SUPERFICIES SUMERGIDAS

MÉTODO B

OBJETIVO:

Determinar experimentalmente el momento debido al empuje de un fluido sobre una superficie parcial y totalmente sumergida.

CONSIDERACIONES TEÓRICAS:

Considerando el caso general en que el plano donde se encuentra la superficie plana sumergida A forme un ángulo α con el plano piezométrico (figura 1).La presión p en cada punto multiplicada por dA forma un sistema de fuerzas elementales paralelas dFp, normales al plano A cuya resultante es una fuerza normal también a dicho plano. La intersección de la línea de aplicación de esta fuerza con la superficie A determina un punto C, que se llama centro de presión, que no coincide en general con el centro de gravedad G de A.

a) Determinación de la fuerza.En la figura se han acotado para el centro de gravedad G de A y para un elemento dA cualquiera de las siguientes magnitudes:

z=altura geodésica.

hp= pρg altura de presión: profundidad del punto con respecto a la superficie

libre o plano piezométrico.h= altura piezométrica.

Fig.1 Cálculo de la fuerza total debida a la presión de un fluido sobre una superficie plana A y de su punto de aplicación llamado centro de presión.

Según la ecuación fundamental de la hidrostática del fluido incomprensible;

h= pρg

+z=C

y observando la figura:pρg

= y senα despejando p

p=ρg y sen αY la fuerza elemental dFp debida a la presión sobre el elemento dA (fuerza=presión x superficie) será:

dFp = pdA =ρg y senα dA

Siendo paralelas todas las fuerzas dFp ; la fuerza resultante Fp debida a la presión será:

FP = ∫ dFp=ρg sen α ∫ ydA (*)

Pero según la definición de centro de gravedad∫ y dA=¿ yG A

donde yG-coordenada y de G (refiérase a la figura); luego Fp=ρg sen α yG A=ρg¿ (**)

es decir,

La resultante de las fuerzas debidas a la presión sobre una superficie plana sumergida es igual al producto de la densidad del líquido, por la aceleración de la gravedad, por la profundidad del centro de gravedad con relación al plano piezométrico y por el área de la superficie.

b) Determinación del centro de presión, C.

Llamando yC a la coordenada y del centro de presión, e igualando el momento con relación al eje O-x de la resultante de las fuerzas debidas a la presión a la suma de los momentos de las componentes, se tiene:

Fp yC = ∫ y dFp=ρg senα ∫ y2dA

según la ecuación (*), y también

yC=∫ y2dA∫ y dA

=I xA yG

(¿∗¿)

donde: yc=coordenada y del centro de presiones, CIx=momento segundo de la superficie A con relación al eje O-xyG=coordenada y del centro de gravedadA=área de la superficie

es decir:La distancia (coordenada yC) del centro de presiones de una superficie plana a la intersección de dicho plano con el plano piezométrico es igual al cociente de los momentos segundo y primero de la superficie con relación a dicha intersección.

La coordenada xC se obtendrá análogamente mediante la igualdad de momentos:

Fp xC= ∫ x dFp

Casos frecuentes en la práctica: Pared rectangular inclinada Pared rectangular vertical Pared rectangular sumergida e inclinada Pared rectangular sumergida y vertical Pared circular sumergida e inclinada Pared circular sumergida y vertical

PRESIÓN HIDROSTÁTICA SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA CILÍNDRICA SUMERGIDA.

Considerando la superficie curva cilíndrica CD de la figura 2 de generatrices normales al plano del dibujo. La resultante de las fuerzas debidas a la presión se determina por dos componentes Fpx y Fpz.

a) Obtención de la componente horizontal, Fpx, Aislando como cuerpo libre el volumen limitado por EC y ED, se observa que Fpx=Fx, en que Fx es igual en magnitud y línea de acción a la presión que el fluido ejerce sobre el plano vertical ED, su magnitud se calcula por las ecuaciones (**) y (***).

Presión hidrostática Fp sobre una superficie curva cilíndrica sumergida CD.

