Distribusi Gamma

Click here to load reader

  • date post

    23-Nov-2015
  • Category

    Documents

  • view

    73
  • download

    10

Embed Size (px)

description

Matematika

Transcript of Distribusi Gamma

  • Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

    3.3 Distribusi Gamma

    Pada subbab ini akan dikenalkan contoh distribusi kontinu yaitu distribusi gamma dandistribusi-distribusi yang merupakan kasus khusus dari distribusi gamma, yaitu distribusieksponensial, distribusi khi-kuadrat, dan distribusi beta.

    Fungsi Gamma. Penamaan gamma () pada distribusi gamma berasal dari fungsigamma yang didefinisikan sebagai

    () =

    0

    y1ey dy. (1)

    Pada mata kuliah kalkulus telah dibuktikan bahwa integral tersebut ada untuk > 0.Akibatnya, nilai fungsi selalu positif karena pengintegralan dilakukan untuk y > 0.

    Jika = 1,

    (1) =

    0

    ey dy = 1 (2)

    dan jika > 1, dapat ditunjukkan melalui teknik integral parsial bahwa

    () = ( 1)

    0y2ey dy = ( 1)( 1).

    Dari hasil ini, dapat disimpulkan bahwa khusus untuk bilangan bulat positif yanglebih besar dari 1 maka

    () = ( 1)( 2) (3)(2)(1) = ( 1)! (3)Dari persamaan (2) (1) = 1 dan dari persamaan (3) () = ( 1)! maka cukupberalasan jika 0! didefiinisikan bernilai 1.

    Distribusi Gamma Misalkan y pada fungsi Gamma di persamaan (1) merupakanvariabel yang bergantung pada variabel x dan , yaitu y = x/, dengan > 0, makapersamaan (1) menjadi

    () =

    0

    (x

    )1ex/

    (1

    )dx,

    Jika masing-masing ruas dikalikan dengan 1/() maka persamaan tersebut akan ekivalendengan

    1 =

    0

    1

    ()x1ex/ dx.

    Karena > 0, > 0, dan () > 0, maka fungsi

    g(w) =

    {1

    ()x1ex/, 0 < x

  • Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

    nilainya selalu nonnegatif dan total integralnya 1. Dengan kata lain fungsi tersebutmemenuhi syarat-syarat sebagai pdf. Variabel acak X dengan pdf seperti pada per-samaan (4) disebut variabel acak yang berdistribusi gamma dengan parameter dan, dinotasikan X Gamma(, ) atau X (, ). Parameter disebut juga parame-ter bentuk (shape parameter), sedangkan disebut parameter skala (scale parameter).Beberapa bentuk distribusi gamma diilustrasikan pada Gambar 1.

    Dalam aplikasi, distribusi gamma dapat digunakan untuk memodelkan distribusi peluangdari waktu tunggu atau masa hidup suatu objek atau individu. Pada proses Poissondengan intensitas , jika variabel acak W menyatakan waktu yang diperlukan sampaidiperoleh kejadian ke-k maka W berdistribusi gamma dengan = k dan = 1/. Halini dapat dibuktikan sebagai berikut:

    Akan ditentukan distribusi dari waktu tunggu W akan dicari dengan menggunakan teknikcdf. Berdasarkan definisinya, cdf dari W adalah

    G(w) = P (W w) = 1 P (W > w)Tetapi, peristiwa {W > w} untuk w > 0 ekivalen dengan peristiwa bahwa pada inter-val waktu (t, t + w] banyaknya kejadian yang muncul kurang dari k. Artinya, jika Xmenyatakan banyaknya kejadian pada interval waktu (t, t+ w] maka

    P (W > w) =k1x=0

    P (X = x) =k1x=0

    (w)xew

    x!

    karena pada proses Poisson dengan intensitas , banyaknya kejadian pada interval (t, t+w] dianggap berdistribusi Poisson dengan parameter w.

    Dapat ditunjukkan pada Latihan 3.3.5 bahwa w

    zk1ez

    (k 1)! dz =k1x=0

    (w)xew

    x!

    0 5 10 15 20 25 30 35

    0.00

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.10

    0.12

    x

    f(x)

    Kurva distribusi Gamma (a,4)

    a = 2a = 3a = 4

    0 5 10 15 20 25 30 35

    0.00

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.10

    0.12

    x

    f(x)

    Kurva distribusi Gamma (4,b)

    b = 2b = 3b = 4

    Gambar 1: Beberapa bentuk kurva distribusi gamma dengan parameter a dan b

    2

  • Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

    sehingga

    G(w) = 1 P (W > w) = 1 w

    zk1ez

    (k)dz =

    w0

    zk1ez

    (k)dz

    untuk w > 0 dan G(w) = 0 untuk w 0.

    Dengan memisalkan z = y, maka

    G(w) =

    w0

    kyk1ey

    (k)dy, w > 0

    dan G(w) = 0 untuk w 0.

    Jadi, pdf dari W

    g(w) = G(w) =

    {kwk1ew

    (k) , 0 < w

  • Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

    Melalui pemisalan y = x(1 t) dengan t < 1/, maka x = y/(1 t), sehingga

    M(t) =

    0

    /(1 t))()

    (y

    1 t)1

    ey dy

    =

    0

    (1

    1 t) 1

    ()y1ey dy

    =

    (1

    1 t)

    0

    1

    ()y1ey dy

    Karena fungsi yang ada di bawah integral adalah pdf dari distribusi gamma maka nilaiintegralnya adalah 1. Akibatnya,

    M(t) =1

    (1 t)

    yang berlaku untuk t < 1/.

    Karena turunan pertama dari M adalah

    M (t) = ()(1 t)1()

    dan turunan keduanya

    M (t) = ()( 1)(1 t)2()2

    maka mean dan variansi untuk distribusi gamma adalah

    = M (0) =

    dan2 = M (0) 2 = (+ 1)2 22 = 2.

    Contoh 3.3.1. Misal waktu tunggu W berdistribusi gamma dengan = k dan =1/. Tentukan ekspektasi waktu tunggu sampai muncul kejadian pertama.

    Penyelesaian. Karena = k dan = 1/ maka mean dari W adalah E[W ] = k/.Akibatnya untuk k = 1, nilai ekspektasinya 1/.

    Contoh 3.3.2. Misal momen ke-m variabel acak X adalah

    E[Xm] =(m+ 3)!

    3!3m, m = 1, 2, 3, . . .

    Tentukan distribusi dari X.

    4

  • Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

    Penyelesaian. Pada Subbab 1.9 telah dibahas bahwa mgf M(t) dapat diuraikan seba-gai deret MacLaurin sehingga M(t) dapat dinyatakan dalam bentuk momen-momennya,yaitu

    M(t) = 1 +E[X]

    1!t+

    E[X2]

    2!t2 + . . .+

    E[Xm]

    m!tm + . . .

    = 1 +4!3

    3!1!t+

    5!32

    3!2!t2 +

    6!33

    3!3!t3 +

    Tetapi, deret tersebut merupakan uraian deret Mac Laurin untuk (1 3t)4, dengansyarat 1 < 3t < 1. Karena M(t) = (1 3t)4 merupakan bentuk mgf dari distribusi(4, 3) maka dapat disimpulkan bahwa X berdistribusi gamma dengan parameter = 4dan = 3.

    Distribusi Khi-Kuadrat. Distribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas r, dinotasikan2(r), adalah kasus khusus dari distribusi gamma dengan parameter = r/2 dan = 2dengan r bilangan bulat positif. Jika X berdistribusi 2(r), maka pdf dari X

    f(x) =

    {1

    (r/2)2r/2xr/21ex/2, 0 < x

  • Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

    Penyelesaian Karena bentuk umum mgf distribusi 2(r), adalahM(t) = (12t)r/2, t a) = 1 P (X a). Diketahui P (a 0 dan > 0.Tentukan pdf dari Y = 2X/.

    Penyelesaian. Bentuk cdf dari Y adalah

    G(y) = P (Y y) = P(

    2X

    y)

    = P

    (X y

    2

    )=

    y/20

    1

    (r/2)r/2xr/21ex/dx.

    6

  • Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

    untuk y > 0 dan G(y) = 0 untuk y 0.

