Series de Fourier

RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS DE LA PAG 10

EJERCICIO 15-16-20

Mostrando los detalles de su trabajo, encuentre las series de Fourier de las f(x) dadas, la cual se

supone tiene el periodo 2π. Dibuje o grafique las sumas parciales hasta la que incluye cos(5x) y

sen(5x).

15)

Imagen 1. Ejercicio 15

Primero definimos la ecuación y sus límites:

𝑓(𝑥) = −|𝑥| + 𝜋 − 𝜋 < 𝑥 < 𝜋

Ocupamos la Ecuación de Fourier para un periodo de 2 𝜋:

𝑎0 = 1

2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

𝑎𝑛 = 1

𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

𝑏𝑛 = 1

𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

Ahora comenzamos a reemplazar en la ecuación los datos en su periodo para encontrar los

armónicos necesarios para aproximarnos a dicha función:

𝑎0 = 1

2𝜋 ∫ (−|𝑥| + 𝜋 )𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

=> 1

2𝜋 ∗ [𝜋𝑥 −

1

2𝑥2𝑠𝑛𝑔(𝑥)]

𝜋

−𝜋=>

1

2𝜋

Ya obtenido el valor inicial comenzamos con encontrar todos los valores 𝑎𝑛 𝑦 𝑏𝑛 𝑛 = 1,2,3---

𝑎𝑛 = 1

𝜋 ∫ (−|𝑥| + 𝜋 )𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

=>

1

𝜋 [−𝑠𝑛𝑔(𝑥)(𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) + cos(𝑛𝑥) − 1) + 𝜋𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) + 1

𝑛2]𝜋

−𝜋

𝑎1 = 1.27324 − 𝑎3 = 0.141471 − 𝑎5 = 0.051 −

𝑎7 = 0.025984 − 𝑎9 = 0.015719

𝑏𝑛 = 1

𝜋 ∫ (−|𝑥| + 𝜋 )𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

=>

𝑏𝑛 =1

𝜋[−(

𝑠𝑛𝑔(𝑥)(𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) − 𝑛𝑥 cos(𝑛𝑥)) + 𝜋𝑛 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)

𝑛2)]

𝜋

−𝜋

𝑏𝑛 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 "𝑛"

Ya obtenidos los datos necesarios para encontrar la serie de Fourier vamos poniendo los

armónicos obtenidos en su orden:

𝐹(𝑥) = 𝑎0 + ∑𝑎𝑛𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥)

∞

𝑛=1

𝐹(𝑥) =1

2 𝜋 + 1.27324𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 0.141471𝐶𝑜𝑠(3𝑥) + 0.051𝐶𝑜𝑠(5𝑥) + 0.025984𝐶𝑜𝑠(7𝑥) + 0.015719𝐶𝑜𝑠(9𝑥)

Imagen 2. Ecuación de la serie de Fourier.

16)

Imagen 3. Ejercicio 16


𝑓(𝑥) =

{

0 𝑥 < −𝜋/2

𝑥 −𝜋

2≤ 𝑥 ≤

𝜋

2

0 𝜋

2 < 𝑥


𝑎0 = 1


𝜋

−𝜋

𝑎𝑛 = 1


𝜋

−𝜋

𝑏𝑛 = 1


𝜋

−𝜋



𝑎0 = 1


𝜋

−𝜋

=> 1

2𝜋 [∫ 0𝑑𝑥

−𝜋2

−𝜋

+ ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝜋2

−𝜋2

+ ∫ 0𝑑𝑥𝜋

𝜋2

] => 1

2𝜋[∫ 𝑥𝑑𝑥

𝜋2

−𝜋2

] => 0


𝑎𝑛 = 1


𝜋

−𝜋

=> = 1

𝜋 ∫ 𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝜋2

−𝜋2

1

𝜋 [𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) + cos(𝑛𝑥)

𝑛2]

𝜋2

−𝜋2

𝑎𝑛 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒

𝑏𝑛 = 1

𝜋 ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝜋2

−𝜋2

=>

𝑏𝑛 =1

𝜋[𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) − 𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)

𝑛2]

𝜋2

−𝜋2

𝑏1 = 0.6366 − 𝑏2 =1

2− 𝑏3 = −0.0707 − 𝑏4 = −

1

4− 𝑏5 = 0.02546




∞

𝑛=1

𝐹(𝑥) = 0.6366𝑠𝑒𝑛(𝑥) +12𝑠𝑒𝑛(2𝑥)−0.0707𝑠𝑒𝑛(3𝑥)−

14𝑠𝑒𝑛(4𝑥) + 0.02546𝑠𝑒𝑛(5𝑥)

Imagen 4. Serie de Fourier ejercicio 16.

20)

Imagen 5. Ejercicio 20.


𝑓(𝑥) =

{

−

𝜋

2 𝑥 < −𝜋/2

𝑥 −𝜋

2≤ 𝑥 ≤

𝜋

2

𝜋

2

𝜋

2 < 𝑥


𝑎0 = 1


𝜋

−𝜋

𝑎𝑛 = 1


𝜋

−𝜋

𝑏𝑛 = 1


𝜋

−𝜋



𝑎0 =1


𝜋

−𝜋

= 1

2𝜋 [∫ −

𝜋

2𝑑𝑥

−𝜋2

−𝜋

+ ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝜋2

−𝜋2

+ ∫𝜋

2𝑑𝑥

𝜋

𝜋2

] => 1

2𝜋∗ [0] => 0


𝑎𝑛 = 1


𝜋

−𝜋

=1

𝜋[∫ −

𝜋

2𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥

−𝜋2

−𝜋

+ ∫ 𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝜋2

−𝜋2

+ ∫𝜋

2𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝜋

𝜋2

]

=

1

𝜋(𝜋

2(∫ −𝐶𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥

−𝜋2

−𝜋

+∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥𝜋

𝜋2

) + ∫ 𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝜋2

−𝜋2

)

𝑎𝑛 = 0

𝑏𝑛 =1

𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

=1

𝜋[∫ −

𝜋

2𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥

−𝜋2

−𝜋

+ ∫ 𝑥𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥

𝜋2

−𝜋2

+ ∫𝜋

2𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝜋

𝜋2

]

𝑏𝑛 =1

𝜋(𝜋

2(∫ −𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥

−𝜋2

−𝜋

+∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥𝜋

𝜋2

) + ∫ 𝑥𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝜋2

−𝜋2

)

𝑏1 = 1.6366 − 𝑏2 = −1

2− 𝑏3 = 0.2625 − 𝑏4 = −

1

4− 𝑏5 = 0.2254




∞

𝑛=1

𝐹(𝑥) = 1.6366𝑠𝑒𝑛(𝑥)−12𝑠𝑒𝑛(2𝑥)+ 0.2625𝑠𝑒𝑛(3𝑥)−

14𝑠𝑒𝑛(4𝑥)+0.2254𝑠𝑒𝑛(5𝑥)

Imagen 6. Ejercicio 20 con la Ecuación de Fourier.

EJERCICIO 28

PROYECTO: Formulas de Euler en términos de salto sin integración. Muestre que para una función

cuya tercera derivada es idénticamente a 0,

𝑎𝑛 =1

𝑛𝜋[−∑𝐽𝑠𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥𝑠) −

1

𝑛[∑𝐽′𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥𝑠)] +

1

𝑛2[∑𝐽′′𝑠𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥𝑠)]]

𝑏𝑛 =1

𝑛[∑𝐽𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥𝑠) −

1

𝑛[∑𝐽′𝑠𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥𝑠)] −

1

𝑛2[∑𝐽′′𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥𝑠)]]

Donde 𝑛 = 1,2,3,− − − − y se suman sobre todos los saltos 𝐽𝑠, 𝐽𝑠’, 𝐽𝑠’’ de 𝑓, 𝑓’, 𝑓’’

respectivamente, localizadas en x.

Primero buscamos una ecuación f(x) que al derivar 3 veces sea aproximadamente 0.

𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 𝑓′′(𝑥) = 2 𝑓′′′(𝑥) = 0

Esta función pude ser ocupada ya que verificamos que su 3ra derivada es 0, ahora se realizara el

procedimiento para encontrar an y bn.

𝑎𝑛 =1

𝑛𝜋[−∑𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥𝑠) −

2

𝑛[∑𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥𝑠)] +

2

𝑛2[∑𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥𝑠)]]

𝑎1 =1

𝜋[−𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)]

𝑎2 =1

2𝜋[−𝑥2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − 𝑥𝑐𝑜𝑠(2𝑥) +

1

2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)]

𝑏𝑛 =1

𝑛[∑𝑥2𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥𝑠) −

2

𝑛[∑𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥𝑠)] −

2

𝑛2[∑𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥𝑠)]]

𝑏1 = 𝑥2 cos(𝑥) − 2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2cos (𝑥)

𝑏2 =1

2[𝑥2 cos(2𝑥) − 𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) −

1

2cos (2𝑥)

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑏1 + 𝑏2 = 1

𝜋[−𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)] +

1

2𝜋[−𝑥2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)− 𝑥𝑐𝑜𝑠(2𝑥)+

1

2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)]+

𝑥2 cos(𝑥) − 2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2 cos(𝑥) + 1

2[𝑥2 cos(2𝑥)− 𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥)−

1

2cos(2𝑥)


EJERCICIO 4 - 8

Series de Fourier para periodo p=2L

Encuentre la serie de Fourier de la función f(x), con periodo p=2L, y dibuje o grafique las tres

primeras sumas parciales (Muestre los detalles de su trabajo).

𝑓(𝑥) =𝜋𝑥3

2 (−1, 𝑥, 1) 𝑝 = 2

𝑇 = 2

𝑇 = 2𝐿

2 = 2𝐿

𝐿 = 1

𝑎0 = 1

2𝐿∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑇

𝑎0 =1

2∫

𝜋𝑥3

2𝑑𝑥

1

−1

𝑎0 =𝜋

4∫ 𝑥31

−1

𝑑𝑥

𝑎0 =𝜋

4∗𝑥4

4 −1

1

𝑎0 =𝜋

2

𝑎𝑛 =1

𝐿∫ 𝑓(𝑥) cos

2𝜋𝑥

𝐿𝑑𝑥

𝑇

𝑎𝑛 = ∫𝜋𝑥3

2cos(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥

1

−1

𝑎𝑛 =𝜋

2∫ 𝑥3 cos(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥 1

−1

𝒂𝒏 = 𝟎

𝑏𝑛 =1

𝐿∫ 𝑓(𝑥) sin(

𝑛𝜋𝑥

𝐿)𝑑𝑥

𝑇

𝑏𝑛 = ∫𝜋𝑥3

2sin(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥

1

−1

𝑏𝑛 =𝜋

2∫ 𝑥3 sin(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥1

−1

𝒃𝒏 =(𝟔 − 𝒏𝟐𝝅𝟐) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝝅)

𝒏𝟑𝝅𝟐+𝟑(𝒏𝟐𝝅𝟐 − 𝟐) 𝐬𝐢𝐧(𝒏𝝅)

𝒏𝟒𝝅𝟑

𝑛 = 1,2,3

𝒃𝟏 = −(𝟔 − 𝝅𝟐)

𝝅𝟐

𝒃𝟐 =(𝟔 − 𝟒𝝅𝟐)

𝟖𝝅𝟐

𝒃𝟑 = −(𝟔 − 𝟗𝝅𝟐)

𝟐𝟕𝝅𝟑

Serie de Fourier en función f(x)

𝑓(𝑥) = 𝑎0 +∑𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛 sin(𝑛𝑥)

∞

𝑛=1

𝒇(𝒙) =𝝅

𝟐−(𝟔 − 𝝅𝟐)

𝝅𝟐𝐬𝐢𝐧(𝒙) +

(𝟔 − 𝟒𝝅𝟐)

𝟖𝝅𝟐𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) −

(𝟔 − 𝟗𝝅𝟐)

𝟐𝟕𝝅𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙)

Ilustración 1.- Grafica de la serie de Fourier

EJERCICIO 8

𝑓(𝑥) {1 + 𝑥 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 01 − 𝑥 𝑠𝑖 0 > 𝑥 > 1

p=2

𝑇 = 2

𝑇 = 2𝐿

2 = 2𝐿

𝐿 = 1

𝑎0 = 1


𝑎0 =1

2 [∫ (1 + 𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (1 − 𝑥)𝑑𝑥

1

0

0

−1

]

𝑎0 =1

2[𝑥−10 +

𝑥2

2 −1

0

+ 𝑥01 −

𝑥2

2 0

1

]

𝑎0 =1

2[−1 +

1

2+ 1 −

1

2]

𝒂𝟎 = 𝟎

𝑎𝑛 =1


2𝜋𝑥

𝐿𝑑𝑥

𝑇

𝑎𝑛 = ∫ (1 + 𝑥) cos(2𝜋𝑥)𝑑𝑥0

−1

+∫ (1 − 𝑥) cos(2𝜋𝑥)𝑑𝑥1

0

𝑎𝑛 = ∫ cos(2𝜋𝑥) 𝑑𝑥0

−1

+∫ 𝑥 cos(2𝜋𝑥)𝑑𝑥0

−1

+∫ cos(2𝜋𝑥)𝑑𝑥1

0

−∫ 𝑥 cos(2𝜋𝑥)1

0

𝑎𝑛 =sin(𝑛𝜋)

𝑛𝜋−cos(𝑛𝜋)

𝑛2𝜋2−sin(𝑛𝜋)

𝑛𝜋+

1

𝑛2𝜋2+sin(𝑛𝜋)


𝑛2𝜋2−sin(𝑛𝜋)

𝑛𝜋+

1

𝑛2𝜋2

𝑎𝑛 = −2cos(𝑛𝜋)

𝑛𝜋+

2

𝑛2𝜋2

𝑛 = 1,2,3

𝑎1 =2𝜋 + 2

𝜋2

𝑎2 = −4𝜋 + 2

4𝜋2

𝑎3 =6𝜋 + 2

9𝜋2

𝑏𝑛 =1


𝑛𝜋𝑥

𝐿)𝑑𝑥

𝑇

𝑏𝑛 = ∫ (1 + 𝑥) sin(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥0

−1

+∫ (1 − 𝑥) sin(𝑛𝜋𝑥)𝑑𝑥1

0

𝑏𝑛 = ∫ sin(2𝜋𝑥) 𝑑𝑥0

−1

+∫ 𝑥 sin(2𝜋𝑥)𝑑𝑥0

−1

+∫ sin(2𝜋𝑥)𝑑𝑥1

0

−∫ 𝑥 sin(2𝜋𝑥)1

0

𝑏𝑛 = −cos(𝑛𝜋)


𝑛𝜋+sin(𝑛𝜋)

𝑛2𝜋2−cos(𝑛𝜋)

𝑛𝜋+sin(𝑛𝜋)

𝑛2𝜋2−cos(𝑛𝜋)

𝑛𝜋

𝑏𝑛 =2 sin(𝑛𝜋)

𝑛2𝜋2−4 cos(𝑛𝜋)

𝑛𝜋

𝑛 = 1,2,3

𝑏1 =4

𝜋

𝑏2 = −4

2𝜋

𝑏3 =4

3𝜋



∞

𝑛=1

𝑓(𝑥) = 0 +2𝜋+2

𝜋2cos(𝑥)−

4𝜋+2

4𝜋2cos(2𝑥) +

6𝜋+2

9𝜋2cos(3𝑥)+

4

𝜋sin(𝑥)−

2

𝜋sin(2𝑥)+

4

3𝜋sin(3𝑥)

Ilustración 2.-Grafica de la serie de Fourier

EJERCICIO 12

(Rectificador) Encuentre la serie de Fourier de la función que se obtiene al hacer pasar el voltaje

v(t)=Vo*cos(100𝜋t) por un rectificador de media onda.

𝑣(𝑡) = 𝑉𝑜 cos(100𝜋𝑡)

𝐴 cos(𝑤𝑡 + 𝜃)

𝑤 = 100𝜋

𝑤 = 2𝜋𝑓

𝑓 =1

𝑇

100𝜋 =2𝜋

𝑇

𝑇 =1

50

𝑇 = 2𝐿

1

50= 2𝐿

𝐿 =1

100

𝑎0 = 1


𝑎0 = 50∫ 𝑉𝑜 cos(100𝜋𝑡) 𝑑𝑡

1200

−1200

𝑎0 =50𝑉𝑜 sin(2𝜋)

100𝜋

𝑎0 = 0

𝑎𝑛 =1


2𝜋𝑥

𝐿𝑑𝑥

𝑇

𝑎𝑛 = 100∫ 𝑉𝑜 cos(100𝜋𝑡) cos(100𝜋𝑡) 𝑑𝑡

1200

−1200

𝑎𝑛 =sin𝜋

200𝜋+

1

200

𝑎𝑛 =1

200

𝑏𝑛 =1


𝑛𝜋𝑥

𝐿)𝑑𝑥

𝑇

𝑏𝑛 = 100∫ 𝑉𝑜 cos(100𝜋𝑡) sin(100𝜋𝑡)𝑑𝑡𝑇

𝑏𝑛 = 0



∞

𝑛=1

𝑓(𝑥) =1

200cos(𝑥) +

1

200cos(2𝑥) +

1

200cos(3𝑥) + ⋯


EJERCICIO 20

Las sumas parciales Sn(x) de una serie de Fourier muestran oscilaciones cerca de un punto de

discontinuidad. Las oscilaciones no desaparecen al aumentar n, sino que se convienten en

“puntas” agudas. Fueron explicadas en términos matemáticos por J.W. Gibbs. Grafique Sn(x) del

problema 10. Cuando n=50, por decir un valor, vera esas oscilaciones claramente. Considere de

manera similar otras series de Fourier que elija. Compare

𝑓(𝑥) = 0 (−2 < 𝑥 < 0), 𝑓(𝑥) = 𝑥 (0 < 𝑥 < 2), 𝑝 = 4

Ilustración 4.- Grafica de la función


EJERCICIO 6 - 9

Se supone que las siguientes funciones son periodicas con periodo de 2𝜋. Diga si son pares,

impares o ni lo uno ni lo otro

6.- f(x) = 𝑥3sin x (-𝜋 < 𝑥 𝜋)

Ilustración 5.- Función Par (porque tiene simetría al eje Y)

9.- f(x)= 1

1+𝑥2 (-𝜋 < 𝑥 < 0)

Ilustración 6.-No es par Ni impar

f(x).- −1

1+𝑥2 0 < x< 𝜋

Ilustración 7.-No es par ni impar

x

y

x

y

Ilustración 8.- Unimos las dos funciones y la gráfica no es par ni impar

EJERCICIO 14

Verificar si la función dada es par o impar. Encontrar la serie de Fourier. Dibuje o grafique la

función y alguna suma parciales.

𝑓(𝑥) = {𝜋𝑒−𝑥 − 𝜋 < 𝑥 < 0𝜋𝑒𝑥 0 < 𝑥 < 𝜋

Ilustración 9.- Función Par (porque tiene simetría en el eje Y)

Como la función es par debemos hallar los coeficientes 𝑎0 𝑦 𝑎𝑛 y luego reemplazamos en la

sumatoria.

x

y

x

y

T=2L

T=2(𝜋)

T=2𝜋

L=𝑇

2=2𝜋

2=𝜋

a0 =1

L∫ f(x)T/2

𝑎0 =1

𝜋∫ 𝜋𝑒−𝑥𝑑𝑥0

−𝜋

+∫ 𝜋𝑒𝑥𝑑𝑥𝜋

0

𝑎0 =1

𝜋[𝜋(𝑒−𝑥)−𝜋

0 + 𝜋(𝑒𝑥)0𝜋]

𝑎0 =1

𝜋[𝜋(−1 − 𝜋) + 𝜋(𝑒𝜋 − 1)]

𝑎0 = 2(𝑒𝜋 − 1) //

𝑎𝑛 =2

𝐿∫ 𝑓(𝑥)𝑇/2

cos (𝑛𝜋𝑥

𝐿)𝑑𝑥

𝑎𝑛 =2

𝜋∫ 𝜋𝑒−𝑥 cos (

𝑛𝜋𝑥

𝜋)𝑑𝑥

0

−𝜋

+∫ 𝜋𝑒𝑥 cos (𝑛𝜋𝑥

𝜋)𝑑𝑥

𝜋

0

𝑎𝑛 =2

𝜋[𝜋 (

𝑛𝑒−𝑥 sin(𝑛𝑥)

𝑛2 + 1−𝑒−𝑥 cos(𝑛𝑥)

𝑛2 + 1)0

−𝜋+ 𝜋 (

𝑒𝑥 cos(𝑛𝑥)

𝑛2 + 1+𝑛𝑒−𝑥 sin(𝑛𝑥)

𝑛2 + 1)𝜋

0]

𝑎𝑛 =4∗ (𝑒𝜋(cos(𝑛𝜋) + 𝑛 ∗ sin(𝑛𝜋)) − 1

𝑛2 + 1

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑜 +∑𝑎𝑛

∞

𝑛=1

cos (𝑛𝜋𝑥

𝐿)

𝑓(𝑥) = 2(𝑒𝜋 − 1) +∑(4∗ (𝑒𝜋(cos(𝑛𝜋) + 𝑛 ∗ sin (𝑛𝜋)) − 1

𝑛2 + 1) ∗ cos (

𝑛𝜋𝑥

𝜋)

∞

𝑛=1

𝑓(𝑥) = 2(𝑒𝜋 − 1) − (2𝑒𝜋 − 2) cos (𝑛𝜋𝑥

𝜋) + (

4𝑒𝜋

5−4

5) cos (

𝑛𝜋𝑥

𝜋)

− (2𝑒𝜋

5−2

5) cos (

𝑛𝜋𝑥

𝜋) + (

4𝑒𝜋

17−4

17) cos (

𝑛𝜋𝑥

𝜋) − (

2𝑒𝜋

13−2

13) cos (

𝑛𝜋𝑥

𝜋)

Ilustración 10.- Grafica de la serie de Fourier f(x)

EJERCICIO 18-21

Encuentre: A) La serie de fourier de cosenos, B) la serie de fourier de senos. Dibuje f(x) y sus dos

extensiones periodicas

18.- f(x) = x ( 0 < x < 1

2)

𝑓(𝑥) = {−𝑥 −

1

2< 𝑥 < 0

𝑥 0 < 𝑥 <1

2

a) Serie de Fourier de cosenos (FUNCION PAR)

𝑎0 =1


𝑎0 =1

12

[∫ −𝑥𝑑𝑥0

−12

+∫ 𝑥𝑑𝑥

12

0

]

𝑎0 = 2 [(−𝑥2

2)0

−12

+ (𝑥2

2)

120]

x

y

𝑎0 = 2 [1

4]

𝑎0 =1

2 //

𝑎𝑛 =2


cos (𝑛𝜋𝑥

𝐿)𝑑𝑥

𝑎𝑛 =2

12

∫ −𝑥 cos(𝑛𝜋𝑥

12

)𝑑𝑥0

−12

+∫ 𝑥 cos(𝑛𝜋𝑥

12

)𝑑 𝑥1/2

0

𝑎𝑛 = 4 [(−(cos(2𝑛𝜋𝑥) + 2𝑛𝜋𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝑛𝜋𝑥))

4𝑛2 − 𝜋2−𝑒−𝑥 cos(𝑛𝑥)

𝑛2 + 1)0

−12

+ (cos(𝑛𝜋)

4𝑛2𝜋2+𝑥 sin(2𝑛𝜋𝑥)

2𝑛𝜋)

120]

𝑎𝑛 =2 ∗ (cos(𝑛𝜋))

𝑛2𝜋2+2 ∗ (sin(𝑛𝜋))

𝑛𝜋 −

2

𝜋2𝑛2

𝑓(𝑥) =1

2+∑(

2 ∗ (cos(𝑛𝜋))

𝑛2𝜋2+2 ∗ (sin(𝑛𝜋))

𝑛𝜋 −

2

𝜋2𝑛2)

∞

𝑛=1

∗ cos(𝑛𝜋𝑥

−12

)

𝑓(𝑥) =1

2− 0.405 ∗ cos (

𝑛𝜋𝑥

−1

2

) + 0 − 0.45 ∗ cos (𝑛𝜋𝑥

−1

2

) + 0 − 0.016 //

b) Serie de Fourier de senos (FUNCION IMPAR)

𝑏𝑛 =2


sin (𝑛𝜋𝑥

𝐿)𝑑𝑥

𝑏𝑛 =2

12

∫ 𝑥 sin(𝑛𝜋𝑥

12

)𝑑𝑥

12

−12

𝑏𝑛 = 4 [(𝑠𝑒𝑛(2𝑛𝜋𝑥)

4𝑛2𝜋2−𝑥𝑐𝑜𝑠(2𝑛𝜋𝑥)

2𝑛𝜋)

12

−12

]

𝑏𝑛 = 4 [−(𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) ∗ 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋))

2𝑛2𝜋2]

𝑏𝑛 =−2(𝑛 cos(𝑛𝜋) ∗ 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋)

𝑛2𝜋2

𝑓(𝑥) = ∑𝑏𝑛

∞

𝑛=1

sin (𝑛𝜋𝑥

𝐿)

𝑓(𝑥) = ∑−2(𝑛 cos(𝑛𝜋) ∗ 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋)

𝑛2𝜋2

∞

𝑛=1

∗ sin (𝑛𝜋𝑥

12

)

𝑓(𝑥) = 0.636 ∗ sin(𝑛𝜋𝑥

12

) − 0.3183 ∗ sin(𝑛𝜋𝑥

12

)+ 0.212 ∗ sin(𝑛𝜋𝑥

12

) − 0.159 ∗ sin(𝑛𝜋𝑥

12

)

+ 0.12 ∗ sin (𝑛𝜋𝑥

12

)


21.- f(x) = {1 ( 0 < 𝑥 < 1)

2 ( 1 < 𝑥 < 2 )

a) La serie de Fourier de una funcion par para un periodo de 2L cosenos

T=2l

T=2(2)

T=4

L =4/2

L=2

𝑎0 =1

𝐿∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑇2

𝑎0 =1

2∫ 1 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥

2

1

1

0

𝑎0 =1

2[𝑥01 + 2𝑥1

2]

𝑎0 =3

2 //

𝑎𝑛 = 2

𝐿 ∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠

𝑛𝜋𝑥

𝐿𝑑𝑥

𝑇2

𝑎𝑛 = 2

2 (∫ 1𝑐𝑜𝑠

𝑛𝜋𝑥

𝐿𝑑𝑥

1

0

+ ∫ 2𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥

𝐿 𝑑𝑥

2

1

)

