![PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL KIMIA 2015/2016 · PDF filegelembung/tidak ada 0 < α < 1 3. Non elektrolit Padam Tidak ada gelembung 0 . 8 [H+] = √K a2. [H 2 C 2 O 4] -= √5,4 x 10 5](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5a7308577f8b9ab1538e2545/pembahasan-ujian-nasional-kimia-20152016-gelembungtidak-ada-0-1-3.jpg)
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SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
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SOLUCIÓN NUMÉRICA DE
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
SOLUCION NUMERICA
Una solución de esta ecuación inicial con CI es una función
0 0: ( , )x x Rϕ ε ε− + →
tal que
0 0'( ) ( , ( )), para ( , )x f x x x x xϕ ϕ ε ε= ∈ − +
PROBLEMA: Hallar una aproximación numérica de la solución de la EDO con CI
Curva solución
pendiente
Campo de pendientes f(x,y)
0 1 2 ,na x x x x b= < < < < =L
Conocemos 0( ) ( )a xϕ ϕ=
Queremos obtener una aproximación de ( ) para b b aϕ >
Consideramos una partición del intervalo
donde lo llamamos tamaño de paso. Observemos que
[ , ]a b
1i it th
n
+ −=
0 , 1, 2,...kt kh t k n= + =
Curva solución
pendiente=
Consideramos la condición inicial
0 0 0 0( , ) ( , ( )) ( , ( ))x y x y x a y a= =
0 0 0 2( ) ( ) '( )( ) ( )y x y x y x x x R x= + − +
El desarrollo de Taylor 1er orden alrededor de
0x
0 0 0( ) ( ) '( )( )y x y x y x x x+ −�
obtenemos la aproximación lineal de ( )y x
cerca de 0x
tomando 1 0x x x h= = +
obtenemos 1 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( , )y x y x y x h y x y x h y x f x y h= = + + = +�
1 1 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( , )
= ( , )
y y x y x f x y h
y f x y h
= +
+
�
En resumen:
En general, tenemos
1 1( ) ( ) ( , )
= ( , )
k k k k k
k k k
y y x y x f x y h
y f x y h
+ += +
+
�
Ejemplo Método de Euler
1 0 0 0( , ) 1 (3.5)(0.1) 1.35y y f t y h= + = + =
2 2 1 1 1( ) ( , ) 1.35 (0.1,1.35)(0.1)
1.35 (3.229837)(0.1) 1.672984
y t y y f t y h f≅ = + = +
= + ≅
SI QUEREMOS APROXIMAR y(1) CONTINUAMOS CON ESTE PROCESO
Ejemplo Consideremos la ecuación diferencial ordinaria
Recordemos que no es difícil encontrar la solución analítica, mediante el método de separación de variables, de la ecuación diferencial. Ejercicio: Hallar la solución analítica de la ecuación diferencial anterior
Veamos nuestro primer ejemplo para resolover ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden mediante Matlab:
function r = yexact(t,y0,K,s)
r = y0*exp(K*t) + s*(1 - exp(K*t));
Se ha definido una función que depende de cuatro argumentos: el temporal, la condición inicial y dos constantes.
Supongamos que sus valores están dados por y0=100, K=1, and s=20. Escribamos el siguiente código en
nuestra pantalla del editor de Matlab:
El siguiente comando crea un vector
t = 0:0.01:5;
plot(t,yexact(t,100,1,20))
El siguiente comando crea la gráfica de la solución
Figura 1: Solución exacta
Paso 1. definir f (t, y)
Paso 2. Entrada: Valores iniciales t0 and y0
Paso 3. entrada tamaño de paso h # de pasos n
Paso 4. salida t0 and y0
Paso 5. para j de 1 a n do
Paso 6. k1 = f (t, y)
y = y + h ∗ k1
T = t + h
Paso 7. salidas t y y
Paso 8. end
Estructura computacional del Método de Euler
Programa en Matlab
clc; clf; clear all; T=25; tinic=0.0; tfinal=5.0; yinic=50.0; n=100; f=@(t,y) -2*(y-T); h=(tfinal-tinic)/n; t=zeros(1,n+1); y=zeros(1,n+1); t(1)=tinic; y(1)=yinic; for i=1:n t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i)); end
plot(t,y,'b') title('Soluciones de dy/dt=-2*(y-T), y(0)=T mediante Euler') axis([0 5 20 55]) xlabel('Tiempo'); ylabel('Temperatura') hold on plot(t,25,'-r')
Gráfica obtenida con Matlab
Diferentes números de paso n=5,10
function [t,y]=Euler_clasico(f,tinic,yinic,tfinal,n) h=(tfinal-tinic)/n; t=zeros(1,n+1); y=zeros(1,n+1); t(1)=tinic; y(1)=yinic; for i=1:n t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i)); end
clc; clf; clear all; T=25; tinic=0.0; tfinal=5.0; yinic=50.0; n=100; f=@(t,y) -2*(y-T); [t1,y1]=Euler_clasico(f,tinic,yinic,tfinal,n); plot(t1,y1,'b') title('Soluciones de dy/dt=-2*(y-T), y(0)=T mediante Euler') axis([0 5 20 55]) xlabel('Tiempo'); ylabel('Temperatura') hold on plot(t1,25,'-r')
Programas Método de Euler en Matlab
TIPO FUNCIÓN
TIPO SCRIPT
%%%PROGRAMA DEL METODO DE EULER MODIFICADO CON UN ARCHIVO TIPO SCRIPT%%% %%%ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA dy/dt=k(y-c)%%%% k = 1; c = 20; y0= 100; npuntos = 50; %%Numero de pasos%% h = 0.1; y = zeros(npuntos,1); %Inicializamos el vector 'y' de posiciones con ceros% t = zeros(npuntos,1); %Inicializamos el vector 't' de tiempos con ceros% y(1) = y0; %Posicion inicial% t(1) = 0.0; %Timepo inicial% for j = 1 : npuntos %-1 % loop para el tamaño de paso% y(j+1) = y(j) + (h/2) * ((k*(y(j)-c)+ y(j) +h*k*(y(j)-c))); t(j+1) = t (j) + h; end
%%Hemos terminado la simulacion numerica%% %%Para el ERROR%% z = exp(t + log(80))+ 20; %Solucion analitica de la ecuacion %%Empezemos la parte de la visualizacion%% plot (t,y,'-bo',t,z,'r') grid on xlabel('tiempo') ylabel('y(t)') legend('solucion numerica','solucion analitica') title('Solucion numerica mediante Euler mejorado Vs … solucion analitica')
Euler mejorado (Heun, predictor-corrector)
0x 1 0x x h= +
1y%
1 1( , )f x y%
0 0( , )f x y
{ }0 0 1 1
1( , ) ( , )
2f x y f x y+ %
1y
1
1 11
: ( , )
( , ) ( , ):
2
i i i i
i i i ii i
y y f x y h
f x y f x yy y h
+
+ ++
= +
+= +
%
%
Predictor
Corrector
1 0 0 0: ( , )y y f x y h= +%Predictor 0 0 1 11 0
( , ) ( , ):
2
f x y f x yy y h
+= +
%Corrector
0x 1 0x x h= +
Ejemplo Euler-mejorado
Comparación Euler vs. Euler-mejorado
Estructura computacional del Método de Euler Mejorado
Paso 1. definir f (t, y)
Paso 2. Entrada: Valores iniciales t0 and y0
Paso 3. entrada tamaño de paso h # de pasos n
Paso 4. salida t0 and y0
Paso 5. para j de 1 a n do
Paso 6. k1 = f (t, y)
k2 = f (t + h, y + h ∗ k1)
y = y + (h/2) ∗ (k1 + k2)
t = t + h
Paso 7. salidas t y y
Paso 8. end
Programa Euler-mejorado en Matlab
function [t,y]=Euler_mejorado(f,tinic,yinic,tfinal,n) h=(tfinal-tinic)/n; t=zeros(1,n+1); y=zeros(1,n+1); t(1)=tinic; y(1)=yinic; for i=1:n t(i+1)=t(i)+h; P1=f(t(i),y(i)); P2=f(t(i)+h,y(i)+h*P1); y(i+1)=y(i)+(h/2)*(P1+P2); end
tinic=0.0; tfinal=1.0; yinic=50.0; n=1000; f=@(t,y) -2*(y-25); [t3,y3]=Euler_mejorado(f,tinic,yinic,tfinal,n); plot(t3,y3,'b') title('Soluciones de dy/dt=-2*(y-25), y(0)=T mediante Euler-mejorado') axis([0 1 20 55]) xlabel('Tiempo'); ylabel('Temperatura') axis([0 1 20 55])
22
• Se usa el método de Euler para
realizar una predicción del valor de
la solución usando la pendiente en
un punto intermedio del intervalo
1/2 ( , )2
i i i i
hy y f x y+ = +
Método de Punto Medio (o Polígono mejorado)
hyxfyy iiii ),( 2/12/11 +++ +=
Geometría Punto Medio
0x
1 00
2
1
2x x h
+= +
1 0x x h= +
0 0( , )x y
0 0( , )f x y
1 10 0
2 2
( , )f x y+ +
10
2
y+
1 0 0 00
2
( , )2
hy y f x y
+= +
Predicción
1y
1 0 1 10 0
2 2
( , )y y f x y h+ +
= +
Punto Medio
1
2
( , )2
i i ii
hy y f x y+= +Predicción
1 1 1
2 2
( , )i ii i
y y f x y h++ +
= +
Queremos aproximar numericamente soluciones de EDO’s
de primer orden
Filosofía:
),( yxfdx
dy=
1
1
Valor nuevo valor viejo pendiente * (tamaño_paso)
*
valor nuevo, valor viejo
pendiente, tamaño de paso
i i
i i
y y h
y y
h
ϕ
ϕ
+
+
= +
= +
¿Qué hemos hecho hasta el momento?
Runge Kuta
1
1
Valor nuevo valor viejo pendiente * (tamaño_paso)
*
valor nuevo, valor viejo
pendiente, tamaño de paso
i i
i i
y y h
y y
h
ϕ
ϕ
+
+
= +
= +
Buscamos un método de la forma
De manera que la pendiente sea una pendiente ponderada sobre distintos puntos del intervalo [x(i),x(i+1)].
Runge Kuta de Cuarto Orden (Acto de fe)
1
1
Valor nuevo valor viejo pendiente * (tamaño_paso)
*
valor nuevo, valor viejo
pendiente, tamaño de paso
k k
k k
y y h
y y
h
ϕ
ϕ
+
+
= +
= +
,1ik
,2ik
,3ik,4ik
it 1i it t h+ = +1
2it h+
iy
1iy +
( )1 1 2 3 4
1 * , 2 2
6k k n n n ny y h k k k kϕ ϕ+ = + = + + +
Ejemplo Runge Kuta Cuarto Orden
( , ) 1 4f t y t y= − +
1 0
1
( ) ( ) (0 0.2)
(0.2) 2.5016
y t y t h y
y y
= + = +
= ≅ ≅
Tamaño de paso:
Otro ejemplo
Repitiendo el proceso
Tamaño de paso
Calculamos las cuatro
pendientes
(1) ?y =
Es necesario realizar dos “juegos“ de cálculos
Obtención de Runge Kuta de Segundo Orden 1
1 1 2 2
i i
M M
y y h
a k a k a k
ϕ
ϕ+ = +
= + + +K
constantesia
1
2 1 11 1
3 2 21 1 22 2
1 1,1 1 1, 11 11
( , )
( , )
( , )
( , ... )
i i
i i
i i
M i M i M M M N
k f t y
k f t p h y q k h
k f t p h y q k h q k h
k f t p h y q k h q k h− − − − −
=
= + +
= + + +
= + + + +
M
es una pendiente ponderada de salidaϕ
23( ) ( ) '( ) ''( ) ( )
2
Pero podemos calcular '( ) y ''( )
'( ) ( , ( ))
( , ( )) ( , ( ))''( ) '( )
( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))
i i i i
i i
i i i
i i i ii i
i i i ii i
hy t h y t y t h y t O h
y t y t
y t f t y t
f t y t f t y ty t y t
t y
f t y t f t y tf t y t
t y
+ = + + +
=
∂ ∂= +
∂ ∂
∂ ∂= + ⋅
∂ ∂
Aproximación de la solución por serie de Taylor de segundo orden alrededor de
it t=
1
2
2
( ) ( )
( ) '( ) ''( )2
( , ( )) ( , ( )) = ( ) ( , ( )) ( , ( ))
2
i i
i i i
i i i ii i i i i
y t y t h
hy t y t h y t
f t y t f t y t hy t f t y t h f t y t
t y
+ = +
≅ + +
∂ ∂+ + + ⋅ ∂ ∂
La aproximación obtenida está dada por
2
1
De esta forma,
( , ( )) ( , ( ))( )= ( ) ( , ( )) ( , ( ))
2
i i i ii i i i i i
f t y t f t y t hy t y t f t y t h f t y t
t y+
∂ ∂+ + + ⋅ ∂ ∂
( ) ( )( , ) ( , )( , ) ( , ) i i i ii i i i
f t y f t yf t H y K f t y H K
t y
∂ ∂+ + ≈ + +
∂ ∂
Aproximación por Serie de Taylor a primer orden de una función de dos variables
2kPara aproximar tomamos 1 11 1 y H p h K q k h= =
De esta forma, obtenemos
[ ] [ ]
2 1 11 1
1 11 1
( , )
( , ) ( , ) ( , )
i i
i i i ii i
k f t p h y q k h
f t y f t yf t y p h q k h
t y
= + +
∂ ∂= + ⋅ + ⋅
∂ ∂
De esta forma
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
1 1 2 2
1 2 1 11 1
1 2 2 1 2 11 1
1 2 2 1 2 11
( , ) ( , ) = ( , ) ( , )
( , ) ( , ) = ( , )
( , ) ( , ) = ( , ) ( , )
i i i ii i i i
i i i ii i
i i i ii i i i
a k a k
f t y f t ya f t y a f t y p h q k h
t y
f t y f t ya a f t y h a p a q k
t y
f t y f t ya a f t y h a p a q f t y
t y
ϕ = +
∂ ∂+ + ⋅ + ⋅ ∂ ∂
∂ ∂+ + + ∂ ∂
∂ ∂+ + +
∂ ∂
En consecuencia,
[ ]
[ ]
1 1
1 2 2 1 2 11
2
1 2 2 1 2 11
( ) ( )
( , ) ( , ) = ( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) = ( ) ( , ) ( , )
i i i i
i i i ii i i i i
i i i ii i i i i
y y t y h y t h
f t y f t yy t a a f t y h a p a q f t y h
t y
f t y f t yy t a a f t y h a p a q f t y h
t y
ϕ ϕ+ +≅ = + = +
∂ ∂+ + + + ∂ ∂
∂ ∂+ + + + ∂ ∂
[ ] 2
1 1 2 2 1 2 11
En resumen,
( , ) ( , )( ) ( ) ( , ) ( , )i i i ii i i i i i
f t y f t yy t y t a a f t y h a p a q f t y h
t y+
∂ ∂= + + + + ∂ ∂
Hemos obtenido dos aproximaciones para , a saber: 1( )iy t +
2
1
( , ( )) ( , ( ))( )= ( ) ( , ( )) ( , ( ))
2
i i i ii i i i i i
f t y t f t y t hy t y t f t y t h f t y t
x y+
∂ ∂+ + + ⋅ ∂ ∂
[ ] 2
1 1 2 2 1 2 11
( , ) ( , )( ) ( ) ( , ) ( , )i i i ii i i i i i
f t y f t yy t y t a a f t y h a p a q f t y h
t y+
∂ ∂= + + + + ∂ ∂
Igualando coeficientes
1 2 2 1 2 11
1 11, y
2 2a a a p a q+ = = =
Es decir,
1 2 1 11
2 2
1 11 , y
2 2a a p q
a a= − = =
Por lo que tenemos una infinidad de Métodos de Runge Kuta de orden 2, uno por cada valor que le demos al parámetro independiente 2a
Casos particulares
1 2 1 11
11
2a a p q= = ⇒ = =
[ ]
1
1 1 2 2 1 2
1
2
i iy y h
a k a k k k
ϕ
ϕ
+ = +
= + = +
1
2 1 11 1
1
( , )
( , )
( , )
= ( , ( , ) )
i i
i i
i i
i i i i
k f t y
k f t p h y q k h
f t h y k h
f t h y f t y h
=
= + +
= + +
+ +
donde
Por lo tanto
11
( , ) ( , )
2
i i i ii i
f t y f t h y k hy y h+
+ + + = +
¡¡¡¡¡¡¡Euler modificado (Heun o predictor-corrector)!!!!!!
Casos particulares
1 2 1 11
10, 1
2a a p q= = ⇒ = = 1
1 1 2 2 2
i iy y h
a k a k k
ϕ
ϕ+ = +
= + =
2 1 11 1( , )
1 1 ( , ( , ) )
2 2
i i
i i i i
k f t p h y q k h
f t h y f t y h
= + +
= + +
donde
Por lo tanto 1 1
1 1
2
1 1( , )
2 2
1 ( , )
2
i i i i
i ii
y y f t h y k h h
y f t y k h h
+
+
= + + +
= + +
1 1
2
1 1( , )
2 2i i i i
iy y k h y f t y h
+
= + = + %
1 1
1 1
2 2
1 1( , )
2 2
= ( , )
i i i i
ii i
y y f t h y k h h
y f t y h
+
+ +
= + + +
+ %
Obtenemos el Método de Punto Medio
1 1
1 1
2
1 1( , )
2 2
1 ( , )
2
i i i i
i ii
y y f t h y k h h
y f t y k h h
+
+
= + + +
= + +
1iy +%1iy +
iy
( , )i if t y
it 1it +
1 1( , )i if t y+ +%
t
y
Geometría del método
h
1
2
1
2i
it t h
+= +
1 1
2
1 1( , )
2 2i i i i
iy y k h y f t y h
+
= + = + %
1 1 1
2 2
( , )i ii i
y y f t y h++ +
= + %
0x
1 00
2
1
2x x h
+= +
1 0x x h= +
0 0( , )x y
0 0( , )f x y
1 10 0
2 2
( , )f x y+ +
10
2
y+
1 0 0 00
2
( , )2
hy y f x y
+= +
Predicción
1y
1 0 1 10 0
2 2
( , )y y f x y h+ +
= +
Sistemas de ecuaciones diferenciales
0 0 0 0
''( ) '( ) ( ) ( )
Cond. inic: ( ) , '( )
con el cambio de variables ( ) '( )
tenemos que
'( ) ''( ).
ax t bx t cx t F t
x t x x t x
y t x t
y t x t
+ + =
= =
=
=
%
'
1' ( )
x y
b cy F t y x
a a a
=
= − −
En consecuencia
'
1' ( )
x y
b cy F t y x
a a a
=
= − −
1
2
' ( , , )
1' ( , , ) ( )
x f x y t y
b cy f x y t F t y x
a a a
= =
= = − −
0 0
0 0
0 0
1
2
( )'' , ( )
( )'
( , , ) Tomamos ( , )
( , , )
x t xx xY Y Y t Y
y t xy y
f x y tF Y t
f x y t
= ⇒ = = = =
=
%
0 0' ( , ), ( )Y F Y t Y t Y= =
En resumen, obtenemos una ecuación de la forma
Muy semejante a una vieja conocida:
0 0' ( , ), ( )y f y t y t y= =
La cual aproximamos numéricamente mediante distintos algoritmos : P.ej. Euler
1 ( , )i i i iy y hf y t+ = +
Extendiendo a sistemas de ecuaciones
1 ( , )i i i iY Y hF Y t+ = +
( )( )
1 1
1 2
, ,
, ,
i i i i i
i i i i ii
x x f x y th
y y f x y t
+
+
= +
( )( )
1 1
1 2
, ,
, ,
i i i i i
i i i i i
x x hf x y t
y y hf x y t
+
+
= +
= +En resumen:
Euler para sistemas 1
2
( , ) 4 ,
( , )
f x y x y
f x y x y
= −
= − +
( ) ( )( ) ( )
1 1
1 2
, , 4
, ,
i i i i i i i i
i i i i i i i i
x x hf x y t x h x y
y y hf x y t x h x y
+
+
= + = + −
= + = + − +
1 0 0( , )f x y 2 0 0( , )f x y
1 1 1( , )f x y 2 1 1( , )f x y
Punto Medio para Sistemas de Ecuaciones
1
2
( , )2
i i ii
hY Y F Y t
+= + 1 1 1
2 2
( , )i ii i
Y Y f Y t h++ +
= +
1
2 1
21
2
1 1
2
1 2
2
( , , )
( , , )2
( , , )2
( , , )2
ii i i i
i i i ii
i i i ii
i i i ii
xx f x y th
y f x y ty
hx x f x y t
hy y f x y t
+
+
+
+
= +
= +
= +
1 1 1
2 21
1 2 1 1
2 2
1 1 1 1
2 2
1 2 1 1
2 2
( , , )
( , , )2
( , , )2
( , , )2
ii i
i i
i i ii i
i i ii i
i i ii i
f x y tx x h
y y f x y t
hx x f x y t
hy y f x y t
+ ++
++ +
++ +
++ +
= +
= +
= +
1
2
( , )2
i i ii
hy y f y t
+= + 1 1 1
2 2
( , )i ii i
y y f y t h++ +
= +Predicción Corrección
Dinámica de poblaciones: depredador-presa
RY
F
=
1(0)
1Y
=
0.1, 80h n= =
tinic=0.0, tfinal=8; xinic=1.0,yinic=1.0; n=80; f1=@(t,x,y) 2*x-1.2*x.*y; f2=@(t,x,y) -y+0.9*x.*y; [t1,x1,y1]=RK4_plano_MM(f1,f2,tinic,xinic,yinic,tfinal,n); [t2,x2,y2]=Euler_clasico_plano(f1,f2,tinic,xinic,yinic,tfinal,n); figure(1) plot(t2,x2,'r',t2,y2,'b‘), legend('t vs x','t vs y') title('t vs x,t vs y') figure(2) plot3(t2,x2,y2,'g'), title('t vs x vs y') figure(3) plot(x2,y2,'g'),title('x vx y') figure(4) plot(t1,x1,'r',t1,y1,'b'),legend('t vs x','t vs y') title('t vs x,t vs y') figure(5) plot3(t1,x1,y1,'k‘), title('t vs x vs y') figure(6) plot(x1,y1,'k'), title('x vx y') figure(7) plot(x1,y1,'g',x2,y2,'k'), title('x vx y')
Rutina en Matlab para comparar los métodos de Euler simple y Runge-Kutta de orden 4
Tarea
Dar los esquemas iterativos para sistemas de dos ecuaciones diferenciales de primer orden para los métodos de • Euler Mejorado •Runge Kutta de orden 4 • Euler hacia atrás
