(1) Determine la ecuacion de la oferta en el instante (tiempo) en que EP = EC.

(2) Determine el punto de equilibrio en el instante (tiempo) encontrado en el item anterior.

. (a) Como (qe, pe) ∈ O y (qe, pe) ∈ D, entonces

pe = m1qe + b1

pe = m2qe + b2

De la grafica:

EP = EC ⇔ qe(b2 − pe)2

=qe(pe − b1)

2

⇔ qe(−m2qe)

2=qe(m1qe)

2

⇔ m2 = −m1

EC

EPD : p = m2q + b2

O : p = m1q + b1

(qe, pe)

q

p

(b) Dado que la ecuacion de la demanda es perpendicular a la oferta, entonces la ecuacion de la demanda es

p = − 1

a2q + b

Por el ıtem (a) para que el excedente del consumidor sea igual al excedente del productor se debe cumplir que

m1 = −m2 ⇔ −1

a2= −a2

⇔ a4 = 1

⇔ a = 1

(c) (1) Por el ıtem (a) para que el excedente del consumidor sea igual al excedente del productor se debe cumplir que

m1 = −m2 ⇔ 3t2 − 4t+ 4 =8

3

⇔ (3t− 2)2 = 0

⇔ t =2

3

(2) Igualamos la oferta y la demanda

O = D ⇔ 8

3q + 8 = −8

3q + 24

⇔ q = 3

Por lo tanto el punto de equilibrio es (qe, pe) = (3,16).

54


La oferta y la demanda de un bien son lineales y cambian cada dıa. La variable t representa el dıa, ası t = 1 representa el dıa

de hoy y t = 2 el dıa de manana. En el dıa t, cuando el precio unitario es de 2 soles por unidad, se ofertan 2−t/2 unidades

del bien. En cualquier dıa el productor esta dispuesto a vender 10 unidades del bien por un total de 60 soles. Por otro lado,

el p-intercepto de la demanda en el dıa t es de 23t2

t2−1 soles por unidad y en cualquier dıa si el precio unitario aumenta en 4

soles la demanda disminuye en 5 unidades. Calcule el precio del mercado a largo plazo (Sugerencia: determine primero las

ecuaciones de la oferta y la demanda a largo plazo).

. � A largo plazo para un precio unitario de 2 soles se ofertara limt→∞ 2−t/2 unidades (aproximadamente)

limt→∞

2−t/2 = limt→∞

(1√2

)t

= 0

(∣∣∣∣1√2

∣∣∣∣ < 1

)

Por lo tanto a largo plazo para un precio unitario de 2 soles se ofertara 0 unidades, esto es, (0, 2) ∈ O.

� Como en cualquier dıa el productor esta dispuesto a vender 10 unidades del bien por un total de 60 soles, entonces a

largo plazo (10, 6) ∈ O. Por lo tanto la ecuacion de la oferta a largo plazo sera:

O : P =2

5q + 2

� El p−intercepto de la demanda a largo plazo sera limt→∞ 23t2

t2−1 soles (aproximadamente)

limt→∞

23t2

t2−1 = 2limt→∞ 3t2

t2−1 = 23 = 8

Por lo tanto el p−intercepto de la demanda a largo plazo sera p = 8, entonces a largo plazo (0, 8) ∈ D.

� Como en cualquier dıa si el precio unitario aumenta en 4 soles la demanda disminuye en 5 unidades, entonces la pendiente

de la demanda a largo plazo sera:

pendD =∆p

∆q=

+4

−5= −4

5

Por lo tanto la ecuacion de la demanda a largo plazo sera:

D : P = −4

5q + 8

� Igualando las ecuaciones de la oferta y la demanda (a largo plazo), el punto de equilibrio sera (qe, pe) = (5, 4).

� Por lo tanto el precio de mercado a largo plazo sera: pe = 4 soles.

55


El capitan de un navıo se encuentra en un mercado del caribe donde los productores de cana de azucar hacen sus ventas. El

capitan puede pagar 40 monedas de oro por 5 botellas de ron. El precio de equilibrio se establece en 7 monedas de oro por

botella. El excedente del capitan es de 10 monedas de oro.

(a) Encuentre la ecuacion de la demanda del capitan.

(b) Los productores ofertan 20 botellas a un precio mayor al que el capitan esta dispuesto a comprarlas. La diferencia en

estos precios por unidad es de 7 monedas de oro. ¿Cuanto debe subir el precio unitario para que los productores oferten

6 botellas adicionales?

(c) Calcule el excedente de los productores.

. � Denotemos:

D : la ecuacion de la demanda del capitan.

O : la ecuacion de la oferta de los productores de cana de azucar.

� Del enunciado (5, 8) ∈ D, pe = 7, entonces

D : p− 8 = m(q − 5)⇔ p = mq + (8− 5m) (1)

� Reemplazando pe = 7 en la ecuacion (1),

qe =5m− 1

m

� Del enunciado EC = 10 entonces(

5m− 1

m

)·(

(8− 5m)− 7

)

2= 10

resolviendo, m = −1

5.

� La ecuacion de la demanda es

D : p = −1

5q + 9 (2)

� (20, 5) ∈ D entonces (20, 12) ∈ O, ademas (qe, pe) = (10, 7) ∈ O

O : p− 7 =+5

+10(q − 10)⇔ p =

1

2q + 2 (3)

� El precio unitario debe subir en 3 monedas de oro para que los productores oferten 6 botellas adicionales.

� El excedente de los productores es 25 monedas de oro.

56


Si la recta l1 tiene ecuacion k2x + (k + 1)y + 3 = 0 y la recta l2 tiene ecuacion 3x − 2y − 11 = 0, ¿para que valores de k las

rectas son paralelas?

. � Analicemos el caso vertical

Vertical

l1 k2x+ (k + 1)y + 3 = 0 k ∈ {−1}l2 3x− 2y − 11 = 0 ∅

De la tabla deducimos que el caso vertical no es posible.

� Ahora consideremos el caso no vertical (es decir, las pendientes son reales) k ∈ R− {−1}.

Aplicando el Teorema l1 ‖ l2 si y solamente si

− k2

k + 1= − 3

−2

2k2 + 3k + 3 = 0

Notemos que el discriminante de la ecuacion cuadratica es ∆ < 0. Entonces la ecuacion cuadratica no tiene solucion y

por lo tanto las rectas nunca son paralelas.

Teorema. Sean las rectas l1 y l2 con pendientes m1,m2 ∈ R. l1 ‖ l2 si y solamente si m1 = m2.

57


A continuacion se presenta la grafica en el plano cartesiano de una hiperbola H. Determine la ecuacion de la hiperbola H.

−1 3

−1

5

x

yH

. � Como la hiperbola se abre horizontalmente su ecuacion esta dada por

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1

� De la grafica notamos que 2a = 1 + 3 y 2b = 1 + 5 (rectangulo imaginario). Entonces a = 2 y b = 3.

� De la grafica 1 + h = a y k + 1 = b. Entonces h = 1 y k = 2.

� Por lo tanto la ecuacion de la hiperbola es(x− 1)2

4− (y − 2)2

9= 1

58


Una de las asıntotas de la hiperbola H tiene ecuacion y = 2x, y la otra asıntota tiene y-intercepto 8.

(a) Determine la ecuacion de la hiperbola H, si ademas se sabe que pasa por el punto P = (3, 4 + 2√

5).

(b) Grafique la hiperbola H indicando vertices y centro, y sus asıntotas indicando interceptos.

. � Dado que las pendientes de las asıntotas de una hiperbola son opuestas, entonces las ecuaciones de las asıntotas son

l1 : y = 2x

l2 : y = −2x+ 8

� Como la pendiente de l1 esb

a, entonces b = 2a.

� Igualando las ecuaciones de las asıntotas obtenemos el centro de la hiperbola:

(h, k) = (2, 4)

� Dado que el punto P = (3, 4 + 2√

5) ∈ H y el centro de la hiperbola es (h, k) = (2, 4), entonces la hiperbola se abre

verticalmente.(y − 4)2

b2− (x− 2)2

a2= 1.

� Como el punto P = (3, 4 + 2√

5) ∈ H y b = 2a entonces

((4 + 2√

5)− 4)2

b2− (3− 2)2

a2= 1→ 20

(2a)2− 1

a2= 1

→ 5

a2− 1

a2= 1

→ a = 2

� Por lo tanto, la ecuacion de la hiperbola es:

H :(y − 4)2

42− (x− 2)2

22= 1.

59


Determine la ecuacion de la hiperbola que se presenta en la siguiente grafica:

6

4

(−3,−2)

x

y

. � Como la hierbola se abre verticalmente su ecuacion esta dada por

(y − k)2

b2− (x− h)2

a2= 1

� Dado que las pendientes de las asıntotas de una hiperbola son opuestas, entonces de la grafica, las ecuaciones de las

asıntotas de la hiperbola son

l1 : y = 4 + 2x

l2 : y = −2x


(h, k) = (−1, 2)

� Como la pendiente de l1 esb

a, entonces b = 2a.

� De la grafica notamos que b = 4 (distancia del centro al vertice de la hiperbola).


(y − 2)2

42− (x+ 1)2

22= 1

60


Sea P : x2 − 10x− 8y + 9 = 0 la ecuacion de una parabola.

(a) Determine las transformaciones para obtener la nueva ecuacion de la parabola

P ′ : (y′) = (x′)2

(b) Calcule la ecuacion de la recta tangente a la parabola en el punto A =

(7,−3

2

)

. (a) Completando cuadrados

y + 218

=

(x− 5

1

)2

Aplicando las transformaciones

x′ =x− 5

1

y′ =y + 2

18

(α)

[E(1, 18 ) ◦ T(5,−2)

](x, y) = (x′, y′)

entonces la ecuacion de la parabola P y el punto A en el nuevo sistema de coordenadas x′y′ son

P ′ : (y′) = (x′)2 , A′ = (2, 4)

(b) Luego la ecuacion de la recta tangente a la parabola P ′ en el punto A′ en el sistema de coordenadas x′y′ es

l′ : y′ − 4 = 4(x′ − 2) (Teorema)

reemplazando x′, y′ por (α) obtenemos la ecuacion de la recta tangente a la parabola en el sistema original xy

l : x− 2y − 10 = 0

61


Determine el centro, los vertices y las asıntotas de la hiperbola de ecuacion

H : xy = 1

. Apliquemos la transformacion de coordenadas Rπ2

(x, y) = (x′, y′) (rotacion horaria de 45◦):

Rπ2

:

x′ =x+ y√

2

y′ =y − x√

2

cuya transformacion inversa es:

x =x′ − y′√

2

y =x′ + y′√

2

reemplazando en la ecuacion de la hiperbola H : xy = 1

H′ : (x′)2 − (y′)2 = 2

En el sistema de coordenadas x′y′ tenemos que:

� El centro de la hiperbola: (0, 0)

� Vertices de la hiperbola: (√

2, 0) y (−√

2, 0)

� Asıntotas de la hiperbola: y′ = ±x′

En el sistema original de coordenadas xy tenemos que (aplicando la transformacion inversa):

� El centro de la hiperbola: (0, 0)

� Vertices de la hiperbola: (1, 1) y (−1,−1)

� Asıntotas de la hiperbola: x = 0 y y = 0

B(7, 1)

p(x, y)

H : xy = 1

x′y′

45◦

x

y

62


Determine la ecuacion de la hiperbola que se presenta en la siguiente grafica.

−1

8

2 10x

y

. � Dado que las pendientes de las asıntotas de una hiperbola son opuestas, entonces de la grafica, las ecuaciones de las

asıntotas de la hiperbola son

l1 : y = −x+ 10

l2 : y = x− 1


(h, k) =

(11

2,

9

2

)

� Dado que la pendiente de la asıntota l1 es uno, entonces a = b.

� De la grafica a = 72 (distancia del centro al vertice de la hiperbola), se sigue que b = 7

2 .


(x− 11

2

)2(72

)2 −(y − 9

2

)2(72

)2 = 1

63


En la siguiente figura se muestra cuatro triangulos.

(a) Describa las transformaciones que convierten al triangulo ABC en los triangulos: A′B′C ′, A′′B′′C ′′ y A′′′B′′′C ′′′.

(b) Determine la transformaciones.

−7 −4−3−2 1 3 4 5 7 8 17

−3

−1

1

2

3

4

7

y = x

A B

C

A′ B′

C ′

A′′B′′

C ′′

A′′′

C ′′′

B′′′

x

y

. (a) � ∆PQR =

[Rv ◦ T(−5,−1) ◦ E(1

3,1

2

) ◦ T(3,1)]

(∆ABC)

� ∆PQR =

[Rh ◦ T(0,−1)

](∆ABC)

� ∆PQR =

[Rh ◦ T(−2,−3) ◦Rd ◦ T(3,1)

](∆ABC)

(b)

64


Demuestre que la reflexion P ′(x′, y′) del punto P (x, y) a traves de la recta l de ecuacion:

l : y = mx

esta dada por la transformacion Rm(x, y) = (x′, y′):

x′ =1−m2

1 +m2x+

2m

1 +m2y

y′ =2m

1 +m2x+

m2 − 1

1 +m2y

Mas generalmente la reflexion P ′(x′, y′) del punto P (x, y) a traves de la recta l de ecuacion:

l : y = mx+ b

esta dada por la transformacion R(m,b)(x, y) = (x′, y′):

x′ =1−m2

1 +m2x+

2m

1 +m2(y − b)

y′ =2m

1 +m2x+

m2 − 1

1 +m2(y − b) + b

. � Denotemos por l′ la recta que pasa por los punto P y P ′.

y = mxP (x0, y0)

P ′(x′0, y

′0)

M(a, b)

x

y

� Entonces la ecuacion de la recta l′ es:

l′ : y − y0 = − 1

m(x− x0)

� Luego M(a, b) sera la solucion del siguiente sistema:

y = mx

y − y0 = − 1

m(x− x0)

� Resolviendo el sistema:

a =1

1 +m2x0 +

m

1 +m2y0

b =m

1 +m2x0 +

m2

1 +m2y0

� Aplicando la propiedad del punto medio:

x′0 =1−m2

1 +m2x0 +

2m

1 +m2y0

y′0 =2m

1 +m2x0 +

m2 − 1

1 +m2y0

� El caso general lo podemos reducir al caso inicial aplicando las siguientes transformaciones:

R(m,b) = T(0,−b) ◦Rb ◦ T(0,b)

65


Para la recta

l : y = 2x− 3

se realizan un numero finito de transformaciones, en el siguiente orden:

(a) Una traslacion vertical de dos unidades hacia arriba.

(b) Una reflexion horizontal.

(c) Una traslacion horizontal de una unidad a la izquierda.

(d) Una reflexion respecto de la recta

L : y = 3x

Determine la transformacion resultante y la ecuacion de la recta resultante.

. � Aplicando el Problema (27) anterior la reflexion del punto (x, y) a traves de la recta y = mx esta dada por:

Rm(x, y) =

(1−m2

1 +m2x+

2m

1 +m2y,

2m

1 +m2x+

m2 − 1

1 +m2y

)

� Las transformaciones son las siguientes:

[R3 ◦ T(1,0) ◦Rh ◦ T(0,−2)

](x, y) = (x′, y′)

� La ecuacion de la recta resultante es:

l′ : 2y − x+ 3 = 0

66


A continuacion se muestran los graficos de dos parabolas.

(a) Determine las ecuaciones de las parabolas (A) y (B).

(b) Determine las transformaciones de coordenadas adecuadas que conviertan a la parabola (A) en la parabola (B).

2−1

A

B

x

y

. (a) La ecuacion de la parabola (A) es:

A : y + 1 = (x− 2)2

La ecuacion de la parabola (B) es:

B : x = −y2

(b) La transformaciones de coordenadas que convierten la parabola (A) en la parabola (B) son:

[Rπ

2◦ T(2,−1)

](x, y) =

[Rh ◦Rd ◦ T(2,−1)

](x, y) = (x′, y′)

67


Trasladar los ejes xy de modo que la ecuacion x3 + 3x2 + 2y+ 8 = 0 referida a los nuevos ejes no contenga terminos de segundo

grado, ni termino constante.

