DISTRIBUSI BERKAS CAHAYA LASER

DISTRIBUSI GAUSS, HERMITE-GAUSS, LAGUERRE-GAUSS, BESSEL

GELOMBANG HARMONIK

Bentuk gelombang harmonik bergantung waktu :

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ){ } ( ) ( )[ ]trtrtr

tirirAtr

,,

21

,Re

2expexp,* rrr

rrr

pi

+=

=

0tc

12

2

22

=

Persamaan diatas memenuhi pers. Gelombang :

LaplaceOperator=2

Bentuk gelombang dapat ditulis :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]rirAr

tirtrrrr

rr

pi

exp2exp,

=

=

Substitusi ke persamaan gelombang :

( ) ( ) 022 =+ rk r Pers. Helmholtzcc

2k =pi= Bilangan gelombang (konstanta perambatan)

( ) ( )r.kiexpAr rrr =( ) ( )r.kiexp

r

Ar

rrr=

Solusinya :a. Gelombang datar (bidang):

b. Gelombang bola (speris):

GELOMBANG PARAKSIAL

( )rA r

( ) ( ) ( )ikzexprAr = rr

pi=

( ) 2222 yx;z2

ikexpz

ArA +=

=

r

0z

Ak2iA2T =

=

Solusi sederhana adalah pers. Gelombang parabola

BERKAS GAUSS (GAUSSIAN BEAM)Jika disubstitusikan ke pers. Gel. Parabola, dengan adalah suatu konstanta, maka :

( ) = zqz

( ) ( ) ( )

=

zq2ikexp

zqA

rA2

r

juga persamaan gelombang parabola, namun mempunyai pusat di =z , bukan di z = 0.

riilzizkompleks

0

0

=

==Jika :

Maka :( ) ( ) ( ) ( ) )1....(izzzq;zq2ikexpzq

ArA 0

2

+=

=

r

Fungsi envelope kompleks

Untuk memisahkan amplitudo dan fasa dari envelope kompleks, makadidefinisikan :

)2(..........)z(Wi)z(R1

izz1

)z(q1

20 pi

=

+=

dimana:W(z) = lebar berkas GaussR(z) = jarak muka gelombang dari kurvatur.

Substitusi pers. (1) dan (2) kedalam bentuk gelombang paraksial, diperoleh :

( )

+

= )z(i)z(R2ikikzexp)z(Wexp)z(W

WAr2

2

20

0r

Pers. Berkas Gauss (Gaussian Beam)

00

2/10

00

1

2

0

2/12

00

izAA;zW;

z

ztan)z(

z

z1z)z(R

z

z1W)z(W

=

pi

==

+=

+=

SIFAT-SIFAT BERKAS GAUSS1. INTENSITAS

2)r(A)r(I rr =

( )

= )z(W

2exp)z(W

WIz,I 222

00

200 AI =

Fungsi Gauss, yang mempunyai intensitas puncak pada = 0 dan berkurang secara eksponensial terhadap .Pada = 0, intensitas menjadi:

( ) 20

02

00

zz1

I)z(W

WIz,0I

+

=

=

(a). z = 0, (b) z = z0, dan (c) z = 2z0.

2. DAYA

( )200

0 WI21d2)z,(IP pi=pi=

=pi

0

02

20

)z(W2

exp1d2)z,(IP1

)z(W0 =

)z(W5,10 =

Merupakan integral dari intensitas di sepanjang bidang transversal:

Perbandingan daya pada radius 0 dengan daya total diberikan oleh:

Jika berarti perbandingannya adalah 86% .

Jika berarti perbandingannya adalah 99% .

3. BEAM WAIST

( ) )2exp()z(WWIz,I

20

0

=

2/12

00

z

z1W)z(W

+=

0W2)z(W =

Intensitas maksimum pada z=0 dan berkurang 1/e2 dengan = W(z)

Pada z = 0, W(z) bernilai maksimum yaitu W0, sehingga W0 disebutdengan beam waist. Diameter waist 2W0 disebut dengan spot size. Pada z = z0, maka

Pada W(z), intensitasnya 86%, maka W(z) disebut jari-jari berkas.

zzz

W)z(W 00

0 =

00

00 Wz

Wpi

==

Untuk z >> z0, maka:

.

Pada z >> z0, jari-jari berkas bertambah secara linier dengan z. Sekitar 86% daya berkas terfokus pada sudut 0, sehingga 0 disebutsudut berkas.

4. PARAMETER KONVOKAL

2

pi

==

20

0W2

z2b

Jika jari-jari berkas merupakan dari nilai minimumnya (2z0), makadisebut kedalaman fokus (depth of focus) atau parameter konvokal(convocal parameter):

Contoh: Laser He-Ne, dengan panjang gelombang 633 nm, mempunyai 2W0 = 2 cm. maka kedalaman fokusnya adalah 1 km.

Bagaimana jika berkas Laser melewati lensa ?

00

W0

z0

z

'

0z

z

'

0W'

0 zW

R R

W00

W0

z0z0

z

'

0z

z

'

0W'

0 zW

R R

W

0'

0 MWW =

( ) )fz(Mf'z 2 =

)z2(Mz2 02'0 =

M22 0'0

=

( ) 2/12rr1MM

+=

fzfM;

fzz

r r0

=

=

a. Beam waist

b. Posisi waist

c. Kedalaman fokus

d. Sudut divergensi

e. Penguatan

Maka :

Bagaimana cara memfokuskanberkas Laser ?

( )[ ] ( )[ ]202/1200'

0zf1

f'z;

fz1WW

+=

+=

f'z;fWz

fW 000

'

0 ==

Bila lensa diletakkan pada posisi beam waist dari berkas Gauss, maka :

Jika kedalaman fokus berkas cahaya datang (2z0) jauh lebih besar daripada folus dari lensa (f), maka:

Pemfokusan (focusing) berkas digunakan pada berbagai aplikasi, seperti scanning laser, printer laser dan fusi laser. Dalam aplikasi-aplikasi tersebut, spot size diusahakan sekecil mungkin, maka:a. Panjang gelombang berkas () diusahakan sependek mungkinb. Fokus lensa (f) sekecil mungkinc. Beam waist berkas cahaya datang (W0) sebesar mungkin.

Bagaimana cara memperbesarberkas Laser ?

Dalam aplikasi, seringkali kita memerlukan berkas cahaya laser dengan spot size yang besar. Caranya adalah menggunakan teleskop, yaitu kombinasi dua buah lensa dengan panjang fokus yang berbeda.

2W0f1

z

'

0W2

z1

f2

"

0W2

d z

2W0f1

z

'

0W2

z1

f2

"

0W2

d z

Sebagai latihan: Hitung berapa fokus lensa f1 dan f2, agar berkas Gauss menjadi 4 kali beam waist berkas cahaya datang.(Lihat di Buku Saleh and Teich)

BERKAS HERMITE-GAUSSSolusi persamaan paraksial Helmholtz, bukan hanya berkas Gauss, namun juga berkas-berkas non-Gauss. Pandang envelope kompleks :

( )0

22

G

izz)z(q)z(q2

yxikexp)z(qA

z,y,xA

+=

+=

[ ] )z,y,x(A)z(iexp)z(Wy2)z(W

x2)z,y,x(A G

=

( ) 0z

ZzkWY2Y

Y1

u

Xu2

u

X1 22

2

2

2=

+

+

.)z(Wy2dan)z(W

x2u ==

Suatu gelombang yang dimodulasi oleh berkas Gauss dengan bentuk:

X, Y dan Z adalah fungsi-fungsi riil. Bila persamaan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan paraksial Helmholtz, diperoleh:

Dengan menggunakan teknik pemisahan variabel, diperoleh:

21

2

00

22

2

12

2

dzdZ

z

z1z

YddY

dYd

21

XdudX

udu

Xd21

+=

+

=

+

=+Persamaan eigen dengan nilai eigen :

,...2,1,0;1 == ll

dan fungsinya adalah Polinom Hermit.

)u(H)u(Xl

=

2u4)u(Hu2)u(H

1)u(H)u(H2)u(uH2)u(H

22

1

0

11

=

=

=

=+ lll l

dimana:

)(H)(m

m

2

==

m, 21 == l

( ) ( ) ( ) ( )

=+=

0

1

z

ztanz;zmzZ l

Dengan cara yang sama, maka:

Substitusi kedalam persamaan eigen dan

Kemudian integralkan, maka :

( ) ( )

++++

= z1mi)z(R2

yxikikzexp)z(Wy2G)z(W

x2G)z(WWA)z,y,x(U

22

m0

m,m, llll

=

2u

exp)u(H)u(G2

ll

Sehingga persamaan gelombangnya menjadi:

Persamaan berkas Hermite-Gauss

fungsi Hermite-Gauss.

( ) 1uH0 =

=

2u

expu2)u(G2

1

=

2u

exp)2u4()u(G2

22

Karena

Maka orde-0 dari persamaan berkas Hermite-Gauss adalah fungsi Gauss. Fungsi Hermite-Gauss mempunyai karakteristik selang-seling fungsi ganjil dan fungsi genap:

Fungsi ganjil

Fungsi genap

DISTRIBUSI INTENSITAS

= )z(W

y2G)z(Wx2G)z(W

WA)y,x(I 2m22

02m,m, lll

Intensitas berkas Hermite-Gauss diberikan oleh:

BERKAS LAGUERRE-GAUSS

Berkas Laguerre-Gauss merupakan solusi persamaan paraksial Helmholtz dalam koordinat silinder

( )z,,r =Orde terendah dari berkas Laguerre-Gauss adalah Gauss.

BERKAS BESSELPandang suatu fungsi gelombang dengan amplitudo kompleks yang memenuhi persamaan Helmholtz :

( ) )ziexp()y,x(ArU =rA(x,y) memenuhi persamaan Helmholz orde kedua :

222T

2T

2T

kk0AkA

=+=+

== sinydancosx

( ) ( ) ,...2,1,0m;imexpkJA)y,x(A Tmm ==Substitusi , maka diperoleh:

dimana Jm adalah fungsi Bessel dan Am adalah konstanta.

Untuk m = 0, maka diperoleh fungsi Bessel:

( ) ( )ziexpkJA)r(U T00 =rIntensitas berkas Bessel diungkapkan oleh:

( )= T2020 kJA)z,,(IIntensitas tidak bergantung pada arah perambatan-z, sehingga tidak terjadi pelebaran daya optik. Gelombang ini disebut berkas Bessel. Berkas cahaya Bessel ini banyak digunakan dalam penelitian untukkomunikasi optik dengan menggunakan hollow fibers, sehingga tidak terjadi pengurangan intensitas pulsa dengan pertambahan jarak.

Distribusi intensitas dari berkas Bessel dalam bidang transverse tidak bergantung pada jarak perambatan z; sehingga berkas tidak mengalami disversi

Bentuk fungsi berkas Bessel sebagai fungsi dari z (arah rambat)

Perbandingan Berkas Bessel dengan Gauss

[ ])z(W/2exp~I 22

pi

4kcos

k2)k(J T2T

T20

1. Amplitudo kompleks berkas Bessel adalah solusi eksak pers. Helmholtz, sedangkan berkas Gauss adalah solusi aproksimasi persamaan paraksial Helmholtz.

2. Intensitas berkas Gauss berkurang secara eksponensial

Intensitas berkas Bessel sebanding dengan :fungsi osilator yang meluruh secara lambat (slowly decay).

3. Berkas Bessel dibangkitkan dengan skema khusus, sedangkanberkas Gauss dapat diperoleh pada resonator speris yang umumpada laser.