GEOMETRIA DIFERENCIAL DE CURVASY SUPERFICIES EN EL ESPACIO

EUCLIDEO.

Javier Lafuente Lpez

Revision Enero de 2010

NDICE 1

ndice

1. TEORIA DE CURVAS 51.1. CURVAS PLANAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Vector velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3. Recta tangente y recta normal . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4. Reparametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5. Trayectorias y trayectorias orientadas. . . . . . . . . . 61.1.6. Sobre la geometra de las curvas . . . . . . . . . . . . . 61.1.7. Curvas conguentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.8. La Geometra intrseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.9. Curvas en implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.10. Longitud de una Curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.11. Parametrizacin por el arco . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.12. Diedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.13. Determinacin diferenciable del ngulo. . . . . . . . . . 101.1.14. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.15. Frmulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.16. Carcter intrnseco de la curvatura . . . . . . . . . . . 111.1.17. Teorema Fundamental (versin plana) . . . . . . . . . 121.1.18. Clculos con parmetro arbitrario . . . . . . . . . . . . 13

1.2. CURVAS EN EL ESPACIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1. Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2. Frmulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3. Clculo de la curvatura y la torsin . . . . . . . . . . . 161.2.4. Curvas congruentes. Carcter intrnseco . . . . . . . . . 161.2.5. Clculos con parmetro arbitrario . . . . . . . . . . . . 171.2.6. Los planos y rectas del triedro de Frenet . . . . . . . . 191.2.7. Teorema Fundamental (versin tridimensional) . . . . . 191.2.8. Apndice: Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 21

2. SUPERFICIES: CONCEPTOS BSICOS 222.1. Preliminar: Funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Aproximacin al concepto de superficie. . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1. Grfica de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2. Ceros de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.3. Teorema (simplificado) de la funcin implcita . . . . . 232.2.4. Superficies parametrizadas. . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3. SUPERFICIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.2. Concepto de superficie (regular) . . . . . . . . . . . . . 262.3.3. Anlisis local de una parametrizacin. . . . . . . . . . 26

NDICE 2

2.3.4. Definiciones equivalentes de superficie. . . . . . . . . . 282.3.5. Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.6. Compatibilidad de cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4. ESPACIOS TANGENTES A SUPERFICIES . . . . . . . . . . 292.4.1. Cono tangente a un subconjunto en un punto . . . . . 292.4.2. Plano vectorial tangente a una superficie en un punto . 302.4.3. Cambio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5. La diferencial de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.1. Recuerdos de lgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.2. Recuerdos de anlisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.3. Plano tangente en implcitas . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.4. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.5. Difeomorfismos entre superficies . . . . . . . . . . . . . 342.5.6. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. LAS FORMAS FUNDAMENTALES 363.1. FORMAS BILINEALES EN SUPERFICIES . . . . . . . . . . 36

3.1.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2. PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.2. Expresin analtica local . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.3. Longitudes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.4. Isometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.5. Integrales de funciones en recintos coordenados . . . . 39

3.3. SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL . . . . . . . . . . . . . 403.3.1. Campos normales a una superficie. . . . . . . . . . . . 403.3.2. Aplicacin de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.3. Operador de Weingarten . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.4. Curvatura normal de curvas en superficies orientadas . 413.3.5. Teorema de Meusnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.6. Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . 433.3.7. Una interpretacin geomtrica de la Segunda Forma

Fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.8. Expresin analtica local . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.9. Congruencias y Formas Fundamentales . . . . . . . . . 46

3.4. CURVATURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.1. Aplicaciones autoadjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.2. Expresin analtica local del Operador de Weingarten . 473.4.3. Curvaturas de superficies orientadas . . . . . . . . . . . 483.4.4. Clasificacin de los puntos de una superficie . . . . . . 483.4.5. Direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4.6. Curvaturas principales e Indicatriz de Dupin. . . . . . 493.4.7. Direcciones asintticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

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3.4.8. Lneas de curvatura y lneas asintticas . . . . . . . . . 503.4.9. Ecuacin normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.10. Smbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.11. Curvatura geodsica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.12. Geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. GEOMETRA INTRINSECA LOCAL 554.1. CARCTER INTRNSECO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1. Carcter intrnseco y longitudes de curvas. . . . . . . . 554.1.2. Isometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.3. Carcter intrnseco e isometras . . . . . . . . . . . . . 564.1.4. Los smbolos de Christoffel en funcin de la primera FF. 574.1.5. Carcter intrnseco de las geodsicas. . . . . . . . . . . 584.1.6. Carcter intrnseco de la curvatura de Gauss . . . . . . 59

4.2. DERIVACION INTRNSECA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.1. Campos a lo largo de una curva . . . . . . . . . . . . . 614.2.2. Las proyecciones tangente y normal . . . . . . . . . . . 624.2.3. Derivada intrnseca de un campo tangente a lo largo

de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.4. Carcter intrnseco de la derivacin intrseca . . . . . 63

4.3. TRANSPORTE PARALELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.1. Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.2. Revisin de la curvatura geodsica: . . . . . . . . . . . 664.3.3. Transporte paralelo y geodsicas . . . . . . . . . . . . . 664.3.4. Transporte paralelo y curvatura de Gauss . . . . . . . 67

5. GEOMETRIA GLOBAL 705.1. LA ESTRUCTURA METRICA GLOBAL . . . . . . . . . . . 70

5.1.1. Conexin por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.1.2. Distancia intrnseca en superficies . . . . . . . . . . . . 70

5.2. SUPERFICIES DIFEOMORFAS ISOMTRICAS O CON-GRUENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2.1. Difeomorfismos y homeomorfismos . . . . . . . . . . . 725.2.2. Isometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.3. Superficies localmente homogneas . . . . . . . . . . . 735.2.4. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2.5. Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3. CURVATURA Y TOPOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3.1. Tringulos en una superficie . . . . . . . . . . . . . . . 755.3.2. Triangulaciones e integrales . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.3. Teorema de Gauss para tringulos geodsicos pequeos 765.3.4. Teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3.5. Superficies topolgicas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . 79

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5.3.6. Ovaloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3.7. Superficies de curvatura no positiva . . . . . . . . . . . 81

1 TEORIA DE CURVAS 5

1. TEORIA DE CURVAS

Advertencia inicial:En todo lo que sigue los vectores de Rn sern considerados fila o columna

(sin aviso explcito), segn se desprenda del contexto.

1.1. CURVAS PLANAS

Fijados en el plano un sistema de coordenadas cartesianas, podemos iden-tificar cada punto p con sus coordenadas (x, y) R2, y escribimos p = (x, y).Supongamos que nuestro punto p se mueve por el plano, y en cada ins-

tante t ocupa una posicin (t) = (x(t), y(t)), donde t vara en un ciertointervalo I R . Si nuestro punto no tiene propiedades fantasmales des-cribir sobre el plano una traza continua, es decir, las funciones x(t), y(t),definidas para t I, sern funciones continuas, y se denomina a : I R2curva (parametrizada).A veces se expresa esta situacin escribiendo

(t) :

x = x(t)y = y(t)

son las ecuaciones de (en las coordenadas cartesianas (x, y))Definicin: Supngase I un intervalo abierto de R . Una curva : I 3

t (x(t), y(t)) R2 se dice diferenciable, si las funciones x(t), y(t), admitenderivadas de cualquier, rden en todos los puntos t I. Si el intervalo I noes abierto, se dir que : I R2 es curva diferenciable, si existe unaaplicacin diferenciable : I R2 donde I I, es un intervalo abierto deR, y (t) = (t), t I

1.1.1. Vector velocidad

Si : I R2 es una curva diferenciable, y t0 I, se llama vectorvelocidad de en t0 a:

d

dt

t0

= 0(t0) = (x0(t0), y

0(t0)) = lmt0

(t0 +t) (t0)t

y representa de hecho, la velocidad instantnea de la partcula movil (t) ent = t0.Denotamos 0(t0) = (y0(t0), x0(t0)), que es 0(t0) girado +/2 radia-

nes.

1.1.2. Curvas regulares

Un punto (t0) de una curva diferenciable : I R2 se llama regular,si 0(t0) 6= 0. La curva se llama regular si todos sus puntos son regulares

1 TEORIA DE CURVAS 6

1.1.3. Recta tangente y recta normal

Por un punto regular (t0) de una curva diferenciable , pueden trazarsedos rectas destacadas:

La recta tangente a en t0, que es la recta que pasa por (t0), y tienela direccin de 0(t0). Sus ecuaciones son:

x x(t0)x0(t0)

=y y(t0)y0(t0)

La recta normal a en t0, que es la recta que pasa por (t0), y tienela direccin de 0(t0). Sus ecuaciones son:

x x(t0)y0(t0)

=y y(t0)x0(t0)

1.1.4. Reparametrizaciones

Cuando : I R2 es una curva, y t : J 3 s t = t(s) I es undifeomorfismo entre intervalos, entonces = t es tambin una curva y severifica por la regla de la cadena:

d

ds

s

=d

dt

t(s)

dt

ds

t(s)

s J

en particular, si es regular, tambin lo es.

1.1.5. Trayectorias y trayectorias orientadas.

La aplicacin t, se denomina funcin de cambio de parmetro, que per-mite pasar de a . Se dice entonces que las curvas a definen la mismatrayectoria. Si t preserva la orientacin entonces se dice que ambas curvasdefinen la misma trayectoria orientada. Ambas relaciones, son de equivalen-cia sobre la familia de curvas regulares, y definen por paso al cociente, losconceptos de trayectoria, y de trayectoria orientada.

