Distribusi Gamma

Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

3.3 Distribusi Gamma

Pada subbab ini akan dikenalkan contoh distribusi kontinu yaitu distribusi gamma dandistribusi-distribusi yang merupakan kasus khusus dari distribusi gamma, yaitu distribusieksponensial, distribusi khi-kuadrat, dan distribusi beta.

Fungsi Gamma. Penamaan gamma () pada distribusi gamma berasal dari fungsigamma yang didefinisikan sebagai

() =

0

y1ey dy. (1)

Pada mata kuliah kalkulus telah dibuktikan bahwa integral tersebut ada untuk > 0.Akibatnya, nilai fungsi selalu positif karena pengintegralan dilakukan untuk y > 0.

Jika = 1,

(1) =

0

ey dy = 1 (2)

dan jika > 1, dapat ditunjukkan melalui teknik integral parsial bahwa

() = ( 1)

0y2ey dy = ( 1)( 1).

Dari hasil ini, dapat disimpulkan bahwa khusus untuk bilangan bulat positif yanglebih besar dari 1 maka

() = ( 1)( 2) (3)(2)(1) = ( 1)! (3)Dari persamaan (2) (1) = 1 dan dari persamaan (3) () = ( 1)! maka cukupberalasan jika 0! didefiinisikan bernilai 1.

Distribusi Gamma Misalkan y pada fungsi Gamma di persamaan (1) merupakanvariabel yang bergantung pada variabel x dan , yaitu y = x/, dengan > 0, makapersamaan (1) menjadi

() =

0

(x

)1ex/

(1

)dx,

Jika masing-masing ruas dikalikan dengan 1/() maka persamaan tersebut akan ekivalendengan

1 =

0

1

()x1ex/ dx.

Karena > 0, > 0, dan () > 0, maka fungsi

g(w) =

{1

()x1ex/, 0 < x


nilainya selalu nonnegatif dan total integralnya 1. Dengan kata lain fungsi tersebutmemenuhi syarat-syarat sebagai pdf. Variabel acak X dengan pdf seperti pada per-samaan (4) disebut variabel acak yang berdistribusi gamma dengan parameter dan, dinotasikan X Gamma(, ) atau X (, ). Parameter disebut juga parame-ter bentuk (shape parameter), sedangkan disebut parameter skala (scale parameter).Beberapa bentuk distribusi gamma diilustrasikan pada Gambar 1.

Dalam aplikasi, distribusi gamma dapat digunakan untuk memodelkan distribusi peluangdari waktu tunggu atau masa hidup suatu objek atau individu. Pada proses Poissondengan intensitas , jika variabel acak W menyatakan waktu yang diperlukan sampaidiperoleh kejadian ke-k maka W berdistribusi gamma dengan = k dan = 1/. Halini dapat dibuktikan sebagai berikut:

Akan ditentukan distribusi dari waktu tunggu W akan dicari dengan menggunakan teknikcdf. Berdasarkan definisinya, cdf dari W adalah

G(w) = P (W w) = 1 P (W > w)Tetapi, peristiwa {W > w} untuk w > 0 ekivalen dengan peristiwa bahwa pada inter-val waktu (t, t + w] banyaknya kejadian yang muncul kurang dari k. Artinya, jika Xmenyatakan banyaknya kejadian pada interval waktu (t, t+ w] maka

P (W > w) =k1x=0

P (X = x) =k1x=0

(w)xew

x!

karena pada proses Poisson dengan intensitas , banyaknya kejadian pada interval (t, t+w] dianggap berdistribusi Poisson dengan parameter w.

Dapat ditunjukkan pada Latihan 3.3.5 bahwa w

zk1ez

(k 1)! dz =k1x=0

(w)xew

x!

0 5 10 15 20 25 30 35

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

x

f(x)

Kurva distribusi Gamma (a,4)

a = 2a = 3a = 4

0 5 10 15 20 25 30 35

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

x

f(x)

Kurva distribusi Gamma (4,b)

b = 2b = 3b = 4

Gambar 1: Beberapa bentuk kurva distribusi gamma dengan parameter a dan b

2


sehingga

G(w) = 1 P (W > w) = 1 w

zk1ez

(k)dz =

w0

zk1ez

(k)dz

untuk w > 0 dan G(w) = 0 untuk w 0.

Dengan memisalkan z = y, maka

G(w) =

w0

kyk1ey

(k)dy, w > 0

dan G(w) = 0 untuk w 0.

Jadi, pdf dari W

g(w) = G(w) =

{kwk1ew

(k) , 0 < w


Melalui pemisalan y = x(1 t) dengan t < 1/, maka x = y/(1 t), sehingga

M(t) =

0

/(1 t))()

(y

1 t)1

ey dy

=

0

(1

1 t) 1

()y1ey dy

=

(1

1 t)

0

1

()y1ey dy

Karena fungsi yang ada di bawah integral adalah pdf dari distribusi gamma maka nilaiintegralnya adalah 1. Akibatnya,

M(t) =1

(1 t)

yang berlaku untuk t < 1/.

Karena turunan pertama dari M adalah

M (t) = ()(1 t)1()

dan turunan keduanya

M (t) = ()( 1)(1 t)2()2

maka mean dan variansi untuk distribusi gamma adalah

= M (0) =

dan2 = M (0) 2 = (+ 1)2 22 = 2.

Contoh 3.3.1. Misal waktu tunggu W berdistribusi gamma dengan = k dan =1/. Tentukan ekspektasi waktu tunggu sampai muncul kejadian pertama.

Penyelesaian. Karena = k dan = 1/ maka mean dari W adalah E[W ] = k/.Akibatnya untuk k = 1, nilai ekspektasinya 1/.

Contoh 3.3.2. Misal momen ke-m variabel acak X adalah

E[Xm] =(m+ 3)!

3!3m, m = 1, 2, 3, . . .

Tentukan distribusi dari X.

4


Penyelesaian. Pada Subbab 1.9 telah dibahas bahwa mgf M(t) dapat diuraikan seba-gai deret MacLaurin sehingga M(t) dapat dinyatakan dalam bentuk momen-momennya,yaitu

M(t) = 1 +E[X]

1!t+

E[X2]

2!t2 + . . .+

E[Xm]

m!tm + . . .

= 1 +4!3

3!1!t+

5!32

3!2!t2 +

6!33

3!3!t3 +

Tetapi, deret tersebut merupakan uraian deret Mac Laurin untuk (1 3t)4, dengansyarat 1 < 3t < 1. Karena M(t) = (1 3t)4 merupakan bentuk mgf dari distribusi(4, 3) maka dapat disimpulkan bahwa X berdistribusi gamma dengan parameter = 4dan = 3.

Distribusi Khi-Kuadrat. Distribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas r, dinotasikan2(r), adalah kasus khusus dari distribusi gamma dengan parameter = r/2 dan = 2dengan r bilangan bulat positif. Jika X berdistribusi 2(r), maka pdf dari X

f(x) =

{1

(r/2)2r/2xr/21ex/2, 0 < x


Penyelesaian Karena bentuk umum mgf distribusi 2(r), adalahM(t) = (12t)r/2, t a) = 1 P (X a). Diketahui P (a 0 dan > 0.Tentukan pdf dari Y = 2X/.

Penyelesaian. Bentuk cdf dari Y adalah

G(y) = P (Y y) = P(

2X

y)

= P

(X y

2

)=

y/20

1

(r/2)r/2xr/21ex/dx.

6


untuk y > 0 dan G(y) = 0 untuk y 0.

Sementara itu, pdf dari X

g(y) = G(y) =/2

(r/2)r/2(y/2)r/21ey/2

=1

(r/2)r/2yr/21ey/2.

untuk y > 0 dan g(y) = 0 untuk y 0.Jadi, Y berdistribusi 2(r).

Teorema 1 Misal X berdistribusi 2(r). Jika k > r/2 maka E[Xk] ada dan

E[Xk] =2k( r2 + k)

( r2), k > r

2

Bukti. Dari definisi ekspektasi,

E[Xk] =

xkf(x)dx =

0

1

( r2)2r/2

x(r/2)+k1ex/2dx

Dengan memisalkan u = x/2, maka

E[Xk] =

0

1

( r2)2(r/2)1 2

(r/2)+k1u(r/2)+k1eudu

=2k

( r2)

0

u(r/2)+k1eudu

=2k

( r2)( r2 + k)

dengan syarat k > r/2.

Seperti distribusi binomial dan distribusi Poisson, distribusi gamma juga bersifat aditif.Sifat ini dinyatakan pada teorema berikut:

Teorema 2 Diberikan variabel-variabel acak yang independen X1, X2, . . . Xn dan untuksetiap i = 1, 2, . . . , n, distribusi dari Xi adalah gamma(i, ). Jika Y = X1+X2+ +Xnmaka Y berdistribusi (, ) dengan = 1 + 2 + + n.

Bukti. Misal Mi(t) mgf dari Xi, i = 1, 2, . . . , n. Karena X1, X2, . . . , Xn independenmaka mgf dari Y adalah

MY (t) = M1(t)M2(t) . . .Mn(t)

= (1 t)1(1 t)2 . . . (1 t)n= (1 t)

ni=1 i .

7


Karena mgf bersifat unik maka dapat disimpulkan bahwa Y berdistribusi (, ) dengan = 1 + 2 + + n.

Akibat 3.3.1. Diberikan variabel-variabel acak yang independen X1, X2, . . . Xn danuntuk setiap i = 1, 2, . . . , n, distribusi dari Xi adalah

2(ri). Jika Y = X1 +X2 + +Xnmaka Y berdistribusi 2(r) dengan r = r1 + r2 + + rn.

Distribusi Beta. Misal X1 berdistribusi (, 1) dan X2 berdistribusi (, 1). Variabelacak X1 dan X2 independen sehingga pdf gabungannya

h(x1, x2) =1

()()x11 x

12 e

x1x2 , 0 < x1 0. Jika Y1 = X1 +X2 danY2 = X1/(X1 +X2) maka pdf marjinal dari Y1 disebut distribusi beta.

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa Y1, Y2 independen dan Y2 berdistribusi (+ , 1).Misalkan

y1 = u1(x1, x2) = x1 + x2

y2 = u2(x1, x2) =x1

x1 + x2

maka x1 = y1y2 dan x2 = y1(1 y2) sehingga

J =

y2 y11 y2 y1 = y1 6= 0

Karena 0 < x1


dan g2(y2) = 0 untuk y2 lainnya. Variabel acak dengan pdf seperti pada persamaan (5)dikatakan variabel acak yang berdistribusi beta dengan parameter dan .

Karena g(y1, y2) = g(y1)(y2) maka pdf dari Y1 adalah

g(y1) =

1

(+ )y+11 e

y1 , 0 < y1


6. Misal X1, X2, dan X3 variabel-variabel acak yang iid, masing-masing dengan pdf

f(x) =

{ex 0 < x y) = 1 P (Xi > y, i = 1, 2, 3).

7. Misal X berdistribusi gamma dengan pdf

f(x) =

1

2xex/ 0 < x


17. Tentukan mean dan variansi dari distribusi beta.Petunjuk : Dari pdf distribusi beta, diketahui 1

0y1(1 y)1dy = ()()

(+ )

untuk setiap > 0 dan > 0

18. Tentukan konstanta c supaya fungsi

f(x) =

{cx(3 x)4, 0 < x < 30, x lainnya.

mendefinisikan suatu pdf.

19. Tunjukkan bahwa jika = , kurva distribusi beta simetris di sekitar garis vertikalyang melalui x = 12 .

20. Tunjukkan bahwa untuk k = 1, 2, . . . , n 1p

n!

(k 1)!(n k)!zk1(1 z)nkdz =

k1x=0

(nx

)px(1 p)nx.

Persamaan tersebut memperlihatkan hubungan antara cdf dari distribusi beta de-ngan distribusi binomial.

21. Misal X1 dan X2 dua variabel acak yang independen. Misalkan pula X1 berdis-tribusi 2(r1) dan Y = X1 + X2 berdistribusi

2(r), dengan r1 < r. Tunjukkanbahwa X2 berdistribusi

2(r r1).Petunjuk : Tulis M(t) = E[et(X1+X2)] dan gunakan sifat independen dari X1 danX2.

22. Misal X1 berdistribusi (3, 3) dan X2 berdistribusi (5, 1).

(a) Tentukan mgf dari Y = 2X1 + 6X2

(b) Tentukan distribusi Y.

23. Misal X berdistribusi eksponensial.

(a) Tunjukkan bahwa distribusi eksponensial mempunyai sifat memoryless sepertipada distribusi geometrik. Dengan kata lain,

P (X > x+ y|X > x) = P (X > y)

(b) Misal F (y) cdf kontinu dari variabel acak Y. Asumsikan bahwa F (0) = 0 dan0 < F (y) < 1 untuk y > 0. Jika sifat memoryless berlaku untuk Y, tunjukkanbahwa F (y) = 1 ey untuk y > 0.Petunjuk : Tunjukkan bahwa g(y) = 1 F (y) memenuhi persamaan

g(y + z) = g(y)g(z).