. Consideremos la traslacion T(h,k)(x, y) = (x′, y) entonces

x′ = x− h

y′ = y − k

reemplazando en la ecuacion x3 + 3x2 + 2y + 8 = 0 deducimos que la transformacion es

(x′, y′) = T(1,−3)(x, y)

Por lo tanto la ecuacion x3 + 3x2 + 2y + 8 = 0 en el nuevo sistema de coordenadas x′y′ es:

(x′)3 − 3x′ + 2y′ = 0

68


En cierto mercado donde se oferta y demanda un bien se sabe que, para cantidades no mayores a 4 unidades, por cada sol que

se incrementa el precio unitario se deja de consumir dos unidades y, para cantidades mayores a 4 unidades, por cada dos soles

que se incrementa el precio unitario se deja de consumir una unidad. Ademas, el consumidor esta dispuesto a gastar 14 soles

por 2 unidades y 20 soles por 5 unidades.

(a) Modele la relacion demanda.

(b) Si el excedente del consumidor es de 13 soles, determine la cantidad de equilibrio.

. (a) Del enunciado:

� (2, 7), (5, 4) ∈ D

� Si q ≤ 4 entonces∆p

∆q= −1

2.

� Si q > 4 entonces∆p

∆q= −2.

� Por lo tanto la relacion demanda es:

D : p =

−1

2q + 8 , q ≤ 4

−2q + 14 , q > 4

(b) Del enunciado EC = 13 y como (qe, pe) ∈ D entonces de la grafica (qe, pe) pertenece al segundo tramo de la definicion de

la demanda, esto es, cumple pe = −2qe + 14. Calculando el area EC obtenemos que qe = 5.

4 qe

pe

6

8

EC

D

(qe, pe)

x

y

69


Sea l una recta de pendiente negativa y P = (a, b) ∈ IC. Se dice que l es “amiga” con P cuando l pasa por P y el area S entre

ella y los ejes coordenados es 2ab u2. Demuestre que la ecuacion doble-intercepto de la recta “amiga” al punto (a, b) es:

x

2a+

y

2b= 1

. � Dado que (a, b) ∈ l entonces la ecuacion punto-pendiente de la recta l es:

l : y − b = m(x− a)

a− bm

b−mal

(a, b)

x

y

� Los interceptos de la recta l con los ejes coordenados son b−ma y a− bm .

� De la grafica

S =1

2

(a− b

m

)(b−ma

)

� Del enunciado S = 2ab entonces m = −ab

.

� Por lo tanto la ecuacion doble-intercepto de la recta l es:

x

2a+

y

2b= 1

70


De la siguiente figura se tiene que A es el centro de la circunferencia (C) y B es el centro de la elipse (E).

√3

4

A

B

C

E

x

y

(a) Determine las ecuaciones de la circunferencia y elipse.

(b) Sean T una transformacion de coordenadas tal que

T (C) = E

determine explıcitamente T (x, y) = (x′, y′) y expresela como una composicion de transformaciones conocidas.

. (a) De la grafica:

� C : (x−√

3)2 + (y − 2)2 = 22

� E :(x−

√3)2

√32 +

(y − 4)2

22= 1

(b) Re-escribiendo las ecuaciones de la elipse y la circunferencia:

� C :

(x−√

3

2

)2

+

(y − 2

2

)2

= 1

� E :

(x′ −

√3√

3

)2

+

(y′ − 4

2

)2

= 1

� La transformacion de coordenadas T (x, y) = (x′, y′) que convierte la circunferencia (C) en la elipse (E) esta dada por:

x−√

3

2=x′ −

√3√

3

y − 2

2=y′ − 4

2

equivalentemente

x′ =x− (

√3− 2)

2√3

y′ =y − (−2)

1

� T = E( 2√3,1) ◦ T(√3−2,−2)

71


Sean q0,M0 y Cf la cantidad de equilibrio, el monto de equilibrio y el costo fijo, respectivamente.

(a) Determine el precio unitario y el costo unitario en terminos de q0,M0 y Cf .

(b) Considere que varıa el costo total manteniendose Cf y que el precio unitario es el calculado en la parte anterior. Determine

todos los posibles valores del costo unitario C∗u, en terminos de q0,M0 y Cf , de forma que la nueva cantidad de equilibrio

q∗0 sea mayor o igual a 2q0.

. (a) p =M0

q0y Cu =

M0 − Cf

q0.