1.1.6. Sobre la geometra de las curvas

Intuitivamente, en el caso de curvas regulares, una trayectoria viene defi-nida por la imagen de una curva regular, y una trayectoria orientada es unatrayectoria dotada de un sentido de recorrido. Conviene distinguir de entrelas entidades matemticas propiedades asociadas a una curva, aquellas quedependen solo de la trayectoria (que denominamos geomtricas), de las quedependen de la parametrizacin concreta. As por ejemplo el vector velocidad0(t) en un punto, no es geomtrico, y sin embargo si lo es el vector unitariotangente 0(t)/ |0(t)| , o la recta afn tangente a la curva en un punto (t).

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1.1.7. Curvas conguentes

Dos curvas (t) = (x(t), y(t)) y (t) = ((t), y(t)), , : I R2, se dicencongruentes, si existe una congruencia (o movimiento directo)

A : R2 3

xy

xy

= A

xy

+

ab

R2

donde A =cos sinsin cos

es una matriz de giro. Las ecuaciones de

A(t) = (t) son x = a+ (cos)x (t) + ( sin) y (t)y = a+ (sin) x (t) + (cos) y (t)

Tambin podemos interpretar que las ecuaciones anteriores son las de lamisma curva en las coordenadas cartesianas (x, y) respecto al sistema de

referencia con origen en (a, b) y base A = (a1, a2) =cos sinsin cos

.

Recuerdese que las matrices de giro vienen caracterizadas por las condi-ciones AAt = I, detA = 1.

1.1.8. La Geometra intrseca

La geometra intrnseca de una curva estudia los conceptos, propiedades,etc de las curvas, que no dependen de la parametrizacin concreta elegida, nidel sistema de coordenadas cartesiano empleado para escribir sus ecuaciones.Es por esto una buena idea, elegir para esto, un sistema de coordenadascartesianas, respecto al cual las ecuaciones de la curva sean lo ms simplesposibles.

1.1.9. Curvas en implcitas

Las trayectorias de las curvas tambin podran describirse de forma im-plcita.Sea D un abierto de R2 y F : D R una funcin. El conjunto de ceros

de F es el conjunto

C = {(x, y) D : F (x, y) = 0}se dice entonces que el conjunto C es ( viene definido impcitamente por laecuacin) F (x, y) = 0.An cuando F se suponga diferenciable, el conjunto de ceros de F no

tiene porqu ser una linea. De hecho cualquier subconjunto (cerrado) de R2,puede obtenerse como conjunto de ceros de una funcin F diferenciable.No obstante, ciertas hiptesis adicionales sobre la funcin F , nos permi-

ten garantizar (al menos localmente) la existencia de curvas parametrizadas,cuyas trayectorias describen el conjunto de los ceros de F.

1 TEORIA DE CURVAS 8

Teorema (breve) de la funcin implcita Sea D un abierto de R2 y F :D R una funcin diferenciable, y C el conjunto de ceros de F. Sea (x0, y0) C , y supngase que alguna de las derivadas parciales (F/x)(x0,y0) , (F/y)(x0,y0)es distinta de cero, por ejemplo (F/y)(x0,y0) 6= 0 Existe un entorno U de(x0, y0), y una aplicacin diferenciable g : (a, b) R donde (a, b) es intervaloabierto de R (x0 (a, b)) de manera que

{(t, g(t)) : t (a, b)} = {(x, y) U :F (x, y) = 0}

de esta forma la trayectoria de la curva regular : (a, b) 3 t (t, g(t)) R2coincide con C UNaturalmente hay un resultado anlogo cuando (F/y)(x0,y0) 6= 0

Puntos singulares y regulares. Cuando F : D R es una funcin dife-renciable, un punto (x0, y0) C = F1(0) se dice singular si

F

x

(x0,y0)

=

F

y

(x0,y0)

= 0

Si no es singular, se denomina punto regular. Cuando todos los puntos de Cson regulares, cada componente conexa, puede expresarse como la trayectoriade una curva regular. Una situacin muy frecuente, es que el conjunto depuntos singulares de C, sea un conjunto de puntos aislados. En este caso,cada componente conexa de C puede espresarse como una trayectoria de unacurva regular a pedazos.

Direccin normal y la tangente en un punto regular Si F : D Res una funcin diferenciable, (x0, y0) C = F1(0) es un punto regular,entonces el vector

(gradF )(x0, y0) =

F

x

(x0,y0)

,

F

y

(x0,y0)

!

es distinto de (0, 0), y su direccin es normal a la curva en el punto (x0, y0).Demostracin: Si : (a, b) 3 t (x(t), y(t)) R2es una curva regular

con F ((t)) = 0 t, y F ((t0)) = (x0, y0) entonces usando la regla de lacadena:

dF dt

t0

=

F

x

(x0,y0)

dx

dt

t0

+

F

y

(x0,y0)

dy

dt

t0

o de forma equivalente, si v.w denota el producto escalar ordinario de v, w R2 se tiene:

(gradF )((t0)).0(t0) = 0

y as (gradF )((t0)) es ortogonal al vector velocidad 0(t0).

1 TEORIA DE CURVAS 9

1.1.10. Longitud de una Curva.

Sea : I = [a, b] R2 una curva regular. Se llama longitud de a

L() =

Z ba

| 0(t) | dt =Z ba

sdx

dt

2+

dy

dt

2dt (1)

Justificacin del concepto de longitud. La longitud de una curva se debe definir inicialmente de la siguiente forma:Consideremos la familia de todas la particiones a = t0 < . . . < tr = b delintervalo [a, b], entonces

L() = lmt0

rXi=0

(ti)(ti +ti)

donde se entiende que ti = ti+1 ti, y t = max{ti : i = 1, . . . r}.Supongamos para simplificar que la curva es la grfica de una funcin

, y = f(x) , f : [a, b] R, es decir,

(t) = (x(t), y(t)) = (t, f(t))

llamando , xk = tk+1 tk, yk = f(tk+1) f(tk), por el teorema del valormedio podemos tomar k (tk, tk+1) con yk/xk = f 0(k), y se tiene:

L() = lmt0

rXi=0

q(xk)

2 + (yk)2

= lmt0

rXi=0

s1 +

ykxk

2xk

= lmt0

rXi=0

p1 + f 0(k)

2xk

=

Z ba

1 + f 0(t)2

dt

Si t : J I es un cambio de parmetro, entonces usando la frmula (1)se tiene, tomando c = t(a), d = t(b):

L() =

Z ba

|0(t)| dt

=

Z dc

|0(t(s))| dt(s)

=

Z dc

|0(t(s))| dtds

ds

=

Z dc

|0(t(s))| dtds

ds = L( t)

1 TEORIA DE CURVAS 10

La longitud es pues un concepto que pertenece a la geometra de la curva.Probemos que pertenece a la geometra intrnseca:En efecto si A(t) = (t), donde A : R2 R2 es el movimiento dado

en el pargrafo 1.1.7 entonces como el giro A : R2 R2

xy

A

xy

preserva el producto escalar, se concluye que |(t)| = |A(t)| = |(t)| y

L() =

Z ba

| 0(t) | dt =Z ba

| 0(t) | dt = L()

1.1.11. Parametrizacin por el arco

Una curva regular : J R2que verifica la condicin |0(s)| = 1, se diceque est parametrizada respecto a la longitud de arco (en lo sucesivo PPA)ya que verifica la identidad

L( | [a, b]) = b a a, b J, a < b

Si : I R2es una curva regular, y t0 I , la aplicacin

s : I 3 t s = s(t) =Z tt0

|0(t)| dt s (I) = J

es un cambio de parmetro con s0(t) =| 0(t) |. Si t = s1 : J I, la curvareparametrizada = t est parametrizada por la longitud de arco.

1.1.12. Diedro de Frenet

Si : I R2 un curva regular se denomina al vector tangente unitario a

T (t) =0(t)

|0(t)| =1p

x0(t)2 + y0(t)2(x0(t), y0(t))

el vector normal unitario es:

N(t) = 0(t)|0(t)| =

1px0(t)2 + y0(t)2

(y0(t), x0(t))

Ntese que si la curva est PPA entonces T = 0, y N = 0(t).

1.1.13. Determinacin diferenciable del ngulo.

Sea : I R2 un curva .Una determinacin diferenciable del ngulo(DDA) es una aplicacin diferenciable : I R tal que

T (t) = (cos (t), sin (t)) t I

1 TEORIA DE CURVAS 11

Se puede probar que siempre existe una DDA, (que queda unvocamentedeterminada salvo mltiplos enteros de 2), en tres pasos. Supongamos I =[a, b]1) Para todo t0 I, existe un > 0 y : (t0 , t0 + ) I R que es

DDA.2) Existe una particin a = t0 < t1 < < tr = b y funciones i :

[ti1, ti] R que son DDA.3) Pongamos 1 : [t0, t1] R, 2 : [t1, t2] R entonces 2(t1) 1(t1) =

2n para n Z, y se construye 2 : [t0, t2] R, DDA de la forma:

2(t) =

1(t) si t [t0, t1]2(t) 2n si t [t1, t2]

Tenemos as definida paso a paso r : [a, b] R que es DDA.Observese que si es una DDA entonces tambin se tiene:

N(t) = ( sin (t), cos (t)) t I

1.1.14. Curvatura

Si : I R2 es curva regular, se define la curvatura de en un punto(t0) como:

(t0) = lmt0

(t0 +t) (t0)L (| [t0, t0 +t])

(2)

donde es una DDA. Parece claro que la definicin dada de curvatura esintrnseca. De hecho, si es curva PPA, entonces se tiene:

(s0) = lms0

(s0 +s) (s0)s

= 0 (s0)

1.1.15. Frmulas de Frenet

Si : I R2 es curva PPA, fijada : I R una DDA, entonces el diedrode Frenet de es T (s) = (cos (s), sin (s)), N(s) = ( sin (s), cos (s)) y severifica T 0(s) = 0 (s) ( sin (s), cos (s)), yN 0(s) = 0 (s) ( cos (s), sin (s))se tienen as las frmulas:

T 0 = NN 0 = T

(3)

que se denominan frmulas de Frenet.

