Inferencias Acerca Del Parmetro de La Pendiente ²

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Inferencias acerca del parametro de la pendiente 1

Inferencias acerca del parmetro de la pendiente 1En casi todo el trabajo inferencial realizado hasta el momento, el concepto de variabilidad de muestreo ha sido dominante. En particular, las propiedades de las distribuciones de muestreo de varios datos estadsticos han sido la base para desarrollar formulas del intervalo de confianza y mtodos de prueba de hiptesis. La idea clave es que el valor de casi cualquier cantidad calculada a partir de los datos mustrales, el valor de casi cualquier dato estadstico, va a variar de una muestra a otra. Veamos un ejemplo Del ejercicio dado considere los datos de X= rapidez de liberacin de calor del rea del quemador y Y= proporcin de emisiones de NOx. Hay 14 observaciones, hechas en los valores de x. suponga que pendiente y la ordenada al origen de la recta de regresin verdadera son 1=1.70 y 0=-50 con =35(consistente con los valores `1=1,7114, 0= - 45.55, s=36.75). Se procede a generar una muestra de desviaciones aleatorias a 0 + 1 x para obtener los 14 valores correspondientes de Y. Los clculos de regresin se realizaron para obtener, la pendiente estimada, la ordenada al origen y la desviacin estndar. X100125125150150200200250250300 300 350400400Y150140180210190320280400430440390600610670Este proceso se repiti un total de 20 veces y se obtuvieron los valores. 10S10S1.7559-60.6243.231.7843-67.3641.801.6400-49.4030.691.5822-28.6432.461.4699-4.8036.261.8194-83.9940.801.6944-41.9522.891.6469-32.0328.111.44975.8036.841.7712-52.6633.041.7309-70.0139.561.7004-58.0643.441.8890-95.0142.371.6103-27.8925.601.6471-40.3043.711.6396-24.8940.781.7216-42.6823.681.7857-77.3132.381.7058-63.3131.581.6342-17.0030.933Hay variacin clara de los valores estimados de la pendiente y la ordenada al origen, as como de la desviacin estndar. Por lo tanto, la ecuacin de mnimos cuadrados varia de una muestra a la siguiente.Se muestra un diagrama de puntos de las pendientes estimadas, as como las graficas de la recta de regresin verdadera y las rectas de regresin de 20 muestras.

La pendiente1 de la recta de regresin poblacional es el cambio promedio real en la variable independiente y relacionada con un incremento unitario en la variable independiente X. La pendiente de la recta de mnimos cuadrados, proporciona una estimacin puntual de 1. del mismo que un intervalo de confianza se basaron en las propiedades de la distribucin de muestreo de mas inferencias respecto a 1 se basan en considerar a 1 como uno estadstico e investigar su distribucin de muestreo. Se supone que los valores de las X; se eligen antes de realizar el experimento, de modo que solo las Y son aleatorias. Los estimadores (estadsticos y por consiguiente, variables aleatorias) para 0 y 1 se obtienen al remplazar Y en las ec.(1)y(2)

De manera similar, el estimador para 2 resulta de remplazar cada y en la formula para S 2 por la variable aleatoria y:

El denominador de 1, S xx =(X-) 2, depende solo de las Y, as que es una constante. Entonces, como (X-)=Y(x-)= (0)=0 el estimador de la pendiente se puede escribir como.

Es decir 1 es una funcin lineal de las variables independientes Y1,Y2,..Yn. Cada una de las cuales tiene una distribucin normal.El recurrir a las propiedades de una funcin lineal de variables aleatorias da lugar a resultados siguientes.El valor de 1 es E(1)=1, =1, as 1 es un estimador insesgado de 1(la distribucin de 1 se centra siempre en el valor de 1)La varianza y la desviacin estndar de 1 son

Al reemplazar por su estimacin s se obtiene una estimacin para 1, la desviacin estndar estimada, es decir, el error estndar estimado, de 1):

3. El estimador 1tiene una distribucin normal(debido a que es una funcin lineal de las variables aleatorias normales independientes. Teorema. Las suposiciones del modelo de regresin lineal simple implica que la variable estandarizada tiene una distribucin t con n 2 gl.

El manejo de las desigualdades dentro de los parntesis para aislar 1 y la sustitucin de las estimaciones en lugar de los estimadores proporciona la formula del IC. Intervalo de confianza para 1

Como en la deduccin previa de los IC, se empieza con un enunciado de probabilidad:

Este intervalo tiene la misma forma general que muchos de los intervalos previos. esta centrado en la estimacin puntual del parmetro, y la cantidad que abarca a cada lado de la estimacin depende del nivel de confianza deseado(por el valor critico t) y la cantidad de variabilidad en el estimador 1(por s 1 que tendera a ser pequea cuando haya poca variabilidad en la atribucin de 1 y grande en caso contrario)Veamos un ejemplo: