Distribusi Normal, Binomial & Poisson

Hikmah Agustin,SP.,MM

2015

Distribusi Normal

• Sebaran peluang kontinu yg digunakan di gugusan data alam, industri, dan penelitian

Definisi:

• Jika X merupakan suatu peubah acak normal dengan nilai tengah μ dan ragam σ2, maka persamaan kurva normalnya

Rumus sebaran Normal

Kurva Normal

Sifat-sifat kurva normal:

• 1.Modusnya, jika titik pada sumbu mendatar yang membuat

fungsi mencapai maksimum, terjadi pada x = μ

• 2.Kurvanya setangkup terhadap suatu garis tegak yang

melalui nilai tengah

3.Kurva ini mendekati sumbu mendatar secara asimtotik da

lam kedua arah bila kita semakin menjauhi nilai tengah

• 4.Luas daerah yang terletak di bawah kurva tetapi di atas

sumbu mendatar = 1

Gambaran Kurva Normal

• Transformasi dari peubah acak X ~ Normal (μ,σ2) ke peubah acak Z ~ Normal Baku (0,1), dengan menggunakan :

Gambaran kurva>>

Menghitung Probabilitas dengan Kurva Normal: P(0 < Z < 1.56)

Pola Distribusi Normal

CONTOH !!!

• Untuk sebaran normal dengan μ=50; σ=10 hitunglah bahwa X mengambil sebuah nilai antara 45 dan 62!

Z1=(45-50)/10 = -0.5

Z2=(62-50)/10=1.2

• Maka P(45<X<62) = P(-0.5<Z<1.2)

P(45<X<62)= P(-0.5<Z<1.2)

=P(Z<1.2) – P(Z<-0.5)

= 0.3849 – 0.3085

= 0,0764

Maka :

Luas daerah untuk kurva normal adalah luas daerah di bawah kurva (sebelah kanan dari nilai peubah z)

Contoh !!

Pergunakanlah tabel distribusi normal standard untuk menghitung luas daerah :

Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel distribusi normal kumulatif adalah luas dari z=-∞ s/d z0 tertentu: P(z<z0).

Contoh :

• a)P(z>1.84) = 1 – P(z≤1.84)

=1 -0.4671

= 0.5329

• a)P(-1.96 <z<0.86) = P(z<0.86) – P(z<-1.96)

= 0.3051 – 0.0250 = 0.2801

Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan

• Diketahui luas dibawah distribusi normal yg diinginkan yang terkait dengan besar probabilitas, ingin dicari nilai variabel random X yg terkait.

• Rumus :

• Zo = (Xo-μ)/σ

• Xo = μ + σ.Zo

Contoh

Misalkan distribusi normal memiliki μ=40 σ=6, carilah nilai Xo sehingga:

• a)P(X<Xo) = 45%

Jawab.

a)Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.

• P(Z<Zo) = 45% = 0.45, lihat dari tabel Zo = 0.1736

Zo = (Xo-μ)/σ

Xo = μ + σ. Zo

= 40 +6*(0.1736)

= 41,0416

Contoh

• b)P(X>Xo)=14%

• Jawab :

• Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.

P(Z>Zo) = 14% , jika P(Z<Zo) = 1- P(Z>Zo)

= 1-0.14

= 0.86

• P(Z<Zo) = 0.86, lihat dari tabel Zo = 0,3051

Zo= (Xo-μ)/σ atau Xo = μ + σ. Zo

= 40 +6*(0,3051)

= 41,8306

Latihan !!

Diketahui peubah acak normal dengan µ = 3 dan σ = 5,

tentukanlah :

a. P(x<8)

b. P ( -10< x < 20)

c. P (35 < x < 25 )

d. P (-0,40 Z 1,21)

Contoh Penerapan Distribusi Normal

• Sebuah perusahaan lampu celup bawah air mengetahui bahwa umur lampunya (sebelum putus) terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya 800 jam dan standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa sebuah bolam produksinya:

• a.Berumur antara 778 jam dan 834 jam

• b.Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

Jawab.

• μ= 800 σ=40.

• P(778<x<834)

• X1=778 Z1 = (X1-μ)/σ = (778-800)/40 = -0.55

• X2=834 Z2 = (X2-μ)/σ = (834-800)/40 = 0.85

• P(778<X<834) = P(-0.55<X<0.85)

• = P(z<0.85)-P(z<-0.55) = 0.3023 – 0.2912

= 0.0111

Jawab poin b

b) Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

• μ= 800 σ=40.