1.1.16. Carcter intrnseco de la curvatura

Observese que si : I R2 es curva PPA tenemos por (3)

(0, 00) = (T,N)

1 00

1 TEORIA DE CURVAS 12

= det (0, 00) = |00|Esta frmula permite probar que la curvatura es intrnseca ya que si A(t) =(t) para un movimiento A entonces

A (0(t), 00(t)) = (0(t), 00(t))

y como detA = 1, se concluye = det (0, 00) = detAdet (0, 00) = 1..El estudio de la geometra intrnseca de una curva, no depende del sistema

cartesiano utilizado. En particular si tomamos una referencia cartesiana conorigen el punto (0) (0, 0) y con base ortonormal la dada por (T (0), N(0)),la curva tiene unas coordenadas (s) = (x (s) , y (s)) cuyo desarrollo en seriede Taylor en s = 0 resulta determinado, en este caso, por los valores de lacurvatura y sus sucesivas derivadas en el 0. En efecto, teniendo en cuentaque T (s) = (x0 (s) , y0 (s)) y N(s) = (y0 (s) , x0 (s)) a partir de las frmulas(3), podemos expresar las derivadas de cualquier orden de T en funcin dela base (T,N) , con unos coeficientes que resultan ser combinaciones de lassucesivas derivadas de la curvatura. El proceso comienza as:

T 0 = N ,

T 00 =d

ds(N) = 0N + N 0 = 2T + 0N ,

T 000 = (2 0)T + (3 + 0)N , etc. ;y finalmente obtenemos desarrollando por Taylor:

x (s) = s 1

3!2 (0) s3 +

1

4!(2 (0) (0)0 (0)) s4 + . . .

y (s) =1

2 (0) s2 +

1

3!0 (0) s3 +

1

4!(3 (0) + 0 (0)) s4 + . . .

Se desprenden de aqu muchas propiedades geomtricas interesantes. Por

ejemplo, se ve que (0) = lms02y (s)

s2, lo cual se puede reformular en

trminos intrnsecos de la siquiente forma: denotando por d (s) la distanciaentre el punto (s) y la recta afn que pasa por (0) y tiene por direccinT (0) , la curvatura en 0 est dada por el lmite

| (0)| = lms0

2d (s)

L( |[0,s])2.

1.1.17. Teorema Fundamental (versin plana)

Si : I R2 es curva PPA, y A : R2 3 (x, y) (x, y) R2 esun movimiento entonces = A es una curva PPA, y las funciones decurvatura , coinciden si A preserva la orientacin.

1 TEORIA DE CURVAS 13

Por otra parte, dada una aplicacin diferenciable : J = [0, L] 3 s (s) R. Existe entonces una curva : J 3 s (s) R2 parametrizadapor el arco, que admite a por funcin de curvatura. Adems la curva estdeterminada salvo movimientos.Demostracin: Si = A , ya hemos probado en el pargrafo 1.1.16

que = .Supongamos ahora dada : J = [0, L] 3 s (s) R y que : J 3

s (s) R2 es una solucin a nuestro problema. Sea = (s) una DDA.As (s) = 0(s) y por tanto se tiene:

(s) = 0 +

Z s0

()d (4)

como T (s) = (cos (s), sin (s)) se concluye que nuestra curva (s) = (x(s), y(s))tendr que satisfacer x0(s) = cos (s), y0(s) = sin (s) con lo que:

x(s) = x0 +

Z s0

cos ()d, y(s) = y0 +Z s0

sin ()d (5)

las igualdades (4) y (5) permiten construir una nica solucin cada vezque elijamos condiciones iniciales

(0) = (x0, y0), 0(0) = (cos 0, sin 0)

Finalmente si , : [0, L] R2 son dos curvas birregulares con =, entonces el movimiento A que lleva (0) a (0) y (T(0), N(0)) a(T(0), N(0)) transforma en una curva = A que con las mismas con-diciones iniciales que y tiene la misma curvatura. As = .

1.1.18. Clculos con parmetro arbitrario

Sea : I R2 una curva regular, : I R una DDA, y s = s(t) =R ta|0(t)| dt. Por la frmula (2) de la curvatura se tiene:

(t) = lmt0

(t+t) (t)s(t+t) s(t) =

= lmt0

(t+t) (t)t

s(t+t) s(t)t

=0(t)

s0(t)=

=0(t)

|0(t)|como T (t) = (cos (t), sin (t)) , N(t) = ( sin (t), cos (t)), es T 0(t) =0(t)N(t), y N 0(t) = 0(t)T (t), se tiene:

T 0 = |0|NN 0 = |0|T

1 TEORIA DE CURVAS 14

que son las frmulas generales de Frenet. Se tiene:0 = |0|T00 = |0|0 T + |0|2 N ;

en particular det(0, 00) = |0|3 , por lo que se tiene la frmula:

=det(0, 00)

|0|3(6)

1.2. CURVAS EN EL ESPACIO

Una curva en el espacio viene definida por una aplicacin : I R3 (t) = (x(t), y(t), z(t)), donde x(t), y(t) , z(t) son funciones diferencia-bles. Su velocidad es 0(t) = (x0(t), y0(t), z0(t)), y su aceleracin 00(t) =(x00(t), y00(t), z00(t)). Se dice que es regular si 0(t) 6= 0 para todo t I. Sedice que es birregular, si {0(t), 00(t)} son linealmente independientes paratodo t I.Los conceptos de curva regular o birregular son intrnsecos, en el sentido

de que son independientes de la parametrizacin tomada. Es decir: si t : J 3s t = t(s) I es un difeomorfismo entre intervalos, entonces = t estambin una curva y se verifica:

d

ds(s) =

d

dt(t(s))

dt

ds(s) s J

as, si es regular, tambin lo es. Por otra parte como:

d2

ds=

d2

dt2dt

ds+

d

dt

d2t

ds2

se concluye que

(0, 00) = (0, 00)

t0 t00

0 t0

(7)

y es birregular si lo es.Igual que en las curvas planas se define la longitud de una curva : I =

[a, b] R3como

L() =

Z ba

|0(t)| dt =Z ba

sdx

dt

2+

dy

dt

2+

dz

dt

2dt

Si : I R3es una curva regular, y t0 I , la aplicacin

s : I 3 t s = s(t) =Z tt0

|0(t)| dt s (I) = J

es un cambio de parmetro con s0(t) = |0(t)|. Si t = s1 : J I, la curvareparametrizada = t est parametrizada por la longitud de arco (esdecir |0(s)| = 1 s)

1 TEORIA DE CURVAS 15

1.2.1. Triedro de Frenet

Supongamos que : I R3es una curva parametrizada por la longitudde arco (PPA). Llamamos vector tangente unitario a a T (s) = 0(s). Si es birregular entonces Span (0(s), 00(s)) tiene dimensin 2, y se denominaplano osculador de la curva en s. Como h0, 0i = 1, se tiene

0 =d

dsh0, 0i = 2 h0, 00i

y es birregular si y solo si 00(s) 6= 0 s. Se denomina vector normal unitariode en s a curvatura de en s a

N(s) =1

(s)00(s) con (s) = |00(s)|

y a = (s) se la denomina funcin de curvatura. Finalmente se define elvector binormal de en s:

B(s) = T (s)N(s) (8)

Se denomina a (T,N,B) triedro (mvil) de Frenet para la curva .

1.2.2. Frmulas de Frenet

Supongamos que : I R3es una curva PPA, y sea (T,N,B) su triedrode Frenet. Como (T (s), N(s), B(s)) constituyen una base ortonormal, paracada funcin vectorial X = X(s) s I se tiene la identidad:

X = hX,T iT + hX,NiN + hX,BiB

En particular T 0 = hT 0, T iT + hT 0, NiN + hT 0, BiB pero como hT, T i =1, es 0 = hT, T i0 = 2 hT 0, T i y T 0 = 00 es proporcional a N por lo quehT 0, Bi = 0. Finalmente hT 0, Ni = h00, Ni = , por lo que queda:

T 0 = N (9)

Nos proponemos calcular ahoraN 0 en funcin de (T,N,B). TenemosN 0 =hN 0, T iT+hN 0, NiN+hN 0, BiB. Como antes, hN 0, Ni = 0, y al ser hT,Ni =0, se concluye hN 0, T i = hT 0, Ni = , y llamando a = hN 0, Bi torsinde , queda:

N 0 = T + B (10)Finalmente B0 = (T N)0 = T 0 N + T N 0 = N N + T

(T + B) = N , es decir

B0 = N (11)

1 TEORIA DE CURVAS 16

Las frmulas (9), (10) y (11) constituyen las frmulas de Frenet que pue-den escribirse todas juntas: T

0 = NN 0 = T +BB0 = N

; (12)

1.2.3. Clculo de la curvatura y la torsin

Sea : I R3 una curva birregular y tal que |0| = 1 . Se tiene entonces: 0 = T

00 = N000 = 2T +0N +B

;

que podemos escribir en forma matricial:

(0, 00, 000) = (T,N,B)

1 0 20 00 0

tomando determinantes, y teniendo en cuenta que det (T,N,B) = 1 se con-cluye

= |00| , = det(0, 00, 000)

|00|2(13)

donde la primera igualdad se obtiene tomando normas en 00 = N .