𝑎𝑛 =2

2 (∫ 1𝑐𝑜𝑠

𝑛𝜋𝑥

2𝑑𝑥

1

0

+ ∫ 2𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥

2 𝑑𝑥

2

1

)

𝑎𝑛 =−2 sin (

𝑛𝜋2 ) + 4 sin

(𝑛𝜋)

𝑛𝜋

f(x) = 3

2+ [(

−2sin𝑛𝜋

2+4sin(𝑛𝜋)

𝑛𝜋) ∗ cos(

𝑛𝜋𝑥

2)]∞

𝑛=1

Ilustración 12.-Grafica de la serie de cosenos

b) La serie de Fourier de una función impar con un periodo de 2L

𝑏𝑛 = 2

𝐿∫ 𝑓(𝑥) sin

𝑛𝜋𝑥

𝐿𝑇2

𝑑𝑥

𝑏𝑛 = 2

2(∫ 1 sin

𝑛𝜋𝑥

2

1

0

𝑑𝑥 + ∫ 2 cos𝑛𝜋𝑥

2

2

1

) 𝑑𝑥

𝑏𝑛 = 2 cos

𝑛𝜋2 − 4 cos

(𝑛𝜋) + 2

𝑛𝜋

f(x) = 𝑏𝑛 sin𝑛𝜋𝑥

𝐿∞𝑛=1

f(x) = [2 cos

𝑛𝜋

2 −4cos(𝑛𝜋)+2

𝑛𝜋] ∗ sin

𝑛𝜋𝑥

2∞𝑛=1

Ilustración 13.-Grafica de la serie de senos

RESOLUCION DE LOS EJERCICIO DE LA PAG 23

EJERCICIO 7

Encuentre la serie compleja de Fourier de las siguientes funciones. (Muestre los detalles de su

trabajo).

𝑓(𝑥) = −1 𝑠𝑖 − 𝜋 < 𝑥 < 0, 𝑓(𝑥) = 1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 𝜋

𝐶𝑛 =1

2𝐿∫ 𝑓(𝑥)𝑒−

𝑗𝑛𝜋𝑥𝐿 𝑑𝑥

𝑇

𝐿 = 𝜋

𝐶𝑛 =1

2𝜋[−∫ 𝑒−𝑗𝑛𝑥𝑑𝑥

0

−𝜋

+∫ 𝑒−𝑗𝑛𝑥𝑑𝑥𝜋

0

]

𝑒−𝑗𝑛𝑥 = cos(𝑛𝑥) − 𝑗 sin(𝑛𝑥)

𝐶𝑛 =1

2𝜋[−∫ (cos(𝑛𝑥) − 𝑗 sin(𝑛𝑥))𝑑𝑥

0

−𝜋

+∫ (cos(𝑛𝑥) − 𝑗 sin(𝑛𝑥))𝑑𝑥𝜋

0

]

𝐶𝑛 = 0

Serie compleja de Fourier f(x)

EJERCICIO 10

Convierta la serie del problema 9 a la forma real.

𝑓(𝑥) = 𝑥 (−𝜋 < 𝑥 < 𝜋)

𝑐𝑛 =1

2𝜋(∫ 𝑥 ∗ 𝑒−𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

)

𝑐𝑛 =1

2𝜋(−𝑥𝑒−𝑖𝑛𝑥

𝑖𝑛+ ∫

𝑒−𝑖𝑛𝑥

𝑖𝑛𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

)

𝑐𝑛 =1

2𝜋(−𝑥𝑒−𝑖𝑛𝑥

𝑖𝑛−𝑒−𝑖𝑛𝑥

(𝑖𝑛)2) ⟨

𝜋

−𝜋⟩

𝑐𝑛 =1

2𝜋(𝑒−𝑖𝑛𝑥(𝑥𝑖𝑛 + 1)

𝑛2) ⟨

𝜋

−𝜋⟩

𝑐𝑛 =1

2𝜋(𝑒−𝑖𝑛𝜋(𝜋𝑖𝑛 + 1) − 𝑒𝑖𝑛𝜋(−𝜋𝑖𝑛 + 1)

𝑛2)

𝑐𝑛 =1

2𝜋((−1)𝑛(𝜋𝑖𝑛 + 1) − (−1)𝑛(−𝜋𝑖𝑛 + 1)

𝑛2)

𝑐𝑛 =1

2𝜋((−1)𝑛(2𝜋𝑖𝑛)

𝑛2)

𝑐𝑛 =(−1)𝑛(𝑖)

𝑛

𝑓(𝑥) = ∑ [(−1)𝑛(𝑖)

𝑛∗ 𝑒𝑖𝑛𝑥]

