DISTRIBUSI BERKAS CAHAYA LASER

DISTRIBUSI GAUSS, HERMITE-GAUSS, LAGUERRE-GAUSS, BESSEL

GELOMBANG HARMONIK

Bentuk gelombang harmonik bergantung waktu :

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ){ } ( ) ( )[ ]trtrtr

tirirAtr

,,2

1,Re

2expexp,

* rrr

rrr

ψψψ

πνϕψ

+=

=

0tc

12

2

22 =

∂ψ∂−ψ∇

Persamaan diatas memenuhi pers. Gelombang :

LaplaceOperator=∇2

Bentuk gelombang dapat ditulis :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]rirAr

tirtrrrr

rr

ϕψπνψψ

exp

2exp,

==

Substitusi ke persamaan gelombang :

( ) ( ) 022 =+∇ rkrψ Pers. Helmholtz

cc

2k

ω=πν= Bilangan gelombang (konstanta perambatan)

( ) ( )r.kiexpArrrr −=ψ

( ) ( )r.kiexpr

Ar

rrr −=ψ

Solusinya :

a. Gelombang datar (bidang):

b. Gelombang bola (speris):

GELOMBANG PARAKSIAL

( )rAr

( ) ( ) ( )ikzexprAr −=ψ rr

π=λ<<

∂∂

λ

∂∂=∆

∂∂=∆

2

kAA

z

A

z

Az.

z

AA

Akz

A;kA

z

A 22

2

<<∂∂<<

∂∂

0z

Ak2iA2

T =∂∂=∇ 2

2

2

22T

yx ∂∂+

∂∂=∇

Gelombang paraksial adalah gelombang datar yang dimodulasi oleh amplitudo yang berubah terhadap posisi

Agar tetap berlaku sebagai gelombang datar, maka perubahan amplitudo terhadap jarak harus kecil :

Maka pers. Helmholtz menjadi:

Op. Laplacetransversal

Pers. Helmholtz paraksial (slowly varying envelope approximation of Helmholtz equation).

( ) 2222

yx;z2

ikexpz

ArA +=ρ

ρ−=r

0z

Ak2iA2

T =∂∂=∇

Solusi sederhana adalah pers. Gelombang parabola

BERKAS GAUSS (GAUSSIAN BEAM)

Jika disubstitusikan ke pers. Gel. Parabola, denganξ adalah suatu konstanta, maka :

( ) ξ−= zqz

( ) ( ) ( )

ρ−=zq2

ikexpzq

ArA

2r

juga persamaan gelombang parabola, namun mempunyai pusat di

ξ=z , bukan di z = 0.

riilz

izkompleks

0

0

=−==ξJika :

Maka :

( ) ( ) ( ) ( ) )1....(izzzq;zq2

ikexpzq

ArA 0

2

+=

ρ−=r

Fungsi envelope kompleks

Untuk memisahkan amplitudo dan fasa dari envelope kompleks, makadidefinisikan :

)2(..........)z(W

i)z(R

1

izz

1

)z(q

12

0 πλ−=

+=

dimana:W(z) = lebar berkas GaussR(z) = jarak muka gelombang dari kurvatur.

Substitusi pers. (1) dan (2) kedalam bentuk gelombang paraksial, diperoleh :

( )

ξ+ρ−−

ρ−=ψ )z(i)z(R2

ikikzexp)z(W

exp)z(W

WAr

2

2

20

0r

Pers. Berkas Gauss (Gaussian Beam)

00

2/1

00

0

1

2

0

2/12

00

iz

AA;

zW;

z

ztan)z(

z

z1z)z(R

z

z1W)z(W

=

πλ==ξ

+=

+=

−

SIFAT-SIFAT BERKAS GAUSS1. INTENSITAS

2)r(A)r(Irr =

( )

ρ−

=ρ)z(W

2exp

)z(W

WIz,I

2

220

0

200 AI =

Fungsi Gauss, yang mempunyai intensitas puncak pada ρ = 0 dan berkurang secara eksponensial terhadap ρ.

Pada ρ = 0, intensitas menjadi:

( )2

0

02

00

zz1

I

)z(W

WIz,0I

+

=

=

(a). z = 0, (b) z = z0, dan (c) z = 2z0.

2. DAYA

( )20

0

0 WI2

1d2)z,(IP π=ρπρρ= ∫

∞

∫ρ

ρ−−=ρπρρ0

02

20

)z(W

2exp1d2)z,(I

P

1

)z(W0 =ρ

)z(W5,10 =ρ

Merupakan integral dari intensitas di sepanjang bidang transversal:

Perbandingan daya pada radius ρ0 dengan daya total diberikan oleh:

Jika berarti perbandingannya adalah 86% .

