PresentacionSeries de Fourier

1

Series de Fourier

"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",Genaro González

2

...3

)3(

2

)2()(

)(

2)(

1

+++

==−= ∑∞

=

tsentsentsen

n

ntsenttf

n

π

La primera serie de Fourier de la historia

Euler 1744 escribe en una carta a un amigo:

¿Es cierto?

Observemos que en t = 0 hay problemas → π/2 = 0 ¡¡

La clave está en el concepto de función periódica.

3

Funciones Periódicas

Una función periódica f(t) cumple que para todo valor de t:

f(t) = f(t + T).

Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función.

Observa que:

f(t) = f(t + nT), donde n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,...

Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?

4

Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función

Si f(t) es periódica se debe cumplir:

Como cos(t + 2kπ ) = cos(t) para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que:

T/3 = 2k1π y T/4 = 2k2π .Es decir:

T = 6k1π = 8k2πcon k1 y k2 enteros.

El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24π .

?coscos 43 )()(f(t) tt +=

)()(T)f(t TtTt43 coscos ++ +=+ )()(f(t) tt

43 coscos +==

5

Gráfica de la función

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24π

T

)()(f(t) tt43 coscos +=

6

¿Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica?Depende. Consideremos la función:

f(t) = cos(ω 1t) + cos(ω 2t).

Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que:

ω 1T = 2π m y ω 2T = 2π n.Es decir, que cumplan:

T = m/ (2π ω 1) = n/ (2π ω 2)n

m=2

1

ωω

7

Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((π +3)t) tenemos que

¿Es periódica?π+

=ωω

3

3

2

1

0 5 10 15 20 25 30-2

-1

0

1

2

f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)

t

f(t)

8

Para que exista periodicidad ω 1/ ω 2 debe ser

un número racional (n/m).

Ejercicios: Encontrar el periodo de las

siguientes funciones, si es que son periódicas:

1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.

2) f(t) = sen2(2π t)

3) f(t) = sen(t) + sen(t + π /2)

4) f(t) = sen(ω 1t) + cos(ω 2t)

5) f(t) = sen(√2 t)

9

Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2,

¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo

T < min(T1,T2)?

T1 = 5

T2 = 5

T = 2,5

10

Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:

<<

≤≤=

11

,0

10),2(

)(1

tN

NttNsen

tfπ

<<

≤≤=

11

),2(

10,0

)(2

tN

tNsen

Nt

tfπ

extendida periódicamente con T = 1:

+∞<<∞−+= ttftf ),1()( 11

extendida periódicamente con T = 1:

+∞<<∞−+= ttftf ),1()( 22

+∞<<∞−+++<≤

=+ttftf

ttNsentftf

),1()1(

10,)2()()(

2121

π

NNT

1

2

22 ===π

πωπ

11

¿Puede una función f(t) cumplir la condición f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?

=enterounes nosi0

enterounessi1)(1 t

ttf

1

enterossonnoysi0

enterossonysi1)()( 11

=⇒

++

=+=

T

Ttt

TttTtftf

12

=enterounesoirracionalessi0

enterounnoperoracionalessi1)(2 t

ttf

1

enterosoesirracionalsonysi0

enteros noperoracionalessonysi1)()( 22

=⇒

++

=+=

T

Ttt

TttTtftf

=+irracionales si0

racionalessi1)()( 21 t

ttftf

T = ?

13

...3

)3(

2

)2(

2+++=− tsentsen

tsentπ

¿Cómo lo alcanzó?

Volvamos al resultado de Euler:

++=+++=

...)(

...)(32

32

titiit

titiit

eetSe

eeetS

t

tseni

e

etS

it

it

cos12

1

2

1

1)(

−+−=

−=

{ }...)3()2(...)3cos()2cos(cos

...)(

2

1

32

+++++++=+++=

−

tsentsentsenittt

eeetS titiit

2;

4...

7

1

5

1

3

11

2

2

1...

3

)3(

2

)2(

4

πππ

π

=+−=+−+−→=

+−=+++

CCt

Cttsentsen

tsen

Integrando término a término:

Utilizando la fórmula de Euler para cada término:

Particularizamos t para encontrar C:

14

Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)

...3

)3(

2

)2(

2+++=− tsentsen

tsentπ

...3

)3(

2

)2()(

22

...3

)3(

2

)2()(

2

−−−−=+

+−+−+−=+

tsentsentsen

t

tsentsentsen

t

π

π

15

(1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π.

(2) La serie es una función impar.No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.

(3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2.Pero no fuera del intervalo...

(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.

(5) La aproximación no es buena en "los extremos"...Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...

16

Jeand'Alembert1717-1783

Leonhard Euler1707-1783

DanielBernouilli1700-1782

Lagrange

17

Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1.Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de unafunción. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una función.Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.

19

En realidad la forma de solucionar el problema por parte de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta. Se basó en la superposición de ondas y tomó como solución:

un(x,t) = sin(nx) cos(nt)

donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos o nodos.

∑∞

=

=1n

n )ntcos()nx(sena)t,x(u

Pero recordemos que u(x,0) = f(x)...

20

Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t)

.t,)t(T)t(''T

)(X)(X),,(x,)x(X)x(''X

.c.cy.i.c;x

)t,x(u

t

)t,x(u

00

010100

2

2

2

2

>=λ+==∈=λ+

∂∂=

∂∂

Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como:

∑∞

=

==1

0n

n )nx(sena),x(u)x(f

con una adecuada elección de los coeficientes an...

21

Joseph Fourier

En diciembre de 1807 Joseph

Fourier presentó un sorprendente

artículo a la Academia de Ciencias

en París. En él afirmaba que

cualquier función puede escribirse

en forma de serie trigonométrica

semejante al ejemplo de Euler.

Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible...

Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830

22

Fourier fue nombrado por Napoleón secretario permanente del Instituto Egipcio.Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema).

23

Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión:

Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio.

Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,...

t

u

kx

u

∂∂=

∂∂ 1

2

2

24

π≤≤=≤=π=

∂∂=

∂∂

x);x(f),x(u

t;)t,(u)t,(ut

)t,x(u

kx

)t,x(u

00

000

12

2

00 =π==

=

)(X)(Xcon

)t(T)x(''X)t('T)x(X

)t(T)x(X)t,x(u

Dividiendo entre X(x)T(t):

)xA(senC)xAcos(C)x(X);x(AX)x(''X

eC)t(T);t(AT)t('T

.cteA,A)x(X

)x(''X

)t(T

)t('T

At

−+−==

==

===

21

0

C1=0, C0=C2=1, A=-n2 con n = 1, 2, 3, ...

)nx(sene)t,x(u tnn

2−=

25

)nx(sene)t,x(u tnn

2−=La combinación lineal de soluciones

será también solución:

∑∞

=

=1n

nn )t,x(ua)t,x(u

Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los coeficientes an.

26

Serie trigonométrica de Fourier

Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier

Donde ω 0 = 2π /T se denomina frecuencia fundamental.

])()cos([)(1

00021 ∑

∞

=

++=n

nn tnsenbtnaatf ωω

...)3()2()(...

...)3cos()2cos()cos()(

030201

030201021

++++++++=

tsenbtsenbtsenb

tatataatf

ωωωωωω

27

...3

)3(

2

)2(

2+++=− tsentsen

tsentπ

])()cos([)(1

00021 ∑

∞

=

++=n


a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ...

b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...

28

¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?

Dada una función periódica f(t), ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?

Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

]t)sen(nωbt)(nω[aaf(t)n

nn∑∞

=

++=1

00021 cos

29

Ortogonalidad

Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:

=≠

=∫ nmparar

nmparadt(t)(t)ff

n

b

a

nm

0

30

Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1 < t < 1, ya que:

Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –π < t <π , ya que

04 1

141

1

31

1

2 ===−−−

∫∫t

dttdttt

02

cos2

==−−

∫π

ππ

π

tsentdtsent

¿Falta algo para demostrar en ambos casos la ortogonalidad?

31

Ortogonalidad de senos y cosenos

Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2< t < T/2:

{1, cos(ω 0t), cos(2ω 0t), cos(3ω 0t),...,

sen(ω 0t), sen2ω 0t, sen3ω 0t,...}

con ω 0= 2π /Τ .

32

Vamos a verificarlo probándolo a pares:

1.- f(t) = 1 vs. cos(mω 0t):

Ya que m es un entero.

0)222

cos1

00

0

2

2

0

02

2

0

===

==−−

∫

mω

sen(mπ

mω

)T/sen(mω

mω

t)sen(mωt)dt(mω

T/

T/T/

T/

ω 0= 2π /Τ

33

2.- f(t) = 1 vs. sen(mω 0t):

3.- cos(mω 0t) vs. cos(nω 0t):

02cos2cos1

cos1

000

2

2

0

02

2

0

=−=

=−=−−

∫

)]T/(mω)-T/(mω[mω

mω

t)(mωt)dtsen(mω

T/

T/T/

T/

≠=≠

=∫− 02/

0t)dtt)cos(ncos(m

2/

2/

00 nmparaT

nmparaT

T

ωω

cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]cos2θ = ½ (1+cos2θ )

ω 0= 2π /Τ

34

4.- sen(mω 0t) vs. sen(nω 0t):

5.- sen(mω 0t) vs. cos(nω 0t):

m,ncualquierparat)dt(nωt)sen(mωT/

T/

0cos2

2

00 =∫−

≠=≠

=∫− 02

02

2

00 nmparaT/

nmparat)dtt)sen(nωsen(mω

T/

T/

sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2 A =½ (1-cos2θ )

sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]

35

¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?

Vamos a aprovechar la ortoganilidad que acabamos de demostrar del conjunto de funciones: {1, cos(ω 0t), cos(2ω 0t), cos(3ω 0t),...,

sen(ω 0t), sen2ω 0t, sen3ω 0t,...}

con ω 0= 2π /Τ , en el intervalo -T/2< t < T/2 , para calcular los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,... de la serie de Fourier:

]t)sen(nωbt)(nω[aaf(t)n

nn∑∞

=

++=1

00021 cos

36

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por cos(mω 0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

,...3,2,1)cos()(2/

2/

02 == ∫

−

mdttmtfaT

TTm ω

∑ ∫

∑ ∫

∫∫

∞

= −

∞

= −

−−

+

+=

1

2/

2/

00

1

2/

2/

00

2/

2/

0021

2/

2/

0

cos

coscos

cos)cos()(

n

T

T

n

n

T

T

n

T

T

T

T

t)dt(mωt)sen(nωb

t)dt(mωt)(nωa

t)dt(mωadttmtf ω

0

0, si m ≠ 0

0, si m ≠ 0T/2, si m = n

37

Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0

que debemos tratar a parte:

∫−

=2/

2/

0 )(2 T

T

dttfT

aTa

t)dt(mωt)sen(nωb

t)dt(mωt)(nωa

t)dt(mωadttmtf

n

T

T

n

n

T

T

n

T

T

T

T

0

1

2/

2/

00

1

2/

2/

00

2/

2/

0021

2/

2/

0

2

1

cos

coscos

cos)cos()(

=

+

+=

∑ ∫

∑ ∫

∫∫

∞

= −

∞

= −

−−

ω

0

T, si m = 0

0, si m ≠ 0T/2, si m = n

38

Similarmente, multiplicando por sen(mω 0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

,...3,2,1)()(2/

2/

02 == ∫

−

mdttmsentfbT

TTm ω

∑ ∫

∑ ∫

∫∫

∞

= −

∞

= −

−−

+

+=

1

2/

2/

00

1

2/

2/

00

2/

2/

0021

2/

2/

0

cos

)(

n

T

T

n

n

T

T

n

T

T

T

T

t)dtt)sen(mωsen(nωb

t)dtt)sen(mω(nωa

t)dtsen(mωadtt)sen(mωtf0

0

0, si m ≠ 0T/2, si m = n

39

Un ejemplo históricamente importante: Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T:

La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es:

1f(t)

t. . . -T /2

0

T/2 T . . .

-1

<<<<−−

=2

2

01

01)(

T

T

tpara

tparatf ω 0= 2π /Τ

40

Coeficiente a0:

∫−

=2/

2/

10 )(

T

TT dttfa

+−= ∫∫

−

2/

0

0

2/

20

T

TT dtdta

+−=

− 0

2/

2/

02

T

TT tt 0=

<<<<−−

=2

2

01

01)(

T

T

tpara

tparatf

41

Coeficientes an:

∫−

=2/

2/

02 )cos()(

T

TTn dttntfa ω

⋅+⋅−= ∫∫

−

2/

0

0

0

2/

02 )cos(1)cos(1

T

TTn dttndttna ωω

0)(1

)(1

0

2/

002/

0

00

2 =

+−=

−

T

TT tnsen

ntnsen

nω

ωω

ω

0para ≠n

<<<<−−

=2

2

01

01)(

T

T

tpara

tparatf

42

Coeficientes bn:

∫−

=2/

2/

02 )()(

T

TTn dttnsentfb ω

=

+−= ∫∫

−

2/

0

0

0

2/

02 )()(

T

TTn dttnsendttnsenb ωω

−=

− 0

2/

002/

0

00

2 )cos(1

)cos(1 T

TT tn

ntn

nω

ωω

ω

[ ])1)(cos())cos(1(1 −−−= πππ

nnn

[ ] 0para))1(12 ≠−−= n

nn

π

<<<<−−

=2

2

01

01)(

T

T

tpara

tparatf

43

Finalmente, la serie de Fourier queda como

En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para

ω 0 = π (ω 0= 2π /Τ ), es decir, T = 2:

[ ]

( )∑∞

=

−−

=

+++=

10

051

031

0

))12(12

14)(

...)5()3()(4

)(

n

tnsenn

tf

tsentsentsentf

ωπ

ωωωπ

44

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Componentes de la Serie de Fourier

t

Co

mp

on

ente

s

Sumafundamentaltercer armónicoquinto armónicoséptimo armónico

[ ]...)5()3()(4

)( 051

031

0 +++= tsentsentsentf ωωωπ

Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)

45

Nota: Para expresarse como serie de Fourier f(t),

no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:

de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario,

con el mismo resultado.

46

Habíamos calculado los coeficientes para:

<≤−<≤

=TtTpara

Ttparatf

2/1

2/01)(

<<<<−−

=2/01

02/1)(

Ttpara

tTparatf

Si los calculamos para la misma función desplazada

tienen que ser los mismos:

1f(t)

t. . . -T /2

0

T/2 T . . .

-1

1f(t)

t. . . -T /2

0

T/2 T . . .

-1

Repite los cálculos y compruébalo.

47

De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será lo mismo:

1f(t)

t

. . . t0 t0 +T . . .-1

∫∫∫∫ ====+

− TT

Tt

tT

T

T

T

TT dttfdttfdttfdttfa )()()()( 22

0

22/

2/

10

0

0

∫∫ ===− T

T

T

TTn dttntfdttntfa )cos()(...)cos()( 0

22/

2/

02 ωω

∫∫ ===− T

T

T

TTn dttnsentfdttnsentfb )()(...)()( 0

22/

2/

02 ωω

48

Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para

2)(

ttf

−= π

la función con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler tenía razón.

49

)3cos(1)()cos(1)(

definitivaen

todopara 0)())3cos(1(3

)()(2

1 si ,0

1 si ,1)cos())3cos(1(

3)cos()(

2

2))3cos(1(3

)(2

01

01

3

2

0

00

3

2

0

00

3

2

0

0

ttnsenbtnatf

ndttnsentdttnsentfT

b

n

ndttntdttntf

Ta

dttdttfT

a

nn

nn

Tn

Tn

T

+=++=

=+==

≠=

=+==

=+==

∑∑

∫∫

∫∫

∫∫

∞

=

∞

=

ωω

ωπ

ω

ωπ

ω

π

π

π

π

3

2 periodo de )3cos(1)(

π=+= Tttf

Calcula la serie de Fourier de la función periódica:

La serie es la propia función...

50

Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al intervalo de definición. En muchos libros se habla de extender de forma par o impar una función. La serie de Fourier extenderá periódicamente los patrones siguientes:

t

t

Extensión par

Extensión impar

51

Funciones Pares e Impares

Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si

f(t) = f(-t)

π 2 π

f(t)

t − π − 2 π

52

En forma similar, una función f(t) se dice función impar (o con simetría impar), si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)

π 2 π

f(t)

t − π − 2 π

53

Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t + 1/t ,g(t) = 1/(t2+1).

Solución:Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es función impar.Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por lo tanto g(t) es función par.

54

Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2) es par o impar? (f es una función arbitraria).

Solución:Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)).Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)).Pero g(-t) = 1+(-t)2 = 1 + t2 = g(t),finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que h(t) es función par, sin importar como sea f(t).

55

Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las funciones siguientes son pares:

h(t) = sen (1+t2)h(t) = exp(1+t2) + 5/ (1+t2)h(t) = cos (2+t2) + 1h(t) = (10+t2) - (1+t2)1/2

etc...Ya que todas tienen la forma f(1+t2).

56

• Si f (x) es par:

∫=a

dxxf0

)(2∫−

a

a

dxxf )(

∫a

dxxf0

)(

a-a

∫−

a

a

dxxf )(

57

• Si f (x) es impar:

0=∫−

a

a

dxxf )(

a-a

∫−

a

a

dxxf )(

58

Como la función sen(nω 0t) es una función impar para todo n y la función cos(nω 0t) es una función par para todo n, es de esperar que:

• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n.

• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.

59

Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado:

Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:

1f(t)

t. . . -T /2

0

T/2 T . . .

-1

[ ]...)5()3()(4

)( 051

031


60

P2. Septiembre 2005

a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de las funciones

ππ ≤≤−== xxxgxxf en cos)(y sin)(

Respuesta.

[ ]∑∞

=

++=1

0 )sin()cos(2

)(n

nn nxbnxaa

xf

f(x) = |sen(x)|, x є [-π,π], 2π periódica

Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0

61

[ ]

[ ]1)1cos(1

21

)1sin()1sin(1

)cos(sin2

)cos()(1

2

0

0

−−−

=

=−++=

===

∫

∫∫−

ππ

π

πππ

ππ

π

nn

dxxnxn

dxnxxdxnxxfan

imparn ,0 par;n ,)1(

4 ;

420 =

−−== nn an

aaππ

62

14

)2cos(42sin

21 −

−= ∑∞

= n

nxx

n ππ

f(x) = |cos(x)|, x є [-π,π], 2π periódica

Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0

[ ]∫

∫∫−++=

===−

2/

0

2/

0

)1cos()1cos(2

)cos(cos4

)cos()(1

π

ππ

π

π

ππ

dxxnxn

dxnxxdxnxxgan

63

imparn ,0 par;n ,)1(

4 ;

420 =

−±== nn an

aaππ

14

)2cos()1(42cos

21 −

−−= ∑∞

= n

nxx

n

n ππ

64

Onda triangular (Triangle Wave)

+++−

222 5

5cos

3

3cos

1

cos4

2

xxx

ππ

65

Right Triangular Wave

−+−

3

3sin

2

2sin

1

sin2

xxx

66

Saw Tooth Wave

+++−

3

3sin

2

2sin

1

sin2

xxxπ

67

Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier para

ππα <<−= tttf ),cos()(

con periodo T = 2π (frecuencia fundamental ω 0 = 1) y α un número real no entero, es:

−

−+= ∑∞

=

)cos()1(

21)(

)cos(1

22tn

n

sent

n

n

αα

αππαα

68

Observa que si tomamos t = 0 entonces:

−

−+= ∑∞

=

)cos()1(

21)(

)cos(1

22tn

n

sent

n

n

αα

αππαα

y con α = 1/2.

∑∞

= −−+=

122

)1(2

1

)( n

n

nsen αα

απαπ

∑∑∞

=

∞

= −−+=

−−+=

12

122 41

)1(42

)2/1(

)1(2

n

n

n

n

nnπ

ππ <<− t

69

O que si tomamos t = π entonces:

−

−+= ∑∞

=

)cos()1(

21)(

)cos(1

22tn

n

sent

n

n

αα

αππαα

ππ <<− t

−

+= ∑∞

=122

12

1)()cos(

n n

sen

αα

αππαπα

nt )1()cos( −=π

∑∞

= −+=

122

12

1

)tan( n nαα

απαπ

¿Es correcto el resultado?

70

Que la integral traspase los sumatorios en la deducción de las fórmulas para los coeficientes de la serie de Fourier, equivale a asumir que la serie converge uniformemente... Recordemos qué es convergencia uniforme.

Sea la serie infinita:

y definamos sus sumas parciales como:

Convergencia uniforme

∑∞

=

=1

)()(n

n xuxS

∑=

=k

nnk xuxS

1

)()(

71

Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si ∀ε > 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.:

NkxfxSk ><− quesiempre)()( ε

Observemos que en general N dependerá de ε y del punto x (convergencia puntual).Si N solo depende de ε , pero no de x, decimos quela convergencia es uniforme.

Que la serie sea uniformemente convergente es "bueno" porque:

72

(1) Si cada término un(x) de una serie es continuo en (a, b) y la serie es uniformemente convergente a f(x), entonces:

(a) f(x) es también continua en (a, b).

(b) ∑∫∫ ∑∞

=

∞

=

=11

)()(n

b

a n

b

an

n dxxudxxu

(2) Si cada término un(x) de una serie posee derivada en (a, b) y la serie derivada es uniformemente convergente, entonces:

∑∑∞

=

∞

=

=11

)()(n

nn

n xudx

dxu

dx

d

73

¿Cómo probar la convergencia uniforme de una serie?

(1) Encontrar una expresión "cerrada" para Sk(x) y aplicar la definición o

(2) utilizar la prueba M de Weierstrass:

Si existe {Mn}n = 1, 2,... tq. |un(x)| ≤ Mn y además

∑∑∞

=

∞

=

⇒11

nteuniformemeconverge)(convergen

nn

n xuM

74

nteuniformemeconverge6

1

1)(1

),(en)(

)(

2

12

222

12

Sn

nn

nxsen

nM

n

nxsenxS

n

n

n

⇒=

≤⇒=

−=

∑

∑

∞

=

∞

=

π

ππ

Ejemplo:

75

Condiciones de Dirichlet

Condiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias.

(1) f(x) tiene un número finito de discontinuidades en un periodo.

(2) f(x) tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo.

(3) ∞<∫T

dxxf )(

76

Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto de continuidad y a:

si x es un punto de discontinuidad.

( ))()(2

1 −+ + xfxf

77

<≤−<<−

=ππ

πxx

xxf

0,

0,0)(

22

1

)(01

)(2

2

2

0

2

0

0

0

πππ

ππ

π

π

π

π

π

π

π

=

−=

−+=

=

=

∫∫

∫

−

−

xx

dxxdx

dxxfa

T

Desarrollaen serie de Fourier:

78

πππ

ππ

π

πππ

ππ

π

π

π

π

π

22

00

0

0

0

)1(11cos

cos1sin

1sin)(

1

cos)(01

cos)(1

nn

n

n

nx

ndxnx

nn

nxx

dxnxxdxdxnxxfa

n

n

−−=+−=

−=

+−=

−+==

∫

∫∫∫ −−

nnxdxxbn

1sin)(

10

=−= ∫π

ππ

∑∞

=

+−−+=1

2 sin1

cos)1(1

4)(

n

n

nxn

nxn

xfπ

π

79

La función f es continua en (−π , π ) excepto en x = 0. Así su

serie de Fourier converge en x = 0 a:

La serie es una extensión periódica de la

función f. Las discontinuidades en x = 0,

± 2π , ± 4π , … convergen a:22

)0()0( π=−++ ff

220

2)0()0( ππ =+=−++ ff

80

xxxSxxSS 2sin2

1sincos

2

4,sincos

2

4 ,

4 321 +++=++==π

ππ

ππ

Secuencia de sumas parciales y su representación gráfica

101

Ejercicio de examen: Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la

función

[ ]1,0 ,1)( 2 ∈−= tttf

de modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1].

Respuesta.

Para que el desarrollo de Fourier se pueda definir debe ser 2L-

periódica.

Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) a de

modo que: 1. sea continua en [-L,L].

2. sea continua a trozos en [-L,L].

)(~

tf)(

~tf

)(~

tf ′

102

La continuidad se consigue con la extensión par de f (f´ = -2t es

continua en [-L,L] ) con L = 1.

Re (z)

Im (z)

parfunción ser por 0

sincos2

)(~

1

0

=

+

+= ∑

∞

=

n

nnn

b

tL

nbt

L

na

atf

ππ

1-1

103

3

4

3

22)1(2)1(

)(

)1(4

)cos()1(2)cos()1(

1

0

21

1

20

2

1

0

21

1par

~

2

==−=−=

−−=

=−=−=

∫∫

∫∫

−

−

dttdtta

n

dttntdttnta

n

f

n

π

ππ

( )tnn

tfn

n

ππ

cos)1(4

3

2)(

~

122 ∑

∞

=

−−=

[ ]==

∈ 1,0)(

~)(

ttftf

104

P2. Septiembre 2006

a) (4 puntos)

1. Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función

f(x) = x2 -π ≤ x ≤ π, con f(x) = f(x + 2π)

1. Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a

f(x) en [-π,π]

2. Basándose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la

serie numérica

3. A partir del desarrollo de Fourier de la función f(x), obtener el

desarrollo en serie de Fourier de la función

g(x) = x(x2 – π2) -π ≤ x ≤ π, con g(x) = g(x + 2π)

∑∞

=14

1

k k

105

Respuesta.

1. f(x) = x2, x є [-π,π], 2π periódica

Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0:

===

==

+=

∫∫

∫

∑

−

∞

=

ππ

π

π

ππ

ππ

0

22

2

0

20

1

0

)cos(2

)cos(1

3

22

)cos(2

)(

dxnxxdxnxxa

dxxa

nxaa

xf

n

nn

106

n

n

nxn

nxxn

nxxn

)1(22

)sin(2

)cos(2

)sin(12

2

03

02

0

2

−=

=

−+=

ππ

π

πππ

)cos()1(

43

)(1

2

2

nxn

xfn

n

∑∞

=

−+= π

nn n

a )1(4

2−=

107

[ ]( ) uniforme iaconvergenchay

,-en continua

,-en continua

′ ππππ

f

f

[ ] ( )

5522

1

22202

5

2

5

1)(

2)(

1

π

ππ

π

π

π

π

π

==

++=

−−

∞

=−

∫

∑∫

xdxx

baa

dxxfn

nn

2.

3. Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval:

108

∑∞

=

+

=

14

224 1

162

1

3

2

5

2

n nππ

90

1 2

14

π=∑∞

=n n

4. ( ) [ ]

)cos()1(

12)(33)(

periódica 2 ,, ,)(

12

22

22

nxn

xfxxg

xxxxg

n

n

∑∞

=

−=−=−=′

−∈−=

ππ

ππππ

)sin()1(

12)( :uniforme iaconvergencPor 1

3nx

nxg

n

n

∑∞

=

−=

109

Fenómeno de Gibbs

Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos más armónicos, el sumatorio se aproximará más a f(t).

Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armónicos.

Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada:

[ ]...)5()3()(4

)( 051

031


110

-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5

-1

-0 .5

0

0 .5

1

1 .5S er ie c on 1 a rm ón ic o

[ ])(4

)( 0tsentf ωπ

=

111

-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5

-1

-0 .5

0

0 .5

1

1 .5S erie c on 3 a rm ón icos

[ ])5()3()(4

)( 051

031

0 tsentsentsentf ωωωπ

++=

112

-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5

-1

-0 .5

0

0 .5

1


113

-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5

-1

-0 .5

0

0 .5

1


114

-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5

-1

-0 .5

0

0 .5

1

1 .5S er ie c on 1 3 a rm ón ic os

115

Fenómeno de GibbsFenómeno de Gibbs

-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5

-1

-0 .5

0

0 .5

1

1 .5S er ie c on 5 0 a rm ón ic os

116

Fenómeno de GibbsFenómeno de Gibbs

-1 -0 .5 0 0 .5 1-1 .5

-1

-0 .5

0

0 .5

1

1 .5S er ie con 1 0 0 arm ón ic os

118

Forma compleja de la serie de Fourier

Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2π /ω 0.

Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:

])()cos([)(1

00021 ∑

∞

=

++=n


)()(

)()cos(00

00

21

0

21

0

tintini

tintin

eetnsen

eetnωω

ωω

ω

ω−

−

−=

+=

119

Sustituyendo:

Y usando el hecho de que 1/i = -i:

Y definiendo:

])()([)(1

21

21

021 0000∑

∞

=

−− −+++=n

tintinin

tintinn eebeeaatf ωωωω

])()([)(1

21

21

021 00∑

∞

=

−++−+=n

tinnn

tinnn eibaeibaatf ωω

)() ,(, 21

21

021

0 nnnnnn ibacibacac +≡−≡≡ −

∑∞

−∞=

=n

tinnectf 0)( ω

T

2 0

πω =

120

A la expresión obtenida

se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:

Para n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ...Demostrarlo.

∫ −=T

tinTn dtetfc

0

1 0)( ω

∑∞

−∞=

=n

tinnectf 0)( ω

¿Forma { }∞−∞=n

tine 0ω

un conjunto ortogonal?

121

Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:

Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn), que eran an= 0 para todo n y

1f(t)

t. . . -T /2

0

T/2 T . . .

-1

ntodoparan

b nn ])1(1[

2 −−=π

122

Podemos calcular los coeficientes cn:

Entonces la serie compleja de Fourier queda:

])1(1[][ 221

21 n

nnnn iibac −−−=−= π

])1(1[1 nnn ic −−−= π

...)

(...)(

000

000

5513

31

3315

512

−−−−

+++= −−−

tititi

tititi

eee

eeeitfωωω

ωωωπ

123

Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral:

∫ −=T

tinTn dtetfc

0

1 0)( ω

−+= ∫∫ −−

T

T

tinT

tin dtedteT 2/

2/

0

001 ωω

−= −

−−

−2/

1

0

2/1 00

1

T

Ttin

in

Ttin

in eeT oo

ωω

ωω

[ ])()1(1 2/2/ 000 TinTinTin

o

eeeTin

ωωω

ω−−− −−−

−=

124

Como ω 0T = 2π y además:

que coincide con el resultado ya obtenido.

θθθ isene i ±=± cos

)])1(1()1)1[(1 nnTinn o

c −−−−−= − ω

])1(1[2 nTn o

i −−−= ω

])1(1[1 nni −−−= π

125

<≤<≤−

=10 , 1

01 , 0)(

x

xxH

Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:

( ) ∑∞

−∞=

=n

xinn ecxH π

1

0

1

0

1

1

1

2

1

2

1)(

2

1

−

=== −−

−

− ∫∫ ein

dxedxxHec xinxinxinn

πππ

π

[ ] [ ]

[ ]

−=−

=−−=−= −

imparesnsin

iparesnsi

nn

i

nisennn

ie

n

ic in

n

;

; 01)cos(

2

1)()cos(2

12

1

ππ

π

ππππ

π

n 0≠

126

al =1

2− iπlxe H(x)dx

−1

1

∫0-iπ 0x

=1

2dx

0

1

∫ =1

2

−=imparesnsi

n

iparesnsi

cn ;

; 0

π;

2

10 =c

n impar

( ) ∑∑∞

−∞=≠

∞

−∞=

−+==n

xin

n

xinn e

n

iecxH

0

2

1 ππ

π

( )∑>

+−+=

0

)()cos(Re

2

2

1)(

n n

xnisenxnixH

πππ

n impar

∑>

−+=

0

Re2 2

1

n

xinen

i π

πn impar

( ) ∑>

+=0

)(2

2

1

n n

xnsenxH

ππ

n impar

130

La función impulso o delta de Dirac

Se trata de una "función generalizada". Podemos pensar en la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones:

if 0( )

0 if 0

tt

tδ

∞ =≡ ≠

t

f1(t)

f2(t)

f3(t)

δ (t)

t

δ (t)

2)(mtm e

m (t) f −=

π

131

Propiedades de la función δ

( ) 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

exp( ) 2 (

exp[ ( ') ] 2 ( '

t dt

t a f t dt t a f a dt f a

i t dt

i t dt

δ

δ δ

ω π δ ω

ω ω π δ ω ω

∞

−∞∞ ∞

−∞ −∞∞

−∞∞

−∞

=

− = − =

± = )

± − = − )

∫

∫ ∫

∫

∫

t

δ (t)

132

Calcular la serie de Fourier de δ (x):

( ) ∑∞

−∞=

=n

nxin ecx πδ

2

1)(

2

1 1

1

==→ ∫−

− dxxec xinn δπ

( )

∑

∑∑

>

>

−∞

−∞=

+=

++==

0

0

)cos( 2

1

)( 2

1

2

1

2

1

n

n

xinxin

n

xin

xn

eeex

π

δ πππ

δ x( ) ∑>

+=0

)cos( 2

1

n

xnπ

133

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

134

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

135

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

136

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

137

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

138

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

139

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

140

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

141

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

142

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

143

Los coeficientes cn son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar:

Observemos que,

Donde ,

para todo n ≠ 0.

Y para n = 0, c0 es un número real:

ninn ecc φ=

ninnn eccc φ−

− == *

2221

nnn bac +=

−=

n

nn a

barctanφ

021

0 ac =

144

Espectros de frecuencia discreta

Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn.

Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.

145

Espectros de frecuencia discreta

Ejemplo. Para la función ya analizada:

Encontramos que:

Por lo tanto:

1f(t)

t. . . -T /2

0

T/2 T . . .

-1

])1(1[1 nnn ic −−−= π

])1(1[1 n

n nc −−=

π

146

A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular ω de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t).

A la gráfica del ángulo de fase φ n de los coeficientes cn contra ω , se le llama el espectro de fase de f(t).

Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular ω = nω 0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.

147

El espectro de amplitud se muestra a continuación

Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n = número de armónico = múltiplo de ω 0).

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 Espectro de Amplitud de f(t)

n

Cn

Frecuencia negativa (?)

Frecuencia

148

El espectro de magnitud de una f(t) real, es una

función PAR por lo que la gráfica para n ≥ 0

contiene toda la información acerca de f(t) y se le

conoce como espectro unilateral de magnitud.

El espectro de fase de una f(t) real, es una

función IMPAR por lo que la gráfica para n ≥ 0

contiene toda la información acerca de f(t) y se le

conoce como espectro unilateral de fase.

149

Podemos expresar de una manera ligeramente diferente la serie de Fourier. Cada par de términos:

ancos(nω 0t) + bnsen(nω 0t)

se pueden expresar como:

Donde lo único que hemos hecho es multiplicar y dividir por:

++

++ )()cos( 022022

22 tnsenba

btn

ba

aba

nn

n

nn

nnn ωω

22nn ba +

150

Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en función del coseno:

=+

=+

n

nn

n

n

nn

n

senba

b

ba

a

θ

θ

22

22cos

an

bn

22nnn baC +=

θn

[ ])()cos(cos 00 tnsensentnC nnn ωθωθ +

)cos( 0 nn tnC θω −=

++

++ )()cos( 022022

22 tnsenba

btn

ba

aba

nn

n

nn

nnn ωω

=

n

nn a

barctanθ

151

Si además definimos C0 = a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como:

Con:

∑∞

=

−+=1

00 )cos()(n

nn tnCCtf θω

22nnn baC +=

=

n

nn a

barctanθ

Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y θ n, de manera que la serie de Fourier pueda escribirse como:

∑∞

=

++=1

00 )()(n

nn tnsenCCtf θω

152

Componentes y armónicosHemos visto que, bajo ciertas condiciones, una función f(t) puede escribirse como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias: ω n = nω 0.

A la componente sinusoidal de frecuencia nω 0:

cn cos(nω 0t + θ n) se le llama el enésimo armónico de f(t).

Al primer armónico (n = 1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t).

A la frecuencia ω 0= 2π f0 = 2π / T se le llama frecuencia angular fundamental.

153

Ejemplo: La función

Como vimos, tiene un periodo T = 24π , por lo tanto su frecuencia fundamental es ω 0 = 2π /Τ = 1/12 rad/s.

O como ω 0= 2π f0, f0 = 1/Τ = 1/ 24π Hz. Su componente fundamental (n = 1) será:

c0 cos(ω 0t + θ 0) = 0 cos(t/12).

Tercer armónico:

cos(3t/12) = cos(t/4)

Cuarto armónico:

cos(4t/12) = cos(t/3)

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24π

)()(f(t) tt43 coscos +=

154).( de serieen desarrollo delfunción es queFourier de serie unapor

darepresenta estáy periódica es también )(' ia,consecuencen

por dados vienen escoeficient los donde

)('

)()('

: a respecto )( Derivando

)(

:siguienteFourier de compleja serie la de

sen término expresada T periodocon periódica señal una )( Sea

0

0

0

0

0

tf

tf

cind

d

edtf

ecintfdt

dtf

ttf

ectf

tf

nn

n

n

tinn

n

tinn

n

tinn

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

==

=

∑

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

155

5 10-5-10

20T0 = 10

f(t)

t

f(t) =

4t - 20

5 10-5-10

4

T0 = 10 f '(t)

t-4

5

10

-5

-10

8

T0 = 10f ''(t)

t-8

Ejercicio:

156

Potencia y Teorema de Parseval

El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo dado T se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f(t)

1f(t)

t

h = Alturapromedio

∫=T

0

dt)t(fArea

T

Area = T h

157

De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por:

Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo.

∫−

2/

2/

21 )]([T

TT dttf

158

El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes complejos cn de Fourier de la función periódica f(t):

O bien, en términos de los coeficientes an, bn:

∑∫∞

−∞=−

=n

n

T

TT cdttf

22/

2/

21 )]([

∑∫∞

=−

++=1

22212

041

2/

2/

21 )()]([n

nn

T

TT baadttf

159

Teorema o identidad de Parseval

∑∫∞

=−

++=1

2220

2/

2/

2 )(2

1

4

1)]([

1

nnn

T

T

baadttfT

( )∑

∫ ∫∑∫∑

∫ ∑∫

∞

=

− −

∞

=−

∞

=

−

∞

=−

++

=++

=

++=

1

2220

2/

2/

0

2/

2/10

2/

2/1

0

2/

2/ 10002

112/

2/

1

2

1

4

)()()cos()()(

])()cos([)()()(

nnn

T

T

T

Tn

nT

Tn

n

T

T nnnT

T

TT

baa

dttnsentfT

bdttntf

T

adttf

T

a

dttnsenbtnaatfdttftf

ωω

ωω

])()cos([)(1

00021 ∑

∞

=

++=n


160

Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la función f(t):

Solución. Del teorema de Parseval

y del ejemplo anterior

sustituyendo

1f(t)

t. . . -T /2

0

T/2 T . . .

-1

∑∫∞

−∞=−

=n

n

T

TT Cdttf

22/

2/

21 )]([

])1(1[1 nnnc −−= π

++++=∑

∞

−∞=

...49

1

25

1

9

11

82

2

πnnc

161

La serie numérica obtenida converge a

Por lo tanto,

Como era de esperar.

2337.1...49

1

25

1

9

11 =++++

1)2337.1(8

)]([2

22/

2/

21 === ∑∫∞

−∞=− πnn

T

TT cdttf

162

a) Sean , con y la función:

1. Calcúlese la serie de Fourier de f.2. Obténgase la identidad de Parseval en este caso y a partir de

ella calcule el valor de la serie:

3. ¿Converge la serie de Fourier de f puntualmente a f(0) en x=0?

ℜ∈21, cc 21 cc ≠ [ )[ ]

∈−∈

=ππ,0,

0,,)(

2

1

xc

xcxf

( )∑∞

= −1212

1

n n

π-π

c1

c2

163

( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )∑

∫∫∫

∫∫∫

∫∫

∞

=

−

−

−

−

−−−++=

−−=→−=

=→=⇒

⇒−−−=−−=

=−−=

+

=

=−+=

=+=

+

=

+=+=

+=

1

1221

1212

2

2121

0

21

0

20

1

21

0

21

0

20

1

2121

0 2

0

10

1212

2

2)(

12

212

02

110coscos

)()()(

00

coscoscos

1

k

k

k

n

n

n

xksenk

ccccxf

k

ccbkn

bknn

ccn

n

cc

dxnxsencc

dxnxsenc

dxnxsenc

b

sennsenn

cc

nxdxcc

nxdxc

nxdxc

a

cccc

dxcdxca

ππ

π

ππ

π

πππ

ππ

πππ

ππ

π

ππ

π

ππ

π

π

π

1.

164

2. ( )( )

( )

[ ]

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) 812

1

12

14

2

12

142

2

,en ortonormal es )(

,cos

,2

1 Como

12

12

12

2

12

2)(

2

12

12

2212

221

12

221

2

12221

22

1

1221

ππ

πππ

πππππ

πππππ

π

π

=−

⇒−

−=−⇒

⇒−

−+

+==+⇒

⇒−

−−

−+

+=

∑∑

∑∫

∑

∞

=

∞

=

∞

=−

∞

=

kk

k

k

kkcc

cc

k

ccccdxxfcc

nxsennx

xksen

k

ccccxf

3. ( )( ) ( )

2 generalen y

2012

12

2

2y )0( que Puesto No.

212

21

1

12212

ccc

ccksen

k

cccccf

k

+≠

+=−−−++= ∑

∞

= ππ

f es continua a trozosy tiene derivadas laterales

165

a) A partir de la serie de Fourier de la función definida en el intervalo : determinar los valores de las series:

1. 2.

xxf =)(

( ) ( )( )∑∞

=

−−

−+=1

2 12cos12

4

2)(

n

xnn

xfπ

π[ ]ππ ,−

( ) ( )∑∑∞

=

∞

= −− 14

12 12

1

12

1

nn nn

1.

( ) ( )( )

( )

( ) 842

12

1

12

14

20

012cos12

4

20

:0f(0) 0, xpara izandoParticular

2

12

12

12

π

π

ππ

ππ

π

=−

−=

−⇒

⇒−

−=⇒

⇒−−

−+=

==

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

n

n

n

n

n

nn

166

2.

( )

( )

( )

( )

( ) 9612

1

12

116

23

21

12

16

2

1

:0,12

4,,)( doSustituyen

2)(

1

:Parseval de identidad la Aplicando

4

14

142

23

142

22

20

1

222

02

ππ

πππ

ππ

π

ππ

π

π

π

π

π

=−

⇒

⇒−

+=⇒

⇒−

+=

=−

−===

++=

∑

∑

∑∫

∑∫

∞

=

∞

=

∞

=−

∞

=−

n

n

n

nn

nnn

n

n

ndxx

bn

aaxxf

baa

dxxf

PresentacionSeries de Fourier

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