DISTRIBUSI NORMAL

ABDUL MU’IS (106484023)M.SYAIFUL AZIZ (106484215)

ABDUL AZIS (106484217)

DISTRIBUSI NORMAL

• Distribusi normal adalah model distribusi kontinyu yang paling penting dalam teori probabilitas

• Distribusi normal diterapkan dalam berbagai permasalahan

• Distribusi normal memiliki kurva yang berbentuk lonceng

• Dua parameter yang menentukan distribusi normal adalah rataan (μ) dan standart deviasi (σ)

Ciri-ciri distribusi normal• Disusun dari variable random kontinu• Kurva distribusi normal mempunyai satu

puncak(unimodal)• Kurva berbentuk simetris dan menyerupai lonceng

hingga mean, median dan modus terletak pada satu titik

• Kurva normal dibentuk dengan N yang tak terhingga• Ekor kurva mendekati absis pada penyimpangan 3 SD

ke kanan dan ke kiri dari rata-rata dan ekor grafik dapat dikembangkan sampai tak terhingga tanpa menyentuh sumbu absis.

kurva distribusi normal

DISTRIBUSI NORMAL• Rumus Eksposensial untuk Distribusi Normal

• di mana : = 3,14159 e = 2,71828

X = absis dengan batas -∞ < X < π

Agar lebih praktis, telah ada tabel kurva normal dimana tabel ini menunjukkan luas kurva normal dari suatu nilai yang dibatasi nilai tertentu

Kurva normal

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dn

orm

(x)

Gambar 6.1 Kurva normal

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

dn

orm

(x, 5

, 1

)Distribusi Normal

Gambar 6.1 Kurva normal dengan simpangan baku sama

1 22 21 2 1

-4 -2 0 2 4

0.0

0.5

1.0

1.5

x

dn

orm

(x, 0

, 0

.25

)

Distribusi Normal

Gambar 6.3 Kurva normal dengan rata-rata sama

21 10, 0.25

23 30, 0.75

22 20, 0.5

24 40, 1

-6 -4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

dn

orm

(x, 1

, 0

.5)

Gambar 6.4 Kurva normal dengan mean dan standart deviasi yang berbeda

2 22 1,

1 11 0 5, .

1. Modus (nilai x maksimun) terletak di x = µ

2. Simetris terhadap sumbu vertikal melalui µ

3. Mempunyai titik belok pada x ± µ

4. Memotong sumbu mendatar

5. Luas daerah dibawah kurva dg sumbu mendatar

sama dg 1

Luas daerah dibawah kurva normal

Luas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan sbb:

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dn

orm

(x)

a b

Gambar 6.5 Luas daerah P(a<x<b) = luas daerah di arsir

Untuk mengatasi kesulitan menghitung integral

• Gunakan tabel distribusi normal standart (Z) yaitu distribusi normal

• Caranya menggunakan transformasi dengan rumus :

x = nilai variable random µ = rata-rata distribusi σ = simpang baku Z = nilai standar, yaitu besarnya penyimpangan suatu nilai terhadap rata-rata yang dinyatakan dari unit SD.

Contoh soal

• Diketahui suatu distribusi normal dengan µ = 50 dan σ = 10 Carilah probabilitas bahwa X mendapat nilai antara 45 dan 62

• Jawab :• Dicari nilai z yang berpadaan dengan x 1 = 45 dan x2 = 62 adalah

• P (45<x<62) = P (-0.5<x<1.2)

45 501 10

0 5z . 62 502 10

1 2z .

Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh:

45 62 0 5 1 2

1 2 0 5

0 8849 0 3085

0 5764

P( x ) P( , z , )

P(z , ) P(z , )

, ,

,

Contoh soal

Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal

z 0.00 ……… 0.04 …….. 0.09

::

-0.5 0.3085

0

::

1.2 0.8849

::

Contoh soal

• Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40 –60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol mereka 215 mg % dan simpangan baku Sd = 45 mg %. Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya:

• a. > 250 mg %

• b. < 200 mg %

• c. antara 200 –275 mg %

penyelesaian

• Nilai x ditransformasikan ke nilai z. Di dalam tabel nilai z berada pada kolom paling kiri dan baris paling atas. Ambillah nilai 2 ini tiga digit saja. Nanti 2 digit ada dikolom dan digit ketiga ada dibaris

• a) Z = (250-215)/45=0.76

0,76 = 0,7 + 0.06 →(Lihat tabel) = 0,7 dilihat pada kolom; 0,06 pada baris→lihat lampiran tabel III didapat nilai 0,2764, ini adalah luas area antara 215 s.d 250.

yang ditanyakan adalah p (x > 250 mg%), jadi untuk mendapatkan area > 250 mg% adalah 0,5 –0,2764 = 0,2236

penyelesaian

• b. P (x < 200 mg%)

Z = (200 -215) / 45 = 0,33→ Tabel 0,1297

jadiP (x < 200 mg%) = 0,5 –0,1297 = 0,3703

c. P (200 mg% < x < 275 mg%)

pada soal b. Sudah didapatkan area

antara 215 mg% s.d 200 mg% = 0,1297

z = (275 –215) / 45 = 1,33 →Tabel 0,4082

JadiP (200 mg% < x < 275 mg%) = 0,1297 + 0,4082 =0,5379