Geometr a de curvas y computaci on 3. Las curvas de B ezierla rma rival Renault, Pierre B ezier....

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Geometr´ ıa de curvas y computaci´ on 3. Las curvas de B´ ezier Fausto Ongay CIMAT, Gto., M´ exico Julio, 2012 Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 1 / 26
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  • Geometŕıa de curvas y computación3. Las curvas de Bézier

    Fausto Ongay

    CIMAT, Gto., México

    Julio, 2012

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 1 / 26

  • Curvas polinomiales

    Como indicamos, las curvas más importantes para la graficación son talvez las curvas polinomiales:

    Definición

    Una curva α(t) es polinomial (o polinómica, como se dice en otros páısesde habla hispana) si sus componentes x(t), y(t) son polinomios.

    El grado de una curva polinomial α(t) es máx{deg x , deg y}

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 2 / 26

  • Curvas polinomiales

    Como indicamos, las curvas más importantes para la graficación son talvez las curvas polinomiales:

    Definición

    Una curva α(t) es polinomial (o polinómica, como se dice en otros páısesde habla hispana) si sus componentes x(t), y(t) son polinomios.

    El grado de una curva polinomial α(t) es máx{deg x , deg y}

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 2 / 26

  • Curvas polinomiales

    Como indicamos, las curvas más importantes para la graficación son talvez las curvas polinomiales:

    Definición

    Una curva α(t) es polinomial (o polinómica, como se dice en otros páısesde habla hispana) si sus componentes x(t), y(t) son polinomios.

    El grado de una curva polinomial α(t) es máx{deg x , deg y}

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 2 / 26

  • Curvas polinomiales

    Como indicamos, las curvas más importantes para la graficación son talvez las curvas polinomiales:

    Definición

    Una curva α(t) es polinomial (o polinómica, como se dice en otros páısesde habla hispana) si sus componentes x(t), y(t) son polinomios.

    El grado de una curva polinomial α(t) es máx{deg x , deg y}

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 2 / 26

  • Motivación

    Loss polinomios de Bernstein se aplican a la graficación por ordenadormediante las curvas de Bézier. ¿Cómo surgieron?

    En la actualidad, al efectuar una reparación en un automóvil, no pensamosen lo complejo que puede ser construir una refacción que ajustecorrectamente.

    Pero en 1911 Cadillac pregonaba, con justificado orgullo (Standard of theWorld es su lema), que las piezas de tres veh́ıculos distintos se pod́ıanintercambiar ¡y obtener veh́ıculos funcionales!

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 3 / 26

  • Motivación

    Loss polinomios de Bernstein se aplican a la graficación por ordenadormediante las curvas de Bézier. ¿Cómo surgieron?

    En la actualidad, al efectuar una reparación en un automóvil, no pensamosen lo complejo que puede ser construir una refacción que ajustecorrectamente.

    Pero en 1911 Cadillac pregonaba, con justificado orgullo (Standard of theWorld es su lema), que las piezas de tres veh́ıculos distintos se pod́ıanintercambiar ¡y obtener veh́ıculos funcionales!

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 3 / 26

  • Motivación

    Loss polinomios de Bernstein se aplican a la graficación por ordenadormediante las curvas de Bézier. ¿Cómo surgieron?

    En la actualidad, al efectuar una reparación en un automóvil, no pensamosen lo complejo que puede ser construir una refacción que ajustecorrectamente.

    Pero en 1911 Cadillac pregonaba, con justificado orgullo (Standard of theWorld es su lema), que las piezas de tres veh́ıculos distintos se pod́ıanintercambiar ¡y obtener veh́ıculos funcionales!

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 3 / 26

  • Motivación

    Loss polinomios de Bernstein se aplican a la graficación por ordenadormediante las curvas de Bézier. ¿Cómo surgieron?

    En la actualidad, al efectuar una reparación en un automóvil, no pensamosen lo complejo que puede ser construir una refacción que ajustecorrectamente.

    Pero en 1911 Cadillac pregonaba, con justificado orgullo (Standard of theWorld es su lema), que las piezas de tres veh́ıculos distintos se pod́ıanintercambiar ¡y obtener veh́ıculos funcionales!

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 3 / 26

  • Classical beauty...

    Un Cadillac de 1910

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 4 / 26

  • Classical beauty...

    Un Cadillac de 1910

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 4 / 26

  • Antes de los ordenadores las curvas deb́ıan trazarse a mano, concurv́ıgrafos, y esto introdućıa una gran posibilidad de error.

    Un curv́ıgrafo

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 5 / 26

  • Antes de los ordenadores las curvas deb́ıan trazarse a mano, concurv́ıgrafos, y esto introdućıa una gran posibilidad de error.

    Un curv́ıgrafo

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 5 / 26

  • Esto cambió radicalmente en 1959, cuando un f́ısico, matemático, eingeniero en Citroën, Paul DeCasteljau, introdujo un algoritmo para trazarcurvas polinomiales de manera eficiente, usando puntos de control.

    Las poĺıticas de privaćıa de Citroën hicieron que el trabajo de DeCasteljaufuera ignorado casi por completo, y el método se dio a conocer a travésdel trabajo (independiente, pero un poco posterior) de otro ingeniero, dela firma rival Renault, Pierre Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 6 / 26

  • Esto cambió radicalmente en 1959, cuando un f́ısico, matemático, eingeniero en Citroën, Paul DeCasteljau, introdujo un algoritmo para trazarcurvas polinomiales de manera eficiente, usando puntos de control.

    Las poĺıticas de privaćıa de Citroën hicieron que el trabajo de DeCasteljaufuera ignorado casi por completo, y el método se dio a conocer a travésdel trabajo (independiente, pero un poco posterior) de otro ingeniero, dela firma rival Renault, Pierre Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 6 / 26

  • Esto cambió radicalmente en 1959, cuando un f́ısico, matemático, eingeniero en Citroën, Paul DeCasteljau, introdujo un algoritmo para trazarcurvas polinomiales de manera eficiente, usando puntos de control.

    Las poĺıticas de privaćıa de Citroën hicieron que el trabajo de DeCasteljaufuera ignorado casi por completo, y el método se dio a conocer a travésdel trabajo (independiente, pero un poco posterior) de otro ingeniero, dela firma rival Renault, Pierre Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 6 / 26

  • El algoritmo de DeCasteljau

    Dados n + 1 puntos en el plano, P0, · · · ,Pn, la hoy llamada curva deBézier definida por ellos está dada por el algoritmo recursivo siguiente:

    Definición

    Para r = 1, · · · , n y i = 0, · · · , n − r definamos P0i (t) = Pi , y

    P ri (t) = (1− t)P r−1i (t) + tPr−1i+1 (t) ; t ∈ [0, 1].

    Entonces, la curva de Bézier asociada es α(t) = Pn0 (t), t ∈ [0, 1].

    Los puntos Pi se llaman puntos o vértices de control y el poĺıgonodeterminado por ellos se llama el poĺıgono de control de la curva de Bézier

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 7 / 26

  • El algoritmo de DeCasteljau

    Dados n + 1 puntos en el plano, P0, · · · ,Pn, la hoy llamada curva deBézier definida por ellos está dada por el algoritmo recursivo siguiente:

    Definición

    Para r = 1, · · · , n y i = 0, · · · , n − r definamos P0i (t) = Pi , y

    P ri (t) = (1− t)P r−1i (t) + tPr−1i+1 (t) ; t ∈ [0, 1].

    Entonces, la curva de Bézier asociada es α(t) = Pn0 (t), t ∈ [0, 1].

    Los puntos Pi se llaman puntos o vértices de control y el poĺıgonodeterminado por ellos se llama el poĺıgono de control de la curva de Bézier

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 7 / 26

  • El algoritmo de DeCasteljau

    Dados n + 1 puntos en el plano, P0, · · · ,Pn, la hoy llamada curva deBézier definida por ellos está dada por el algoritmo recursivo siguiente:

    Definición

    Para r = 1, · · · , n y i = 0, · · · , n − r definamos P0i (t) = Pi , y

    P ri (t) = (1− t)P r−1i (t) + tPr−1i+1 (t) ; t ∈ [0, 1].

    Entonces, la curva de Bézier asociada es α(t) = Pn0 (t), t ∈ [0, 1].

    Los puntos Pi se llaman puntos o vértices de control y el poĺıgonodeterminado por ellos se llama el poĺıgono de control de la curva de Bézier

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 7 / 26

  • El algoritmo de DeCasteljau

    Dados n + 1 puntos en el plano, P0, · · · ,Pn, la hoy llamada curva deBézier definida por ellos está dada por el algoritmo recursivo siguiente:

    Definición

    Para r = 1, · · · , n y i = 0, · · · , n − r definamos P0i (t) = Pi , y

    P ri (t) = (1− t)P r−1i (t) + tPr−1i+1 (t) ; t ∈ [0, 1].

    Entonces, la curva de Bézier asociada es α(t) = Pn0 (t), t ∈ [0, 1].

    Los puntos Pi se llaman puntos o vértices de control y el poĺıgonodeterminado por ellos se llama el poĺıgono de control de la curva de Bézier

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 7 / 26

  • El algoritmo de DeCasteljau

    Dados n + 1 puntos en el plano, P0, · · · ,Pn, la hoy llamada curva deBézier definida por ellos está dada por el algoritmo recursivo siguiente:

    Definición

    Para r = 1, · · · , n y i = 0, · · · , n − r definamos P0i (t) = Pi , y

    P ri (t) = (1− t)P r−1i (t) + tPr−1i+1 (t) ; t ∈ [0, 1].

    Entonces, la curva de Bézier asociada es α(t) = Pn0 (t), t ∈ [0, 1].

    Los puntos Pi se llaman puntos o vértices de control y el poĺıgonodeterminado por ellos se llama el poĺıgono de control de la curva de Bézier

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 7 / 26

  • Nótese que P ri es una curva polinomial de grado r .

    Los puntos de control se identifican, en el primer paso, con curvas degrado cero: el algoritmo de DeCasteljau aproxima por polinomios de gradocada vez mayor, hasta llegar a un polinomio de grado n.

    Para entender qué hace el algoritmo de DeCasteljau es conveniente seguircon detalle el procedimiento para unos pocos puntos; n = 3 ó incluson = 2 dan la idea:

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 8 / 26

  • Nótese que P ri es una curva polinomial de grado r .

    Los puntos de control se identifican, en el primer paso, con curvas degrado cero: el algoritmo de DeCasteljau aproxima por polinomios de gradocada vez mayor, hasta llegar a un polinomio de grado n.

    Para entender qué hace el algoritmo de DeCasteljau es conveniente seguircon detalle el procedimiento para unos pocos puntos; n = 3 ó incluson = 2 dan la idea:

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 8 / 26

  • Nótese que P ri es una curva polinomial de grado r .

    Los puntos de control se identifican, en el primer paso, con curvas degrado cero: el algoritmo de DeCasteljau aproxima por polinomios de gradocada vez mayor, hasta llegar a un polinomio de grado n.

    Para entender qué hace el algoritmo de DeCasteljau es conveniente seguircon detalle el procedimiento para unos pocos puntos; n = 3 ó incluson = 2 dan la idea:

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 8 / 26

  • Nótese que P ri es una curva polinomial de grado r .

    Los puntos de control se identifican, en el primer paso, con curvas degrado cero: el algoritmo de DeCasteljau aproxima por polinomios de gradocada vez mayor, hasta llegar a un polinomio de grado n.

    Para entender qué hace el algoritmo de DeCasteljau es conveniente seguircon detalle el procedimiento para unos pocos puntos; n = 3 ó incluson = 2 dan la idea:

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 8 / 26

  • Ejemplo: n = 2; 3 puntos de control

    Example

    Consideremos los puntos de control P0, P1 y P2.

    Los polinomios intermedios del algoritmo dan:

    P10 (t) = (1− t)P0 + tP1 y P11 (t) = (1− t)P1 + tP2;

    Son las ecuaciones de los segmentos (interpolación lineal o combinaciónconvexa) entre P0 y P1 (en ese orden) y P1 y P2, respectivamente.

    Por el número de puntos, en el paso siguiente llegamos ya a la curva deBézier, y tenemos una sola curva:

    P20 (t) = α(t) = (1− t)P10 (t) + tP11 (t) = (1− t)2P0 + 2(1− t)tP1 + t2P2.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 9 / 26

  • Ejemplo: n = 2; 3 puntos de control

    Example

    Consideremos los puntos de control P0, P1 y P2.

    Los polinomios intermedios del algoritmo dan:

    P10 (t) = (1− t)P0 + tP1 y P11 (t) = (1− t)P1 + tP2;

    Son las ecuaciones de los segmentos (interpolación lineal o combinaciónconvexa) entre P0 y P1 (en ese orden) y P1 y P2, respectivamente.

    Por el número de puntos, en el paso siguiente llegamos ya a la curva deBézier, y tenemos una sola curva:

    P20 (t) = α(t) = (1− t)P10 (t) + tP11 (t) = (1− t)2P0 + 2(1− t)tP1 + t2P2.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 9 / 26

  • Ejemplo: n = 2; 3 puntos de control

    Example

    Consideremos los puntos de control P0, P1 y P2.

    Los polinomios intermedios del algoritmo dan:

    P10 (t) = (1− t)P0 + tP1 y P11 (t) = (1− t)P1 + tP2;

    Son las ecuaciones de los segmentos (interpolación lineal o combinaciónconvexa) entre P0 y P1 (en ese orden) y P1 y P2, respectivamente.

    Por el número de puntos, en el paso siguiente llegamos ya a la curva deBézier, y tenemos una sola curva:

    P20 (t) = α(t) = (1− t)P10 (t) + tP11 (t) = (1− t)2P0 + 2(1− t)tP1 + t2P2.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 9 / 26

  • Ejemplo: n = 2; 3 puntos de control

    Example

    Consideremos los puntos de control P0, P1 y P2.

    Los polinomios intermedios del algoritmo dan:

    P10 (t) = (1− t)P0 + tP1 y P11 (t) = (1− t)P1 + tP2;

    Son las ecuaciones de los segmentos (interpolación lineal o combinaciónconvexa) entre P0 y P1 (en ese orden) y P1 y P2, respectivamente.

    Por el número de puntos, en el paso siguiente llegamos ya a la curva deBézier, y tenemos una sola curva:

    P20 (t) = α(t) = (1− t)P10 (t) + tP11 (t) = (1− t)2P0 + 2(1− t)tP1 + t2P2.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 9 / 26

  • Example

    Es claro que α es una curva de grado 2

    La segunda igualdad muestra que los puntos sobre α se obtieneninterpolando linealmente entre los puntos en las curvas (en este casorectas) de la etapa anterior.

    P 0

    P 1

    P 2

    El algoritmo de DeCasteljau

    (Todas las gráficas están programadas en Mathematica.)

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 10 / 26

  • Example

    Es claro que α es una curva de grado 2

    La segunda igualdad muestra que los puntos sobre α se obtieneninterpolando linealmente entre los puntos en las curvas (en este casorectas) de la etapa anterior.

    P 0

    P 1

    P 2

    El algoritmo de DeCasteljau

    (Todas las gráficas están programadas en Mathematica.)

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 10 / 26

  • Example

    Es claro que α es una curva de grado 2

    La segunda igualdad muestra que los puntos sobre α se obtieneninterpolando linealmente entre los puntos en las curvas (en este casorectas) de la etapa anterior.

    P 0

    P 1

    P 2

    El algoritmo de DeCasteljau

    (Todas las gráficas están programadas en Mathematica.)

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 10 / 26

  • Example

    Es claro que α es una curva de grado 2

    La segunda igualdad muestra que los puntos sobre α se obtieneninterpolando linealmente entre los puntos en las curvas (en este casorectas) de la etapa anterior.

    P 0

    P 1

    P 2

    El algoritmo de DeCasteljau

    (Todas las gráficas están programadas en Mathematica.)Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 10 / 26

  • Proposición

    Las curvas intermedias en el algoritmo de DeCasteljau satisfacen

    P ri (t) =r∑

    j=0

    B rj (t)Pi+j .

    En particular, la curva de Bézier asociada al poĺıgono de controlP0, · · · ,Pn está dada por

    α(t) =n∑

    i=0

    Bni (t)Pi .

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 11 / 26

  • Proposición

    Las curvas intermedias en el algoritmo de DeCasteljau satisfacen

    P ri (t) =r∑

    j=0

    B rj (t)Pi+j .

    En particular, la curva de Bézier asociada al poĺıgono de controlP0, · · · ,Pn está dada por

    α(t) =n∑

    i=0

    Bni (t)Pi .

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 11 / 26

  • Proposición

    Las curvas intermedias en el algoritmo de DeCasteljau satisfacen

    P ri (t) =r∑

    j=0

    B rj (t)Pi+j .

    En particular, la curva de Bézier asociada al poĺıgono de controlP0, · · · ,Pn está dada por

    α(t) =n∑

    i=0

    Bni (t)Pi .

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 11 / 26

  • La curva de Bézier no interpola entre los puntos del poĺıgono de control.

    De hecho, en general sólo interpola entre los dos puntos extremos:α(0) = P0 y α(1) = Pn.

    Example

    Para ilustrar las propiedades de las curvas de Bézier, consideremos en loque sigue el siguiente ejemplo expĺıcito de una curva de grado 4, conpoĺıgono de control:

    P0 = (0, 0) ; P1 = (1, 4) ; P2 = (3, 4)

    P3 = (6, 0) ; P4 = (7, 3).

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 12 / 26

  • La curva de Bézier no interpola entre los puntos del poĺıgono de control.

    De hecho, en general sólo interpola entre los dos puntos extremos:α(0) = P0 y α(1) = Pn.

    Example

    Para ilustrar las propiedades de las curvas de Bézier, consideremos en loque sigue el siguiente ejemplo expĺıcito de una curva de grado 4, conpoĺıgono de control:

    P0 = (0, 0) ; P1 = (1, 4) ; P2 = (3, 4)

    P3 = (6, 0) ; P4 = (7, 3).

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 12 / 26

  • La curva de Bézier no interpola entre los puntos del poĺıgono de control.

    De hecho, en general sólo interpola entre los dos puntos extremos:α(0) = P0 y α(1) = Pn.

    Example

    Para ilustrar las propiedades de las curvas de Bézier, consideremos en loque sigue el siguiente ejemplo expĺıcito de una curva de grado 4, conpoĺıgono de control:

    P0 = (0, 0) ; P1 = (1, 4) ; P2 = (3, 4)

    P3 = (6, 0) ; P4 = (7, 3).

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 12 / 26

  • La curva de Bézier no interpola entre los puntos del poĺıgono de control.

    De hecho, en general sólo interpola entre los dos puntos extremos:α(0) = P0 y α(1) = Pn.

    Example

    Para ilustrar las propiedades de las curvas de Bézier, consideremos en loque sigue el siguiente ejemplo expĺıcito de una curva de grado 4, conpoĺıgono de control:

    P0 = (0, 0) ; P1 = (1, 4) ; P2 = (3, 4)

    P3 = (6, 0) ; P4 = (7, 3).

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 12 / 26

  • Example

    P 0

    P 1 P 2

    P 3

    P 4

    Una curva de Bézier y su poĺıgono de control.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 13 / 26

  • Example

    P 0

    P 1 P 2

    P 3

    P 4

    Una curva de Bézier y su poĺıgono de control.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 13 / 26

  • Observaciones

    Observación

    Entre más puntos tenga el poĺıgono de control más posibilidades hay paramanipular las curvas de Bézier.

    La fórmula de elevación del grado permite escribir relaciones entre lascurvas que se obtienen al incluir puntos adicionales de control.

    Sin embargo, es igualmente claro que mientras mayor sea el grado, mayorserá el coste computacional.

    Las curvas intermedias en el algoritmo de DeCasteljau son ellas mismascurvas de Bézier, cuyos poĺıgonos de control consisten de algunos de lospuntos consecutivos del poĺıgono inicial.

    Moraleja: en la práctica es importante escoger adecuadamente los puntos,tanto en posición como en número, y en ocasiones puede ser mejorsubdividir las curvas de Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 14 / 26

  • Observaciones

    Observación

    Entre más puntos tenga el poĺıgono de control más posibilidades hay paramanipular las curvas de Bézier.

    La fórmula de elevación del grado permite escribir relaciones entre lascurvas que se obtienen al incluir puntos adicionales de control.

    Sin embargo, es igualmente claro que mientras mayor sea el grado, mayorserá el coste computacional.

    Las curvas intermedias en el algoritmo de DeCasteljau son ellas mismascurvas de Bézier, cuyos poĺıgonos de control consisten de algunos de lospuntos consecutivos del poĺıgono inicial.

    Moraleja: en la práctica es importante escoger adecuadamente los puntos,tanto en posición como en número, y en ocasiones puede ser mejorsubdividir las curvas de Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 14 / 26

  • Observaciones

    Observación

    Entre más puntos tenga el poĺıgono de control más posibilidades hay paramanipular las curvas de Bézier.

    La fórmula de elevación del grado permite escribir relaciones entre lascurvas que se obtienen al incluir puntos adicionales de control.

    Sin embargo, es igualmente claro que mientras mayor sea el grado, mayorserá el coste computacional.

    Las curvas intermedias en el algoritmo de DeCasteljau son ellas mismascurvas de Bézier, cuyos poĺıgonos de control consisten de algunos de lospuntos consecutivos del poĺıgono inicial.

    Moraleja: en la práctica es importante escoger adecuadamente los puntos,tanto en posición como en número, y en ocasiones puede ser mejorsubdividir las curvas de Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 14 / 26

  • Observaciones

    Observación

    Entre más puntos tenga el poĺıgono de control más posibilidades hay paramanipular las curvas de Bézier.

    La fórmula de elevación del grado permite escribir relaciones entre lascurvas que se obtienen al incluir puntos adicionales de control.

    Sin embargo, es igualmente claro que mientras mayor sea el grado, mayorserá el coste computacional.

    Las curvas intermedias en el algoritmo de DeCasteljau son ellas mismascurvas de Bézier, cuyos poĺıgonos de control consisten de algunos de lospuntos consecutivos del poĺıgono inicial.

    Moraleja: en la práctica es importante escoger adecuadamente los puntos,tanto en posición como en número, y en ocasiones puede ser mejorsubdividir las curvas de Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 14 / 26

  • Observaciones

    Observación

    Entre más puntos tenga el poĺıgono de control más posibilidades hay paramanipular las curvas de Bézier.

    La fórmula de elevación del grado permite escribir relaciones entre lascurvas que se obtienen al incluir puntos adicionales de control.

    Sin embargo, es igualmente claro que mientras mayor sea el grado, mayorserá el coste computacional.

    Las curvas intermedias en el algoritmo de DeCasteljau son ellas mismascurvas de Bézier, cuyos poĺıgonos de control consisten de algunos de lospuntos consecutivos del poĺıgono inicial.

    Moraleja: en la práctica es importante escoger adecuadamente los puntos,tanto en posición como en número, y en ocasiones puede ser mejorsubdividir las curvas de Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 14 / 26

  • Observaciones

    Observación

    Entre más puntos tenga el poĺıgono de control más posibilidades hay paramanipular las curvas de Bézier.

    La fórmula de elevación del grado permite escribir relaciones entre lascurvas que se obtienen al incluir puntos adicionales de control.

    Sin embargo, es igualmente claro que mientras mayor sea el grado, mayorserá el coste computacional.

    Las curvas intermedias en el algoritmo de DeCasteljau son ellas mismascurvas de Bézier, cuyos poĺıgonos de control consisten de algunos de lospuntos consecutivos del poĺıgono inicial.

    Moraleja: en la práctica es importante escoger adecuadamente los puntos,tanto en posición como en número, y en ocasiones puede ser mejorsubdividir las curvas de Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 14 / 26

  • Observaciones

    Como la curva de Bézier está evidentemente determinada por su poĺıgonode control (y viceversa, si se fija el grado), a veces escribiremos

    α = α[P0, · · · ,Pn].

    Con esta notación se tiene evidentemente la siguiente propiedad desimetŕıa

    α[P0, · · · ,Pn](t) = α[Pn, · · · ,P0](1− t),

    que corresponde a la simetŕıa natural de los polinomios de Bernstein.

    Sin embargo, cualquier otra permutación que se haga de los puntos decontrol, que generaŕıa un nuevo poĺıgono de control, en generalafectará fuertemente el aspecto de la curva de Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 15 / 26

  • Observaciones

    Como la curva de Bézier está evidentemente determinada por su poĺıgonode control (y viceversa, si se fija el grado), a veces escribiremos

    α = α[P0, · · · ,Pn].

    Con esta notación se tiene evidentemente la siguiente propiedad desimetŕıa

    α[P0, · · · ,Pn](t) = α[Pn, · · · ,P0](1− t),

    que corresponde a la simetŕıa natural de los polinomios de Bernstein.

    Sin embargo, cualquier otra permutación que se haga de los puntos decontrol, que generaŕıa un nuevo poĺıgono de control, en generalafectará fuertemente el aspecto de la curva de Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 15 / 26

  • Observaciones

    Como la curva de Bézier está evidentemente determinada por su poĺıgonode control (y viceversa, si se fija el grado), a veces escribiremos

    α = α[P0, · · · ,Pn].

    Con esta notación se tiene evidentemente la siguiente propiedad desimetŕıa

    α[P0, · · · ,Pn](t) = α[Pn, · · · ,P0](1− t),

    que corresponde a la simetŕıa natural de los polinomios de Bernstein.

    Sin embargo, cualquier otra permutación que se haga de los puntos decontrol, que generaŕıa un nuevo poĺıgono de control, en generalafectará fuertemente el aspecto de la curva de Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 15 / 26

  • Observaciones

    Como la curva de Bézier está evidentemente determinada por su poĺıgonode control (y viceversa, si se fija el grado), a veces escribiremos

    α = α[P0, · · · ,Pn].

    Con esta notación se tiene evidentemente la siguiente propiedad desimetŕıa

    α[P0, · · · ,Pn](t) = α[Pn, · · · ,P0](1− t),

    que corresponde a la simetŕıa natural de los polinomios de Bernstein.

    Sin embargo, cualquier otra permutación que se haga de los puntos decontrol, que generaŕıa un nuevo poĺıgono de control, en generalafectará fuertemente el aspecto de la curva de Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 15 / 26

  • La figura ilustra el intercambio de los dos últimos putos del poĺıgono decontrol de la curva del ejemplo anterior:

    Curvas de Bézier con permutación de uno de los puntos del poĺıgono decontrol.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 16 / 26

  • La figura ilustra el intercambio de los dos últimos putos del poĺıgono decontrol de la curva del ejemplo anterior:

    Curvas de Bézier con permutación de uno de los puntos del poĺıgono decontrol.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 16 / 26

  • La figura ilustra el intercambio de los dos últimos putos del poĺıgono decontrol de la curva del ejemplo anterior:

    Curvas de Bézier con permutación de uno de los puntos del poĺıgono decontrol.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 16 / 26

  • En general, lo más que se puede decir es:

    Proposición

    La (imagen de la) curva de Bézier está contenida en la envolvente convexade los puntos de control.

    Prueba.

    Esto es consecuencia directa de que los puntos generados en todo elproceso del algoritmo de DeCasteljau se obtienen como combinacionesconvexas de puntos del poĺıgono de control.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 17 / 26

  • En general, lo más que se puede decir es:

    Proposición

    La (imagen de la) curva de Bézier está contenida en la envolvente convexade los puntos de control.

    Prueba.

    Esto es consecuencia directa de que los puntos generados en todo elproceso del algoritmo de DeCasteljau se obtienen como combinacionesconvexas de puntos del poĺıgono de control.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 17 / 26

  • En general, lo más que se puede decir es:

    Proposición

    La (imagen de la) curva de Bézier está contenida en la envolvente convexade los puntos de control.

    Prueba.

    Esto es consecuencia directa de que los puntos generados en todo elproceso del algoritmo de DeCasteljau se obtienen como combinacionesconvexas de puntos del poĺıgono de control.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 17 / 26

  • En general, lo más que se puede decir es:

    Proposición

    La (imagen de la) curva de Bézier está contenida en la envolvente convexade los puntos de control.

    Prueba.

    Esto es consecuencia directa de que los puntos generados en todo elproceso del algoritmo de DeCasteljau se obtienen como combinacionesconvexas de puntos del poĺıgono de control.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 17 / 26

  • La proposición se ilustra de nuevo con la curva del ejemplo dado antes:

    Envolvente convexa del poĺıgono de control

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 18 / 26

  • La proposición se ilustra de nuevo con la curva del ejemplo dado antes:

    Envolvente convexa del poĺıgono de control

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 18 / 26

  • Ejercicios

    Ejercicio

    Prueba la proposición donde se da la expresión de la curva de Bézier entérminos de los polinomios de Bernstein.(Sugerencia: usa la fórmula de recurrencia para los polinomios deBernstein).

    Ejercicio

    Precisión lineal: Prueba que si P0, · · · ,Pn son puntos equidistribuidos enuna recta (esto es, uniformemente espaciados), entonces la curva de Bézierα[P0, · · · ,Pn](t) es exactamente la interpolación lineal entre P0 y Pn.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 19 / 26

  • Ejercicios

    Ejercicio

    Prueba la proposición donde se da la expresión de la curva de Bézier entérminos de los polinomios de Bernstein.(Sugerencia: usa la fórmula de recurrencia para los polinomios deBernstein).

    Ejercicio

    Precisión lineal: Prueba que si P0, · · · ,Pn son puntos equidistribuidos enuna recta (esto es, uniformemente espaciados), entonces la curva de Bézierα[P0, · · · ,Pn](t) es exactamente la interpolación lineal entre P0 y Pn.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 19 / 26

  • Derivadas

    Proposición

    La derivada de una curva de Bézier de grado n, α[P0, · · · ,Pn], se puedeescribir como curva de Bézier de grado n − 1 como sigue:

    Sea ∆Pi = Pi+1 − Pi , entonces

    α′(t) = nn−1∑i=0

    Bn−1i (t) ∆Pi .

    Una consecuencia útil en la práctica, para hacer ajustes en el trazado de lascurvas con los puntos de control, es que la tangente a la curva de Bézier enlos extremos es paralela a los lados inicial y final del poĺıgono de control:

    α′(0) = n(P1 − P0) ; α′(1) = n(Pn − Pn−1).

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 20 / 26

  • Derivadas

    Proposición

    La derivada de una curva de Bézier de grado n, α[P0, · · · ,Pn], se puedeescribir como curva de Bézier de grado n − 1 como sigue:

    Sea ∆Pi = Pi+1 − Pi , entonces

    α′(t) = nn−1∑i=0

    Bn−1i (t) ∆Pi .

    Una consecuencia útil en la práctica, para hacer ajustes en el trazado de lascurvas con los puntos de control, es que la tangente a la curva de Bézier enlos extremos es paralela a los lados inicial y final del poĺıgono de control:

    α′(0) = n(P1 − P0) ; α′(1) = n(Pn − Pn−1).

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 20 / 26

  • Derivadas

    Proposición

    La derivada de una curva de Bézier de grado n, α[P0, · · · ,Pn], se puedeescribir como curva de Bézier de grado n − 1 como sigue:

    Sea ∆Pi = Pi+1 − Pi , entonces

    α′(t) = nn−1∑i=0

    Bn−1i (t) ∆Pi .

    Una consecuencia útil en la práctica, para hacer ajustes en el trazado de lascurvas con los puntos de control, es que la tangente a la curva de Bézier enlos extremos es paralela a los lados inicial y final del poĺıgono de control:

    α′(0) = n(P1 − P0) ; α′(1) = n(Pn − Pn−1).

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 20 / 26

  • Derivadas

    Proposición

    La derivada de una curva de Bézier de grado n, α[P0, · · · ,Pn], se puedeescribir como curva de Bézier de grado n − 1 como sigue:

    Sea ∆Pi = Pi+1 − Pi , entonces

    α′(t) = nn−1∑i=0

    Bn−1i (t) ∆Pi .

    Una consecuencia útil en la práctica, para hacer ajustes en el trazado de lascurvas con los puntos de control, es que la tangente a la curva de Bézier enlos extremos es paralela a los lados inicial y final del poĺıgono de control:

    α′(0) = n(P1 − P0) ; α′(1) = n(Pn − Pn−1).

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 20 / 26

  • Control pseudo-local

    Las curvas de Bézier tienen la propiedad de control pseudo-local :

    Si α(t) y α̃(t) son curvas cuyos poĺıgonos de control difieren en losi-ésimos puntos,Pi y P̃i , entonces las curvas difieren en B

    ni (t)(Pi − P̃i ).

    La propiedad de máximo único dice que es alrededor de Pi , donde lascurvas muestran su mayor variación:

    De nuevo usando la curva del ejemplo, la figura ilustra que sucede alcambiar P3 de (6, 0) a (6,−2):

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 21 / 26

  • Control pseudo-local

    Las curvas de Bézier tienen la propiedad de control pseudo-local :

    Si α(t) y α̃(t) son curvas cuyos poĺıgonos de control difieren en losi-ésimos puntos,Pi y P̃i , entonces las curvas difieren en B

    ni (t)(Pi − P̃i ).

    La propiedad de máximo único dice que es alrededor de Pi , donde lascurvas muestran su mayor variación:

    De nuevo usando la curva del ejemplo, la figura ilustra que sucede alcambiar P3 de (6, 0) a (6,−2):

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 21 / 26

  • Control pseudo-local

    Las curvas de Bézier tienen la propiedad de control pseudo-local :

    Si α(t) y α̃(t) son curvas cuyos poĺıgonos de control difieren en losi-ésimos puntos,Pi y P̃i , entonces las curvas difieren en B

    ni (t)(Pi − P̃i ).

    La propiedad de máximo único dice que es alrededor de Pi , donde lascurvas muestran su mayor variación:

    De nuevo usando la curva del ejemplo, la figura ilustra que sucede alcambiar P3 de (6, 0) a (6,−2):

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 21 / 26

  • Control pseudo-local

    Las curvas de Bézier tienen la propiedad de control pseudo-local :

    Si α(t) y α̃(t) son curvas cuyos poĺıgonos de control difieren en losi-ésimos puntos,Pi y P̃i , entonces las curvas difieren en B

    ni (t)(Pi − P̃i ).

    La propiedad de máximo único dice que es alrededor de Pi , donde lascurvas muestran su mayor variación:

    De nuevo usando la curva del ejemplo, la figura ilustra que sucede alcambiar P3 de (6, 0) a (6,−2):

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 21 / 26

  • Control pseudo-local de las curvas de Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 22 / 26

  • Control pseudo-local de las curvas de Bézier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 22 / 26

  • Otras propiedades: Invariancia af́ın

    Proposición

    ( Invariancia af́ın) Sea α la curva de Bézier asociada al poĺıgono de controlP0, · · · ,Pn.

    Si φ es una transformación af́ın del plano (es decir, la composición de unatransformación lineal con una traslación), entonces la curva de Bézierasociada al poĺıgono de control φ(P0), · · · , φ(Pn) es precisamente φ(α):

    φ(α[P0, · · · ,Pn](t)) = α[(φ(P0), · · · , φ(Pn)](t).

    Esto es esencial para la graficación: en la práctica significa que podemosllevar nuestro diseño a una región predeterminada del espacio, por ejemplo,¡la pantalla de nuestro ordenador!

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 23 / 26

  • Otras propiedades: Invariancia af́ın

    Proposición

    ( Invariancia af́ın) Sea α la curva de Bézier asociada al poĺıgono de controlP0, · · · ,Pn.

    Si φ es una transformación af́ın del plano (es decir, la composición de unatransformación lineal con una traslación), entonces la curva de Bézierasociada al poĺıgono de control φ(P0), · · · , φ(Pn) es precisamente φ(α):

    φ(α[P0, · · · ,Pn](t)) = α[(φ(P0), · · · , φ(Pn)](t).

    Esto es esencial para la graficación: en la práctica significa que podemosllevar nuestro diseño a una región predeterminada del espacio, por ejemplo,¡la pantalla de nuestro ordenador!

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 23 / 26

  • Otras propiedades: Invariancia af́ın

    Proposición

    ( Invariancia af́ın) Sea α la curva de Bézier asociada al poĺıgono de controlP0, · · · ,Pn.

    Si φ es una transformación af́ın del plano (es decir, la composición de unatransformación lineal con una traslación), entonces la curva de Bézierasociada al poĺıgono de control φ(P0), · · · , φ(Pn) es precisamente φ(α):

    φ(α[P0, · · · ,Pn](t)) = α[(φ(P0), · · · , φ(Pn)](t).

    Esto es esencial para la graficación: en la práctica significa que podemosllevar nuestro diseño a una región predeterminada del espacio, por ejemplo,¡la pantalla de nuestro ordenador!

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 23 / 26

  • Otras propiedades: Invariancia af́ın

    Proposición

    ( Invariancia af́ın) Sea α la curva de Bézier asociada al poĺıgono de controlP0, · · · ,Pn.

    Si φ es una transformación af́ın del plano (es decir, la composición de unatransformación lineal con una traslación), entonces la curva de Bézierasociada al poĺıgono de control φ(P0), · · · , φ(Pn) es precisamente φ(α):

    φ(α[P0, · · · ,Pn](t)) = α[(φ(P0), · · · , φ(Pn)](t).

    Esto es esencial para la graficación: en la práctica significa que podemosllevar nuestro diseño a una región predeterminada del espacio, por ejemplo,¡la pantalla de nuestro ordenador!

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 23 / 26

  • Otras propiedades: Invariancia af́ın

    Proposición

    ( Invariancia af́ın) Sea α la curva de Bézier asociada al poĺıgono de controlP0, · · · ,Pn.

    Si φ es una transformación af́ın del plano (es decir, la composición de unatransformación lineal con una traslación), entonces la curva de Bézierasociada al poĺıgono de control φ(P0), · · · , φ(Pn) es precisamente φ(α):

    φ(α[P0, · · · ,Pn](t)) = α[(φ(P0), · · · , φ(Pn)](t).

    Esto es esencial para la graficación: en la práctica significa que podemosllevar nuestro diseño a una región predeterminada del espacio, por ejemplo,¡la pantalla de nuestro ordenador!

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 23 / 26

  • Un forma generada con curvas de Bézier

    Example

    Se generó primero una curva, utilizando tres curvas de Bézier de grado 5.Los puntos de control fueron definidos con criterios arbitrarios ymeramente estéticos:

    5 10 15

    0.51.01.52.02.53.03.5

    Un perfil generado con tres curvas de Bézier de grado 5.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 24 / 26

  • Un forma generada con curvas de Bézier

    Example

    Se generó primero una curva, utilizando tres curvas de Bézier de grado 5.Los puntos de control fueron definidos con criterios arbitrarios ymeramente estéticos:

    5 10 15

    0.51.01.52.02.53.03.5

    Un perfil generado con tres curvas de Bézier de grado 5.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 24 / 26

  • Un forma generada con curvas de Bézier

    Example

    Se generó primero una curva, utilizando tres curvas de Bézier de grado 5.Los puntos de control fueron definidos con criterios arbitrarios ymeramente estéticos:

    5 10 15

    0.51.01.52.02.53.03.5

    Un perfil generado con tres curvas de Bézier de grado 5.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 24 / 26

  • Comentarios...

    Example

    La elección del grado de las curvas es arbitraria; para reducir el costecomputacional se escogió un grado relativamente pequeño, pero que da yabastante flexibilidad.

    Las uniones de las curvas se aprecian en las cúspides de la curva global,que ocurren en las abscisas 10 y 16.

    Esta parte del proceso evidentemente no es matemática, y depende de losgustos y de las habilidades art́ısticas del usuario; pero usando esta curvapara generar una superficie de revolución se obtiene entonces el siguientediseño para una mano de un mortero:

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 25 / 26

  • Comentarios...

    Example

    La elección del grado de las curvas es arbitraria; para reducir el costecomputacional se escogió un grado relativamente pequeño, pero que da yabastante flexibilidad.

    Las uniones de las curvas se aprecian en las cúspides de la curva global,que ocurren en las abscisas 10 y 16.

    Esta parte del proceso evidentemente no es matemática, y depende de losgustos y de las habilidades art́ısticas del usuario; pero usando esta curvapara generar una superficie de revolución se obtiene entonces el siguientediseño para una mano de un mortero:

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 25 / 26

  • Comentarios...

    Example

    La elección del grado de las curvas es arbitraria; para reducir el costecomputacional se escogió un grado relativamente pequeño, pero que da yabastante flexibilidad.

    Las uniones de las curvas se aprecian en las cúspides de la curva global,que ocurren en las abscisas 10 y 16.

    Esta parte del proceso evidentemente no es matemática, y depende de losgustos y de las habilidades art́ısticas del usuario; pero usando esta curvapara generar una superficie de revolución se obtiene entonces el siguientediseño para una mano de un mortero:

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 25 / 26

  • Comentarios...

    Example

    La elección del grado de las curvas es arbitraria; para reducir el costecomputacional se escogió un grado relativamente pequeño, pero que da yabastante flexibilidad.

    Las uniones de las curvas se aprecian en las cúspides de la curva global,que ocurren en las abscisas 10 y 16.

    Esta parte del proceso evidentemente no es matemática, y depende de losgustos y de las habilidades art́ısticas del usuario; pero usando esta curvapara generar una superficie de revolución se obtiene entonces el siguientediseño para una mano de un mortero:

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 25 / 26

  • Y el resultado final...

    Example

    Mano de mortero, modelada por la superficie de revolución obtenida delperfil anterior.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 26 / 26

  • Y el resultado final...

    Example

    Mano de mortero, modelada por la superficie de revolución obtenida delperfil anterior.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 26 / 26