FLUJO ELÉCTRICO La definición de flujo de campo eléctrico E a través de una superficie cerrada (Fig. 1) es

sdEE ⋅=Φ ∫ , donde,

(Fig. 1)

a) el símbolo ∫ representa una integral sobre una superficie cerrada,

b) sd es un vector que tiene magnitud ds igual a una diferencial de área sobre la superficie, y que apunta en la dirección del vector normal n̂ dirigido al exterior de la superficie, y c) sdE ⋅ es un producto escalar ( sdE ⋅ = E ds cosθ), que depende de la superficie, y del campo E .

LEY DE GAUSS

La ley de Gauss es una herramienta poderosa para determinar campos eléctricos en situaciones de simetría, y relaciona el flujo eléctrico total, EΦ , a través de una superficie cerrada, con la carga neta encerrada por la superficie. Esta ley establece:

qsdEo =⋅∫ε ,

donde,

∫ : representa la integral sobre una superficie cerrada, en cuyo interior hay una carga neta q, y

sd : es un elemento diferencial de superficie; en cada punto sdr es un vector, y, por convención, siempre apunta hacia fuera de la superficie ( Fig. 8).

Fig. 8

Si deseamos hallar el campo eléctrico E

ren una cierta región del espacio, construimos

en ese espacio, una superficie cerrada, llamada superficie gaussiana. La elección de la forma y el tamaño de la superficie gaussiana es arbitraria. Suele escogerse de tal forma que sobre ella el valor del campo eléctrico sea constante, y pueda entonces factorizarse fuera de la integral. Como ya sabemos, sdEE ⋅=Φ ∫ , es el flujo a través de una superficie cerrada y q es la carga neta contenida dentro de la superficie, es decir, que si se tienen muchas cargas puntuales iq dentro de la superficie, la ley de gauss puede escribirse :

netaii

o qqsdE ==⋅ ∑∫ε

LA LEY DE GAUSS Y LA LEY DE COULOMB. (Campo Eléctrico debido a una carga punto) La ley de Coulomb puede deducirse de la Ley de Gauss. Para ello aplicamos la ley de Gauss a una carga puntual positiva q , y elegimos una superficie esférica como

superficie gaussiana. Se supone que el campo eléctrico E de la carga es desconocido, pero debido a la simetría, tendrá la misma magnitud en cualquier punto de una superficie gaussiana esférica (Fig. 9).

Fig. 9

Como E es constante en todas partes de la superficie, y hace un ángulo de cero grados

con sd , podemos extraer E de la integral que expresa el flujo y escribir de acuerdo con la ley de Gauss:

qsdE =⋅∫rr

0ε

Si una carga de prueba oq+ se sitúa en este campo, la fuerza eléctrica sobre esta carga será,

241

roqq

oEoqF

πε==

Y obtenemos de esta manera, la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss.

CORTEZA ESFÉRICA

Una corteza esférica delgada de radio R tiene una carga total Q distribuida uniformemente sobre su superficie. Determine el campo eléctrico para puntos

1. Rr ≥ , es decir, fuera del cascarón 2. Rr < , es decir, dentro del cascarón

Fig. 10

SOLUCION

1. En la figura 10 se muestran las líneas de campo y los elementos de superficie supuesta la corteza cargada positivamente. Si construimos una superficie gaussiana esférica de radio Rr ≥ , como se muestra en la figura, la ley de Gauss

QsdEo =⋅∫ε permite escribir

QrEo =)4( 2πε Y despejando E tenemos

Rrr

QEo

>= ,4 2πε

Que es igual al campo debido a una carga puntual de magnitud Q colocada en el centro de la corteza. 2. Rr < En este caso, la carga encerrada por la superficie gaussiana es cero, y la ley de Gauss dice que

0=⋅∫ sdEoε ,

0)4( 2 =rEo πε , de donde 0=E

Es decir que el campo E es cero en todos los puntos interiores. En la figura (11) se muestra una gráfica de E versus r

Fig.(11)

DISTRIBUCIÓN ESFÉRICA (Esfera maciza) Una carga Q se encuentra uniformemente distribuida en todo el volumen de una esfera no conductora de radio R . Determinar el campo eléctrico en puntos: 1. fuera de la esfera, Rr > 2. dentro de la esfera, Rr ≤

Fig. 12

SOLUCIÓN

1. En la figura 12 se muestran las líneas de campo eléctrico Ev

, suponiendo la esfera cargada positivamente, y se muestran también las superficies gaussianas para Rr > y Rr < , las cuales consisten de esferas centradas en la esfera cargada. De la ley de Gauss,

QsdEo =⋅∫ε

cuando Rr > la carga que encierra la superficie gaussiana es exactamente Q . Debido a la simetría esférica,

