1 Series de Fourier "Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones", Genaro...

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  • Diapositiva 1
  • 1 Series de Fourier "Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones", Genaro Gonzlez
  • Diapositiva 2
  • 2 La primera serie de Fourier de la historia Euler 1744 escribe en una carta a un amigo: Es cierto? Observemos que en t = 0 hay problemas /2 = 0 La clave est en el concepto de funcin peridica.
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  • 3 Funciones Peridicas Una funcin peridica f(t) cumple que para todo valor de t: f(t) = f(t + T). Al valor mnimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la funcin. Observa que: f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1, 2, 3,... Cuestin: Es f(t) = cte. una funcin peridica?
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  • 4 Ejemplo: Cul es el periodo de la funcin Si f(t) es peridica se debe cumplir: Como cos(t + 2k ) = cos(t) para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que: T/3 = 2k 1 y T/4 = 2k 2 Es decir: T = 6k 1 = 8k 2 con k 1 y k 2 enteros. El valor mnimo de T se obtiene con k 1 = 4, k 2 = 3, es decir, T = 24
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  • 5 Grfica de la funcin 050100150200 -3 -2 0 1 2 3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24 T
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  • 6 Es la suma de dos funciones peridicas una funcin peridica? Depende. Consideremos la funcin: f(t) = cos( 1 t) + cos( 2 t). Para que sea peridica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que: 1 T = 2 m y 2 T = 2 n. Es decir, que cumplan: T = m/ (2 1 ) = n/ (2 2 )
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  • 7 Ejemplo: para la funcin cos(3t) + cos(( +3)t) tenemos que Es peridica? 051015202530 -2 0 1 2 f(t)=cos(3t)+cos((3+ )t) t f(t)
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  • 8 Para que exista periodicidad 1 / 2 debe ser un nmero racional (n/m). Ejercicios: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son peridicas: 1)f(t) = sen(nt), donde n es un entero. 2)f(t) = sen 2 (2 t) 3)f(t) = sen(t) + sen(t + ) 4)f(t) = sen( 1 t) + cos( 2 t) 5)f(t) = sen( 2 t)
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  • 9 Si f 1 (t) tiene periodo T 1 y f 2 (t) tiene periodo T 2, es posible que f 1 (t) + f 2 (t) tenga periodo T < min(T 1,T 2 )? T 1 = 5 T 2 = 5 T = 2,5
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  • 10 Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeo como queramos. Sea N un entero, y definamos: extendida peridicamente con T = 1:
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  • 11 Puede una funcin f(t) cumplir la condicin f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?
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  • 12 T = ?
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  • 13 Cmo lo alcanz? Volvamos al resultado de Euler: Integrando trmino a trmino: Utilizando la frmula de Euler para cada trmino: Particularizamos t para encontrar C:
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  • 14 Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)http://www.falstad.com/fourier/
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  • 15 (1) La funcin de Euler es peridica de periodo T = 2 . (2) La serie es una funcin impar. No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros. (3) En el intervalo 0 < t < 2 , la serie aproxima a (-t)/2. Pero no fuera del intervalo... (4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos. (5) La aproximacin no es buena en "los extremos"... Ninguna de estas dos ltimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...
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  • 16 Jean d'Alembert 1717-1783 Leonhard Euler 1707-1783 Daniel Bernouilli 1700-1782 Lagrange
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  • 17 Se necesita tambin como condicin inicial u(0,x)=f(x) para 0 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.: Observemos que en general N depender de y">
  • 71 Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si > 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.: Observemos que en general N depender de y del punto x (convergencia puntual). Si N solo depende de , pero no de x, decimos que la convergencia es uniforme. Que la serie sea uniformemente convergente es "bueno" porque:
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  • 72 (1) Si cada trmino u n (x) de una serie es continuo en (a, b) y la serie es uniformemente convergente a f(x), entonces: (a) f(x) es tambin continua en (a, b). (b) (2) Si cada trmino u n (x) de una serie posee derivada en (a, b) y la serie derivada es uniformemente convergente, entonces:
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  • 73 Cmo probar la convergencia uniforme de una serie? (1) Encontrar una expresin "cerrada" para S k (x) y aplicar la definicin o (2) utilizar la prueba M de Weierstrass: Si existe {M n } n = 1, 2,... tq. |u n (x)| M n y adems
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  • 74 Ejemplo:
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  • 75 Condiciones de Dirichlet Condiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias. (1) f(x) tiene un nmero finito de discontinuidades en un periodo. (2) f(x) tiene un nmero finito de mximos y mnimos en un periodo. (3)
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  • 76 Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto de continuidad y a: si x es un punto de discontinuidad.
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  • 77 Desarrolla en serie de Fourier:
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  • 79 La funcin f es continua en ( , ) excepto en x = 0. As su serie de Fourier converge en x = 0 a: La serie es una extensin peridica de la funcin f. Las discontinuidades en x = 0, 2 , 4 , convergen a:
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  • 80 Secuencia de sumas parciales y su representacin grfica
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  • 101 Ejercicio de examen: Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la funcin de modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1]. Respuesta. Para que el desarrollo de Fourier se pueda definir debe ser 2L- peridica. Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) ade modo que: 1. sea continua en [-L,L]. 2. sea continua a trozos en [-L,L].
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  • 102 La continuidad se consigue con la extensin par de f (f = -2t es continua en [-L,L] ) con L = 1. Re (z) Im (z) 1
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  • 104 P2. Septiembre 2006 a)(4 puntos) 1.Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la funcin f(x) = x 2 - x , con f(x) = f(x + 2) 2.Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a f(x) en [-,] 3.Basndose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la serie numrica 4.A partir del desarrollo de Fourier de la funcin f(x), obtener el desarrollo en serie de Fourier de la funcin g(x) = x(x 2 2 )- x , con g(x) = g(x + 2)
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  • 105 Respuesta. 1.f(x) = x 2, x [-,], 2 peridica Funcin par desarrollo en cosenos, b n = 0:
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  • 107 2. 3. Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval:
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  • 108 4.
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  • 109 Fenmeno de Gibbs Si la serie de Fourier para una funcin f(t) se trunca para lograr una aproximacin en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos ms armnicos, el sumatorio se aproximar ms a f(t). Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armnicos. Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada:
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  • 115 Fenmeno de Gibbs
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  • 116 Fenmeno de Gibbs
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  • 118 Forma compleja de la serie de Fourier Consideremos la serie de Fourier para una funcin peridica f(t), con periodo T = 2 / 0. Es posible obtener una forma alternativa usando las frmulas de Euler:
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  • 119 Sustituyendo: Y usando el hecho de que 1/i = -i: Y definiendo: