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  • GEOMETRIA DE CURVAS YSUPERFICIES

    FRANCISCO URBANO

    31 de mayo de 2010

  • 2

  • Captulo 1

    CURVAS EN EL PLANO YEN EL ESPACIO.

    1.1. Curvas diferenciables. Parametrizaciones.

    Una curva diferenciable es una aplicacion diferenciable : I R R3,siendo I un intervalo abierto de R. Diremos que la curva es plana cuandoexista un plano de R3 tal que Img () . A Img () le llamaremos latraza de .

    Las componentes de seran representadas por

    (t) = (x(t), y(t), z(t)),

    y a t le llamaremos el parametro de la curva. A (t) = (x(t), y(t), z(t)) lellamamos el vector tangente o velocidad de en t. La recta tangente a ent es la recta de R3 que pasa por (t) en la direccion de (t), esto es

    {(t) + (t) / R}.

    Ejemplo 1.1.1 Sea : R R3 dada por (t) = p + tq, con p, q R3 yq 6= 0. Entonces es una curva diferenciable cuya traza es la recta de R3que pasa por p en la direccion de q.

    Sea : R R2 la aplicacion (t) = c+ r(cos(t/r), sin(t/r)), con c R2y r R+. Entonces es una curva diferenciable plana cuya traza es lacircunferencia de centro c y radio r.

    Sea : R R3 dada por

    (t) =

    (a cos

    ta2 + b2

    , a sint

    a2 + b2,

    bta2 + b2

    ),

    3

  • con a, b 6= 0. A la curva le llamamos helice circular.

    Si : I R R3 es una curva diferenciable y h : J I un difeomorfismo(J ha de ser otro intervalo), a la curva : J R R3 dada por

    (t) = ( h)(t) = (h(t))

    le llamamos una reparametrizacion de . Observemos que las trazas de y coinciden y que

    (t) = h(t)(h(t)).

    La reparametrizacion se llama directa si h(t) > 0 para todo t e inversa sih(t) < 0 para todo t (Al ser h un difeomorfismo y J conexo solo estas dosposibilidades pueden darse).

    1.2. Longitud de una curva. Parametro arco.

    Sea : I R R3 una curva y [a, b] I. Queremos definir la longitudde en el intervalo [a, b] y para ello vamos a medir longitud de poligonalesuniendo los puntos extremos de la curva que se apoyen en la misma. Laslongitudes de estas poligonales convergeran a un numero cuando los trozosde la poligonal tiendan a infinito. Sea P = {t0 = a < t1 < . . . < tn = b} unaparticion del intervalo [a, b]. Entonces, si

    Lba(, P ) =ni=1

    |(ti) (ti1)|, |P | = max1in|ti ti1|,

    se tiene que

    Proposicion 1.2.1 lm|P |0 Lba(, P ) =

    ba|(t)|dt.

    Definicion 1.2.1 Sea : I R3 una curva y [a, b] I. Se define lalongitud de entre a y b y se representa por Lba() como

    Lba() =

    ba

    |(t)|dt.

    Estudiemos algunas propiedades de la longitud.

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  • 1. La longitud es invariante por movimientos rgidos, esto es si : I R3es una curva, [a, b] I y M : R3 R3 un movimiento rgido, entonces

    Lba(M ) = Lba().

    2. La longitud es invariante por reparametrizaciones, esto es si : I R3es una curva, [a, b] I y h : J I un difeomorfismo con h([c, d]) =[a, b] entonces

    Ldc( h) = Lba().

    3. Si : I R3 es una curva y [a, b] I, probar que

    |(b) (a)| Lba().

    Si es una curva que cumple |(t)| = 1, t, entonces la longitud de entrea y b cumple

    Lba() = b a.Es razonable decir que esta curva esta parametrizada por el arco. Usaremosla abreviatura p.p.a. Dos cuestiones nos planteamos al respecto. Puede todacurva ser reparametrizada por el arco? Cuantas reparametrizaciones por elarco hay de una curva dada?

    Es claro que si una curva tiene puntos donde el vector tangente se anulano puede ser reparametrizada por el arco. As necesitamos imponer a una talcurva que su vector tangente no se anule en ningun punto.

    Definicion 1.2.2 Una curva : I R R3 se llama regular si (t) 6=0, t I.

    Proposicion 1.2.2 Sea : I R R3 una curva regular. Entonces existeuna reparametrizacion por el arco directa de . En concreto, si h : J I esel difeomorfismo dado por

    h1(t) =

    ta

    |(r)|dr, t I

    con a I, entonces = h esta parametrizada por el arco.

    Si es una curva p.p.a., entonces las reparametrizaciones por el arco de vienen definidas por la familia 1-parametrica de difeomorfismos h(t) = t+ a,h(t) = t+ a con a R.

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  • 1.3. Curvatura de curvas en el plano.

    Sea : I R R2 una curva plana. Queremos medir lo que la traza dela misma se curva.en el plano. Una buena medida de ello, puede ser la relacionentre la longitud de la imagen esferica de la curva, esto es la imagen en lacircunferencia unidad de /||, y la longitud de . Para ello necesitamosque la curva sea regular. Pero esta medida debe de hacerse en cada punto.

    Proposicion 1.3.1 Sea : I R R2 una curva regular. Entonces paracada t0 I

    lm0

    Lt0+t0(

    ||)

    Lt0+t0()=|(t0), J(t0)|

    |(t0)|3.

    Por tanto es razonable decir que la curvatura de en t0 es|(t0),J(t0)|

    |(t0)|3 .Como dicho mumero es el valor absoluto de otro, parece razonable hacer unadefinicion de curvatura mas general que admita la posibilidad de ser negativa.

    Definicion 1.3.1 Sea : I R R2 una curva regular. La curvatura de en t, que se notara K(t), es definida por

    K(t) =(t), J(t)|(t)|3

    .

    Es un ejercicio facil probar que una recta (o cualquier parametrizacion deuna recta) tiene curvatura nula, y que una circunferencia de radio r tienecurvatura constante 1/r dependiendo de que la parametrizacion la recorraen sentido contrario o favorable a las agujas del reloj.

    Estudiemos algunas propiedades de la curvatura.Sea : I R R2 una curva regular.

    1. Si M : R2 R2 es un movimiento rgido y = M , entoncesK = K, dependiendo de que M sea un movimiento rgido directoo inverso.

    2. Si h : J I es un difeomorfismo y = h, entonces

    K(t) = K(h(t)), t J,

    dependiendo de que sea una reparametrizacion directa o inversa de.

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  • 3. Si K es constante, entonces la traza de es un segmento de recta oun arco de circunferencia, dependiendo de que dicha constante sea nulao no nula.

    En la interpretacion del signo de la curvatura, juega un papel importante lafuncion distancia (con signo) a una recta. Si R es la recta en R2 que pasapor un punto p con direccion v (|v| = 1), dicha funcion viene dada por

    f : R2 R, f(x) = x p, Jv

    Observemos que f se anula en los puntos de la recta, es positiva en el semi-plano determinado por R hacia el que apunta Jv y es negativa en el otro.

    Si : I R2 es una curva regular p.p.a., consideramos la restriccion alos puntos de la curva, de la funcion distancia a la recta tangente en t0 I,esto es

    f : I R, f(t) = (t) (t0), J(t0).

    Entonces es claro que f(t0) = 0, f(t0) = 0 y f

    (t0) = K(t0). Como conse-cuencia obtenemos que

    Si K(t0) > 0, entonces existe > 0 tal que ((t0 , t0 + ))esta contenido en el semiplano determinado por la recta tangentea en t0 hacia el que apunta J

    (t0).

    Si K(t0) < 0, entonces existe > 0 tal que ((t0 , t0 + ))esta contenido en el semiplano determinado por la recta tangentea en t0 hacia el que apunta J(t0).

    Estudiemos con mayor profundidad el caso K(t0) > 0 (analogo sera el casoK(t0) < 0). Definimos entonces, para cada numero real no nulo , la funcionf : I R por

    f(t) = |(t) a|2,

    con a = (t0) + J(t0). Entonces f(t0) =

    2, f (t0) = 0 y f (t0) =

    2(1 K(t0). De aqu se concluye que

    Si < 1/K(t0), existe > 0 tal que ((t0 , t0 + )) esta fuerade la circunferencia de centro a y radio ||.Si > 1/K(t0), existe > 0 tal que ((t0, t0 +)) esta dentrode la circunferencia de centro a y radio .

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  • Por tanto el valor = 1/K(t0) es crtico y se le llama radio de curvatura de en t0. A (t0)+(1/K(t0))J

    (t0) se le llama centro de curvatura de en t0y a la correspondiente circunferencia le llamaremos circunferencia osculatrizde en t0. Si K(t) > 0 para todo t I, a la curva formada por todos loscentros de curvatura (t) = (t) + (1/K(t))J

    (t) le llamamos evoluta de.

    Proposicion 1.3.2 Sea : I R2 una curva p.p.a. con curvatura positivay no decreciente. Si a I, probar que

    |(t) (a)| 1K(a)

    ,

    para cada t a, donde es la evoluta de . Esto significa que ([a,) I)esta contenido en el disco osculatriz de en a.

    Para probar la proposicion conviene ver que la longitud de la evoluta cumple

    Lta() =1

    K(a) 1K(t)

    , t a.

    1.4. Diedro de Frenet. Teorema fundamental

    de curvas en el plano.

    Vamos a introducir una nomenclatura que sera de utilidad tambien en elestudio de curvas espaciales.

    Sea : I R2 una curva p.p.a. Representaremos por T (t) = (t) ypor N(t) = J(t) al que se llamara vector normal a en t. Entonces es unejercicio facil comprobar que {T (t), N(t)} es para cada t una base ortonormalpositivamente orientada de R2 cumpliendo

    T (t) = K(t)N(t), N (t) = K(t)T (t).

    A {T (t), N(t)} le llamamos el diedro de Frenet de y a las anteriores ecua-ciones las ecuaciones de Frenet de .

    Teorema 1.4.1 (Teorema fundamental de curvas planas). Sea K0 :I R una funcion diferenciable definida en un intervalo abierto I. Entoncesexiste una curva plana : I R2 p.p.a. tal que K = K0. Ademas si : I R2 es otra curva plana p.p.a. con K = K0, entonces existe unmovimiento rgido directo M : R2 R2 tal que = M .

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  • Como consecuencia de este resultado de existencia y unicidad, puede probarseque

    Si , : I R2 son curvas planas parametrizadas p.p.a. talque K = K, entonces existe un movimiento rgido inversoM : R2 R2 tal que = M .

    Tambien, haciendo uso del anterior teorema es facil realizar los siguientesejercicios.

    Ejercicio 1.4.1 Sea : (a, a) R2 una curva p.p.a. (a > 0) cumpliendoque K(t) = K(t) para cada t (a, a). Probar que la traza de essimetrica respecto del punto (0).

    Ejercicio 1.4.2 Sea : (a, a) R2 una curva p.p.a. (a > 0) cumpliendoque K(t) = K(t) para cada t (a, a)