DISTRIBUSI KONTINU - FMIPA Personal Blogs /...
Transcript of DISTRIBUSI KONTINU - FMIPA Personal Blogs /...
DISTRIBUSI KONTINU
• Uniform
• Normal
• Gamma & Eksponensial
MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar
Distribusi Uniform
• Distribusi kontinu yang paling sederhana
• Notasi: X ~ U (a,b)
• f.k.p:
2
[ ] = 2
( - )( )
12
b aE X
b aVar X
Rataan :
Variansi :
2
lainnya , 0
, 1
x
bxaab=f(x)
a b
f(x)
Distribusi Normal (Gauss)
• Penting dipelajari
• Notasi: X ~ N ( , 2)
• f.k.p:
3
21
21( )
2
x
f x e
Karl Friedrich Gauss 1777-1855
rataan
Simpangan baku /standar deviasi
= 3.14159… e = 2.71828…
• N(0,1) disebut normal standar (baku)
, - < x <
- Banyak digunakan - Aproksimasi Binomial - Teorema limit pusat
4
Simetri terhadap
x =
Titik belok Titik belok
Modus tunggal
Total luas daerah di
bawah kurva =1
Peluang X di sekitar 1, 2,
dan 3 http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/normal_curve.gif
Kurva Normal
2
3
1 < 2 < 3
1
Kurva normal dengan
yang sama
Kurva normal dengan yang
sama
1 < 2 < 3
1 2 3
parameter lokasi
parameter skala
5
Pengaruh dan
Luas di bawah kurva Normal
1)( XP
XZ
ms-
=
6
1
az
0
2
bz
P (z1 < Z < z2)
Z ~ N(0,1) X ~ N(,2)
P(a < X < b)
X ~ N(,2)
Menghitung Peluang Normal
1. Cara langsung
2. Dengan tabel normal standar P (Z z)
21
21( )
2
xb
a
P a X b e dx
7
Sulit !!! Harus dihitung secara numerik
N(0,1)
XZ
Arti Tabel Normal
• Misal Z ~ N(0,1) dan z R, -3,4 z 3,4
2 / 21
2( )
z
xP Z z e dx
8
P(Z z )
P(Z z) DITABELKAN untuk -3.4 z 3.4
P(Z 1,24 )
P(0 Z 1,24 ) = P(Z 1,24 ) - P(Z < 0 )
= 0,8925 – 0,5 = 0,3925
P(Z 0 )
Hitung P (0 Z 1,24 )
10
Contoh 1
Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam
11
Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan standar deviasi 40 jam.
http://www.nataliedee.com/101906/nightshift-at-the-factory-factory.jpg
http://ismailfahmi.org/wp/wp-content/uploads/2007/07/light-bulb.jpg
Jawab
Misal X : umur bola lampu
X ~ N (800,402)
Dengan transformasi :
778 800 834 800(778 834)
40 40
( 0,55 0,85)
( 0,85) ( 0,55)
0,8023 0,2912
0,5111
P X P Z
P Z
P Z P Z
XZ
ms-
=
12
Contoh 2
Suatu pabrik dapat memproduksi voltmeter dengan kemampuan pengukuran tegangan, rataan 40 volt dan standar deviasi 2 volt. Misalkan tegangan tersebut berdistribusi normal.
13
Dari 1000 voltmeter yang diproduksi, berapa voltmeter yang tegangannya melebihi 43 volt?
Jawab
Misal X : tegangan voltmeter
X ~ N (40, 4)
Dengan transformasi
43 40( 43)
2
( 1,5)
1 ( 1,5)
1 0,9332
0,0668
P X P Z
P Z
P Z
XZ
ms-
=
14
Banyaknya voltmeter yang tegangannya lebih dari 43 volt adalah
1000 unit x 0,0668
66 unit
Aproksimasi Binomial dengan Normal
)1( pnp
15
Jika n maka B(n,p) N (,2)
dimana = np dan 2=np(1-p)
B (6;0,2) B (15;0,2)
Semakin besar n, binomial semakin dekat ke normal
Contoh 3
Misal peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit demam berdarah adalah 0,4.
16
Bila diketahui ada 100 pasien demam berdarah, berapa peluangnya bahwa yang sembuh
a. tepat 30 orang
b. kurang dari 30 orang
http://www.bratachem.com/abate/images/demam.jpg
Jawab
Misal X : banyaknya pasien yang sembuh
X ~ B(n,p) , n = 100 ; p = 0,4
Rataan: = np = 100 x 0,4 = 40
St.Dev: (1 ) 40 0,6 4,899np p
17
a. Peluang bahwa banyaknya pasien yang sembuh tepat 30 orang adalah:
( 30) (29,5 30,5)
29,5 40 30,5 40
4,899 4,899
( 2,14 1,94)
( 1,94) ( 2,14)
0,0262 0,0162
P X P X
P Z
P Z
P Z P Z
0,01
Jawaban lanjutan
29,5 40( 30)
4,899
( 2,14)
0,0162
P X P Z
P Z
18
b. Peluang bahwa banyaknya pasien yang sembuh akan kurang dari 30 adalah:
19
• Notasi X ~ Gamma(,) • f.k.p
• () disebut fungsi gamma
dimana (1) = 1 dan () = ( -1)!, jika > 1 • E[X] = dan Var(X) = 2 • Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu • Keluarga Gamma(,): distribusi eksponensial, khi kuadrat,
Weibull, dan Erlang
0
1)( dyey y
Distribusi Gamma
𝑓(𝑥) =
1
𝛤(𝛼)𝛽𝛼𝑥𝛼−1𝑒−𝑥 𝛽 ,0 < 𝑥 < ∞
0 , 𝑥 lainnya
𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0
• Observasi kontinu dan selalu non-negatif sering dianggap
mengikuti distribusi gamma dengan parameter >0 dan β>0.
Bukti
20
• Untuk =1,
sehingga jika kita ambil >1, tulis n= didapat persamaan
rekursif:
1 2
0 0
2
0
( ) ( 1)
( 1) ( 1) ( 1)
x x
x
e x e x dx
e x dx
0(1) 1xe dx
( ) ( 1)!n n
( ) ( 1)!n n
Bukti
21
• Dengan cara yang sama kita juga bisa menentukan E[X2]
, sehingga kita bisa mendapatkan Var(X) = 2
1
0
0
0
1[ ]
( )
1, misal
( )
1
( )
( 1)
( )
x
x
y
E X x x e dx
x xe dx y
y e dy
Contoh
• Radioactive particles passing by a counter follow a
poisson process with an average of 4 particles per
millisecond. What is the probability that up to 2
millisecond will elapse until 3 particles have passed the
counter?
• Analisis Kasus:
• Misalkan X : waktu yang diperlukan untuk suatu partikel
melewati counter
• X ~ Gamma( , )
Page 22
24
• Keluarga distribusi gamma (1, 1/)
• Notasi: X ~ Exp ()
• f.k.p
,0( )
0 , lainnya
xe xf x
x
• E[X] = 1/
• Var(X) = 1/ 2
• Digunakan untuk memodelkan waktu antar kedatangan
Distribusi Eksponensial
Contoh 4
Misalkan lama pembicaraan telepon dapat dimodelkan oleh distribusi eksponensial, dengan rataan 10 menit/orang.
25
Bila seseorang tiba-tiba mendahului anda di suatu telepon umum, carilah peluangnya bahwa anda harus menunggu:
a. lebih dari 10 menit
b. antara 10 sampai 20 menit
http://www.beritajakarta.com/images/foto/antri-pasar-murah-a.jpg&imgrefurl=http://pdpjaktim.blogspot.com/2007/09/
Jawab
Misalkan X : lama pembicaraan telepon Dik. X ~ exp(1/10) sehingga Tapi lama pembicaraan setara dengan waktu menunggu . Jadi, a.
b.
1 /10
10( ) xf x e
26
10
/101
100
( 10) 1 ( 10)
1 1 0,368 0,632x
P X P X
e dx
20
1 /10
10
10
(10 20) 0,233 xP X e dx
Distribusi Chi-Square
• X ~ χ2(r)
• Kasus distribusi Gamma dengan =r/2 dan β=2,
• Dengan f.p.m untuk t < ½,
𝑀 𝑡 = 1 − 2𝑡−
𝑟
2
• = = r
• σ2 = 2 = 2r
Page 27
𝑓(𝑥) =
1
𝛤(r/2)2𝑟/2𝑥r2−1𝑒−𝑥 2 ,0 < 𝑥 < ∞
0 , 𝑥 lainnya
Distribusi - t
• Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak
khi-kuadrat dengan derajat kebebasan . Bila Z dan V
bebas, maka distribusi peubah acak T, bila
diberikan oleh,
Ini dikenal dengan nama distribusi-t dengan derajat
kebebasan .
ZT
V
1 221 2
1 ,2
th t t
Distribusi F
• Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing-masing berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan 1 dan 2. Maka distribusi peubah acak,
• Diberikan oleh,
Ini dikenal dengan nama distribusi-F dengan derajat kebebasan 1 dan 2.
1
2
UF
V
1 1
1 2
2 2 1
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2, 0
2 2 1 2
fh f f
f
Referensi
Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.
Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.
Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
30