Jika berarti perbandingannya adalah 99% .

3. BEAM WAIST

( ) )2exp()z(W

WIz,I

20

0 −

=ρ

2/12

00 z

z1W)z(W

+=

0W2)z(W =

Intensitas maksimum pada z=0 dan berkurang 1/e2 dengan ρ = W(z)

Pada z = 0, W(z) bernilai maksimum yaitu W0, sehingga W0 disebut

dengan beam waist.

Diameter waist 2W0 disebut dengan spot size.

Pada z = z0, maka

Pada ρ ≤ W(z), intensitasnya 86%, maka W(z) disebut jari-jari berkas.

zzz

W)z(W 0

0

0 θ=≈

00

00 Wz

W

πλ==θ

Untuk z >> z0, maka:

.

Pada z >> z0, jari-jari berkas bertambah secara linier dengan z.

Sekitar 86% daya berkas terfokus pada sudut θ0, sehingga θ0 disebut

sudut berkas.

4. PARAMETER KONVOKAL

2

λπ==

20

0W2

z2b

Jika jari-jari berkas merupakan dari nilai minimumnya (2z0), makadisebut kedalaman fokus (depth of focus) atau parameter konvokal(convocal parameter):

Contoh: Laser He-Ne, dengan panjang gelombang 633 nm, mempunyai 2W0 = 2 cm. maka kedalaman fokusnya adalah 1 km.

Bagaimana jika berkas Laser melewati lensa ?

θ0θ0

W0

z0

z

'0z

z’

'0W

'0θ z

W

R R’

W’θ0θ0

W0

z0z0

z

'0z

z’

'0W

'0θ z

W

R R’

W’

0'0 MWW =

( ) )fz(Mf'z 2 −=−

)z2(Mz2 02'

0 =

M

22 0'

0θ=θ

( ) 2/12

r

r1

MM

+=

fz

fM;

fz

zr r

0

−=

−=

a. Beam waist

b. Posisi waist

c. Kedalaman fokus

d. Sudut divergensi

e. Penguatan

Maka :

Bagaimana cara memfokuskanberkas Laser ?

( )[ ] ( )[ ]20

2/120

0'0

zf1

f'z;

fz1

WW

+=

+=

f'z;fWz

fW 00

0

'0 =θ=≈

Bila lensa diletakkan pada posisi beam waist dari berkas Gauss, maka :

Jika kedalaman fokus berkas cahaya datang (2z0) jauh lebih besar daripada folus dari lensa (f), maka:

Pemfokusan (focusing) berkas digunakan pada berbagai aplikasi, seperti scanning laser, printer laser dan fusi laser. Dalam aplikasi-aplikasi tersebut, spot size diusahakan sekecil mungkin, maka:

a. Panjang gelombang berkas (λ) diusahakan sependek mungkinb. Fokus lensa (f) sekecil mungkinc. Beam waist berkas cahaya datang (W0) sebesar mungkin.

Bagaimana cara memperbesarberkas Laser ?

Dalam aplikasi, seringkali kita memerlukan berkas cahaya laser dengan spot size yang besar. Caranya adalah menggunakan teleskop, yaitu kombinasi dua buah lensa dengan panjang fokus yang berbeda.

2W0f1

z

'0W2

z1

f2

"0W2

d z’

2W0f1

z

'0W2

z1

f2

"0W2

d z’

Sebagai latihan: Hitung berapa fokus lensa f1 dan f2, agar berkas Gauss menjadi 4 kali beam waist berkas cahaya datang.(Lihat di Buku Saleh and Teich)

BERKAS HERMITE-GAUSS

Solusi persamaan paraksial Helmholtz, bukan hanya berkas Gauss, namun juga berkas-berkas non-Gauss. Pandang envelope kompleks :

( )

0

22

G

izz)z(q

)z(q2

yxikexp

)z(q

Az,y,xA

+=

+−=

[ ] )z,y,x(A)z(iexp)z(W

y2

)z(W

x2)z,y,x(A GΖ

Υ

Χ=

( ) 0z

ZzkW

Y2

Y

Y

1

u

Xu2

u

X1 22

2

2

2

=∂∂+

ν∂∂ν−

ν∂∂+

∂∂−

∂∂

Χ

.)z(W

y2dan

)z(W

x2u =ν=

Suatu gelombang yang dimodulasi oleh berkas Gauss dengan bentuk:

X, Y dan Z adalah fungsi-fungsi riil. Bila persamaan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan paraksial Helmholtz, diperoleh:

Dengan menggunakan teknik pemisahan variabel, diperoleh:

21

2

00

22

2

12

2

dz

dZ

z

z1z

Yd

dY

d

Yd

2

1

Xdu

dXu

du

Xd

2

1

µ+µ=

+

µ=ν

ν+ν

−

µ=+−Persamaan eigen dengan nilai eigen :

,...2,1,0;1 ==µ ll

dan fungsinya adalah Polinom Hermit.

)u(H)u(Xl

=

2u4)u(H

u2)u(H

1)u(H

)u(H2)u(uH2)u(H

22

1

0

11

−=

==

−= −+ llll

dimana:

)(H)(

m

m

2

ν=νΥ=µ

m, 21 =µ=µ l

( ) ( ) ( ) ( )

=ξξ+= −

0

1

z

ztanz;zmzZ l

Dengan cara yang sama, maka:

Substitusi kedalam persamaan eigen dan

Kemudian integralkan, maka :

( ) ( )

ξ++++−−

= z1mi)z(R2

yxikikzexp

)z(W

y2G

)z(W

x2G

)z(W

WA)z,y,x(U

22

m0

m,m, llll

−=

2

uexp)u(H)u(G

2

ll

Sehingga persamaan gelombangnya menjadi:

Persamaan berkas Hermite-Gauss

fungsi Hermite-Gauss.

( ) 1uH0 =

−=

2

uexpu2)u(G

2

1

−−=

2

uexp)2u4()u(G

22

2

Karena

Maka orde-0 dari persamaan berkas Hermite-Gauss adalah fungsi Gauss. Fungsi Hermite-Gauss mempunyai karakteristik selang-seling fungsi ganjil dan fungsi genap:

� Fungsi ganjil

� Fungsi genap

DISTRIBUSI INTENSITAS

=)z(W

y2G

)z(W

x2G

)z(W

WA)y,x(I 2

m2

202

m,m, lll

Intensitas berkas Hermite-Gauss diberikan oleh:

BERKAS LAGUERRE-GAUSS

Berkas Laguerre-Gauss merupakan solusi persamaan paraksial Helmholtz dalam koordinat silinder

( )z,,r φρ=Orde terendah dari berkas Laguerre-Gauss adalah Gauss.

BERKAS BESSELPandang suatu fungsi gelombang dengan amplitudo kompleks yang memenuhi persamaan Helmholtz :

( ) )ziexp()y,x(ArU β−=r

A(x,y) memenuhi persamaan Helmholz orde kedua :

222T

2T

2T

kk

0AkA

=β+

=+∇

φρ=φρ= sinydancosx

( ) ( ) ,...2,1,0m;imexpkJA)y,x(A Tmm ±±=φρ=

Substitusi , maka diperoleh:

dimana Jm adalah fungsi Bessel dan Am adalah konstanta.

Untuk m = 0, maka diperoleh fungsi Bessel:

( ) ( )ziexpkJA)r(U T00 β−ρ=r

Intensitas berkas Bessel diungkapkan oleh:

( )ρ=φρ T20

20 kJA)z,,(I

Intensitas tidak bergantung pada arah perambatan-z, sehingga tidak terjadi pelebaran daya optik. Gelombang ini disebut berkas Bessel. Berkas cahaya Bessel ini banyak digunakan dalam penelitian untukkomunikasi optik dengan menggunakan hollow fibers, sehingga tidak terjadi pengurangan intensitas pulsa dengan pertambahan jarak.

Distribusi intensitas dari berkas Bessel dalam bidang transverse tidak bergantung pada jarak perambatan z; sehingga berkas tidak mengalami disversi

Bentuk fungsi berkas Bessel sebagai fungsi dari z (arah rambat)

Perbandingan Berkas Bessel dengan Gauss

[ ])z(W/2exp~I 22ρ−

π−ρρ

≅ρ4

kcosk

2)k(J T

2

TT

20

1. Amplitudo kompleks berkas Bessel adalah solusi eksak pers. Helmholtz, sedangkan berkas Gauss adalah solusi aproksimasi persamaan paraksial Helmholtz.

2. Intensitas berkas Gauss berkurang secara eksponensial

Intensitas berkas Bessel sebanding dengan :fungsi osilator yang meluruh secara lambat (slowly decay).

3. Berkas Bessel dibangkitkan dengan skema khusus, sedangkanberkas Gauss dapat diperoleh pada resonator speris yang umumpada laser.