(b) Notemos que la condicion C∗u < p asegura la existencia del punto de equilibrio. En el nuevo equilibrio tenemos que

U(q∗0) = (p− C∗u)q∗0 − Cf = 0

entonces

q∗0 =Cf

p− C∗uDel enunciado:

2q0 ≤ q∗0 =Cf

p− C∗u

lo cual implica que p− Cf

2q0≤ C∗u. Por lo tanto

C∗u ∈[p− Cf

2q0, p

[

donde p =M0

q0.

72


Grafique en un solo plano la parabola de ecuacion:

P : y = (x− 1)2

y su reflexion con respecto a la recta de ecuacion:

l : y = x+ 1

. � Siguiendo la demostracion del problema (26) la reflexion R(x, y) = (x′, y′) a traves de la recta l esta dada por:

x′ = y − 1

y′ = x+ 1

Reemplazando en la ecuacion de la parabola (P):

P ′ : x′ + 1 = (y′ − 2)2

cambiando las etiquetas x′, y′ por x, y:

P ′ : x+ 1 = (y − 2)2

� Una segunda demostracion es mediante graficas, determinamos la reflexion del vertice de la parabola (P) y la reflexion

de sus puntos (0, 1), (2, 1), con lo cual deducimos que la transformacion de la parabola (P) es:

P ′ : x+ 1 = (y − 2)2

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7−1

1

2

3

4

5

6

x

y

73


(a) Determine el circuncentro y el circunradio del triangulo ABC donde A = (8, 2), B = (3, 7) y (−1, 5).

(b) Considere el conjunto de puntos E con la siguiente propiedad: P ∈ E si y solo si d(P, (−1, 0)) + d(P, (1, 0)) = 4. Demuestre

que E es una elipse e indique la ecuacion de esta.

. (a) Trazando las mediatrices de dos de sus lados del triangulo ABC, observamos que la interseccion de las mediatrices es el

centro de la circunferencia circunscrita. Por lo tanto el circuncentro y el circunradio del triangulo son C(3, 2) y R = 5.

74


Definimos las conicas C1 y C2 mediante las ecuaciones

C1 :(y − 3)2

16+

(x− 2)2

36= 1

C2 : y2 − 6y + 3x = 0

(a) Interprete algebraicamente los puntos donde las graficas de las conicas se intersectan.

(b) Determine los puntos de interseccion.

(c) Grafique las conicas y asıntotas identificando los puntos de interseccion de las conicas.

. (a) Los puntos donde las graficas de las conicas se intersectan representan el conjunto solucion del sistema de ecuaciones

(y − 3)2

16+

(x− 2)2

36= 1

y2 − 6y + 3x = 0

75




(a) qe =b2 − b1m1 −m2

, pe =m1b2 − b1m2

m1 −m2.

(b) EC =qe(b2 − pe)

2= −1

2m2q

2e

(c) EP =qe(pe − b1)

2=

1

2m1q

2e

(d) EP = EC si y solamente si m2 = −m1.

(e) Si EP = EC entonces pe =b1 + b2

2

.

76




(a) Determine la ecuacion de la demanda en terminos de EC y (qe, pe).

D : p = −2EC

q2eq +

(pe +

2EC

qe

)

(b) Determine la ecuacion de la demanda en terminos de EC, m2 y pe .

(c) Asuma que m2 = −m1. Determine la ecuacion de la oferta y de la demanda en terminos de E y (qe, pe).

(d) Asuma que (0, 0) ∈ O. Determine la ecuacion de la oferta y de la demanda en terminos de E y (qe, pe).

(e) Cuando el gobierno cobra, junto al productor, un impuesto de I unidades monetarias por unidad vendida, la oferta se

traslada verticalmente I unidades y la demanda permanece estable. Demuestre que el nuevo punto de equilibrio (q∗e , p∗e)

esta dado por:

q∗e = qe −q2e

2(EP + EC)I , p∗e = pe +

EC

EP + ECI

.

77

Lista de Problemas EP - WordPress.comProblema 1 EP Matematicas I (a )Demuestre que cualquier recta l...

Documents

Transcript of Lista de Problemas EP - WordPress.comProblema 1 EP Matematicas I (a )Demuestre que cualquier recta l...