1.2.4. Curvas congruentes. Carcter intrnseco

Un movimiento en A : R3 R3 viene definido por exeyez = A

xyz

+ ab

c

(14)donde

A = (a1, a2, a3) =

a11 a12 a31a21 a22 a32a31 a23 a33

es una matriz ortogonal (AtA = I) con detA = 1. Las ecuaciones (14) sepueden interpretarse como las de un cambio de coordenadas, al sistema dereferencia cartesiano con origen en (a, b, c) y base (a1, a2, a3). Por supuestoaqu, (x, y, z) representan las coordenadas en el sistema de referencia canni-co.

1 TEORIA DE CURVAS 17

Si es una curva : I R3, la curva e = A se llama congruente con .Se tiene entonces

e = A+ (a, b, c)

e0, e00, e000 = A (0, 00, 000)en particular, como A : R3 R3 preserva el producto escalar, se tiene:1) Si es PPA entonces 1 = |0| = |A0| =

e0 y es PPA2) Como e00 = A00 es = |00| = e00 = 3) Como det

e0, e00, e000 = detAdet (0, 00, 000) = det (0, 00, 000) de(13) se concluye que = Por tanto ,la curvatura y la torsin as como el parmetro arco son in-

trnsecos a la curva.De forma anloga a como se hizo en el caso de las curvas planas, se puede

calcular el desarrollo de Taylor (en el parmetro) de la curva, expresada staen la referencia cartesiana con origen el punto (0) y con base ortonormalla dada por (T (0), N(0), B(0)) . Los primeros trminos de dicho desarrollo,cuando est parametrizada por la longitud de arco (es decir, cuando | 0 |=1), son

x (s) = s 162 (0) s3 + . . .

y (s) =1

2 (0) s2 +

1

60 (0) s3 + . . .

z (s) =1

6 (0) (0) s3 + . . .

Nuevamente se deducen de forma fcil propiedades sobre la geometra dela curva. Por ejemplo, como la ecuacin del plano afn que pasa por (0)y tiene por direccin Span(T (0) , N(0)) (el llamado plano afn osculador,ver 1.2.6) es, en esta referencia, z = 0 y como es inmediato que la curvasatisface esta ecuacin hasta el segundo orden, resulta evidente que en elplano osculador hay tres puntos de la curva infinitesimalmente prximos(es decir, que la solucin s = 0 es, al menos, triple).Ntese (s) = (x (s) , y (s)) es la proyeccin de sobre el plano afn

osculador. Usando la frmula (6) se concluye que su curvatura plana (0)coincide con la curvatura (0) de en s = 0.

1.2.5. Clculos con parmetro arbitrario

Sea : I R3 una curva birregular a I, s : I J ,s(t) =R ta|0(t)| dt

el parmetro arco.y : J R3 la curva reparametrizada, es decir (s(t)) =(t). Se tiene por definicin T(t) = T(s(t)), N(t) = N(s(t)), B(t) =

1 TEORIA DE CURVAS 18

B(s(t)), (t) = (s (t)), (t) = (s (t)). Entonces:

T 0(t) =dTdt

t

=dTds

s(t)

ds

dt

t

= T 0 (s (t)) |0(t)| =

= |0(t)| (s (t))N(s(t)) = |0(t)| (t)N(t)

Se pueden determinar de forma anloga las derivadas N 0, y B0 en funcin

de T, N, B (que llamamos ahora simplemente T, N, B, obteniendose: T0 = |0|N

N 0 = |0|T + |0| BB0 = |0| N

(15)

que son las frmulas de Frenet con parmetro arbitrario.Como no siempre es fcil reparametrizar la curva por el arco, nos propo-

nemos dar algoritmos explcitos para el clculo de la curvatura (t) la torsin(t) y el triedro de Frenet T (t), N(t), B(t) en cada t.En primer lugar obsrvese que

0(t) =d

dt

t

=d

ds

s(t)

ds

dt

t

= T(s(t)) |0(t)| = |0(t)|T (t)

si continuamos derivando, y aplicamos 15 obtenemos :0 = |0|T00 = |0|0 T + |0|2 N000 = f1T + f2N + |0|3 B

, (16)

donde f1 y f2 son funciones I R diferenciables donde f1 y f2 son funcionesI R diferenciables. En particular:

=|0 00||0|3

, =det(0, 00, 000)

|0 00|2

Como vimos, el vector tangente unitario es

T =1

|0|0

Adems usando (7) se concluye que Span (0, 00) t = Span (0, 00) (quees el plano osculador) y

|0 00|B = 0 00 =dt

ds

3(0 00) t

Como dt/ds > 0, 0 00y (0 00) apuntan en el mismo sentido y seconcluye:

B =0 00|0 00| , N = B T

1 TEORIA DE CURVAS 19

1.2.6. Los planos y rectas del triedro de Frenet

Sea : I R3 una curva birregular y (T ,N ,B) el triedro de Frenet.Para cada t I , los planos coordenados del triedro tienen los siguientenombres: Span(T (t), N(t)) es el plano osculador a en tSpan(N(t), B(t)) es el plano normal a en t

Span(T (t), B(t)) es el plano rectificante a en t

Obsrvese que, para cada t I, estos planos estn en T(t)R3. Se llamaplano vectorial osculador a en t a Span(T (t) , N(t)), que es un planovectorial de R3. El plano afn osculador a en t es el plano afn de R3que pasa por (t) y tiene por direccin Span(T (t) , N(t)). Anlogamente sedefinen los planos (vectoriales o afines) normal y rectificante a en t.Las rectas afines que pasan por (t) y tienen por direcciones T (t) , N(t)

B(t) se denominan, respectivamente, recta tangente, recta normal principalo recta binormal a en t.Intuitivamente, la curvatura mide cunto se desva la imagen de la curva

de estar contenida en su recta (afn) tangente y la torsin mide cunto sedesva de estar contenida en su plano afn osculador.

1.2.7. Teorema Fundamental (versin tridimensional)

Dadas (s), (s), s [0, L] funciones diferenciables, con > 0, y (T0, N0, B0)base ortonormal positiva de R3, existe entonces una nica curva (s) s [0, L] parametrizada por el arco que tiene a (s), y (s) por curvatura y tor-sin, y su triedro de Frenet en s = 0 es T (0) = T0, N(0) = N0, y B(0) = B0.En particular la curvatura y la torsin determinan la curva salvo movimientos(directos).

Demostracin:

Si existe tal curva. Tomando: T = (x1, x2, x3)N = (x4, x5, x6)B = (x7, x8, x9)

las frmulas de Frenet (12)dan lugar un sistema lineal de ecuaciones de laforma dx1/ds

dx9/ds

= A x1

x9

1 TEORIA DE CURVAS 20

donde los coeficientes de la matriz matriz A = A(s) dependen diferenciable-mente de la variable s [0, L] y es conocida a partir de las funciones (s), yde (s). Usando el teorema 1.2.8 de ms abajo, se concluye que fijado

= (T0, N0, B0) = (1, 2, . . . , 9) R9

existe un nico espacio de soluciones con (0) = , lo que significaque existe una nica solucin T = T (s), N = N(s), B = B(s) que verificanlas ecuaciones de Frenet (12) y

(T (0), N(0), B(0)) = (T0, N0, B0)

Veamos que (T, N , B) constituyen un sistema de referencia ortonormal.Para ello consideramos las derivadas de los productos escalares, que usandonuevamente (12) verifican

ddshT, T i = 2 hT,Ni

ddshT,Ni = hN,Ni hT, T i+ hT,Bi

ddshT,Bi = hT,Bi hT,Ni

ddshN,Ni = 2 hT,Ni+ 2 hN,Bi

ddshN,Bi = hT,Bi+ hB,Bi hN,Ni

ddshB,Bi = 2 hN,Bi

lo que da lugar sustituyendo hT, T i = y1, . . . , hB,Bi = y6 a un nuevo sistemalineal de ecuaciones diferenciales de la forma dy1/ds

dy6/ds

= L y1

y6

que es automticamente satisfecho por hT, T i = 1, . . . , hB,Bi = 6 , convalores iniciales

(1(0), 2(0), 3(0), 4(0), 5(0), 6(0)) = (1, 0, 0, 1, 0, 1)

y tambin por las funciones constantes = (1, . . . , 6) = (1, 0, 0, 1, 0, 1)por tanto (1, . . . , 6) = (1, 0, 0, 1, 0, 1) y el sistema (T, N , B) es ortonormal.Una vez determinado T = T (s) = (T1(s), T2(s), T3(s)) Nos queda integrar

dx

ds= T1(s),

dy

ds= T2(s),

dz

ds= T3(s)

que d lugar a una nica solucin por (s) = (x(s), y(s), z(s)) tal que (0) =p = (x0, y0, z0).Finalmente si , : [0, L] R3 son dos curvas birregulares con =

, y = entonces el movimiento A que lleva (T(0), N(0), B(0)) a(T(0), N(0), B(0)) transforma en una curva = A que con las mismascondiciones iniciales que tiene la misma curvatura y torsin. As = .

1 TEORIA DE CURVAS 21

1.2.8. Apndice: Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales

Supongamos A = (aij(s)) una matriz cuadrada cuyas entradas aij(s)s [0, L] son funciones diferenciables con valores reales. Se considera elsistema de ecuaciones: dx1/dt

dxn/dt

= A x1

xn

(17)y sea = { : [0, L] diferenciables: = (1, . . . n) satisfacen (17)}. Entonces es un espacio vectorial sobre R, y para cada Rn existe un nico con (0) = . Por otra parte, la aplicacin:

3 Rn

resulta ser un isomorfismo lineal.

2 SUPERFICIES: CONCEPTOS BSICOS 22

2. SUPERFICIES: CONCEPTOS BSICOS

Intuitivamente hablando, una superficie es un subconjunto de R3 liso, quetiene dimensin dos (una sbana flotando?). Otra aproximacin intuitivaest ligada al hecho de admitir que cada punto de la superficie, tenga unplano tangente bien definido. Piense el lector en cada uno de los ejemplosgrficos que se dan a continuacin. Son superficies?, porqu si? porquno?

