GEOMETRIA DIFERENCIAL DE CURVASY SUPERFICIES EN EL ESPACIO

EUCLIDEO.

Javier Lafuente Lpez

Revision Enero de 2010

NDICE 1

ndice

1. TEORIA DE CURVAS 51.1. CURVAS PLANAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Vector velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3. Recta tangente y recta normal . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4. Reparametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5. Trayectorias y trayectorias orientadas. . . . . . . . . . 61.1.6. Sobre la geometra de las curvas . . . . . . . . . . . . . 61.1.7. Curvas conguentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.8. La Geometra intrseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.9. Curvas en implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.10. Longitud de una Curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.11. Parametrizacin por el arco . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.12. Diedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.13. Determinacin diferenciable del ngulo. . . . . . . . . . 101.1.14. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.15. Frmulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.16. Carcter intrnseco de la curvatura . . . . . . . . . . . 111.1.17. Teorema Fundamental (versin plana) . . . . . . . . . 121.1.18. Clculos con parmetro arbitrario . . . . . . . . . . . . 13

1.2. CURVAS EN EL ESPACIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1. Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2. Frmulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3. Clculo de la curvatura y la torsin . . . . . . . . . . . 161.2.4. Curvas congruentes. Carcter intrnseco . . . . . . . . . 161.2.5. Clculos con parmetro arbitrario . . . . . . . . . . . . 171.2.6. Los planos y rectas del triedro de Frenet . . . . . . . . 191.2.7. Teorema Fundamental (versin tridimensional) . . . . . 191.2.8. Apndice: Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 21

2. SUPERFICIES: CONCEPTOS BSICOS 222.1. Preliminar: Funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Aproximacin al concepto de superficie. . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1. Grfica de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2. Ceros de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.3. Teorema (simplificado) de la funcin implcita . . . . . 232.2.4. Superficies parametrizadas. . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3. SUPERFICIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.2. Concepto de superficie (regular) . . . . . . . . . . . . . 262.3.3. Anlisis local de una parametrizacin. . . . . . . . . . 26

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2.3.4. Definiciones equivalentes de superficie. . . . . . . . . . 282.3.5. Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.6. Compatibilidad de cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4. ESPACIOS TANGENTES A SUPERFICIES . . . . . . . . . . 292.4.1. Cono tangente a un subconjunto en un punto . . . . . 292.4.2. Plano vectorial tangente a una superficie en un punto . 302.4.3. Cambio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5. La diferencial de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.1. Recuerdos de lgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.2. Recuerdos de anlisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.3. Plano tangente en implcitas . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.4. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.5. Difeomorfismos entre superficies . . . . . . . . . . . . . 342.5.6. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. LAS FORMAS FUNDAMENTALES 363.1. FORMAS BILINEALES EN SUPERFICIES . . . . . . . . . . 36

3.1.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2. PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.2. Expresin analtica local . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.3. Longitudes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.4. Isometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.5. Integrales de funciones en recintos coordenados . . . . 39

3.3. SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL . . . . . . . . . . . . . 403.3.1. Campos normales a una superficie. . . . . . . . . . . . 403.3.2. Aplicacin de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.3. Operador de Weingarten . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.4. Curvatura normal de curvas en superficies orientadas . 413.3.5. Teorema de Meusnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.6. Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . 433.3.7. Una interpretacin geomtrica de la Segunda Forma

Fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.8. Expresin analtica local . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.9. Congruencias y Formas Fundamentales . . . . . . . . . 46

3.4. CURVATURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.1. Aplicaciones autoadjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.2. Expresin analtica local del Operador de Weingarten . 473.4.3. Curvaturas de superficies orientadas . . . . . . . . . . . 483.4.4. Clasificacin de los puntos de una superficie . . . . . . 483.4.5. Direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4.6. Curvaturas principales e Indicatriz de Dupin. . . . . . 493.4.7. Direcciones asintticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

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3.4.8. Lneas de curvatura y lneas asintticas . . . . . . . . . 503.4.9. Ecuacin normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.10. Smbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.11. Curvatura geodsica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.12. Geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. GEOMETRA INTRINSECA LOCAL 554.1. CARCTER INTRNSECO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1. Carcter intrnseco y longitudes de curvas. . . . . . . . 554.1.2. Isometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.3. Carcter intrnseco e isometras . . . . . . . . . . . . . 564.1.4. Los smbolos de Christoffel en funcin de la primera FF. 574.1.5. Carcter intrnseco de las geodsicas. . . . . . . . . . . 584.1.6. Carcter intrnseco de la curvatura de Gauss . . . . . . 59

4.2. DERIVACION INTRNSECA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.1. Campos a lo largo de una curva . . . . . . . . . . . . . 614.2.2. Las proyecciones tangente y normal . . . . . . . . . . . 624.2.3. Derivada intrnseca de un campo tangente a lo largo

de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.4. Carcter intrnseco de la derivacin intrseca . . . . . 63

4.3. TRANSPORTE PARALELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.1. Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.2. Revisin de la curvatura geodsica: . . . . . . . . . . . 664.3.3. Transporte paralelo y geodsicas . . . . . . . . . . . . . 664.3.4. Transporte paralelo y curvatura de Gauss . . . . . . . 67

5. GEOMETRIA GLOBAL 705.1. LA ESTRUCTURA METRICA GLOBAL . . . . . . . . . . . 70

5.1.1. Conexin por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.1.2. Distancia intrnseca en superficies . . . . . . . . . . . . 70

5.2. SUPERFICIES DIFEOMORFAS ISOMTRICAS O CON-GRUENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2.1. Difeomorfismos y homeomorfismos . . . . . . . . . . . 725.2.2. Isometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.3. Superficies localmente homogneas . . . . . . . . . . . 735.2.4. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2.5. Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3. CURVATURA Y TOPOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3.1. Tringulos en una superficie . . . . . . . . . . . . . . . 755.3.2. Triangulaciones e integrales . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.3. Teorema de Gauss para tringulos geodsicos pequeos 765.3.4. Teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3.5. Superficies topolgicas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . 79

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5.3.6. Ovaloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3.7. Superficies de curvatura no positiva . . . . . . . . . . . 81

1 TEORIA DE CURVAS 5

1. TEORIA DE CURVAS

Advertencia inicial:En todo lo que sigue los vectores de Rn sern considerados fila o columna

(sin aviso explcito), segn se desprenda del contexto.

1.1. CURVAS PLANAS

Fijados en el plano un sistema de coordenadas cartesianas, podemos iden-tificar cada punto p con sus coordenadas (x, y) R2, y escribimos p = (x, y).Supongamos que nuestro punto p se mueve por el plano, y en cada ins-

tante t ocupa una posicin (t) = (x(t), y(t)), donde t vara en un ciertointervalo I R . Si nuestro punto no tiene propiedades fantasmales des-cribir sobre el plano una traza continua, es decir, las funciones x(t), y(t),definidas para t I, sern funciones continuas, y se denomina a : I R2curva (parametrizada).A veces se expresa esta situacin escribiendo

(t) :

x = x(t)y = y(t)

son las ecuaciones de (en las coordenadas cartesianas (x, y))Definicin: Supngase I un intervalo abierto de R . Una curva : I 3

t (x(t), y(t)) R2 se dice diferenciable, si las funciones x(t), y(t), admitenderivadas de cualquier, rden en todos los puntos t I. Si el intervalo I noes abierto, se dir que : I R2 es curva diferenciable, si existe unaaplicacin diferenciable : I R2 donde I I, es un intervalo abierto deR, y (t) = (t), t I

1.1.1. Vector velocidad

Si : I R2 es una curva diferenciable, y t0 I, se llama vectorvelocidad de en t0 a:

d

dt

t0

= 0(t0) = (x0(t0), y

0(t0)) = lmt0

(t0 +t) (t0)t