    Sementara itu, pdf dari X

    g(y) = G(y) =/2

    (r/2)r/2(y/2)r/21ey/2

    =1

    (r/2)r/2yr/21ey/2.

    untuk y > 0 dan g(y) = 0 untuk y 0.Jadi, Y berdistribusi 2(r).

    Teorema 1 Misal X berdistribusi 2(r). Jika k > r/2 maka E[Xk] ada dan

    E[Xk] =2k( r2 + k)

    ( r2), k > r

    2

    Bukti. Dari definisi ekspektasi,

    E[Xk] =

    xkf(x)dx =

    0

    1

    ( r2)2r/2

    x(r/2)+k1ex/2dx

    Dengan memisalkan u = x/2, maka

    E[Xk] =

    0

    1

    ( r2)2(r/2)1 2

    (r/2)+k1u(r/2)+k1eudu

    =2k

    ( r2)

    0

    u(r/2)+k1eudu

    =2k

    ( r2)( r2 + k)

    dengan syarat k > r/2.

    Seperti distribusi binomial dan distribusi Poisson, distribusi gamma juga bersifat aditif.Sifat ini dinyatakan pada teorema berikut:

    Teorema 2 Diberikan variabel-variabel acak yang independen X1, X2, . . . Xn dan untuksetiap i = 1, 2, . . . , n, distribusi dari Xi adalah gamma(i, ). Jika Y = X1+X2+ +Xnmaka Y berdistribusi (, ) dengan = 1 + 2 + + n.

    Bukti. Misal Mi(t) mgf dari Xi, i = 1, 2, . . . , n. Karena X1, X2, . . . , Xn independenmaka mgf dari Y adalah

    MY (t) = M1(t)M2(t) . . .Mn(t)

    = (1 t)1(1 t)2 . . . (1 t)n= (1 t)

    ni=1 i .

    7

  • Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

    Karena mgf bersifat unik maka dapat disimpulkan bahwa Y berdistribusi (, ) dengan = 1 + 2 + + n.

    Akibat 3.3.1. Diberikan variabel-variabel acak yang independen X1, X2, . . . Xn danuntuk setiap i = 1, 2, . . . , n, distribusi dari Xi adalah

    2(ri). Jika Y = X1 +X2 + +Xnmaka Y berdistribusi 2(r) dengan r = r1 + r2 + + rn.

    Distribusi Beta. Misal X1 berdistribusi (, 1) dan X2 berdistribusi (, 1). Variabelacak X1 dan X2 independen sehingga pdf gabungannya

    h(x1, x2) =1

    ()()x11 x

    12 e

    x1x2 , 0 < x1 0. Jika Y1 = X1 +X2 danY2 = X1/(X1 +X2) maka pdf marjinal dari Y1 disebut distribusi beta.

    Berikut ini akan ditunjukkan bahwa Y1, Y2 independen dan Y2 berdistribusi (+ , 1).Misalkan

    y1 = u1(x1, x2) = x1 + x2

    y2 = u2(x1, x2) =x1

    x1 + x2

    maka x1 = y1y2 dan x2 = y1(1 y2) sehingga

    J =

    y2 y11 y2 y1 = y1 6= 0

    Karena 0 < x1

  • Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

    dan g2(y2) = 0 untuk y2 lainnya. Variabel acak dengan pdf seperti pada persamaan (5)dikatakan variabel acak yang berdistribusi beta dengan parameter dan .

    Karena g(y1, y2) = g(y1)(y2) maka pdf dari Y1 adalah

    g(y1) =

    1

    (+ )y+11 e

    y1 , 0 < y1

  • Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

    6. Misal X1, X2, dan X3 variabel-variabel acak yang iid, masing-masing dengan pdf

    f(x) =

    {ex 0 < x y) = 1 P (Xi > y, i = 1, 2, 3).

    7. Misal X berdistribusi gamma dengan pdf

    f(x) =

    1

    2xex/ 0 < x

  • Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

    17. Tentukan mean dan variansi dari distribusi beta.Petunjuk : Dari pdf distribusi beta, diketahui 1

    0y1(1 y)1dy = ()()

    (+ )

    untuk setiap > 0 dan > 0

    18. Tentukan konstanta c supaya fungsi

    f(x) =