UJI KECOCOKAN DISTRIBUSI

(KOLMOGOROV SMIRNOV)

X1,X2,…,Xn sample random berukuran n dari suatu populasi dengan fungsi distribusi F(x)

yang tidak diketahui.

Uji hipotesa :

H0 : F(x) = Fo(x)

H1 : F(x) Fo(x)

Statistik uji :

Dn = x

sup )()( 0 xFxFn

Dengan Fn(x) : fungsi distribusi empiris

Fo(x) : fungsi distribusi tertentu

Tolak Ho jika Dn>dn,α

dn,α : tabel kolmogorov smirnov

Contoh :

Andaikan banyaknya kecelakaan di daerah tertentu di suatu kota tercatat selama 8 minggu

adalah 2,0,1,0,3,4,3,2

Ujilah H0 : F(x) = Fungsi distribusi Poisson dengan rata-rata 1,5

H1 : F(x) Fungsi distribusi Poisson dengan rata-rata 1,5

Jawab :

P(x)=P(X=x)

P(0)= ¼=0,25

P(1)=1/8=0,125

P(2)=1/4=0,25

P(3)=1/4=0,25

P(4)=1/8

Fungsi distribusi empiris Fn(x) =P(X<x)

Fn(x)=

x

x

x

x

x

x

4,1

43,875,0

32,625,0

21,375,0

10,25,0

0,0

Distribusi Poisson (µ):

P(x; µ)=!x

e x

, x =0,1,2,..... µ=1,5.

P(0)=0,2231

P(1)= 0,3347

P(2)=0,2510

Dst.

Fo(x)=

.

.

8,1

87,9998,0

76,9991,0

65,9955,0

54,9814,0

43,9344,0

32,8088,0

21,5578,0

10,2231,0

0,0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Jadi selisihnya:

Rentangan x Fn(x) Fo(x) )()( 0 xFxFn

.

9

98

87

76

65

54

43

32

21

10

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

1

1

1

1

1875,0

625,0

375,0

25,0

0

.

.

1

1

9998,0

9991,0

9955,0

9814,09343,0

8088,0

5578,0

2231,0

0

0

0

0002,0

0009,0

0045,0

0186,00593,0

1838,0

1828,0

0269.0

0

Selisih terbesar adalah 0,1838. Jadi Dn = 0,1838. Dari table kolmogorov Smirnov d8;0,05 =

0,457. Karena Dn = 0,1838 < 0,457 = d8;0,05 maka Ho diterima.

Jadi distribusi terjadinya kecelakaan adalah Poisson dengan rata-rata 1,5

CONTOH 2

10 sampel diambil secara acak dari suatu distribusi yang tidak diketahui.

Datanya sbb:

-5,641;4,297;-4,861,-7,780;7,580;12,234;10,780;-0,201;-10,813,-5,593

Ujilah apakah data tsb berasal dari suatu distribusi normal dengan suatu rata-rata dan

varian tertentu.

Jawab :

Dari data diperoleh 8,205834ssehingga67,33571s0,X 2 .

Akan diuji apakah data berasal dari populasi normal dengan mean = 0 dan varian =

67.33571 (standar deviasi =8,205834.)

Hipotesa :

H0 : F(x) adalah Fungsi Distribusi kumulatif dari Distribusi Normal dengan mean 0 dan

varian = 67.33571

H1 : F(x) bukan Fungsi Distribusi kumulatif dari Distribusi Normal dengan mean 0 dan

varian = 67.33571

Statistik uji :

Dn = x

sup )()( 0 xFxFn

dengan Fn(x) : Fungsi distribusi empiris

F0(x) : Fungsi Distribusi kumulatif dari Distribusi Normal dengan mean 0 dan varian

= 67.33571

Tolak Ho jika Dn>dn,α

dn,α : tabel kolmogorov smirnov

Perhitungan :

Data ditransformasi menjadi s

XXZ i

i . Jadi yang akan diuji menjadi apakah data

berdistribusi Normal standar.

Setelah ditransformasi diperoleh data -0.6874; 0.5237; -0.5924; -0.9481; 0.9237; 1.4909;

1.3137; -0.0245; -1.3177; -0.6816

Selanjutnya data diurutkan dari yang kecil ke besar:

-1.3177; -0.9481; -0.6874; -0.6816;-0.5924; -0.0245; 0.5237; 0.9237; 1.3137; 1.4909

Kemudian dihitung table sbb:

i Z(i) Φ(Z(i)) Fn(Z(i)) Fn(Z(i)-) І Fn(Z(i)) -Φ(Z(i)) І І Fn(Z(i)

-) - Φ(Z(i)) І

1 -1.3177 0.0932 0.1 0 0.0068 0.0932

2 -0.9481 0.1711 0.2 0.1 0.0289 0.0711

3 -0.6874 0.2451 0.3 0.2 0.0549 0.0451

4 -0.6816 0.2483 0.4 0.3 0.1517 0.0517

5 -0.5924 0.2776 0.5 0.4 0.2224 0.1224

6 -0.0245 0.49 0.6 0.5 0.11 0.01

7 0.5237 0.6985 0.7 0.6 0.0015 0.0985

8 0.9237 0.8212 0.8 0.7 0.0212 0.1212

9 1.3137 0.9049 0.9 0.8 0.0049 0.1049

10 1.4909 0.9319 1 0.9 0.0681 0.0319

Catatan :

Fn(Z(i)) = i/n

Fn(Z(i)-)= (i-1)/n

F0(Z(i))= Φ(Z(i)) = Fungsi distribusi kumulatif pada normal standar di Z(i) = P(Z < Z(i)) (lihat

table distribusi normal standar)

Karena Z Var random kontinu maka Φ(Z(i)-) = Φ(Z(i)).

Dari table yang telah disusun di atas Dn = maks(0,2224; 0,1224)= 0,2224.

Dengan menggunakan α =0,05 dari tabel Kolmogorov Smirnov d10;0,05 = 0,258 (tolong di

cek lagi di tabel Kolmogorov Smirnov). Kriteria ujinya adalah tolak H0 jika Dn > 0,258 =

d10;0,05. Karena Dn =0,2224 <0,258 = d10;0,05 maka H0 diterima. Jadi data berasal dari

populasi Normal.

Atau jka data diolah dengan SPSS, diperoleh output sbb :

NPar Tests

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

10

.00020

8.205834

.223

.223

-.122

.706

.701

N

Mean

Std. Deviation

Normal Parameters a,b

Absolute

Positive

Negative

Most Extreme

Differences

Kolmogorov-Smirnov Z

Asymp. Sig. (2-tailed)

VAR00001

Test distribution is Normal.a.

Calculated from data.b.

Dn = Most Extreme Differences Absolute = 0,223.

Bandingkan nilai ini dengan table Kolmogorov Smirnov d10;0,05. Jika Dn > d10;0,05 maka H0

ditolak. Atau menggunakan nilai sig pada SPSS, tolak H0 jika angka sig < α. Karena sig

=0,701 > 0,05= α, maka H0 diterima. Jadi data berasal dari populasi Normal.