Distribusi Normal, Binomial & Poisson · PDF file 2017. 1. 8. · Distribusi...

Click here to load reader

  • date post

    17-Mar-2021
  • Category

    Documents

  • view

    12
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Distribusi Normal, Binomial & Poisson · PDF file 2017. 1. 8. · Distribusi...

  • Distribusi Normal, Binomial & Poisson

    Hikmah Agustin,SP.,MM

    2015

  • Distribusi Normal

    • Sebaran peluang kontinu yg digunakan di gugusan data alam, industri, dan penelitian

    Definisi:

    • Jika X merupakan suatu peubah acak normal den gan nilai tengah μ dan ragam σ2, maka persa maan kurva normalnya

  • Rumus sebaran Normal

  • Kurva Normal

  • Sifat-sifat kurva normal:

    • 1.Modusnya, jika titik pada sumbu mendatar yang membuat

    fungsi mencapai maksimum, terjadi pada x = μ

    • 2.Kurvanya setangkup terhadap suatu garis tegak yang

    melalui nilai tengah

    3.Kurva ini mendekati sumbu mendatar secara asimtotik da

    lam kedua arah bila kita semakin menjauhi nilai tengah

    • 4.Luas daerah yang terletak di bawah kurva tetapi di atas

    sumbu mendatar = 1

  • Gambaran Kurva Normal

    • Transformasi dari peubah acak X ~ Normal (μ,σ2) ke peubah acak Z ~ Normal Baku (0,1), dengan menggunakan :

  • Gambaran kurva>>

  • Menghitung Probabilitas dengan Kurva Normal: P(0 < Z < 1.56)

  • Pola Distribusi Normal

    CONTOH !!!

    • Untuk sebaran normal dengan μ=50; σ=10 hitunglah bahwa X mengamb il sebuah nilai antara 45 dan 62!

    Z1=(45-50)/10 = -0.5

    Z2=(62-50)/10=1.2

    • Maka P(45

  • Contoh !!

    Pergunakanlah tabel distribusi normal standard untuk menghitung luas daerah :

    Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel distribusi normal kumulatif adalah luas dari z=-∞ s/d z0 tertentu: P(z1.84) = 1 – P(z≤1.84)

    =1 -0.4671

    = 0.5329

    • a)P(-1.96

  • Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan

    • Diketahui luas dibawah distribusi normal yg diinginkan y ang terkait dengan besar probabilitas, ingin dicari nilai variabel random X yg terkait.

    • Rumus :

    • Zo = (Xo-μ)/σ

    • Xo = μ + σ.Zo

  • Contoh

    Misalkan distribusi normal memiliki μ=40 σ=6, carilah nilai Xo sehingga:

    • a)P(X

  • Contoh

    • b)P(X>Xo)=14%

    • Jawab :

    • Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.

    P(Z>Zo) = 14% , jika P(ZZo)

    = 1-0.14

    = 0.86

    • P(Z

  • Latihan !!

    Diketahui peubah acak normal dengan µ = 3 dan σ = 5,

    tentukanlah :

    a. P(x

  • Contoh Penerapan Distribusi Normal

    • Sebuah perusahaan lampu celup bawah air mengetahui bahwa umur lampunya (sebelum putus) terdistribusi secara normal de ngan rata-rata umurnya 800 jam dan standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa sebuah bolam produksinya:

    • a.Berumur antara 778 jam dan 834 jam

    • b.Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

    Jawab.

    • μ= 800 σ=40.

    • P(778

  • Jawab poin b

    b) Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

    • μ= 800 σ=40.

    • P(x< 750 atau x>900)

    • X1=750  Z1 = (X1-μ)/σ

    = (750-800)/40 = -1.25

    • X2=900  Z2 = (X2-μ)/σ

    = (900-800)/40 = 2.5

    • P(x< 750 atau x>900) = P(z2.5)

    = P(z

  • Distribusi Binomial

    Hikmah Agustin,SP.,MM

  • Distribusi Binomial

    Rumus Distribusi Binomial :

    b (x / n , p) = n C x p x . qn-x ; x = 0,1,…n

    q = 1 – p

    Dimana : - b ( x / n , p )  0 -  b ( x/n , p ) = ( q + p )n = 1

    Rata – rata ( Mean ) = x = n . p Varians ( x ) = x

    2 = n . p . q Distribusi yang dipakai sebagai pendekatan bagi distribusi b inomial adalah Distribusi Poisson dan Distribusi Normal.

  • Distribusi Binomial

    Distribusi Binomial

    • Suatu usaha yang dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1-p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n ialah

  • Syarat Binomial

    Suatu eksperimen Binomial akan memenuhi 4 syarat yi :

    1. Jumlah percobaan harus tetap

    2. Setiap percobaan harus menghasilkan dua alternatif yaitu sukses atau tidak sukses merupakan percobaan Binomial

    3. Semua percobaan mempunyai nilai probabilitas yang sama untuk sukses.

    4. Percobaan – percobaan tersebut harus bebas satu sama lain.

  • Lanjutan>>

    • Karena distribusi peluang setiap peubah acak binomial hanya tergantung pada nilai anggapan parameter n, p, dan q maka cukup beralasan bila dianggap bahwa rataan dan variansi peubah acak binomial juga tergantung pada nilai anggapan parameter ini, sehingga rumus untuk men cari rataan dan variansi dari distribusi binomial adalah;

    Distribusi binomial b(X; n, p) mempunyai rataan dan variansi µ = np dan σ2 = npq

  • Contoh

    • Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan terten tu dengan peluang ¾. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 d ari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

    Jawab:

    • Misalkan tiap pengujian bebas, jadi pengujian yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi yang berikutnya. Jadi p = ¾ untuk tiap keempat pengujian, sehingga

  • Contoh lain !!

    • Peluang seorang sembuh dari penyakit kanker adalah 0,7 berapakah orang yang sehat dan selamat dari kanker jika ada 10 orang dari 17 orang yang sakit kanker ini?

    Jawab :

    Boleh gunakan cara praktis ini

    P (X=10)  P (10 l 17, 0,7)

    P = 17! (0,70)10(0,3)7

    10!7!

  • Distribusi Poisson

    Hikmah Agustin,SP.,MM

  • Distribusi Poisson

    Ciri-ciri Distribusi Poisson Digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya kejadian menu rut satuan waktu atau ruang.Distribusi Poisson digunakan sebagai pendekatan dari distribusi binomial.

    Rumus: f ( x ) = x . e- = p ( x/n , p )

    x!

    Dimana : x = 0 , 1, 2 … n dan e = 2,71828

    Rata – rata = x = n . p Varians (x) = x

    2 = n . P Dalam distribusi Poisson Rata – rata dengan Variansnya adalah

    sama

  • Atau>>>

    • Distribusi Poisson Distribusi peluang peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dngn t , diberikan oleh

    • λt menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi p er satuan waktu atau daerah tertentu dan e = 2,71828……

  • Contoh soal !

    • Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati su atu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel me lewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu?

    Jawab:

    • Dengan menggunakan distribusi Poisson untuk x = 6 da n λt = 4, maka

  • Contoh lain !! Bila 5 keping uang logam dilempar sebanyak 64 kali , berapa probabilitas timb

    ulnya 5 sisi angka sebanyak 0,1, 2 , 3 ,4 , 5 kali ?

    Jawab: probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak satu kali adalah :

    p = 1.( ½ )5 = 1/32

    Bila p = 1/32 , n = 64 ; probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelempa ran 5 keping uang logam sebanyak 64 kalimenjadi :

    f( x ) = ( 64 ) (1 / 32 ) x (31 / 32 ) 64-x

    ( x )

  • Lanjut ...

    Rumus ini sulit dikerjakan dengan Distribusi Binomial, maka di- ambil :

    =n.p = 64 . 1/32 = 2 diperoleh :

    f ( x ) = x . e- = 2x . e-2 ; x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

    x ! x ! e-2 = 0 ,1353

    x 0 1 2 3 4 5

    f ( x ) 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,036