1INTRODUO TRANSFORMADA DE FOURIER 1 TRANSFORMADA DE FOURIER Seja) (t xum sinal, com < < t . Em um processo anlogo s sries de Fourier para funes peridicas(vejaapndiceA),podemosescrever) (t x comoumaintegraldefunesoscilatrias t f ie 2: + = df f X t xt f ie 2) ( ) ( (01) Onde1 = ief uma frequncia em Hertz. claro que esta frmula s ser til se pudermos calcularoscoeficientes) ( f X paracadafrequnciaf .Nestecaso,precisamosdealgumas condies sobre o sinal) (t x . Essencialmente, que seu quadrado seja integrvel, ou seja: < = + dt t x Ex2| ) ( | (02) A quantidade xE chamada energia estatstica do sinal) (t x1, de modo que estamos lidando com todos os sinais de energia finita no intervalo, um espao vetorial linear denotado( ) R L2. TEOREMA 1: Se( ) R L t x2) ( , ento a identidade (01) verdadeira, com: + = dt t x f Xt f ie 2) ( ) ( (03) Esta expresso para o coeficiente) ( f X a chamada transformada de Fourier de) (t x . NossaprincipalmotivaoparacalcularatransformadadeFourierestudarcomoaenergiado sinaldistribudaentreasdiversasfrequncias+ < =2 / 1 | |, 02 / 1 | |, 1) ( sesettt ret (06) Res: fff idt dt t x f Xf i f it f i t f i e ee e )2) ( ) (sen2 / 12 / 12 2 (== = = + . Ou, usando a funo) ( sinc x : xxx ) ( sen) ( sinc = (07) Temos: ) ( sinc ) ( f f X = (08) EXEMPLO 2: Considere um pulso triangular: > =1 | | , 01 | ||, | 1) ( sesett tt tri (9) Res:( ) ) ( ) (211sinc2| | 1 f dt f Xt f ie t = =. EXEMPLO 3: Pulso exponencial: ) ( ) ( t uate t x= (10) Res: f i attf i atdttdt t x f Xf i af i a ee et f i 2100) 2 () ( ) () 2 () 2 ( 2+=+ = = =+ == + + + + . 32 PROPRIEDADES (a) Linearidade: [ ] )] ( [ )] ( [ ) ( ) ( t y bF t x aF t by t ax F + = +(11) (b) Simetria:Se[ ] ) ( ) ( f X t x F = , ento[ ] ) ( ) ( f x t X F = (12) (c) Escalonamento: [ ] ||

\|=afXaat x F| |1) ((13) (d) Reverso temporal: [ ] ( ) f X t x F = ) ( (14) (e) Conjugao: [ ] ) ( ) ( f X t x F = (15) (f) Deslocamento: [ ] ) ( ) (020f X t t x Ft f ie = (16) (g) Convoluo:[ ] ( ) f Y f X t y t x F = ) ( ) ( ) ( (17) (h) Derivao: [ ] ) ( 2 ) ( f X f i t x F = (18) (i) A transformada de uma funo par par. (k) A transformada de uma funo mpar mpar. (l) A transformada de uma funo real hermitiana:) ( ) ( f X f X= . (m) A transformada de uma funo real e par real e par. EXEMPLO 4: Usando a propriedade de escalonamento, temos: (a) >= = =2 / | |, 02 / | |, 1) / ( ) ( ) ( seseT tT tT t ret t ret t xT) sinc( ) ( Tf T f X =(b)( )> = = =2 / | | , 02 / | |, / | | 2 1) ( ) ( sese2 /T tT t T tttri t tri t xTT( ) f f XT T222sinc ) ( = EXEMPLO 5: Usando a propriedade de Convoluo: ) ( ) ( t ret t x = ,) ( ) ( t tri t y = , 2) ( ) ( f X f Y = ) ( ) ( ) ( t x t x t y = ) ( ) ( ) ( t ret t ret t tri = . Assim, podemos concluir que a soma de duas variveis aleatrias uniformes independentes resulta em uma varivel aleatria triangular. EXEMPLO 6: Usando a propriedade (k), deduzimos que a DEE de um sinal real uma funo par: 43 TRANSFORMADAS DE DELTAS E CONSTANTES A transformada de) (x : [ ] 1 ) (0 2 2= = = f i t f ie dt t F e (19) Supondo que o teorema de inverso seja vlido neste caso, temos ento: + = df tt f ie2) ( (20) Emborasejatil,estarepresentaopuramenteformal,jqueaintegraldoladodireitono converge. Analogamente, usando a propriedade de simetria: ) ( ] 1 [ f F = (21) Assim, pela propriedade de linearidade, a transformada de Fourier de uma constante : ) ( ] [ f C C F = (22) Analogamente, podemos concluir que: [ ]02) (0t f ie t t F= (23) E, usando a simetria: [ ] ( )002f f e Ft f i+ =(24) [ ] ( )002f f e Ft f i = (25) Usando a linearidade deF e t t ifiifie e t f sen0 02212210) 2 ( = , temos: [ ] ( ) ( )0 0 0 2121) 2 ( f f f f t f sen Fi i+ = (26)E: [ ] ( ) ( )0 210 210) 2 cos( f f f f t f F + + = (27) 4 DENSIDADE ESPECTRAL DE POTNCIA Se( ) R L t x2) ( , a energia do sinal infinita e a densidade espectral de energia tambm pode ser infinita. Neste caso, consideramos inicialmente o sinal truncado, de energia finita: >=2 / | | , 02 / | | ), () (T tT t t xt xT

(28) 5Cuja transformada :+=2 /2 /2) ( ) (TTTdt t x f Xt f ie(29) Logo, a energia total do sinal truncado : + = df f X ET T2| ) ( |(30) E a potncia mdia : + = = df f XTEPTTT2| ) ( |1 (31) Afuno 2| ) ( |1f XTTpodeserentoconsideradaadensidadedepotnciadosinaltruncado ) (t xT no domnio de frequncias. Tomando o limite T , definimos a densidade espectral de potncia (DEP) do sinal: ( )2| ) ( |1lim f XTf STT = (32) PodemosverdestadefinioqueaDEPsmaiorquezeroquandoaDEEinfinita.Paraum sinaldeenergiatotalfinita,aDEPnula.Assim,sfazsentidocalcularaDEPdesinaiscujo modelo matemtico possui energia infinita. Quando o sinal estocstico, a definio inclui o valor esperado da potncia instantnea: ( ) [ ]2| ) ( |1lim f X ETf STT = (33) EXEMPLO 7: SejaC t x = ) ( . Nestecaso,osinaltruncado) (t xTopulsoretangular) (t ret CT ,cujatransformada ) sinc( ) ( Tf T C f XT = . Logo,) ( sinc | | | ) ( |2 2 2 2Tf T C f XT=e a DEP : ) ( | | ) ( sinc lim | | | ) ( | lim ) (2 2 2 21f C Tf T C f X f STT TT = = = (34) Assim, a DEP de um sinal constante est toda concentrada na origem0 = f . Isto faz sentido, pois uma funo constante no tem oscilaes de nenhuma frequncia, a no ser a frequncia nula. EXEMPLO 8: Um sinal oscilatrio t f ie t x02) (= . ( )( )( ) T f f sinc T dt f Xf f i f f if f if i f iT f f iT tT tTtt t ee eTT) (02 /2 /) ( 2 ) ( 2) ( 22 200000) ( sen 222 = = = = + = = 6( ) ) ( ) ( lim1lim ) (0 02f f T f f sinc T XTf S2TTT = = =

(35) EXEMPLO 9: Um pacote de oscilaes harmnicas, =t ifkke A t x 2) ( . ( ) = T f f sinc A T f Xk k T) ( ) (( ) ( ) ( ) + ==j ij i j ikk2kTTTT f f sinc T f f sinc A A T T f f sinc A TXTf S) ( ) ( ) ( lim1lim ) (*22 ( ) =kk kf f A f S 2) (

(36) Notequeolimitedasegundasomatriazero,poisconvergeparaprodutosdefunesdelta localizadas em pontos diferentes. EXEMPLO 10: Um sinal senoidal) sen(2 ) (0t f A t x = . Aplicando o resultado do exemplo anterior ao pacote t ifiAt ifiAe e t x0 02222) ( = , temos: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]0 0202024 | 2 | | 2 |2 2) ( f f f f f f f f f SAiAiA+ + = + + = (37) Ou seja, uma DEP totalmente concentrada na freqncia 0f . A DEP do) 2 cos(0t f a mesma. EXEMPLO 11: Um sinal senoidal elevado de um nvelC, ou seja,t f A C t x02 sen ) ( + = . Aplicando os resultados dos exemplos anteriores:( ) ( ) ( )0 024 42 2) ( f f f f f C f SA A+ + + = (38) Assim, o efeito de um nvel diferente de zero para um sinal criar um delta em0 = f . 5 TEOREMA DE WIENERKHINTCHINE TEOREMA3:Seumsinal) (t x estacionrio,suafunodeautocorrelao) (t Rxesua densidade espectral de potncia) ( f Sx formam um par de transformadas de Fourier: [ ] ) ( ) ( t R F f Sx x= (39) 7Algumas propriedades de) ( f Sx e) (t Rx: 1.) ( f Sx uma funo positiva, real e par. (exerccio). 2. H uma simetria total na transformada: (exerccio) [ ] ) ( ) ( f S F t Rx x= (40) 3. A rea total de) ( f Sx igual ao valor quadrtico mdio: [ ]2) ( ) 0 ( ) ( t x E R df f Sx x= =+ (41) Se a mdia nula, o que geralmente o caso, a rea igual potncia do sinal: 2) 0 ( ) (x x xR df f S = =+ (42) EXEMPLO 12: Um rudo branco um sinal cujo espectro de potncia est igualmente distribudo por todas as frequncias: C f Sx= ) ( (43) Pelo Teorema de Wiener-Khintchine, a funo de autocorrelao de um rudo branco : [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( t C C F f S F t Rx x = = = (44) Ouseja,umrudobrancoumsinalondeosvaloresde) (1t x e) (2t x sosempre descorrelatados para 2 1t t . Reciprocamente, um sinal sem autocorrelao, a no ser na origem, e com espectro de potncia no nulo deve ser um rudo branco. APNDICE A A TRANSFORMADA DE FOURIER A PARTIR DE SRIES DE FOURIER Suponhamosque) (t x umsinaldeduraoT ,definidonointervalo] , [2 2T T .Suponhamos aindaque) (t x pertenceaoespaolineardefunes] , [2 22T TL ,formadopelasfunesde quadrado integrvel em] , [2 2T T :