∞

𝑛=−∞

𝑓(𝑥) = ∑ [(−1)𝑛(𝑖)

𝑛(cos(𝑛𝑥) + 𝑖 sin(𝑛𝑥))]

∞

𝑛=−∞

EJERCICIO 14

PROYECTO: Coeficientes complejos de Fourier. Resulta muy interesante el hecho de que Cn en (6)

pueda deducirse directamente por un método similar al usado para an y bn en la sección 11.1. Para

ello, multiplique la serie de (6) por 𝑒𝑗𝑚𝑥 con m entera fija, e integre término a término desde –π

hasta π ambos lados (lo cual es permitido, por ejemplo, en el caso de convergencia uniforme) para

obtener:

𝑓(𝑥) = ∑𝐶𝑛 ∗ 𝑒𝑗𝑛𝑥

∞

𝑛=1

𝐶𝑛 = ∑ [∫ 𝑓(𝑥)𝑒−𝑗𝑛𝑥𝜋

−𝜋

𝑑𝑥] 𝑒𝑗𝑚𝑥∞

𝑛=1

=> ∑ [∫ 𝑓(𝑥)𝑒(𝑗𝑛𝑥−𝑗𝑛𝑥)𝜋

−𝜋

𝑑𝑥]

∞

𝑛=1

𝐶𝑛 = ∑ [∫ 𝑓(𝑥)𝑒𝑗(𝑚−𝑛)𝑥𝜋

−𝜋

𝑑𝑥]

∞

𝑛=1

Muestre que la integral del lado derecho es igual a 2π cuando n=m,

𝑚 = 𝑛

𝐶𝑛 = ∑ [∫ 𝑒𝑗(𝑚−𝑛)𝑥𝜋

−𝜋

𝑑𝑥]

∞

𝑛=1

=> ∑ [∫ 𝑒𝑗(0)𝑥𝜋

−𝜋

𝑑𝑥]

∞

𝑛=1

=> ∑ [∫ 1𝜋

−𝜋

𝑑𝑥]

∞

𝑛=1

𝐶𝑛 = ∑[𝜋 + 𝜋]

∞

𝑛=1

=> 2𝜋

y a 0 cuando n ≠ m [utilice (3b)], de modo que obtenga la fórmula de los coeficientes dada en (6).

𝑛 ≠ 𝑚

𝐶𝑛 = ∑ [∫ 𝑒𝑗(𝑚−𝑛)𝑥𝜋

−𝜋

𝑑𝑥]

∞

𝑛=1

=> ∑∫ (𝐶𝑜𝑠(𝑚𝜋) + 𝑗𝑆𝑒𝑛(𝑚𝜋)) ∗ (𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) − 𝑗𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋))𝑑𝑥𝜋

−𝜋

∞

𝑛=1

∑∫ [𝐶𝑜𝑠(𝑚𝜋)𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) − 𝑗(𝐶𝑜𝑠(𝑚𝜋)𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋) + 𝑗𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)𝐶𝑜𝑠(𝑚𝜋) + 𝑆𝑒𝑛(𝑚𝜋)𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)𝜋

−𝜋

]𝑑𝑥

∞

𝑛=1

∫ [𝐶𝑜𝑠(𝑚𝜋)𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) 𝜋

−𝜋

+ 𝑆𝑒𝑛(𝑚𝜋)𝑆𝑒𝑛(𝑛𝜋)]𝑑𝑥 =>

1

2[∫ 𝐶𝑜𝑠((𝑛 +𝑚)𝑥)𝑑𝑥 +

𝜋

−𝜋

∫ 𝐶𝑜𝑠((𝑛 − 𝑚)𝑥)𝑑𝑥𝜋

−𝜋

] +1

2[∫ 𝐶𝑜𝑠((𝑛 − 𝑚)𝑥)𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

− ∫ 𝐶𝑜𝑠((𝑛 + 𝑚)𝜋

−𝜋

𝑥)𝑑𝑥]

∑∫ 𝐶𝑜𝑠((𝑛 −𝑚)𝑥)𝑑𝑥 = >𝜋

−𝜋

∞

𝑛=1

∑𝑆𝑒𝑛(𝑥(𝑛 −𝑚))

𝑛 −𝑚

∞

𝑛=1

|𝜋

−𝜋=

> ∑𝑆𝑒𝑛(𝜋(𝑛 −𝑚))

𝑛 −𝑚−𝑆𝑒𝑛(𝜋(𝑛 −𝑚))

𝑛 −𝑚

∞

𝑛=1

∑0

∞

𝑛=1

= 0

Series de Fourier

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