• P(x< 750 atau x>900)

• X1=750 Z1 = (X1-μ)/σ

= (750-800)/40 = -1.25

• X2=900 Z2 = (X2-μ)/σ

= (900-800)/40 = 2.5

• P(x< 750 atau x>900) = P(z<-1.25) + P(z>2.5)

= P(z<-1.25) + 1- P(z<2.5)

= 1 + P(z<-1.25) - P(z<2.5)

= 1 + 0.1056-0.9938

= 0.1118

Distribusi Binomial

Hikmah Agustin,SP.,MM

Distribusi Binomial

Rumus Distribusi Binomial :

b (x / n , p) = n C x px . qn-x ; x = 0,1,…nq = 1 – p

Dimana : - b ( x / n , p ) 0- b ( x/n , p ) = ( q + p )n = 1

Rata – rata ( Mean ) = x = n . pVarians ( x ) = x

2 = n . p . qDistribusi yang dipakai sebagai pendekatan bagi distribusi binomial adalah Distribusi Poisson dan Distribusi Normal.

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

• Suatu usaha yang dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n ialah

Syarat Binomial

Suatu eksperimen Binomial akan memenuhi 4 syarat yi :

1. Jumlah percobaan harus tetap

2. Setiap percobaan harus menghasilkan dua alternatif yaitusukses atau tidak sukses merupakan percobaan Binomial

3. Semua percobaan mempunyai nilai probabilitas yang samauntuk sukses.

4. Percobaan – percobaan tersebut harus bebas satu samalain.

Lanjutan>>

• Karena distribusi peluang setiap peubah acak binomial hanya tergantung pada nilai anggapan parameter n, p, dan q maka cukup beralasan bila dianggap bahwa rataan dan variansi peubah acak binomial juga tergantung pada nilai anggapan parameter ini, sehingga rumus untuk mencari rataan dan variansi dari distribusi binomial adalah;

Distribusi binomial b(X; n, p) mempunyai rataan dan variansiµ = np dan σ2 = npq

Contoh

• Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

Jawab:

• Misalkan tiap pengujian bebas, jadi pengujian yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi yang berikutnya. Jadi p = ¾ untuk tiap keempat pengujian, sehingga

Contoh lain !!

• Peluang seorang sembuh dari penyakit kanker adalah 0,7berapakah orang yang sehat dan selamat dari kanker jika ada 10 orang dari 17 orang yang sakit kanker ini?

Jawab :

Boleh gunakan cara praktis ini

P (X=10) P (10 l 17, 0,7)

P = 17! (0,70)10(0,3)7

10!7!

Distribusi Poisson

Hikmah Agustin,SP.,MM

Distribusi Poisson

Ciri-ciri Distribusi PoissonDigunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya kejadian menurut satuan waktu atau ruang.Distribusi Poisson digunakan sebagaipendekatan dari distribusi binomial.

Rumus:f ( x ) = x . e- = p ( x/n , p )

x!

Dimana : x = 0 , 1, 2 … n dan e = 2,71828

Rata – rata = x = n . pVarians (x) = x

2 = n . PDalam distribusi Poisson Rata – rata dengan Variansnya adalah

sama

Atau>>>

• Distribusi Poisson Distribusi peluang peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dngn t, diberikan oleh

• λt menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau daerah tertentu dan e = 2,71828……

Contoh soal !

• Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu?

Jawab:

• Dengan menggunakan distribusi Poisson untuk x = 6 dan λt = 4, maka

Contoh lain !!Bila 5 keping uang logam dilempar sebanyak 64 kali , berapa probabilitas timb

ulnya 5 sisi angka sebanyak 0,1, 2 , 3 ,4 , 5 kali ?

Jawab:probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logamsebanyak satu kali adalah :

p = 1.( ½ )5 = 1/32

Bila p = 1/32 , n = 64 ; probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak 64 kalimenjadi :

f( x ) = ( 64 ) (1 / 32 ) x (31 / 32 ) 64-x

( x )

Lanjut ...

Rumus ini sulit dikerjakan dengan Distribusi Binomial, maka di-ambil :

=n.p = 64 . 1/32 = 2 diperoleh :

f ( x ) = x . e- = 2x . e-2 ; x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

x ! x ! e-2 = 0 ,1353

x 0 1 2 3 4 5

f ( x ) 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,036