2.1. Preliminar: Funciones diferenciables

Sea U abierto de Rn. Una F = (F1, . . . , Fm) : U Rm se dice diferen-ciable, si cada componente Fi : U R es de clase C, es decir, admitederivadas parciales de todos los rdenes.Sean S Rn, y T Rm una funcin F : S T se dice diferenciable si,

para cada punto p S , existen un abierto U de Rn que contiene a p y unafuncin diferenciable F : U Rm tales que F | U S = F | U S. Se diceque F : S T es difeomorfismos, si es diferenciable, biyectiva, y su inversaF1 : T S es tambin diferenciableResulta inmediato que la composicin de aplicaciones diferenciables entre

subconjuntos es tambin diferenciable, y la composicin de difeomorfismos,es difeomorfismo.Por otra parte el conjunto F (S) : {f : S R : f diferenciable} tiene

estructura natural de anillo, denominado anillo de funciones de S.

2.2. Aproximacin al concepto de superficie.

Estableceremos aqu algunas sugerencias como definicin formal de su-perficie. Despues decidiremos cual es la mejor.

2 SUPERFICIES: CONCEPTOS BSICOS 23

2.2.1. Grfica de una funcin

Sea z = (x, y), : R ( abierto de R2) una funcin diferenciable.Se llama grafo de f al conjunto

M = {(x, y, z) R3 : (x, y) , z = (x, y)}

Nuestra definicin se superficie, debera contener a los grafos de las funcionesdiferenciables como caso particular.

2.2.2. Ceros de una funcin

Sin embargo, no todas las superficies dberan poder describirse global-mente as. Por ejemplo, la superficie de una esfera

S2 = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 1}

debera ser considerada superficie, pero no es el grafo de ninguna funcin.Sin embargo, si lo es localmente, ya que el grafo de la funcin z =

px2 + y2

definida en = {(x, y) : x2 + y2 < 1} describe el hemisferio norte:

S2+ = {(x, y, z) S2 : z > 0}

De forma ms general

2.2.3. Teorema (simplificado) de la funcin implcita

Sea F : D R una funcin diferenciable definida sobre un abierto Dde R3. Tomemos en R3 coordenadas (x, y, z). Supongamos que existe unpunto p = (a, b, c) D en el que F (p) = 0 y (F/z) (p) 6= 0. Denotemos laproyeccin por

: R3 3 (x, y, z)(x, y) R2 .Entonces existen: un abierto de R2 con (a, b) , un intervalo abierto Jcon c J y una funcin diferenciable : J verificando las siguientescondiciones:

J D y adems{(x, y, z) J | F (x, y, z) = 0} = {(x, y, (x, y) | (x, y) }

Naturalmente el teorema admite un enunciado anlogo si se supone porejemplo que (F/x) (p) 6= 0 .En particular, si M = F1(0) es el conjunto constitudo por los ceros de

una funcin diferenciable F : D R , tal que DF (p) es de rango 1 , paratodo p M , entonces M se ve localmente como la grfica de una funcin ydebera ser considerada superficie.

2 SUPERFICIES: CONCEPTOS BSICOS 24

2.2.4. Superficies parametrizadas.

Otra idea es pensar una superficie como una curva bidimensional:

: U R3, :

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

donde U es un abierto R2. Para evitar autointersecciones y colapsos se exige,que sea:

1. Inyectiva,es decir si (u1, v1) = (u2, v2) entonces necesariamente esu1 = u2, v1 = v2

2. Regular. Esto significa que, diferenciable y que

rg (D) = rg

x/u x/vy/u y/vz/u z/v

= 2 para todo (u, v) ULa superficie M ser la imagen de .

La inyectividad es necesaria, pues si no podramos tomar la "superfi-cie"que es imagen M de la aplicacin regular (comprubese!)

(u, v) = (sinu, sin 2u, v) , 54

< u =< , > , , Rn

Si A O(n) , es 1 = det(I) = det(AAt) = (detA)2. Por tanto detA =1. Si detA = 1, se dice que A es ortogonal positiva, o tambin que labase (a1, . . . , an) es ortonormal positiva. El conjunto SO(n) := {A O(n) |detA = 1} es un subgrupo de O(n) cuyos elementos se llaman rotaciones.En el caso de R3, es fcil ver que A SO(3) si y slo si preserva el productoescalar y el vectorial, es decir:

< A,A >=< , > y (A) (A) = , , R3

.Si p, q En , definimos la distancia entre ambos puntos por d(p, q) :=|q p | . Un movimiento en Rn es una biyeccin A : Rn Rn que preservala distancia, es decir, d(p, q) = d(A p,A q). Se prueba que todo movimientopuede expresarse en la forma:

A : Rn 3 p Ap+ Rn , (18)

donde A O(n) y Rn.El movimiento se dice directo si A SO(n) ; en este caso, se denomina a

A la rotacin de A

2 SUPERFICIES: CONCEPTOS BSICOS 33

2.5.2. Recuerdos de anlisis

Sea F = (F1, . . . , Fm) : U Rm funcin diferenciable definida sobre unabierto U de Rn. La matriz jacobiana:

DF =

F1/x1 F1/xn... ...Fm/x1 Fm/xn

induce en cada punto p U, una aplicacin lineal Se llama diferencial de Fen p U a la aplicacin lineal

DF (p) : Rn 3 DF (p) Rm ;

en donde = (1, . . . 1). Es decir, se trata de la aplicacin lineal que tiene pormatriz, respecto de las bases cannicas de Rn y de Rm, la matriz jacobianaDF (p).El vector DF (p) Rm puede determinarse geomtricamente de la si-

guiente forma:Tmese cualquier curva diferenciable : I U por p (esto es, (0) =

p) y tal que 0(0) = . Entonces DF (p) es precisamente el vector velocidadde la curva F : I Rm en t = 0:

DF (p) = (F ) 0(0) (19)

En particular (F ) 0(0) solo depende de 0(0) = En efecto, si (t) = (x1(t), . . . , xn(t)) entonces (F ) (t) = (y1(t), . . . , ym(t)),

con yj(t) = Fj (x1(t), . . . , xn(t)). Aplicando la regla de la cadena se concluyeque

dyjdt=

nXi=1

Fjxi

dxidt

y particularizando para t = 0,

dyjdt

t=0

=nXi=1

Fjxi

(p)dxidt

t=0

=nXi=1

Fjxi

(p)i

de donde se deduce (19)Observese que si F = A : Rn 3 p Ap + Rm es una aplicacin afn

(A es matriz de n filas y m columnas y Rm) entonces DF = A

2.5.3. Plano tangente en implcitas

Sea M una superficie y sea V M un abierto (en la topologa relativa)de la forma V = F1(0) , con F tal como se detalla en el Teorema 2.2.3.Entonces se verifica, para todo p V,

2 SUPERFICIES: CONCEPTOS BSICOS 34

TpM = ker(DF |p )En efecto, si (t) = (x(t), y(t), z(t)) es una curva en M con (0) = p,

entonces la funcin (t) = F (x(t), y(t), z(t)) es constante, y por la regla dela cadena se tiene

0 = 0(0) =F

x

p

dx

dt

0

+F

y

p

dy

dt

0

+F

z

p

dz

dt

0

= DF |p 0(0)

esto prueba que TpM ker(DF |p ) el otro contenido es por razn dedimensiones.

2.5.4. La diferencial

Sean M y M un superficies de R3 y sea F : M M una funcin dife-renciable. Si p M y TpM , entonces, eligiendo C(p,M) tal que0(0) = , se verifica localmente F = F C(F (p), M) (la nota-cin F es la del apartado anterior); as queda definida sin ambigedad unaaplicacin:

dF (p) : TpM 3 = 0(0) (F )0(0) TF (p)M . (20)

Naturalmente dF (p) resulta ser la restriccin a TpM deDF (p); por tanto,dF (p) ser una aplicacin lineal, denominada diferencial de F en p.

2.5.5. Difeomorfismos entre superficies

Como se vi en 2.1 una aplicacin F :M M entre superficies se llamadifeomorfismo, si es diferenciable, biyectiva, y su inversa es tambin diferen-ciable. Un criterio prctico para certificar que una biyeccin F : M Mes difeomorfismo, consiste en comprobar que hay una parametrizacin local:UU en torno a cada punto p M de forma que = F : UF (U) esuna carta de M . Por otra parte, si F :M M es difeomorfismo, lo anteriorsucede para toda parametrizacin local :UU de M .

2 SUPERFICIES: CONCEPTOS BSICOS 35

Observese que con estas parametrizaciones, un punto p de M con -coordenadas (u0, v0) se transforma en el punto F (p) con las mismas -coordenadas(u0, v0) . Tambin un vector TpM , con coordenadas

01,

02

respecto a la base

/u|(u0,v0) , /v|(u0,v0)

se transformamediante dF (p)

en un vector en TF (p)M con las mismas coordenadas01,

02

respecto de la

correspondiente base/u|(u0,v0) , /v|(u0,v0)

.

2.5.6. Congruencias

Sean M y M superficies de R3 . Una aplicacin : M M se llamacongruencia si existe un movimiento A : R3 R3 de forma que = A |M , esdecir:

:M 3 p A(p) MSe dice entonces que las superficiesM y M son congruentes, y escribimos

M M. Como los movimientos en R3 son difeomorfismos, tambin lo sonlas congruencias entre superficies.Puesto que, la inversa de una conguencia y la composicin de congruencias

son congruencias, se concluye que la relacin de congruencia es relacin deequivalencia.Recordemos que para las curvas en el espacio, se haban definido inva-

riantes geomtricos computables de congruencia, (arco, curvatura y torsin)que nos permitan decidir cuando dos curvas son congruentes.Un problema central de la teora de superficies es el determinar invariantes

geomtricos computables de congruencia con anlogo fin.

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 36

3. LAS FORMAS FUNDAMENTALES

3.1. FORMAS BILINEALES EN SUPERFICIES

3.1.1. Definicin

Una forma bilineal sobre una superficie M es un operador B que asocia,a cada punto p M , una forma bilineal Bp : TpM TpM R verificandola siguiente propiedad de diferenciabilidad:Para cada punto p M , existe una carta (U , 1 = c = (u, v)) con p U

tal que las funciones:

bij = bij (u, v) := B

ui

(u,v)

,

uj

(u,v)

!(i, j = 1, 2)

son diferenciables. Las funciones: bij se denominan componentes de B en lacarta (U , c).Observese que si B es forma bilineal sobre una superficieM, entonces, las

componentes bcij de B en cualquier otra carta (U , c) son tambin diferenciablesen virtud de la siguiente

Proposicin 3.1.1.1 Sea B una forma bilineal sobre M , sean (U , 1 =c = (u, v)), (U , 1 = c =(u, v)) dos cartas de M y sean bij, b

ij las corres-

pondientes componentes de B. Si la aplicacin cambio de carta

c : c(U U) c(U U)

tiene por ecuaciones (ver 2.3.6) uj = uj(u, v), teniendo en cuenta 2.4.3 seconcluye que:

bij =2X

k,l=1

bklukui

uluj

(i, j = 1, 2) ,

es decir bij=

(u, v)

(u, v)

t bij (u, v)(u, v)

(21)

3.2. PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL

El producto escalar ordinario de vectores enR3 induce un producto escalarsobre cada espacio tangente TpM a una superficie. Es la llamada primeraforma fundamental, que permite determinar sobre la superficie medidas delongitudes de curvas.

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 37

3.2.1. Definicin

Si M es una superficie de R3 y p M , entonces TpM es un subespaciovectorial 2-dimensional de TpR3 = R3 y, por tanto, es un plano eucldeo. Enestas condiciones, se tiene la siguiente :

Definicin 3.2.1.1 Dada M superficie de R3, existe una nica forma bi-lineal sobre M (que denotamos por I) de manera que, para cada U abiertode M y , TpM , se tiene:

I(, ) :=< , >

Se denomina a I primera forma fundamental de la superficieM . Usualmenteescribiremos < , > en lugar de I(, ).

3.2.2. Expresin analtica local

SeaM una superficie de R3. Presuponiendo que se ha fijado de antemanouna carta (U , c) deM , las componentes gij de la primera forma fundamentalI se escriben:

gij =

3Xk=1

xkui

xkuj

.

Introducimos los siguientes nombres para los coeficientes gij (que sonestndar en la bibliografa)

E g11 = , F g12 = ,G g22 = ,

que se denominan coeficientes de la primera forma fundamental de M . Si

=2X

i=1

i

ui

(u,v)

, =2X

i=1

i

ui

(u,v)

T(u,v)M

, entonces se tiene:

< , > =2X

i,j=1

giji

j = (

1 ,

2 )

E FF G

(u,v)

12

;

en particular,

||2 = E (u, v) (1 )2 + 2F (u, v) 1 2 +G (u, v) (2 )2 .

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 38

3.2.3. Longitudes de curvas

Sea (U , c = (u, v)) una carta de una superficie M de R3 y sea (t) =(c )(t) = (u(t), v(t)) la correspondiente expresin analtica de una curva : [a, b] U . Entonces se tiene la siguiente expresin para la longitud de :

L() :=

Z ba

|0(t)| dt =Z ba

rE((t))(

du

dt)2 + 2F ((t))

du

dt

dv

dt+G((t))(

dv

dt)2 dt

3.2.4. Isometras

Un difeomorfismo : M M se llama isometra, si para cada curvadiferenciable : [a, b]M se tiene

L() = L ( )

Se dice entonces que las superficies M y M son isomtricas, y escribimosM ' M.Puesto que, la inversa de una isometra y la composicin de isometras es

isometra, se concluye que la relacin de isometra entre superficies es relacinde equivalencia.Observese, que una congruencia (ver 2.5.6) es una isometra, y por tanto,

dos superficies congruentes son isomtricas.Un problema central de la teora de superficies es el determinar invariantes

geomtricos computables que se conserven por isometras.Una caracterizacin local de las isometras puede ser la siguiente: : M M es isometra si y solo si es biyectiva, y hay una para-

metrizacin local :UU en torno a cada punto p M de forma que = : UF (U) es una carta de M , y se verifica

gij=gij

(22)

Vamos a demostrar la equivalencia, en el supuesto de que :UM seauna parametrizacin global de M . Supngase que es una isometra. En-tonces como es difeomorfismo, por el prrafo 2.5.5 se concluye que = : UM es una parametrizacin global en M . Fijemos (u0, v0) U, y(, ) R2 arbitrarios. Sea

:

u = u0 + tv = v0 + t

y por hiptesis, como du/dt =

L |[0,t]

=

Z t0

qE(u, v)2 + 2F (u, v)+G(u, v)2 dt

=

Z t0

qE(u, v)2 + 2F (u, v)+G(u, v)2 dt

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 39

y derivando los dos miembros con respecto a t en t = 0, se concluye

E(u0, v0)2 + 2F (u0, v0)+G(u0, v0)

2

= E(u0, v0)2 + 2F (u0, v0)+G(u0, v0)

2

para todo . Por tanto se verifica (22).El recproco es trivial.

3.2.5. Integrales de funciones en recintos coordenados

Sea (U , c = (u, v)) una carta de una superficie M de E3, con : U Ula parametrizacin local asociada. Una funcin f : U R se dir integrable(o medible) si lo es f f :U R; en tal caso, se llama integral de f enM a: Z

M

fd :=

ZUf(u, v)

u

v

dudv (23)

ntese que si es una determinacin del ngulo entre /u, y /v setiene

u

v

2=

u

v

2=

u

2

v

2(1 cos2 )

= EG F 2

por tanto se verifica tambinZM

fd =

ZUf(u, v)

pE(u, v)G(u, v) F (u, v)2dudv

lo que prueba que la integral es una magnitud intrnseca (que depende solode la primera forma fundamental).Un recinto RdeM contenido en U se dice medible si lo es c(R ). Se llama

integral de f en R a: ZRfd :=

ZM

fRd ,

siendo R la funcin caracterstica de R. Se define el rea de R como:

A(R ) :=ZM

Rd =

Zc(R )

EG F 2dudv .

La definicin de funcin (o recinto) medible no depende de la parametri-zacin utilizada, ni tampoco la integral de la funcin (o el rea del recinto).Probemos esto ltimo:Pongamos c = (u, v), c = (u, v) dos cartas con el mismo dominio U , por

(21), se tiene:

detgij= det

(u, v)

(u, v)

2det

gij

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 40

as: Zc(U)

f (u, v)qdet

gijdudv

=

Zc(U)

f (u, v)qdet

gij det

(u, v)

(u, v)

dudv

=

Zc(U)

f (u, v)qdet

gijdudv

3.3. SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL

Hay otra forma bilineal fundamental sobre cada TpM que controla lascurvaturas (normales) en p de las curvas contenidas en la superficie. Es ladenominada segunda forma fundamental. Las dos formas fundamentales con-tienen toda la informacin geomtrica de la superficie.

3.3.1. Campos normales a una superficie.

Un vector R3 se dice que es normal unitaria a un plano vectorialde R3 si se verifica que < , >= 1, y < , >= 0 , .Un plano de R3 tiene exactamente dos normales unitarias , y cada

una de ellas define una orientacin de en el siguiente sentido:Una base (, ) de se dice que es(t) positiva(mente orientada) (con

respecto a ) si el vector tiene el mismo sentido que , es decir, si < , > es positivo, lo cual equivale a decir que det(, ,) > 0.Una normal unitaria a una superficie M, es una aplicacin diferenciable

:M R3 sobre una superficie M de R3 tal que (p) es normal unitaria aTpM , para todo p M . No siempre existe una normal unitaria XM auna superficie M pero, cuando existe, se dice que M es orientable y defineuna orientacin en M. As, dar una orientacin en M supone establecer unaorientacin sobre cada espacio tangente TpM y que esta orientacin varediferenciablemente al mover el punto p sobre la superficie.Si la superficie M es conexa y orientable, admite exactamente dos orien-

taciones.Una carta (U , c = (u, v)) de M induce una orientacin sobre U , que es la

definida por la normal unitaria:

: =/u /v|/u /v|

Supondremos, en adelante y salvo aviso explcito, queM es una superficieconexa de R3 orientada por una normal unitaria . As pues, todo lo que siguees igualmente vlido en el dominio de una carta. El signo de algunas funcionesque aqu se van a establecer va a depender de la orientacin elegida. El lectordecidir cules.

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 41

3.3.2. Aplicacin de Gauss

El campo normal se puede interpretar como una aplicacin diferenciable :M S2 R3, y as interpretada se denomina aplicacin de Gauss.