11


24. Misal variabel acak kontinu X mempunyai cdf F (x) dan pdf f(x). Hazard ratedari X didefinisikan sebagai

r(x) = lim0

P (x X < x+ |X x)

(6)

Kata hazard di sini dapat diartikan suatu keadaan yang berdampak buruk ataunegatif seperti bahaya, bencana, kegagalan, atau kecelakaan.

Pada kasus ini, X dapat menyatakan waktu kegagalan suatu individu/objek, se-dangkan peluang bersyarat

P (x X < x+ |X x) (7)

dapat diartikan peluang terjadinya kegagalan dalam interval waktu [x, x+ ], jikadiketahui bahwa individu/objek tersebut masih bertahan sampai waktu x. Semen-tara itu, r(x) pada persamaan (6) dapat diinterpretasikan sebagai laju kegagalansesaat.

Sebagai contoh, dalam aktuaria (matematika asuransi), X dapat menyatakan usiaseseorang, peluang bersyarat pada persamaan (7) menyatakan peluang atau resikokematian seseorang berusia x dalam selang waktu , dan r(x) pada persamaan (6)menyatakan laju kematian sesaat bagi seseorang berusia x. Fungsi ini disebut jugalaju mortalitas.

Terkait dengan hazard rate r(x),

(a) Tunjukkan bahwa

r(x) =f(x)

1 F (x) .

(b) Jika r(x) = k dengan k konstanta positif, tunjukkan bahwa variabel acak Xberdistribusi eksponensial.

(c) Jika r(x) = cxb dengan c dan b konstanta positif, tunjukkan bahwa X berdis-tribusi Weibull, dengan kata lain pdf dari X

f(x) =

{cxb exp

{ cxb+1b+1

}, 0 < x


Lampiran 1. Tabel Distribusi Khi Kuadrat

Pada tabel berikut diberikan nilai kuantil dari distribusi khi-kuadrat, yaitu nilai x yangmemenuhi

P (X x) = x

0

1

(r/2)2r/2wr/21ew/2dw

untuk suatu derajat bebas r.

P (X x)r 0.010 0.025 0.050 0.100 0.900 0.950 0.975 0.990

1 0.000 0.001 0.004 0.016 2.706 3.841 5.024 6.6352 0.020 0.051 0.103 0.211 4.605 5.991 7.378 9.2103 0.115 0.216 0.352 0.584 6.251 7.815 9.348 11.3454 0.297 0.484 0.711 1.064 7.779 9.488 11.143 13.2775 0.554 0.831 1.145 1.610 9.236 11.070 12.833 15.0866 0.872 1.237 1.635 2.204 10.645 12.592 14.449 16.8127 1.239 1.690 2.167 2.833 12.017 14.067 16.013 18.4758 1.646 2.180 2.733 3.490 13.362 15.507 17.535 20.0909 2.088 2.700 3.325 4.168 14.684 16.919 19.023 21.666

10 2.558 3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483 23.20911 3.053 3.816 4.575 5.578 17.275 19.675 21.920 24.72512 3.571 4.404 5.226 6.304 18.549 21.026 23.337 26.21713 4.107 5.009 5.892 7.042 19.812 22.362 24.736 27.68814 4.660 5.629 6.571 7.790 21.064 23.685 26.119 29.14115 5.229 6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488 30.57816 5.812 6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845 32.00017 6.408 7.564 8.672 10.085 24.769 27.587 30.191 33.40918 7.015 8.231 9.390 10.865 25.989 28.869 31.526 34.80519 7.633 8.907 10.117 11.651 27.204 30.144 32.852 36.19120 8.260 9.591 10.851 12.443 28.412 31.410 34.170 37.56621 8.897 10.283 11.591 13.240 29.615 32.671 35.479 38.93222 9.542 10.982 12.338 14.041 30.813 33.924 36.781 40.28923 10.196 11.689 13.091 14.848 32.007 35.172 38.076 41.63824 10.856 12.401 13.848 15.659 33.196 36.415 39.364 42.98025 11.524 13.120 14.611 16.473 34.382 37.652 40.646 44.31426 12.198 13.844 15.379 17.292 35.563 38.885 41.923 45.64227 12.879 14.573 16.151 18.114 36.741 40.113 43.195 46.96328 13.565 15.308 16.928 18.939 37.916 41.337 44.461 48.27829 14.256 16.047 17.708 19.768 39.087 42.557 45.722 49.58830 14.953 16.791 18.493 20.599 40.256 43.773 46.979 50.892

13

Distribusi Gamma

Documents

Transcript of Distribusi Gamma