QrE

QdsE

o

o

=

=∫)4( 2πε

ε

Y despejando E tenemos

204 r

QEπε

=

>r R

Lo mismo que obtendríamos si la carga Q fuese una carga punto colocada en el centro de la esfera. 2. Rr < Para esta situación, la carga 'Q encerrada por la superficie gaussiana es menor que Q , y será

)34('' 3rVQ πρρ ==

Donde ρ es la densidad de carga y 'V es el volumen encerrado por la carga 'Q Como

3 34

R

Qesferavolumentotalrgaac

VQ

πρ ===

resulta

343

RQ

πρ = , y,

3

33

3

3 ) 34(

34

) 34('

RrQr

R

QrQ === ππ

πρ

De la ley de Gauss

'QsdEo =⋅∫ε

Observe que el campo es cero para 0=r , y aumenta linealmente con r hasta

Rr = , y después decrece inversamente a 2r , es decir,

34 R

r

o

QEπε

= , E α r , para Rr < , y,

241

r

Qo

Eπε

= , E α21

r, para Rr >

Los campos coinciden en Rr = y tienen el valor 241

RQE

oπε= ; y sus curvas se

muestran en la figura 13.

3

3

32

4

)4(

RrQE

RrQrE

o

o

πε

πε

=

=, r < R

Fig. 13

LÍNEA INFINITA DE CARGA

Fig. 14

La figura 14 muestra una sección de una línea infinita de carga de densidad constante. Deseamos calcular el campo eléctrico a una distancia R de la línea. Solución: Si suponemos la carga del alambre positiva, el sentido del campo será radialmente hacia fuera, y su magnitud dependerá de la distancia radial R . Como superficie gaussiana elegimos un cilindro circular de radio R y longitud h. Al utilizar la Ley de Gauss,

qsdEo =⋅∫ε

se descompone la integral en tres integrales, dos con respecto a las bases del cilindro y una con respecto a la superficie lateral. Como no hay flujo a través de las bases sino solamente a través del área lateral, y como por simetría E tiene el mismo valor en todos los puntos de esta última, se tendrá que

∫ ⋅= sdEq o

rrε

hRhEEs

dsE

Eds

o

o

o

o

λπεε

ε

ε

===

=

°=

∫∫

)2(

0cos

Pues el área lateral del cilindro es Rhπ2 y la carga total encerrada es la densidad lineal de carga multiplicada por la longitud, y resulta

RE

o

λπε21

=

En la unidad sobre Interacción Eléctrica (Problema resuelto #8, alambre infinito) se obtuvo este mismo resultado utilizando una técnica de integración a partir de la expresión

∫= rûrdqKE 2

la cual utilizaba un método más laborioso. El resultado obtenido también es válido para alambres cargados con longitud finita, siempre que la distancia radial, R , sea mucho menor que la distancia L a un extremo del mismo, es decir

LR <<

Fig. 15

LÁMINA INFINITA CARGADA

Calculemos el campo debido a una lámina infinita, delgada cargada, de una densidad superficial de carga σ Fig. 16. (Ver problema resuelto #10 de la Unidad Interacción Eléctrica)

Fig. 16

Solución: Una superficie gaussiana conveniente es un cilindro pequeño, cuyo eje sea perpendicular al plano con extremo equidistante del plano, y áreas de las bases A. Como el campo es perpendicular, no existe flujo a través del área lateral del cilindro. Empleando la ley de Gauss,

qsdEo =⋅∫ε

podemos escribir para las tres superficies del cilindro (dos de las bases y una lateral),

qsdEsdEsdEsdEc

ob

oa

oo =⋅⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫ εεεε

y como el flujo a través de la superficie lateral (superficie b) es cero, pues E es perpendicular a sd , y el flujo a través de cada una de las bases es EA (áreas a y c), resulta que,

qEAo

qEAoEAo=

=++ε

εε2

0

Como la carga encerrada por la superficie gaussiana es Aq σ= , la ecuación anterior se transforma en

oE

AEAo

εσ

σε

2

,2

=

=

Al mismo resultado, aunque con mayor dificultad puede llegarse por integración a partir de la expresión (ver problema resuelto #10 de la unidad Interacción Eléctrica)

∫= rûrdqKE 2

En este ejercicio hemos supuesto una lámina infinita lo que es una idealización. Pero el resultado es una buena aproximación en el caso de un plano finito, siempre y cuando la distancia de la lámina al punto donde se evalúa el campo sea pequeña, en comparación con las dimensiones del plano. Si la carga de la hoja infinita es positiva, el campo está dirigido perpendicularmente desde la hoja (como se ilustró), pero si tiene una carga negativa, la dirección del campo es hacia la hoja, como se indica en la figura 17.

Fig. 17