3.3.3. Operador de Weingarten

Es importante observar, que para cada p M , el vector (p) es normala TpM y a TpS2, por tanto, ambos planos vectoriales coinciden, y d(p) :TpM TpS2 = TpM resulta ser un endomorfismo. Se denomina operador deWeingarten en p al endomorfismo

Lp = d(p) : TpM TpM

Concretando: si TpM y : I M es una curva por p enM con 0(0) = ,se tiene:

Lp () = ( )0 (0)en particular, si se ha fijado una carta (U , c = (u, v)) deM , podemos escribirpara cada p U

Lp

ui

c(p)

!= ( )

ui

c(p)

(24)

3.3.4. Curvatura normal de curvas en superficies orientadas

Sea : I 3 s (s) M una curva birregular parametrizada porla longitud de arco, sea {T,N,B} el triedro de Frenet de y sea (s) lacurvatura de en s. Se llama curvatura normal de en (M, ) a la proyeccindel vector de curvatura 00 sobre la direccin normal, es decir:

:=< 00, > : I R ;

como la curvatura de verifica 00 = T 0 = N , denotando por (s) [0, ]el ngulo (no orientado) definido por N(s) y ((s)) se tiene:

(s) = (s) < N(s), ((s)) > = (s) cos(s) , s I ;

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 42

obsrvese que, en los puntos s I en los que N(s) = ((s)) , se verifica(s) = (s).Por otra parte, como < T, >= 0, derivando se tiene :

0 =< T 0, > + < T, ( )0 > ;

En particular, si (0) = p y T (0) TpM , se concluye que:

(0) = < d(p)(), >= hLp () , i .

Como consecuencia se obtiene el siguiente:

3.3.5. Teorema de Meusnier

a) Todas las curvas birregulares en M que tienen en un punto p de sutrayectoria la misma recta tangente tienen en dicho punto la misma curvaturanormal.

b) Todas las curvas biregulares en M que tienen en un punto p de sutrayectoria el mismo plano afn osculador (no tangente a M en p) tienen endicho punto la misma curvatura.

Probemos el apartado b): Supngase , : I M , parametrizadas porel arco, (0) = p = (0), y sea el plano osculador comn no tangente aM en p. Entonces 0(0), 0(0) TpM = L que es una recta vectorial.As necesariamente es 0(0) = 0(0), ya que |0(0)| = |0(0)| = 1. Podemossuponer que 0(0) = 0(0) pues caso contrario sustituiramos (s) por (s).Adems 00(0), 00(0) y son ortogonales a L, luego son necesariamenteproporcionales: 00(0) = 00(0) con R. pero por a) se deduce que:

(0) = h00(0), (p)i = h00(0), (p)i = h00(0), (p)i

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 43

Como tiene plano aoculadior en s = 0, se verifica 00(0) 6= 0 entonces,necesariamente es h00(0), (p)i 6= 0, pues si h00(0), (p)i = 0, entonces sera = span(0(0), 00(0)) = TpM . as se deduce que = 1, y 00(0) = 00(0) porlo cual tienen la misma cuevatura k = |00(0)| = |00(0)|

Dados p M y TpM , con || = 1, tendra sentido (por a)) definirla curvatura normal de (M, ) segn el vector unitario como el nmeroreal < d(p)(), > . Ahora bien: dados p M y TpM , con (6= 0p)arbitrario, se verifica

hLp(), i< , >

=hLp(), i< , >

, (6= 0) R ,

por lo que definimos la curvatura normal de (M,) en la direccin de comoel nmero real

() :=< Lp(), >< , >

. (25)

Se llama seccin normal de M en p definida por , a la curva interseccinde M con el plano afn paralelo a y (p) que contiene a p. Entonces ()puede interpretarse (salvo el signo) con la curvatura en p de de dicha seccinnormal

3.3.6. Segunda Forma Fundamental

Definicin 3.3.6.1 DadasM superficie de R3 y orientacin enM , existeuna nica forma bilineal sobre M (que denotamos por II) de manera que,para cada U abierto de M y , TpM , se tiene

IIp(, ) := hLp () , i

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 44

Se denomina a II segunda forma fundamental de la superficie orientada(M, ).

Se verifica:

1. Si p M y , TpM : IIp(, ) = hLp(), i

2. Si p M y TpM ( 6= 0p) :

() =IIp(, )

Ip(, )(26)

3.3.7. Una interpretacin geomtrica de la Segunda Forma Fun-damental.

Sea (M, ) una superficie orientada de R3 y sea p un punto de M . Defi-nimos la aplicacin altura hp : R3 R por la relacin:

hp(x) := , x R3 .

As, los puntos x M para los que hp(x) > 0 estarn situados a un ladodel plano afn tangente aM en p y los x para los que hp(x) < 0 al otro. Puesbien, vamos a ver que es precisamente la segunda forma fundamental IIp enp la que nos proporciona (hasta el segundo orden) este tipo de informacinsobre la funcin hp en las proximidades de p. En efecto:Sea TpM , con || = 1, y sea : I M una curva birregular

parametrizada por la longitud de arco y tal que (0) = p y 0(0) = .Estudiemos el comportamiento, en torno al 0 I , de la funcin hp : I R. Se tiene:

d(hp )ds

(0) =d

ds(0) =< 0(0) , (p) >= 0 ;

como (hp )(0) = 0, si por ejemplo fuera d2(hp )/ds2(0) 6= 0 , entonceshp presentara un extremo local estricto en 0 I , lo que nos permitiraconcluir que, para I pequeo, (I) estara situada a un solo lado del planoafn tangente. Ahora bien, usando 3.3.4 y (26) se concluye que

d2(hp )ds2

(0) =< 00(0), (p) >= () =II(,) ,

lo que nos permite concluir que, efectivamente, IIp controla (hasta el se-gundo orden) el comportamiento de hp en las proximidades de p.De esta interpretacin pueden sacarse interesantes propiedades geomtri-

cas sobre cmo es la superficie. Por ejemplo, si la segunda forma fundamentales definida, la superficie debe estar, en un entorno del punto en cuestin, aun solo lado del espacio afn tangente; y si es no degenerada pero no definida,entonces deben existir dos rectas en el espacio afn tangente que dividen aste en cuatro sectores, estando la superficie por encima o por debajo de ellosalternativamente.

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 45

3.3.8. Expresin analtica local

Sea (M, ) una superficie orientada de R3. Presuponiendo que se ha fijadode antemano una carta (U , c) deM , las componentes hij de la segunda formafundamental II se escriben:

hij

2

uiuj,

=

3Xk=1

2xkuiuj

k .

En efecto, se tiene que h/uj, i = 0, en todo punto, y as

0 =

ui

uj,

=

2

uiuj,

+

uj,

ui

por otra parte, teniendo en cuenta (24) se ve que L (/ui) = /ui

as que

hij II

ui,

ui

=

L ui

,

uj

=

uj,

ui

=

2

uiuj,

Teniendo en cuenta que

=/u /v|/u /v| =

1EG F 2

u

v

queda

hij =1

EG F 2det

u,

v,

2

uiuj

(27)

Introducimos los siguientes nombres para los coeficientes hij (que sonestndar en la bibliografa)

e h11 =, f h12 =, g h22 = ,

y se denominan coeficientes de la segunda forma fundamental de (M, ).Se ve que la segunda forma fundamental es simtrica, es decir: para todo

U abierto de M y todo , TpM , II(, ) = II(, ).Si

=2X

i=1

i

ui

(u,v)

, =2X

i=1

i

ui

(u,v)

T(u,v)M

, entonces se tiene:

II(, ) =2X

i,j=1

hiji

j = (

1 ,

2 )

e ff g

(u,v)

12

;

en particular,

II(, ) = e(1 )2 + 2f1

2 + g(

2 )2 .

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 46

3.3.9. Congruencias y Formas Fundamentales

Recordemos que un difeomorfismo :M M que preserve las longitudesde las curvas, se llama isometra, y viene caracterizado por la propiedadde que para cada parametrizacin local :UU en M la parametrizacin = : UF (U) en M , verifica

gij=gij.

Supongamos que : M M es la restriccin a M de un movimientodirecto. Entonces evidentemente es isometra (por tanto

gij=gij) y se

tiene = A+ C

donde C = (a, b, c)t es matriz constante, por tanto:

ui= A

ui,

2

uiuj= A

2

uiuj

Pero adems A : R3 R3es matriz ortogonal con detA = 1. Esto significaque A preserva el producto escalar y vectorial por tanto usando las frmulas27 se concluye:

hij =1q

EG F 2

u

v,

2

uiuj

=1

EG F 2

u

v,

2

uiuj

= hij

Esto significa que las congruencias tambin preservan la segunda formafundamental.As, el estudio de las propiedades geomtricas de las superficies que per-

manecen invariantes por congruencia, no depende del sistema cartesiano decoordenadas utilizado.

3.4. CURVATURAS

3.4.1. Aplicaciones autoadjuntas

Sea R un espacio vectorial eucldeo con producto escalar y seaL : E E una aplicacin lineal. Se dice que L es autoadjunta si< Lv,w >=, para todo v, w E. La forma bilineal H : E E 3(v, w) R se denomina forma bilineal asociada a L. H es simtrica siy slo si L es autoadjunta.El siguiente teorema contiene resultados suficientemente conocidos del

lgebra lineal elemental:

Proposicin 3.4.1.1 Sea L : E E una aplicacin lineal en un espaciovectorial eucldeo E y sea H su forma bilineal asociada.

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 47

a) L es autoadjunta si y slo si tiene, respecto de alguna (o toda) baseortonormal de E, una matriz representativa simtrica.

b) L es autoadjunta si y slo si, respecto de alguna (o toda) base de E, lasmatrices (lij) , (gij) y (hij) , representativas de L , y H en dichabase, respectivamente, verifican (lij) = (gij)1(hij). En particular, si labase es ortonormal (gij = ij), las matrices de L y de su forma bilinealasociada H coinciden.

c) Si L es autoadjunta, existe una base ortonormal formada por autovecto-res de L. Esto significa que, respecto de dicha base, la representacinmatricial de L (y de H) es una matriz diagonal: 1 . . .

n

.Por otra parte, si H : E E R es una forma bilineal simtrica, existe

una nica aplicacin lineal autoadjunta L : E E que tiene a H porforma bilineal asociada.

3.4.2. Expresin analtica local del Operador de Weingarten

Sea (M,) una superficie orientada de R3. La segunda forma fundamen-tal define, en cada espacio tangente TpM , una forma bilineal simtrica; lacorrespondiente aplicacin autoadjunta es la aplicacin de Weigarten en p,ya que

IIp(, ) = < Lp, > , , TpMSi (U , c = (u, v)) es una carta de M , el operador de Weingarten viene

determinado, en la base {/u, /v} por funciones diferenciables lij =lij (u, v) (i, j = 1, 2) , llamadas coeficientes del operador de Weingarten,tales que

L(u) = l11

u+ l21

v

L(v) = l12

u+ l22

v

Es fcil ver que los coeficientes lij se obtienen a partir de los coeficienteshij de la segunda forma fundamental; en efecto, usando la Propos. 3.4.1.1.bqueda la siguiente igualdad entre matrices de funciones:

(lij) = (gij)1(hij) ,

o de forma ms explcita:

l11 =eG fFEG F 2 , l12 =

fG gFEG F 2 , l21 =

fE eFEG F 2 , l22 =

gE fFEG F 2 (28)

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 48

3.4.3. Curvaturas de superficies orientadas

Fijado un punto p de una superficie orientada (M,) de R3, los invariantesgeomtricos (traza, determinante, autovalores, etc.) de la aplicacin de Wein-garten Lp determinan invariantes geomtricos de la superficie, que a su veznos permiten determinar el aspecto geomtrico de sta en las proximidadesdel punto p.

Definicin 3.4.3.1 Fijado un punto p M , se llaman:

a) Curvaturas principales k1(p), k2(p) de (M,) en p a los autovalores deLp.

b) Curvatura de Gauss K(p) de (M,) en p al determinante de Lp .

c) Curvatura Media H(p) de (M,) en p a 1/2 de la traza de Lp .

Obsrvese que la curvatura de Gauss no depende de la orientacin (localo global) de la superficie, ya que det(Lp) = det(Lp).Usando (28) se tiene por tanto la siguiente frmula local, que pone de

manifiesto que la curvatura de Gauss K :M R de una superficie de R3 esuna funcin diferenciable:

K := detL = eg f2

EG F 2

3.4.4. Clasificacin de los puntos de una superficie

Sea p un punto de una superficie orientada (M,) de R3. Aplicando laPropos. 3.4.1.1.c, se concluye que existe una base ortonormal positiva (e1, e2)de TpM formada por autovectores de Lp . Segn las definiciones del apartadoanterior, se tiene:

Lpe1 = k1(p) e1 , Lpe2 = k2(p) e2 ,

K(p) = k1(p)k2(p) , H(p) =k1(p) + k2(p)

2.

Se llama a (e1, e2) base adaptada a (M,) en p. En estas condiciones:

Definicin 3.4.4.1 Se dice que p es:a) hiperblico si K(p) < 0b) parablico si K(p) = 0 y k1(p) y k2(p) no son ambas nulasc) elptico si K(p) > 0d) umblico si k1(p) = k2(p)e) plano si k1(p) = k2(p) = 0.

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 49

3.4.5. Direcciones principales

Si p M , se dice que un vector tangente TpM no nulo define unadireccin principal si es autovector deLp . As, p es umblico si y slo si todaslas direcciones en TpM son principales. Por otra parte, si p no es umblicoentonces TpM posee exactamente dos direcciones principales distintas, queson las definidas por los vectores e1 y e2 de la base adaptada.

3.4.6. Curvaturas principales e Indicatriz de Dupin.

Sea (e1, e2) una base adaptada a (M, ) en p y sean k1(p) y k2(p) lascurvaturas principales: Lp(ei) = ki(p)ei (elegimos la notacin de forma quese tenga: k1(p) k2(p)). Un vector unitario genrico TpM se escribe: = (cos )e1 + (sen )e2. De esta forma obtenemos un representante cuasi-cannico de cada direccin; el otro representante sera , obtenido eligiendoel ngulo + .La curvatura normal de (M, ) en la direccin de es, por :

() = II(, ) =< Lp, >= k1(p) cos2 + k2(p)sen2 .

La frmula que acabamos de demostrar (llamada frmula de Euler) prue-ba que la curvatura normal de (M,) en p es una combinacin afn y con-vexa (ya que cos2 0 , sen2 0 y su suma es uno) de k1(p) y k2(p). Alvariar entre 0 y 2 , obtenemos todos los valores del intervalo [k2(p), k1(p)],en particular k1(p) para = 0 (y ) y k2(p) para = /2 (y 3/2) , queson los ngulos correspondientes a las direcciones de 1 y 2. De esta for-ma concluimos que las curvaturas principales k1(p) y k2(p) son los valoresmximo y mnimo, respectivamente, de la curvatura normal de (M, ) enp. El producto k1(p)k2(p) = K(p) es (salvo quizs el signo) el cuadrado dela media geomtrica de los dos valores extremos, mientras que la curvaturamedia H(p) es la media aritmtica de estos extremos; es decir, otra forma deinterpretar la curvatura de Gauss y la curvatura media es como las mediasque razonablemente se pueden hacer de los valores extremos de la curvaturanormal.

El conjunto

Dp := { TpM | II(, ) = 1}

se denomina indicatriz de Dupin de (M, ) en p. Es evidente que, si Xe1 +Y e2Dp , se verifica: k1(p)X2+ k2(p)Y 2 = 1 . Por otra parte, se deduce de(26) que, si Dp , se verifica: () = 1/ < , > .Obsrvese que, para el punto p, se tienen las siguientes equivalencias:a) p es hiperblico si y slo si Dp consiste en un par de hiprbolas cuyas

asntotas tienen direcciones definidas por la ecuacin k1(p)X2+k2(p)Y 2 = 0.b) p es parablico si y slo si Dp consiste en un par de rectas distintas.

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 50

c) p es elptico si y slo si Dp es una elipse.d) p es umblico (no plano) si y slo si Dp es una circunferencia.e) p es plano si y slo si Dp es vaco.

3.4.7. Direcciones asintticas

Si p M , se dice que un vector tangente TpM no nulo define unadireccin asinttica si < Lp, >= 0, lo que equivale a decir que se anula lacurvatura normal () de (M,) en la direccin de . Entonces se tiene:a) p es elptico si y slo si TpM no posee direcciones asintticas.b) p es hiperblico si y slo si TpM posee exactamente dos direcciones

asintticas distintas.c) p es parablico si y slo si TpM posee una nica direccin asinttica.

3.4.8. Lneas de curvatura y lneas asintticas

SeaM una superficie de E3. Una curva regular : I M se dice lnea decurvatura de M (respectivamente, lnea asinttica de M ) si, para cada t I,el vector 0(t) define una direccin principal (respectivamente, una direccinasinttica) de TpM . Es importante observar que tanto el carcter de lnea decurvatura como el de lnea asinttica se preservan frente a cambios regularesde parmetro.Una consecuencia inmediata de la definicin algebraica que hemos dado

de direcciones principales es que una curva regular : I M es lnea decurvatura si y slo si, para cualquier eleccin (no necesariamente global) denormal unitaria , se verifica:

d ( )dt

= kddt

,

donde la funcin k : I R da lugar, en cada t I, a un autovalor (curva-tura principal) de L(t) . Este resultado se conoce como teorema de Olinde-Rodrigues.Similarmente se prueba que una curva regular : I M es lnea asintti-

ca si y slo si, para cualquier eleccin (no necesariamente global) de normalunitaria , se verifica:

d ( )dt

,d

dt

= 0 .

3.4.9. Ecuacin normal

Podemos estudiar la influencia de la primera y segunda formas funda-mentales en la forma de la superficie en torno a punto p M determinado,usando un sistema de referencia cartesiano de coordenadas (x, y, z), en don-de p = (0, 0, 0) y la base adaptada en TpM es e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), y

3 LAS FORMAS FUNDAMENTALES 51

(p) = (0, , 0, 1). En este sistema, un entorno de p en la superficie es grficade una cierta funcin z = (x, y) definida en un entorno del (0, 0) R2. Enla parametrizacin (x, y) = (x, y, (x, y)) se tiene

D =

1 00 1x y

x (0, 0) = 0y (0, 0) = 0

(gij) =

1 + 2x xyxy 1 +

2y

(gij)|(0,0) =

1 00 1

(hij) =1q

1 + 2x + 2y

xx xyxy yy

(hij)|(0,0) = (lij)|(0,0) =

xx xyxy yy

(0,0)

xy (0, 0) = 0

Por tanto las curvaturas principales en p son k1 (p) = xx (0, 0) , k2 (p) =yy (0, 0), y el desarrollo de Taylor hasta el orden 2 de (x, y) en torno a(0, 0) es

(x, y) =1

2

k1 (p)x

2 + k2 (p) y2+

x2 + y2

(29)

donde se entiende que

lm(x,y)(0,0)

(x2 + y2)x2 + y2

= 0

y la cudrica M () dada por la grfica de la funcin

z = (x, y) =1

2

k1 (p)x

2 + k2 (p) y2

se parece (hasta el orden 2) en un entorno del punto p a la superficie departida.Como aplicacin, podemos demostrar por ejemplo que si 0 < k2 (p)

k1 (p), entonces en un entorno de p la superficieM se encuentra (al igual queM ()) a un solo lado del plano tangente, es decir que

0 < (x, y) si 0 < x2 + y2 <

En efecto, llamando ki (p) = ki, se tiene por (29) que

(x, y)

(x, y)= 1 + 2

(x2 + y2)k1x2 + k2y2

pero (x2 + y2)k1x2 + k2y2

= (x2 + y2)x2 + y2

x2 + y2

k1x2 + k2y2

(x,y)(0,0)0

ya que

0