La componente horizontal de la resultante de las presiones que un líquido ejerce sobre una superficie curva cilíndrica es igual en magnitud y de sentido contrario a la resultante de las presiones que el fluido ejerce sobre la proyección de la superficie sobre un plano vertical y tiene la misma línea de acción, es decir, pasa por el centro de presión de dicha proyección.

b) Obtención de la componente vertical, Fpz. De la figura se considera ahora como cuerpo libre elvolumen del líquido encima de la superficie, representado por ABCD, se observa que:Fpz=Fz

en que Fz es el peso del fluido del volumen aislado. Y se tiene que

La componente vertical de la resultante de las presiones que un líquido ejerce sobre una superficie curva es de igual magnitud y sentido contrario al peso de la columna vertical del líquido contenido entre esta superficie y el plano piezométrico.

Las superficies cilíndricas con generatrices normales al plano del dibujo son de uso muy frecuente en válvulas, vertederos, compuertas, etc.

DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO UTILIZADO.

Para esta práctica se utilizó un equipo para medición de fuerzas sobre superficies sumergidas (Véase figura) y pesas de diversos valores.

MÉTODO DE OPERACIÓN.

INMERSIÓN PARCIAL.

a) Desatornille el tornillo de fijación que asegura el cuerpo rodante al tablero posterior.

b) Levante el cuerpo rodante y retire la cubierta protectora,

c) Limpie perfectamente la superficie de trabajo del aparato (centro de presión), y los bordes del cuerpo rodante.

d) Nivele el dispositivo por medio de los tornillos de ajuste, observando los niveles de burbuja del aparato.

e) Coloque el cuerpo rodante sobre el dispositivo de trabajo, cuidando que gire libremente y que las paredes del mismo sean paralelas al tablero.

f) Compruebe que la escala posterior cuya línea vertical debe coincidir con la línea vertical o eje de rotación del cuerpo rodante.

g) Enganche el porta pesas con el cordón del cuerpo rodante.

h) Efectúe el ajuste fino del cuerpo rodante agregando liquido en el tanque respectivo, para realizarlo es necesario que coincidan las líneas de 0º del cuerpo rodante con la línea 0-0 del tablero, verifique nuevamente las líneas verticales, ajuste si es necesario.

i) Para cada uno de los pesos (sin considerar el peso del porta pesas) indicados en el cuadro de datos, agregue agua en el tanque de nivelación, hasta que coincidan las líneas de 0º del cuerpo rodante con 0-0 del tablero y anote la lectura y del tablero.

Inmersión parcial Cuadro de datos Lectura No. W (gr) Y(mm)

1 20 1742 40 1703 60 1564 80 1505 100 1446 120 1407 140 1328 160 1269 180 12010 200 120

Ejemplo de cálculo tomando los datos de la lectura número 1.

Distancia al centro de gravedad Yg .

Yg=h2

de donde h = H-yH= altura total del tableroy= altura del líquidoh= nivel real del líquido

Sustituyendo y calculando:

Yg=200−1742

=13mm

Distancia al centro de presión Yc .

Yc=h6+Yg

Sustituyendo y calculando:

Yc=200−1746

+13mm=17.333mm

Fuerza de presión Fp .

Fp=23γ h2b

dondeb= ancho de la placa 75mm

Sustituyendo:

Fp=23 (1000 kgm3 ) (0.026m )2 (0.075m )= 0.0338N

Momentos M1 y M2:

M1=WLdondeW= es el peso colocado en el porta pesasL= Distancia del eje de giro al punto en el eje se coloca en el porta pesas=203mm

Sustituyendo:

M1= (0.02kg)(0.203m)=4.06x10-3 ó 0.00406Nm

M2=FpRdonde R=R2-(h-Yc)R2=200mm0.2-(0.026-0.017333)=0.191333NmSustituyendo:

M2= 0.0338 (0.191333)=8.224 Nm

Inmersión parcial CUADRO DE RESULTADOS.Lectura

No.h

(m)Yg

(m)YC

(m)Fp(N)

M1

(Nm)M2

(Nm)1 0.026 0.013 0.017333 0.0338 4.06x10-3 8.2242 0.03 0.015 0.02 0.045 8.12x10-3 8.55x10-3

3 0.044 0.022 0.029333 0.0968 0.01218 0.01794 0.05 0.025 0.033333 0.125 0.01624 0.02295 0.056 0.028 0.037333 0.1568 0.0203 0.02846 0.06 0.03 0.04 0.18 0.02436 0.03247 0.068 0.034 0.045333 0.2312 0.02842 0.04098 0.074 0.037 0.049333 0.2738 0.03248 0.04809 0.08 0.04 0.053333 0.32 0.0406 0.055410 0.08 0.04 0.053333 0.32 0.0406 0.0554

h0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.0338 0.045

0.09680.125

0.15680.18

0.2312

0.2738

0.32

0.026 0.03 0.044 0.05 0.056 0.06 0.068 0.074 0.08

Inmersión parcial

Fp h

Axis Title

Fuer

za d

e pr

esió

n

Inmersión Completa.a) Para la primera lectura del cuadro de datos, sin eliminar ninguna cantidad de liquido del tanque de nivelación, coloque ahora un peso de 300 gr. En el porta pesas (sin considerar el peso del porta pesas), agregue liquido en el tanque de nivelación hasta que coincidan las líneas de 0º del cuerpo rodante y la de 0-0 del tablero y anote la lectura y del tablero.

b) Para las lecturas restantes del cuadro de datos coloque el peso indicado en el porta pesas y proceda como se indica en el punto anterior.

c) Al terminar con las lecturas, vacíe el tanque.

Inmersión Completa Cuadro de datos.Lectura No. W(gr) Y(mm)

1 300 962 320 903 340 864 360 825 380 806 400 747 420 708 440 669 460 6210 480 56

Ejemplo de cálculo tomando los datos de la lectura número 1.

Distancia al centro de gravedad.

Yg=h−d2

De donde:h= H-yH= altura total del tableroy= altura del líquidod=altura de la pared=100mmSustituyendo:

Yg=(200−96 )−1002

=54mm

Distancia al centro de presión Yc.

Yc=Yg+ d2

12YgSustituyendo:

Yc=54mm+(100)2

12(54)=69.432mm

Fuerza de presión.

Fp=γ bd YgSustituyendo:

Fp = (1000kg/m3)(0.075m)(0.1m)(0.054)=0.405N

Momentos M1 y M2.

M1=WLW=Peso colocado en el porta pesas.L=Distancia del eje de giro al punto en el eje se coloca en el porta pesas=203mm

Sustituyendo:

M1= (0.3kg) (0.203m)=0.0609Nm

M2=FpRDe donde R= R2-(h-Yc)

R2=200mm=0.2m

Sustituyendo:

M2= (0.405N) (0.160432m)=0.0670

Inmersión Completa CUADRO DE RESULTADOS.Lectura

No.h

(m)Yg(m)

Yc(m)

Fp(N)

M1

(Nm)M2

(Nm)1 0.104 0.054 0.069432 0.405 0.0609 0.06702 0.110 0.06 0.073889 0.45 0.06496 0.06633 0.114 0.064 0.077020 0.48 0.06902 0.06604 0.118 0.068 0.080254 0.51 0.07308 0.06575 0.120 0.07 0.081904 0.525 0.07714 0.06556 0.126 0.076 0.086964 0.57 0.0812 0.06517 0.130 0.08 0.090416 0.6 0.08526 0.06498 0.134 0.084 0.093920 0.63 0.08932 0.06479 0.138 0.088 0.097469 0.66 0.09338 0.064510 0.144 0.094 0.102865 0.705 0.09744 0.0643

h0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.0609 0.06496 0.06902 0.07308 0.07714 0.0812 0.08526 0.08932 0.093380.104 0.11 0.114 0.118 0.12 0.126 0.13 0.134 0.138

Inmersión Completa

M1 h

Nivel real del líquido

Mom

ento

M1

CONCLUSIONES.

En esta práctica se puede observar que las gráficas obtenidas son muy similares ya que casi son líneas rectas que tienen valores cercanos a ser constantes, el porcentaje de error es mínimo debido a errores de paralelismo al momento de tomar las lecturas, esto porque el equipo de medición de fuerzas sobre superficies sumergidas no se encontraba totalmente en reposo.

En cuanto a la inclinación del equipo, misma que pudo causar errores en las mediciones, se decidió despreciarla al igual que el líquido tampoco estuvo en reposo.

Fotografías del equipo y su funcionamiento.