Clase 7, superficies de revolución Ing. David G.C. Pág. 1

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Si a una curva Γ (Generatriz), la giramos alrededor de un eje (eje de rotación), obtenemos

una superficie, que se llamará superficie de revolución. Como se aprecia en las siguientes

figuras:

La superficie de revolución (vuelta), puede generarse al girar 2π (360º) a la curva, o solo un

determinado intervalo de grados, y el eje de rotación puede ser cualquier recta en 3° .

En el siguiente dibujo se aprecia la rotación de una curva, alrededor del eje Y, y solo se

presenta la rotación de 0 a 32π .

En este curso de Geometría solo veremos aquellas rotaciones alrededor de los ejes

coordenados, sabiendo que la rotación alrededor de una recta es semejante. La curva

(Generatriz), consideraremos que está ubicada en uno de los planos coordenados

únicamente.

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Consideremos una curva expresada en forma vectorial, ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3, ,Q u f u f u f u= , que

es la generatriz, ubicada en uno de los planos coordenados, es decir, uno de los términos

será cero, por lo que, de acuerdo al plano coordenado en el que se encuentre, tendremos lo

siguiente:

:xyΡ ( ) ( ) ( )( )1 2, ,0Q u f u f u=

:xzΡ ( ) ( ) ( )( )1 3,0,Q u f u f u= con u ∈I1

:yzΡ ( ) ( ) ( )( )2 30, ,Q u f u f u=

Por ejemplo, para la curva ubicada en el plano XY, (color verde), podemos proyectarla

sobre los ejes coordenados donde está ubicada, es decir, en el eje X (color rojo), o sobre el

eje Y (color azul), la proyección sobre el eje Z es un punto.

Entonces, la curva (verde) solo puede girar alrededor del eje X o del eje Y, en otras

palabras, cualquier curva ubicada en los planos coordenados solo puede girar alrededor de

los ejes de ese plano coordenado.

Entonces la curva proyectada sobre cada eje, en el dibujo de arriba queda como:

Proyección de la curva ubicada en el plano XY, sobre el eje X:

C u( ) = f1 u( ),0,0( )

Proyección de la curva ubicada en el plano XY, sobre el eje Y:

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C u( ) = 0, f2 u( ),0( )

Y para cada uno de los casos ,con u ∈I1:

:xyΡ ( ) ( ) ( )( )1 2, ,0Q u f u f u=

Proyección de la curva ubicada en el plano XY, sobre el eje X:

( ) ( )( )1 ,0,0C u f u=

Proyección de la curva ubicada en el plano XY, sobre el eje Y:

( ) ( )( )20, ,0C u f u=

:xzΡ ( ) ( ) ( )( )1 3,0,Q u f u f u=

Proyección de la curva ubicada en el plano XZ, sobre el eje X:

( ) ( )( )1 ,0,0C u f u=

Proyección de la curva ubicada en el plano XZ, sobre el eje Z:

( ) ( )( )30,0,C u f u=

:yzΡ ( ) ( ) ( )( )2 30, ,Q u f u f u=

Proyección de la curva ubicada en el plano YZ, sobre el eje Y:

( ) ( )( )20, ,0C u f u=

Proyección de la curva ubicada en el plano YZ, sobre el eje Z:

( ) ( )( )30,0,C u f u=

Y para cada punto P que pertenezca a la superficie, tenemos que:

( )P C P C= + −

el punto P pertenece a la superficie de revolución, si y solo si, las distancias son iguales,

porque al dar la vuelta, la distancia de un punto de la superficie al eje de rotación es la

misma, por lo que:

P C Q C− = −

Nota : P está sobre la superficie de revolución, mientras que Q está sobre la directriz.

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Como la curva gira, y el giro que hace es el de una circunferencia perpendicular al eje de

rotación, entonces las coordenadas de la superficie de revolución están relacionadas por las

funciones trigonométricas seno y coseno, como el vector unitario de dirección. Es decir:

Giro alrededor del eje X f θ( ) =

0,cos θ( ),sen θ( )( )

Giro alrededor del eje Y f θ( ) =

cos θ( ),0,sen θ( )( )

Giro alrededor del eje Z f θ( ) =

cos θ( ),sen θ( ),0( )

Por lo que, la ecuación vectorial de una superficie de revolución queda finalmente como:

( ) ( ) ( )( )1 2 3, ,P C P C f f fθ θ θ= + − pero P C Q C− = −

por lo que:

( ) ( ) ( )( )1 2 3, ,P C Q C f f fθ θ θ= + −

donde C Q∧ dependen de u ∈I1, y [ ]0;2θ π∈ para que de una vuelta completa, si la

curva se encuentra solo de una parte de el eje, porque si cruza el eje de rotación, entonces,

[ ]0;θ π∈ .

Ejemplo:

Obtenga la ecuación vectorial, unas paramétricas y la cartesiana de la superficie de

revolución que se genera al girar la curva ( ) 21, , / 02

Q x y z y x z∧⎧ ⎫= = =⎨ ⎬⎩ ⎭

alrededor del eje Z.

Solución.

La curva se encuentra sobre el plano coordenado XZ. Sabemos que la curva (la traza de la

superficie) es una parábola con eje focal sobre el eje X y vértice en el origen. Proponiendo

unas ecuaciones paramétricas de la curva:

21

20

x z

y

=

=

si z u= , entonces:

2120

x u

yz u

=

==

donde u ∈!

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por lo que:

( ) 21 ,0,2

Q u u u⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y como la curva la vamos a girar sobre el eje Z, entonces la proyección de Q sobre el eje Z

que denotaremos como C , no tiene términos en X y Y, es decir:

( ) ( )0,0,C u u=

y ( )2 2 21 1 1,0, 0,0, ,0,02 2 2

Q C u u u u u⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

además como gira alrededor del eje Z, entonces:

Giro alrededor del eje Z f θ( ) =

cos θ( ),sen θ( ),0( )

Por lo que para formar la superficie de revolución,

( ) ( ) ( )( )1 2 3, ,P C Q C f f fθ θ θ= + −

sustituyendo valores, la ecuación vectorial es:

P = 0,0,u( ) + 1

2u2 cos θ( ),sen θ( ),0( ) con u ∈! y [ ]0;2θ π∈

por lo que unas paramétricas son:

x = 0+ 12

u2 cos θ( )

y = 0+ 12

u2 sen θ( )z = u

con u ∈! y [ ]0;2θ π∈

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y eliminando los parámetros para obtener la ecuación cartesiana:

sustituyendo z(3er ecuación paramétrica), en x(1era ecuación paramétrica) y y(2da

ecuación paramétrica)

x = 0+ 12

z2 cos θ( )y = 0+ 1

2z2 sen θ( )

y despejando las funciones trigonométricas:

2xz2 = cos θ( )2yz2 = sen θ( )

Y por medio de una identidad trigonométrica, sen2 θ( ) + cos2 θ( ) = 1, entonces:

cos2θ + sen2θ = 2x

z2

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

2

+ 2yz2

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

2

= 1

Por lo que la ecuación cartesiana es:

2 2

4 44 4 1x yz z

+ =

reordenando términos:

2 2 44 4x y z+ = que es la ecuación cartesiana de la superficie de revolución.

Un dibujo de esta superficie es: