DISTRIBUSI KONTINU - FMIPA Personal Blogs /...

of 30 /30
DISTRIBUSI KONTINU Uniform Normal Gamma & Eksponensial MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar

Embed Size (px)

Transcript of DISTRIBUSI KONTINU - FMIPA Personal Blogs /...

  • DISTRIBUSI KONTINU

    Uniform

    Normal

    Gamma & Eksponensial

    MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar

  • Distribusi Uniform

    Distribusi kontinu yang paling sederhana

    Notasi: X ~ U (a,b)

    f.k.p:

    2

    [ ] = 2

    ( - )( )

    12

    b aE X

    b aVar X

    Rataan :

    Variansi :

    2

    lainnya , 0

    , 1

    x

    bxaab=f(x)

    a b

    f(x)

  • Distribusi Normal (Gauss)

    Penting dipelajari

    Notasi: X ~ N ( , 2)

    f.k.p:

    3

    21

    21( )2

    x

    f x e

    Karl Friedrich Gauss 1777-1855

    rataan

    Simpangan baku /standar deviasi

    = 3.14159 e = 2.71828

    N(0,1) disebut normal standar (baku)

    , - < x <

    - Banyak digunakan - Aproksimasi Binomial - Teorema limit pusat

  • 4

    Simetri terhadap

    x =

    Titik belok Titik belok

    Modus tunggal

    Total luas daerah di

    bawah kurva =1

    Peluang X di sekitar 1, 2,

    dan 3 http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/normal_curve.gif

    Kurva Normal

  • 2

    3

    1 < 2 < 3

    1

    Kurva normal dengan

    yang sama

    Kurva normal dengan yang

    sama

    1 < 2 < 3

    1 2 3

    parameter lokasi

    parameter skala

    5

    Pengaruh dan

  • Luas di bawah kurva Normal

    1)( XP

    XZ

    ms-

    =

    6

    1

    az

    0

    2

    bz

    P (z1 < Z < z2)

    Z ~ N(0,1) X ~ N(,2)

    P(a < X < b)

    X ~ N(,2)

  • Menghitung Peluang Normal

    1. Cara langsung

    2. Dengan tabel normal standar P (Z z)

    21

    21( )2

    xb

    a

    P a X b e dx

    7

    Sulit !!! Harus dihitung secara numerik

    N(0,1)

    XZ

  • Arti Tabel Normal

    Misal Z ~ N(0,1) dan z R, -3,4 z 3,4

    2 / 21

    2( )

    z

    xP Z z e dx

    8

    P(Z z )

    P(Z z) DITABELKAN untuk -3.4 z 3.4

  • Membaca Tabel Normal

    9

    P(Z 1,24 )

  • P(Z 1,24 )

    P(0 Z 1,24 ) = P(Z 1,24 ) - P(Z < 0 )

    = 0,8925 0,5 = 0,3925

    P(Z 0 )

    Hitung P (0 Z 1,24 )

    10

  • Contoh 1

    Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam

    11

    Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan standar deviasi 40 jam.

    http://www.nataliedee.com/101906/nightshift-at-the-factory-factory.jpg

    http://ismailfahmi.org/wp/wp-content/uploads/2007/07/light-bulb.jpg

  • Jawab

    Misal X : umur bola lampu

    X ~ N (800,402)

    Dengan transformasi :

    778 800 834 800(778 834)

    40 40

    ( 0,55 0,85)

    ( 0,85) ( 0,55)

    0,8023 0,2912

    0,5111

    P X P Z

    P Z

    P Z P Z

    XZ

    ms-

    =

    12

  • Contoh 2

    Suatu pabrik dapat memproduksi voltmeter dengan kemampuan pengukuran tegangan, rataan 40 volt dan standar deviasi 2 volt. Misalkan tegangan tersebut berdistribusi normal.

    13

    Dari 1000 voltmeter yang diproduksi, berapa voltmeter yang tegangannya melebihi 43 volt?

  • Jawab

    Misal X : tegangan voltmeter

    X ~ N (40, 4)

    Dengan transformasi

    43 40( 43)

    2

    ( 1,5)

    1 ( 1,5)

    1 0,9332

    0,0668

    P X P Z

    P Z

    P Z

    XZ

    ms-

    =

    14

    Banyaknya voltmeter yang tegangannya lebih dari 43 volt adalah

    1000 unit x 0,0668

    66 unit

  • Aproksimasi Binomial dengan Normal

    )1( pnp

    15

    Jika n maka B(n,p) N (,2)

    dimana = np dan 2=np(1-p)

    B (6;0,2) B (15;0,2)

    Semakin besar n, binomial semakin dekat ke normal

  • Contoh 3

    Misal peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit demam berdarah adalah 0,4.

    16

    Bila diketahui ada 100 pasien demam berdarah, berapa peluangnya bahwa yang sembuh

    a. tepat 30 orang

    b. kurang dari 30 orang

    http://www.bratachem.com/abate/images/demam.jpg

  • Jawab

    Misal X : banyaknya pasien yang sembuh

    X ~ B(n,p) , n = 100 ; p = 0,4

    Rataan: = np = 100 x 0,4 = 40

    St.Dev: (1 ) 40 0,6 4,899np p

    17

    a. Peluang bahwa banyaknya pasien yang sembuh tepat 30 orang adalah:

    ( 30) (29,5 30,5)

    29,5 40 30,5 40

    4,899 4,899

    ( 2,14 1,94)

    ( 1,94) ( 2,14)

    0,0262 0,0162

    P X P X

    P Z

    P Z

    P Z P Z

    0,01

  • Jawaban lanjutan

    29,5 40( 30)

    4,899

    ( 2,14)

    0,0162

    P X P Z

    P Z

    18

    b. Peluang bahwa banyaknya pasien yang sembuh akan kurang dari 30 adalah:

  • 19

    Notasi X ~ Gamma(,) f.k.p

    () disebut fungsi gamma

    dimana (1) = 1 dan () = ( -1)!, jika > 1 E[X] = dan Var(X) = 2 Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu Keluarga Gamma(,): distribusi eksponensial, khi kuadrat,

    Weibull, dan Erlang

    0

    1)( dyey y

    Distribusi Gamma

    () =

    1

    ()1 ,0 < <

    0 , lainnya

    > 0 dan > 0

    Observasi kontinu dan selalu non-negatif sering dianggap

    mengikuti distribusi gamma dengan parameter >0 dan >0.

  • Bukti

    20

    Untuk =1,

    sehingga jika kita ambil >1, tulis n= didapat persamaan

    rekursif:

    1 2

    0 0

    2

    0

    ( ) ( 1)

    ( 1) ( 1) ( 1)

    x x

    x

    e x e x dx

    e x dx

    0(1) 1xe dx

    ( ) ( 1)!n n

    ( ) ( 1)!n n

  • Bukti

    21

    Dengan cara yang sama kita juga bisa menentukan E[X2]

    , sehingga kita bisa mendapatkan Var(X) = 2

    1

    0

    0

    0

    1[ ]

    ( )

    1, misal

    ( )

    1

    ( )

    ( 1)

    ( )

    x

    x

    y

    E X x x e dx

    x xe dx y

    y e dy

  • Contoh

    Radioactive particles passing by a counter follow a

    poisson process with an average of 4 particles per

    millisecond. What is the probability that up to 2

    millisecond will elapse until 3 particles have passed the

    counter?

    Analisis Kasus:

    Misalkan X : waktu yang diperlukan untuk suatu partikel

    melewati counter

    X ~ Gamma( , )

    Page 22

  • Jawab

    MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu Page 23

  • 24

    Keluarga distribusi gamma (1, 1/)

    Notasi: X ~ Exp ()

    f.k.p

    ,0( )

    0 , lainnya

    xe xf x

    x

    E[X] = 1/

    Var(X) = 1/ 2

    Digunakan untuk memodelkan waktu antar kedatangan

    Distribusi Eksponensial

  • Contoh 4

    Misalkan lama pembicaraan telepon dapat dimodelkan oleh distribusi eksponensial, dengan rataan 10 menit/orang.

    25

    Bila seseorang tiba-tiba mendahului anda di suatu telepon umum, carilah peluangnya bahwa anda harus menunggu:

    a. lebih dari 10 menit

    b. antara 10 sampai 20 menit

    http://www.beritajakarta.com/images/foto/antri-pasar-murah-a.jpg&imgrefurl=http://pdpjaktim.blogspot.com/2007/09/

  • Jawab

    Misalkan X : lama pembicaraan telepon Dik. X ~ exp(1/10) sehingga Tapi lama pembicaraan setara dengan waktu menunggu . Jadi, a.

    b.

    1 /10

    10( ) xf x e

    26

    10

    /101

    100

    ( 10) 1 ( 10)

    1 1 0,368 0,632x

    P X P X

    e dx

    20

    1 /10

    10

    10

    (10 20) 0,233 xP X e dx

  • Distribusi Chi-Square

    X ~ 2(r)

    Kasus distribusi Gamma dengan =r/2 dan =2,

    Dengan f.p.m untuk t < ,

    = 1 2

    2

    = = r

    2 = 2 = 2r

    Page 27

    () =

    1

    (r/2)2/2r21 2 ,0 < <

    0 , lainnya

  • Distribusi - t

    Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak

    khi-kuadrat dengan derajat kebebasan . Bila Z dan V

    bebas, maka distribusi peubah acak T, bila

    diberikan oleh,

    Ini dikenal dengan nama distribusi-t dengan derajat

    kebebasan .

    ZT

    V

    1 221 21 ,

    2

    th t t

  • Distribusi F

    Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing-masing berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan 1 dan 2. Maka distribusi peubah acak,

    Diberikan oleh,

    Ini dikenal dengan nama distribusi-F dengan derajat kebebasan 1 dan 2.

    1

    2

    UF

    V

    1 1

    1 2

    2 2 1

    1 2 1 2

    2

    1 2 1 2

    2, 0

    2 2 1 2

    fh f f

    f

  • Referensi

    Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

    Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.

    Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

    30