Distribusi Normal, Binomial & Poisson

Hikmah Agustin,SP.,MM

2015

Distribusi Normal

• Sebaran peluang kontinu yg digunakan di gugusan data alam, industri, dan penelitian

Definisi:

• Jika X merupakan suatu peubah acak normal den gan nilai tengah μ dan ragam σ2, maka persa maan kurva normalnya

Rumus sebaran Normal

Kurva Normal

Sifat-sifat kurva normal:

• 1.Modusnya, jika titik pada sumbu mendatar yang membuat

fungsi mencapai maksimum, terjadi pada x = μ

• 2.Kurvanya setangkup terhadap suatu garis tegak yang

melalui nilai tengah

3.Kurva ini mendekati sumbu mendatar secara asimtotik da

lam kedua arah bila kita semakin menjauhi nilai tengah

• 4.Luas daerah yang terletak di bawah kurva tetapi di atas

sumbu mendatar = 1

Gambaran Kurva Normal

• Transformasi dari peubah acak X ~ Normal (μ,σ2) ke peubah acak Z ~ Normal Baku (0,1), dengan menggunakan :

Gambaran kurva>>

Menghitung Probabilitas dengan Kurva Normal: P(0 < Z < 1.56)

Pola Distribusi Normal

CONTOH !!!

• Untuk sebaran normal dengan μ=50; σ=10 hitunglah bahwa X mengamb il sebuah nilai antara 45 dan 62!

Z1=(45-50)/10 = -0.5

Z2=(62-50)/10=1.2

• Maka P(45

Contoh !!

Pergunakanlah tabel distribusi normal standard untuk menghitung luas daerah :

Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel distribusi normal kumulatif adalah luas dari z=-∞ s/d z0 tertentu: P(z1.84) = 1 – P(z≤1.84)

=1 -0.4671

= 0.5329

• a)P(-1.96

Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan

• Diketahui luas dibawah distribusi normal yg diinginkan y ang terkait dengan besar probabilitas, ingin dicari nilai variabel random X yg terkait.

• Rumus :

• Zo = (Xo-μ)/σ

• Xo = μ + σ.Zo

Contoh

Misalkan distribusi normal memiliki μ=40 σ=6, carilah nilai Xo sehingga:

• a)P(X

Contoh

• b)P(X>Xo)=14%

• Jawab :

• Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.

P(Z>Zo) = 14% , jika P(ZZo)

= 1-0.14

= 0.86

• P(Z

Latihan !!

Diketahui peubah acak normal dengan µ = 3 dan σ = 5,

tentukanlah :

a. P(x

Contoh Penerapan Distribusi Normal

• Sebuah perusahaan lampu celup bawah air mengetahui bahwa umur lampunya (sebelum putus) terdistribusi secara normal de ngan rata-rata umurnya 800 jam dan standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa sebuah bolam produksinya:

• a.Berumur antara 778 jam dan 834 jam

• b.Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

Jawab.

• μ= 800 σ=40.

• P(778

Jawab poin b

b) Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

• μ= 800 σ=40.

• P(x< 750 atau x>900)

• X1=750  Z1 = (X1-μ)/σ

= (750-800)/40 = -1.25

• X2=900  Z2 = (X2-μ)/σ

= (900-800)/40 = 2.5

• P(x< 750 atau x>900) = P(z2.5)

= P(z

Distribusi Binomial

Hikmah Agustin,SP.,MM

Distribusi Binomial

Rumus Distribusi Binomial :

b (x / n , p) = n C x p x . qn-x ; x = 0,1,…n

q = 1 – p

Dimana : - b ( x / n , p )  0 -  b ( x/n , p ) = ( q + p )n = 1

Rata – rata ( Mean ) = x = n . p Varians ( x ) = x

2 = n . p . q Distribusi yang dipakai sebagai pendekatan bagi distribusi b inomial adalah Distribusi Poisson dan Distribusi Normal.

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

• Suatu usaha yang dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n ialah

Syarat Binomial

Suatu eksperimen Binomial akan memenuhi 4 syarat yi :

1. Jumlah percobaan harus tetap

2. Setiap percobaan harus menghasilkan dua alternatif yaitu sukses atau tidak sukses merupakan percobaan Binomial

3. Semua percobaan mempunyai nilai probabilitas yang sama untuk sukses.

4. Percobaan – percobaan tersebut harus bebas satu sama lain.

Lanjutan>>

• Karena distribusi peluang setiap peubah acak binomial hanya tergantung pada nilai anggapan parameter n, p, dan q maka cukup beralasan bila dianggap bahwa rataan dan variansi peubah acak binomial juga tergantung pada nilai anggapan parameter ini, sehingga rumus untuk men cari rataan dan variansi dari distribusi binomial adalah;

Distribusi binomial b(X; n, p) mempunyai rataan dan variansi µ = np dan σ2 = npq

Contoh

• Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan terten tu dengan peluang ¾. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 d ari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

Jawab:

• Misalkan tiap pengujian bebas, jadi pengujian yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi yang berikutnya. Jadi p = ¾ untuk tiap keempat pengujian, sehingga

Contoh lain !!

• Peluang seorang sembuh dari penyakit kanker adalah 0,7 berapakah orang yang sehat dan selamat dari kanker jika ada 10 orang dari 17 orang yang sakit kanker ini?

Jawab :

Boleh gunakan cara praktis ini

P (X=10)  P (10 l 17, 0,7)

P = 17! (0,70)10(0,3)7

10!7!

Distribusi Poisson

Hikmah Agustin,SP.,MM

Distribusi Poisson

Ciri-ciri Distribusi Poisson Digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya kejadian menu rut satuan waktu atau ruang.Distribusi Poisson digunakan sebagai pendekatan dari distribusi binomial.

Rumus: f ( x ) = x . e- = p ( x/n , p )

x!

Dimana : x = 0 , 1, 2 … n dan e = 2,71828

Rata – rata = x = n . p Varians (x) = x

2 = n . P Dalam distribusi Poisson Rata – rata dengan Variansnya adalah

sama

Atau>>>

• Distribusi Poisson Distribusi peluang peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dngn t , diberikan oleh

• λt menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi p er satuan waktu atau daerah tertentu dan e = 2,71828……

Contoh soal !

• Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati su atu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel me lewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu?

Jawab:

• Dengan menggunakan distribusi Poisson untuk x = 6 da n λt = 4, maka

Contoh lain !! Bila 5 keping uang logam dilempar sebanyak 64 kali , berapa probabilitas timb

ulnya 5 sisi angka sebanyak 0,1, 2 , 3 ,4 , 5 kali ?

Jawab: probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak satu kali adalah :

p = 1.( ½ )5 = 1/32

Bila p = 1/32 , n = 64 ; probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelempa ran 5 keping uang logam sebanyak 64 kalimenjadi :

f( x ) = ( 64 ) (1 / 32 ) x (31 / 32 ) 64-x

( x )

Lanjut ...

Rumus ini sulit dikerjakan dengan Distribusi Binomial, maka di- ambil :

=n.p = 64 . 1/32 = 2 diperoleh :

f ( x ) = x . e- = 2x . e-2 ; x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

x ! x ! e-2 = 0 ,1353

x 0 1 2 3 4 5

f ( x ) 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,036